Astrofysica inleiding: Gasdynamica (NS-253b) 22

Departement Natuur- en Sterrenkunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU.
In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TB C van A–Eskwadraat.
Het college NS-253b werd in 2006/2007 gegeven door A. Achterberg.
Astrofysica inleiding: Gasdynamica (NS-253b)
22 maart 2007
Formuleblad Astrofysica inleiding: Gasdynamica
~ · ∇)
~ B
~ als componenten heeft:
In poolcoördinaten R, θ en Z geldt dat de vector (A
∂
Aθ ∂
∂
Aθ Bθ
~
~
~
((A · ∇)B)R =
AR
+
+ AZ
BR −
;
∂R
R ∂θ
∂Z
R
∂
Aθ ∂
∂
Aθ BR
~ · ∇)
~ B)
~ θ =
((A
AR
+
+ AZ
Bθ +
;
∂R
R ∂θ
∂Z
R
∂
Aθ ∂
∂
~ · ∇)
~ B)
~ Z =
((A
AR
+
+ AZ
BZ .
∂R
R ∂θ
∂Z
De gradiënt van een scalar is:
~ = ∂f êR + 1 ∂f êθ + ∂f êZ .
∇f
∂R
R ∂θ
∂Z
Opgave 1: Kennisvragen en vragen over methodiek
Deze vragen vereisen slechts een kort en bondig antwoord!
a) Door de passage van een golf verplaatsen vloeistofelementen zich van positie x naar positie
x̄ = x + ξ(x, t). We nemen aan dat de amplitude ξ van deze verplaatsing klein is. Een
willekeurige eigenschap Q(x, t) van de vloeistof (bv. druk, dichtheid, . . . ) verandert daardoor.
Een vaste waarnemer meet een verandering δQ, en een waarnemer die met de ongestoorde
vloeistof meebeweegt meet een verandering ∆Q. Wat is de relatie tussen deze twee grootheden?
b) Wat is de definitie van de meebewegende tijdsafgeleide van de snelheid
dV
dt
(1)
die staat in de bewegingsvergelijking voor een gas of vloeistof?
c) Een elektrostatische golf in een plasma (geioniseerd gas) die zich langs de x-as voortplant voldoet
aan de volgende golfvergelijking:
2
2
∂
2 ∂
2
− Ce 2 + ωpe δne = 0.
(2)
∂t2
∂x
Hier is δne de storing in de elektrondichtheid, en zijn de elektron-geluidssnelheid Ce en de
elektron-plasmafrequentie ωpe gegeven door:
s
s
3kb Te
4πe2 ne
Ce =
, ωpe =
,
(3)
me
me
met Te en ne respectivelijk de temperatuur en dichtheid van het elektrongas, me de elektronmassa en e de elektronlading.
Wat is de dispersierelatie (d.w.z.: de frequentie ω(k) als functie van de golfvector k = kêx )
voor deze elektron-plasmagolven die je vindt uit het invullen van een vlakke-golfaanname voor
de dichtheidsstoring δne ?
Opgave 2: Impulsmomentbehoud in een roterende vloeistof
In veel astrofysische stromingen is er sprake van een rotatie rond een middelpunt. Voorbeelden van
een dergelijke situatie zijn spiraalstelsels of accretieschijven rond massieve compacte objecten zoals
witte dwergen, neutronensterren en zwarte gaten.
p
In deze opgave bekijken we een axisymmetrische stroming in poolcoördinaten R = x2 + y 2 , θ =
tan−1 ( xy ) en Z = z.
De stroming is behalve axisymmetrisch ook tijdsonanfhankelijk, zodat geldt:
∂
∂
(vloeistofgrootheid) = 0,
(vloeistofgrootheid) = 0
∂t
∂θ
(4)
De stroming blijft beperkt tot het x-y-vlak (geen beweging in de Z-richting) zodat de stroomsnelheid
V uitgedrukt in poolcoördinaten gelijk is aan:
V = VR êR + Vθ êθ .
(5)
We nemen de mogelijkheid van een zwaartekrachtsveld mee zodat de bewegingsvergelijking van het
gas luidt:
dV
ρ
= −∇P − ρ∇Φ
(6)
dt
Hier is P (R, Z) de gasdruk, en is Φ(R, θ, Z) is de zwaartekrachtspotentiaal.
a) Gebruik de algemene formules voor poolcoördinaten op het voorblad en de symmetrieën (4) om
te laten zien dat de θ-component van de bewegingsvergelijking (6) voor de stroming in dit geval
luidt:
∂Vθ
VR Vθ
∂Φ
VR
+
=−
(7)
∂R
R
∂θ
b) In een axisymmetrisch systeem geldt in het x-y-vlak dat de zwaartekracht géén θ-component
heeft:
∂Φ
gθ = −
= 0.
