Lineaire Optimalisering WI1 137

Voorbeeld simplexmethode
Max
z.d.d.
en
Z = 3x1 + 2x2 – 0,5x3
4x1 + 3x2 + x3  10
3x1 + x2 – 2x3  8
x1, x2, x3  0
Voer per  constraint een slackvariabele (x4, x5) in:
Max
z.d.d.
en
Z = 3x1 + 2x2 – 0,5x3
4x1 + 3x2 + x3 + x4
= 10
3x1 + x2 - 2x3
+ x5 = 8
x1, x2, x3, x4, x5  0
Basisoplossing: x1 = x2 = x3 = 0
Basisoplossing:
Doelwaarde:
Basisvariabelen:
Niet-basisvariabelen:
 x4 = 10, x5 = 8
(0, 0, 0, 10, 8) (hoekpunt)
Z=0
x4, x5 (kun je uitrekenen)
x1, x2, x3 (=0, kun je kiezen)
Welke van x1, x2, x3 laten stijgen?
Z = 3x1 + 2x2 – 0,5x3
Sterkste stijging voor x1 (grootste coëfficiënt in Z).
Hoe groot kan x1 worden? x2, x3 blijven 0
dus
4x1 + x4 = 10  4x1 = 10 – x4  10  x1  2,5
3x1 + x5 = 8
 3x1 = 8 – x5  8
 x1  2,666
want x4, x5  0. Kies de kleinste bovengrens:
x1 kan maximaal 2,5 worden, dan wordt x4 = 0.
x4 verlaat de basis. x1 komt in de basis.
Basisoplossing:
Doelwaarde:
Basisvariabelen:
Niet-basisvariabelen:
Max
z.d.d.
en
(2,5, 0, 0, 0, 0,5)
Z = 7,5
x1, x5.
x2, x3, x4.
Z = 3x1 + 2x2 – 0,5x3
4x1 + 3x2 + x3 + x4
= 10
3x1 + x2 – 2x3
+ x5 = 8
x1, x2, x3, x4, x5  0
Nieuwe basisvorm: x1 en x5 mogen niet in de Z
vergelijking voorkomen, en in de andere
vergelijkingen met één 1, rest 0. Krijg je door vegen:
Max
z.d.d.
en
Z = - 0,25x2 – 1,25x3 – 0,75x4 + 7,5
x1 + 0,75x2 + 0,25x3 + 0,25x4
= 2,5
- 1,25x2 – 2,75x3 – 0,75x4 + x5 = 0,5
x1, x2, x3, x4, x5  0
Basisoplossing: (2,5, 0, 0, 0, 0,5)
Z = 7,5
Deze oplossing is optimaal, want alle coëfficiënten in
de Z vergelijking zijn negatief.
Optimale oplossing van het originele probleem:
x1 = 2,5, x2 = 0, x3 = 0, Z = 7,5
Max
z.d.d.
en
Z = 3x1 + 5x2
x1  4
2x2  12
3x1 + 2x2  18
x1, x2  0
Voeg slackvariabelen toe:
Max
z.d.d.
en
Z = 3x1 + 5x2
x1
+ x3
=4
2x2
+ x4
= 12
3x1 + 2x2
+ x5 = 18
x1, x2, x3, x4, x5  0
Z - 3x1 - 5x2
x1
+ x3
2x2
+ x4
3x1 + 2x2
+ x5
=0
=4
= 12
= 18
In tableauvorm:
basis Z
1
x3
x4
x5
x1
-3
1
3
x2
-5
x3
x4
x5
1
2
2
1
1
RL ratio
0
4
12
18
Kies de meest negatieve coëfficiënt in de Z
vergelijking: spilkolom.
Bereken ratio van rechterlid/element spilkolom (>0).
Minimale ratio geeft spilrij.
Op kruispunt van spilkolom en spilrij: spilelement
basis Z
1
x3
x4
x5
x1
-3
1
3
x2
-5
x3
x4
x5
1
2
2
1
1
RL ratio
0
4
12 12/2
18 18/2
Spilelement moet 1 worden (deel spilrij door 2):
basis Z x1 x2 x3 x4 x5 RL ratio
1 -3 -5
0
x3
1
1
4
x4
1
1/2
6
x5
3
2
1 18
Veeg met het spilelement de spilkolom leeg:
basis Z x1 x2 x3 x4 x5 RL ratio
1 -3
5/2
30
x3
1
1
4
x2
1
1/2
6
x5
3
-1 1
6
x2 wordt basisvariabele, x4 wordt niet-basisvariabele.
