Slide 1 - science.uu.nl project csg

Quantummechanica. Inhoud:
Waterstof-atoom
golfvergelijking
Golf en deeltje; superpositie van golven
Waarschijnlijkheid
Draai-impuls
Spin
Dirac’s bra-ket
Stern-Gerlach expt
EPR experiment
Bell’s ongelijkheden
Quantummechanica nu
• Quantummechanica is een van de meest succesvolle en
precieze theorieën van de natuurkunde
• Quantummechanica is o.a. de basis van alle electronica
(radio, TV, computer, CD, laser, zonnecel,…)
• Maar, wat betekent het precies, hoe te interpreteren?
– Hoe kan iets een golf én een deeltje zijn?
– Wat is de rol van de waarnemer?
– Is de onzekerheid van de quantummechanica ingebouwd of is er
een diepere causale structuur? (Einstein vs. Bohr)
– Energie is gequantiseerd, ruimte ook…?, tijd ook…?
– Hoe is de quantummechanica toe te passen in de algemene
relativiteitstheorie (zwaartekracht)?
– etc. etc. …
Niels Bohr
1885 - 1962
1969
•
•
•
Waarom is er in het Bohrmodel maar
een beperkt aantal banen voor het
electron rond de kern mogelijk?
Stel dat electronen (met massa m en
snelheid v) zich ook als golven kunnen
gedragen
In dat geval kunnen de golven elkaar
alleen maar versterken (staande golven
vormen) als ze op de cirkel passen

h
mv
λ is de De Broglie-golflengte
λ
Erwin R.J.A. Schrödinger,
1887 - 1961, NP 1933:
golfvergelijking
Quantum Mechanica
Je kunt iedere kromme benaderen alsof zij een
superpositie is van een aantal “vlakke golven”:
Als iedere golf voldoet aan De Broglie’s vergelijkingen:

h
mv
E  h 
terwijl
E  mv
Dan voldoen al die golven aan dezelfde
golfvergelijking:

ih 


2
t
4 m x
2
Dus geldt dit ook voor de totale functie ...
de vergelijking dikteert hoe een golffunctie
evolueert in de tijd.
1
2
2
Men kan vervolgens de effecten van elektrische
en magnetische krachten aan de vergelijking
toevoegen,
en meerdere elektronen tegelijk beschrijven.
Met de vergelijkingen die men dan krijgt kan men
de stabiele toestanden van een atoom heel
nauwkeurig uitrekenen.
De Schrödingervergelijking is dan veel nauwkeuriger
dan de oorspronkelijke atoomtheorie van Bohr.
De Schrödingervergelijking vervangt de Newtonse
vergelijking
F  m a
voor elekronen in een atoom
Max Born, 1882 – 1970
stelde als eerste voor:
het kwadraat van de amplitude van
een golf in een punt x is de
waarschijnlijkheid om een deeltje in
het punt x aan te treffen.
Hierdoor werd quantummechanica een theorie voor
waarschijnlijkheid en statistiek
Draaibeweging
Het aantal golf-buiken dat
past op de cirkel is
beperkt: er is slechts een
beperkt aantal draaiendebewegings-toestanden
mogelijk.
Hetzelfde geldt voor
draaibewegingen in
drie dimensies:
Deeltjes kunnen een een eigen draaibeweging
hebben: spin
Spin wordt gekarakteriseerd door een draai-as
en een draairichting:
Spin = 0: slechts één spintoestand
Spin = ½:
2 spintoestanden (“op” of “neer”)
Spin = 1:
3 spintoestanden (“op”, “neer” of “zijwaards”)
etc.
Deeltje met spin = ½
Slechts twee onafhankelijke spin-toestanden:
spin neer
spin op
wanneer is spin rechts?


Dirac’s haakje notatie




+
_




Het Stern-Gerlach experiment
Z
N


  

Een Stern-Gerlach experiment stelt ons in staat de
spin van een deeltje te meten: hoeveel % is “op”
en hoeveel % is “neer” ?
Bij fotonen (spin = 1) kan dit ook:
spin = op/neer of links/rechts
(spin = voor/achter is verboden)
Meten met polarisatie-filter:
Vertikaal gepolariseerd licht: spin fotonen = op/neer;
Horizontaal gepolariseerd:
spin fotonen = links/rechts
Quantum – logica:
Twee deeltjes met spin ½ kunnen verstrengeld zijn
Twee electronen in een
atoom kunnen in de volgende
combinatie zitten:
  
  
Maar dit is ook:
want ...
   

 
    
  


     
               
2
 
 

Het uitsluitingsprincipe van Pauli
Het  
verstrengeld!
0

verval: de twee fotonen zijn
De situatie is in principe precies als bij deeltjes met spin ½ die
verstrengeld zijn, maar de notatie is anders want fotonen hebben
spin = 1.
Het Einstein – Rosen – Podolski gedachten-experiment

Op Venus
0
Op Aarde

Op Mars
(we gebruiken even de spin = ½ notatie)
Als we op Venus spin = op meten →
,,
,, ,,
,, spin = neer ,,
→
op Mars spin = neer
,,
,, spin = op
Maar we kunnen op Mars ook de horizontale spin meten,
dan vind je:
Meten we op Venus spin = op → op Mars spin = 50% rechts
50% links
,,
,, ,,
,, spin = neer → ,,
,, spin = 50% rechts
50% links
Echter, op Venus kunnen we ook de horizontale spin meten:
Meten we op Venus spin = rechts → op Mars spin = links
,,
,, ,,
,,
spin = links → ,,
,, spin = rechts
Paradox: dit lijkt op allerlei verschillende mogelijkheden.
Niettemin zijn er slechts twee spin-toestanden !!!
De ongelijkheid van Bell



0
1
 0,924   0,383 
2
  0, 707   0, 707 
 0,383   0,924 
3
Als je twee verstrengelde deeltjes hebt, en je meet de
spin van een deeltje langs een willekeurige as, dan weet
je ook de spin van het andere deeltje t.o.v. dezelfde as.
Maar, t.o.v. een andere as krijg je alleen kansverdelingen: de kwadraten van de coefficienten hierboven.
Indien deeltje 1
spin = +
:
Bell: stel nu dat het
deeltje aan de andere
kant aankomt met
een “voorschrift”:
spin(0) =
spin(1) =
spin(2) =
spin(3) =
+
+
-
relatieve
hoek
spin  
0
0
100 %
1
45
85
15
2
90
50
50
3
135
15
85
(wellicht met een of andere
kansverdeling)
We meten spin 1 langs as 0 of 2
We meten spin 2 langs as 1 of 3
spin  
0%
De correlatie-functie is het aantal keren dat de
spin dezelfde is, minus het antal keren tegengesteld:
C=1: gelijke spin; C= -1: tegengesteld.
Dan is volgens John S. Bell, het gemiddelde van:
C01  C21  C03  C23  2
want hoe je spin0, spin1, spin2 en spin3 ook kiest,
niet alle vier C’s kunnen +1 bijdragen, één moet
het verkeerde teken hebben.
Echter, volgens de quantummechanica:
0, 71  0, 71  0, 71  0, 71  2,83
Daarom is de “hidden variable” theorie
uitgesloten:
het deeltje komt niet met een vlaggetje:
“als je mij meet langs die-en-die as, dan
geef ik plus of dan geef ik min”.
Speciale
Relativiteitstheorie
+
Quantummechanica
=
Elementaire-deeltjesfysica
( = Hoge-energiefysica
= Quantum-veldentheorie )
1
1
www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/wereldbeeld2/wereldbeeld2.ppt
3
3