Taal en logica

Compositionaliteit,
bereik en lambda’s
Henriëtte de Swart
Meer dan woorden…
Betekenis van constituenten, zinnen.
Vraag: hoe wordt de betekenis van
complexe gehelen opgebouwd uit die
van woorden.
‘Jan slaat Piet’  ‘Piet slaat Jan’
Woordvolgorde  Subject-Object relatie
 Agens-Patiens relatie.
Compositionaliteit
Principe van Compositionaliteit van
betekenis (Frege): betekenis van geheel
is functie van de betekenis van de
samenstellende delen en van de manier
waarop ze zijn samengesteld.
Woorden + structuur
Dus: semantiek altijd afhankelijk van
syntaxis.
Semantische
representaties
Semantische representaties worden
geformuleerd in logische talen (b.v. 1e
orde propositie/predikatenlogica).
Logische talen respecteren principe van
compositionaliteit: regels voor
interpretatie volgen regels voor wffs.
Probleem I
Eerste orde logica is niet voldoende om
alle natuurlijke taaluitdrukkingen te
representeren (modificatie, kwantificatie
over predikaten, tweede orde
kwantoren).
Modificiatie
Joost is een Nederlandse taalkundige
T(j)  Nl(j)
Pim is een grote muis/een kleine olifant
Niet: M(p)  Gr(p)
Niet: O(p)  Kl(p)
Kwantificatie over
eigenschappen
Jan heeft alle eigenschappen van
Sinterklaas.
P [P(s)  P(j).
Geen eerste orde logica!
In eerste orde logica alleen
predikaatconstanten (geen
predikaatvariabelen).
Tweede orde kwantoren
Alle studenten houden van taalkunde.
x [St(x)  Hvt(x)]
De meeste studenten houden van
taalkunde.
Niet: Mx [St(x)  Hvt(x)] waarom niet?
Niet: Mx [St(x)  Hvt(x)] waarom niet?
Probleem II
Probleem: syntaxis van natuurlijke
taal syntaxis van propositie/
predikatenlogica.
Is het wel mogelijk om een
compositionele interpretatie van
natuurlijke taal te geven m.b.v. deze
logica’s?
1e orde logic en
compositionaliteit
Zinnen met individuele constanten/
variabelen: compositionele vertaling .
Hanna slaapt.
Hanna slaapt (S) S(h)
/
\
functie applicatie
Hanna h
Slaapt S
(NP)
(VP)
Kwantoren en
compositionaliteit
Zinnen met kwantoren: geen compositionele
vertaling. B.v. Iedere student danst.
Iedere student danst (S) xS(x)D(x)
/
\
Iedere student
Danst D
(NP)
(VP)
/
\
Iedere ?? student S
(Det)
(N)
Kwantoren en
compositionaliteit
Zinnen met kwantoren: geen compositionele
vertaling. B.v. Iedere student danst.
Iedere student danst (S) xS(x)D(x)
/
\
Iedere student ??
Danst D
(NP)
(VP)
/
\
Hoe komen we
Iedere ?? student S compositioneel
(Det)
(N)
van hier naar daar?
Lambda abstractie
Gebruik van lambda abstractie maakt
het mogelijk semantische representaties
te geven voor delen van een
syntactische boom, zodat we een
compositionele vertaling van de zin
kunnen geven.
Lambda abstractie ook met 2e orde
logica.
Essentie
1-plaatsige predikaten (praten, dansen,
student,…) denoteren verzamelingen.
Vertaling als predikaat: hoofdletters (P,
D,S,…).
Vertaling als lambda abstract: xP(x).
 bindt individuele variabele x.
 pikt alle waarden van x eruit die de formule
P(x) waar maken, en definieert daarmee de
verzameling van P’s (karakteristieke functie).
Lambda’s: formeel
Als  een formule is, en x een variabele
(die normaliter voorkomt in ), dan is
||x||M, g die functie h van het
universum U naar {0,1} zodanig dat
voor alle individuen e in U, h(e) = 1 als
||x||M, g[x/e] = 1, en h(e) = 0 anders.
Lambda conversie
Toepassing van lambda abstract op
constante/variabele leidt tot lambda
conversie: [x S(x)](h) = S(h)
x S(x): 1-plaatsig predikaat. Functie
applicatie: toepassen op individuele
constante h. Lambda conversie: deletie
van  en vervanging van x door h.
 conversie: formeel
Voor  een open propositie, en x een
individuele variabele die voorkomt in ,
en c een individuele constante, dan x
(c)  [c/x], waar [c/x] is de formule
 met vervanging van alle voorkomens
van x door c.