(8)
∂θ
Laat nu zien dat in dit geval het resultaat a) impliceert:
VR
∂λ
= 0,
∂R
(9)
met λ ≡ RVθ het specifiek impulsmoment.
c) Voor deze stroming is resultaat b) equivalent met (V · ∇)λ = 0, wat betekent:
λ = constant langs stroomlijnen,
(10)
een behoudswet voor het specifiek impulsmoment. In iedere stationaire stroming geldt bovendien de wet van Bernouilli:
E≡
|V |2
γP
+
+ Φ = constant langs stroomlijnen.
2
(γ − 1)ρ
(11)
Laat zien dat in deze roterende stroming de wet van Bernouilli te schrijven is als
1 2
2 VR
+
γP
+ Ψ = constant langs stroomlijnen,
(γ − 1)ρ
(12)
en geef een uitdrukking voor de effectieve potentiaal Ψ in termen van Φ, λ en R.
d) We nemen nu aan het specifiek impulsmoment een globale constante is: hij heeft overal dezelfde
waarde, niet alleen langs stroomlijnen. Laat zien dat de radiële component van de bewegingsvergelijking (6) dan te schrijven is als:
ρVR
∂VR
∂P
∂Ψ
=−
−ρ
.
∂R
∂R
∂R
Gebruik wederom het formuleblad op de eerste pagina van het tentamen!
(13)
Opgave 3: Een oude sterwind-bel
We bekijken een ster die met een sferisch-symmetrische wind, waarin alle grootheden alleen van de
straal r afhangen. Deze sterwind heeft een (constant) massaverlies Ṁ , een dichtheid als functie van
de straal gelijk aan ρw (r), en een constante snelheid Vw . De mechanische lichtkracht van deze wind
is
Lw ≈ 21 Ṁ Vw2 .
(14)
De wind eindigt in een sferische terminatieschok op een straal r = Rt (zie figuur). Hier wordt de
impulsflux ρw Vw2 van de wind grotendeels omgezet in druk. Uit schoktheorie volgt dat de druk en
dichtheid achter die terminatieschok ruwweg gelijk is aan:
Pna (Rt ) ≈ 34 ρw (Rt )V22 ,
ρna ≈ 4ρw (Rt ),
(15)
met ρw de dichtheid net voor de terminatieschok. Het geschokte windmateriaal vormt een dikke
bolschil voor een straal Rt < r < Rb .
a) Gebruik massabehoud in de stationaire sterwind om te laten zien dat de druk en dichtheid in
het geschokte windmateriaal direct achter de terminatieschok op straal Rt gelijk is aan
Pna =
3Lw
,
8πRt2 Vw
ρna =
Ṁ
.
πRt2 Vw
(16)
Vanaf nu nemen wij aan dat de druk en dichtheid in de schil met dit materiaal (grijs in de
figuur) uniform zijn, en gelijk aan de zojuist afgeleide waarden Pna en ρna .
b) De sterwind blaast een bel in het interstellair medium (ISM). Bij een voldoende oude windbel is
de expansiesnelheid van de buitenrand veel kleiner dan de geluidssnelheid cism in het interstellair
gas. Er heerst in dat geval ruwweg drukevenwicht tussen het interstellair gas met druk Pism en
het geschokte windmateriaal in de schil achter de terminatieschok.
Laat nu zien dat de straal Rt van de terminatieschok constant is, en dat deze gelijk is aan
Rt =
3Lw
8πVw Pism
12
(17)
gegeven dat de druk in het ISM gelijk is aan Pism .
c) Achter de terminatieschok accumuleert na een tijd t een massa
Mschil = Ṁ t
(18)
aan windmateriaal. Als dit materiaal in drukevenwicht is met het ISM moet het een constante
dichtheid ρ = ρna houden.
Laat nu zien dat hieruit volgt dat de buitenstraal van de schil geschokt windmateriaal (zie
figuur!) groeit als:
1
2/3
(19)
Rb (t) = Rt
Rt + 43 Vw t 3
Dit is de straal van de windbel.
d) Wat is de expansiewet voor een oude bel als t Rt /Vw , en wat is in die limiet de expansiesnelheid?
Figuur 1: De geometrie van een sferische sterwindbel.