Volgende iteratie. Meest negatieve coëfficiënt in Z
vergelijking geeft spilkolom. Minimum ratio geeft
spilrij:
basis Z
1
x3
x2
x5
x1
-3
1
x2
x4
5/2
x5
1
1
3
x3
1/2
-1
1
RL ratio
30
4 4/1
6
6 6/3
basis Z
1
x3
x2
x5
x1
-3
1
x2
x4
5/2
x5
1
1
3
x3
1/2
-1
1
RL ratio
30
4
6
6
Maak spilelement 1 en veeg de spilkolom leeg:
basis Z x1 x2 x3 x4 x5 RL ratio
1
3/2 2 36
x3
1 1/3 -2/3 2
x2
1
1/2
6
x1
1
-1/3 1/3 2
x5 gaat uit de basis, x1 komt in de basis.
Volgende iteratie:
Alle coëfficiënten in de Z vergelijking zijn nu nietnegatief. Er is geen verbetering mogelijk. Optimale
oplossing gevonden:
x1 = 2, x2 = 6, x3 = 2, Z = 36 (lees af als rechterleden
uit de tabel). Overige variabelen zijn 0: x4 = x5 = 0.
Optimale oplossing van het oorspronkelijke
probleem: x1 = 2, x2 = 6, Z = 36.
Slackvariabelen x4 en x5 zijn 0, dus oplossing zit aan
tegen de twee constraints
2x2  12
3x1 + 2x2  18.
Waar of niet waar??
1. Het aantal optimale oplossingen van een LP
probleem is 0, 1 of oneindig.
2. De vereniging van twee convexe verzamelingen
is niet convex.
3. Een LP probleem heeft n  1 variabelen en n+2
constraints. Het toegelaten gebied heeft
hoogstens 3n2 hoekpunten.
4. Het toegelaten gebied van een LP probleem is
niet begrensd. Dan is ook de doelfunctie niet
begrensd.
5. Een LP probleem heeft een optimale oplossing.
Dan is er ook een CPF (Corner Point Feasible =
toegelaten hoekpunt) oplossing.
6. De doelfunctie |x1 + 2x2 -3x3| is niet lineair.
7. De standaardvorm van een LP probleem
garandeert dat er een optimale oplossing is.
8. Gegeven is een LP probleem in twee dimensies
en een begrensd toegelaten gebied dat door drie
constraints wordt bepaald. De getallen 0, 1, 2 en
3 kunnen optreden als het aantal hoekpunten
van het toegelaten gebied.
9. In een LP probleem (minimalisering) geldt dat de
doelwaarde in een bepaalde CPF oplossing
kleiner is dan de waarde in alle naburige CPF
oplossingen. Deze CPF oplossing is dan
optimaal.
10. Een LP probleem heeft een unieke optimale
oplossing. Alle coëfficiënten in de doelfunctie
kunnen dan iets worden veranderd zonder dat de
optimale oplossing verandert.
Antwoorden:
1. Ja, Een LP kan geen oplossing hebben (leeg toegelaten gebied of
onbegrensde doelfunctie), normaal gesproken is er één optimale oplossing.
Als er twee optimale oplossingen zijn, zijn er meteen oneindig veel, want
elke oplossing op het lijnstuk ertussen is er ook een (convexiteit van het
gebied en lineariteit van de doelfunctie).
2. Nee, meestal is de vereniging van convexe verzamelingen niet convex,
bijvoorbeeld 2 disjuncte verzamelingen. De vereniging kan wel convex zijn,
bijvoorbeeld, een verzameling is deel van de ander.
 n  2   n  2  n  2n  1
  
 
 3n 2 hoekpunten.
2
 n   2 
3. Ja. Hoogstens 
4. Nee. Bijv. x11 is onbegrensd gebied, maar Max x1 heeft wel optimale
oplossing. Toch is f(x1) = x1 niet begrensd (naar beneden). De functie f(x1) =
0 is wel begrensd op dit onbegrensde gebied.
Ander voorbeeld: x1 = 0, x2  1 is onbegrensd gebied. Hierop is f(x1,x2) = 2x1
wel begrensd.
5. Nee, bijv. Max x1 met x1  1 in twee dimensies heeft optimale oplossingen
(1, x2), maar het toegelaten gebied heeft geen hoekpunten.
6. Klopt. Kan echter wel lineair gemaakt worden: Min Z, en –Z  x1 + 2x2 -3x3
Z.
7. Nee. De standaardvorm garandeert alleen dat de nuloplossing een
toegelaten hoekpunt is dat als start voor de simplexmethode kan worden
gekozen. Het probleem kan echter nog steeds onbegrensd zijn.
8. Nee, 2 kan niet, daar heb je 4 constraints voor nodig.
9. Nee. Normaal gesproken wel, maar bijvoorbeeld: x1, x2  0 heeft maar één
CPF: (0,0), dus voldoet aan de voorwaarde. Als je x1 minimaliseert is het
probleem echter onbegrensd, dus (0,0) is niet de optimale oplossing.
10. Klopt.