Compositionaliteit met 
Hanna slaapt
Hanna slaapt (S) xS(x)(h) = S(h)
/
\
functie applicatie
Hanna h
Slaapt xS(x)
(NP)
(VP)
Abstractie over
predikaten
Een kleine olifant x (K(O))(x).
een kleine olifant (NP) x(K(O))(x)
/
\
een ??
kleine olifant (A(N)) yK(O)(y)
/
\ functie applicatie
kleine (A)
olifant (N)
PyK(P)(y)
O
NPs als verzameling
eigenschappen
Hanna: h (individuele constante)
Hanna: P P(h) (bundel eigenschappen
Hanna slaapt: S(h)
Slaapt(Hanna): x S(x)(h) = S(h)
‘Hanna is een slaper.’
Hanna(Slapen): P P(h)(Slapen) = S(h)
‘Slapen is een eigenschap van Hanna.’
Lambda’s met
kwantoren
Iedereen danst x D(x)
Kwantoren verwijzen niet naar een vast
individu, dus geen representatie als
constante, maar: P x P(x)
‘Dansen is een eigenschap van
iedereen.’
P x P(x)(Dansen) = x D(x)
Compositionaliteit met
kwantoren
Iedere student danst (S) xS(x)D(x)
/
\
Iedere student ??
Danst D
(NP)
(VP)
/
\
Iedere ?? student S
(Det)
(N)
Compositionaliteit met
kwantoren
Iedere student danst (S) xS(x)D(x)
/
\
Iedere student
Danst
Qx[S(x)Q(x)]
yD(y)
/
\
Iedere
student zS(z)
PQx[P(x)Q(x)]
Tweede orde kwantoren
De meeste studenten dansen
De meeste: PQ[|PQ| > |P-Q|]
Relatie tussen twee verzamelingen:
abstractie over twee predikaten.
Reflexieven I
Zichzelf: RxR(x,x), waarbij R een 2plaatsige relatie.
Hanna bewondert zichzelf.
Zichzelf bewonderen:
RxR(x,x)(Bewonderen) = xB(x,x)
Hanna bewondert zichzelf:
xB(x,x)(h) = B(h,h).
Reflexieven II
Iedereen bewondert zichzelf.
Zichzelf bewonderen:
RxR(x,x)(Bewonderen) = xB(x,x)
Iedereen: PyP(y).
Iedereen bewondert zichzelf:
PyP(y)(xB(x,x)) = yB(y,y)
Van buiten naar binnen
Mo kust Peter  Peter kust Mo.
yx Kussen(y)(x)(p) = x Kussen(p)(x)
Eigenschap ‘Peter kussen’
x Kussen(p)(x)(m) = Kussen(p)(m)
Kussen(p)(m) = Kussen(m,p)
‘Mo kust Peter’
Van buiten naar binnen
Mo kust Peter  Peter kust Mo.
xy Kussen(y)(x)(p) = y Kussen(y)(p)
‘gekust worden door Peter’
y Kussen(y)(p)(m) = Kussen(m)(p)
Kussen(m)(p) = Kussen(p,m)
‘Peter kust Mo’
Passief constructie
Actieve vorm van het werkwoord:
yx Kussen(y)(x) ‘kussen’
Passieve vorm van het werkwoord:
xyKussen-(x)(y) ‘gekust worden door’
Lexicale operatie: vorm een passief uit
een actief.
Bereiksambiguïteiten
Buiten iedere ambassade wapperde
een vlag.
xy (Amb(x)  Vlag(y) & Wapper(x,y))
yx (Vlag(y) & Amb(x)  Wapper(x,y))
Direct bereik
Iedere ambassade > een vlag.
Combineer een vlag met predikaat
wapperen, daarna iedere ambassade.
Qx[Amb(x)Q(x)]
z[y [Vlag(y) & Wap(z,y)]]
x[Amb(x) y [Vlag(y) & Wap(x,y)]]
Omgekeerd bereik
Een vlag > iedere ambassade.
Combineer iedere ambassade met
predikaat wapperen, daarna een vlag.
Py [Vlag(y) & P(y)]
zx [Amb(x)  Wapperen(x,z)]
y [Vlag(y) & x [Amb(x)  Wap(x,y)]]
Conclusie
-abstractie en -conversie maken het
mogelijk delen van de syntactische
boom te interpreteren.
Handhaving principe van
compositionaliteit.
Toepassing op andere verschijnselen:
reflexiviteit, passiefvorming, bereik.