muziek - digitaal zelfportret

MUZIEK
Thema Science 3 VWO JPT
3e ronde jan 2006 BTn
2
I
OPZET
opzet
Behangen met muzikale speeltjes komen jullie mijn lokaal
binnen. Van de natuurkunde van geluid weten jullie meestal
weinig en rekenen aan downloaden doen jullie ook nauwelijks
(er is toch voldoende geheugenruimte op de USB-stick die
in je MP3-speler zit). Maar, het ergst is dat de meesten
van jullie nog veel en veel minder weten van de effecten
van al die muzikale genietingen op jullie oren. Jullie hebben
totaal geen idee van de ravage die er na al die genietingen
in je oren achter blijft. Ik kan wel tegen je zeggen dat 9%
van alle 20-jarigen gehoorsschade oploopt door veel te lang
luisteren naar veel en veel te harde muziek, maar, of dat
over komt? Jullie luisteren blijkbaar liever naar je MP3speler dan naar je leraar! Stom natuurlijk.
De bedoeling van dit thema is dat je leert verstandig om te gaan met het risico van overbelasting van je oren. Hiertoe zetten we eerst wat natuurwetenschappelijke kennis over
muziek voor 3e klassers op een rijtje. Het gaat om onderwerpen uit de natuurkunde en uit
de biologie. Je leert rekenen en meten met termen als toonhoogte, golflengte en geluidssterkte en je leert ook wat dingen over de opbouw van het oor en over veilig luisteren.
Dit thema is opgebouwd rondom het schema:
Geluid wordt gemaakt door bronnen (muziekinstrumenten, speakers, je stem), het wordt
vervoerd door een medium (lucht, water, koper) om tot slot door een ontvanger ( microfoon, sensor, oor) opgevangen te worden. Wij gaan in dit thema aan de hand van dit schema door de stof heen.
Eerst krijg je een serie verkennende proeven, 12 maar liefst! De proeven gaan zowel over bronnen als over media en ontvangers. Dan krijg je theorie over bronnen (trillingen), over media (golven) en tot slot theorie over ontvangers (het oor en intensiteit).
Gewapend met deze kennis ga je dan een open onderzoek naar effecten van muziek op je
oor doen. Muziek is natuurlijk vooral mooi. Maar, als je er ook op je 20ste van wilt genieten moet je nu voorzorgmaatregelen nemen
(1)
gebruik een MP3-speler of ipod met geluidsbegrenzer,
(2)
gebruik goede koptelefoons (met grote oren) en
(3)
zorg dat je koptelefoon nooit van buitenaf te horen is.
Veel plezier bij dit thema!
Bram Tenhaeff
INHOUDSOPGAVE
3
Inhoudsopgave
I
Opzet
II
Inhoudsopgave
III Bron-medium-ontvanger: proeven over geluid
IV
Bron: trillingen en frequentie
V
Medium: golven en golflengte
VI
Ontvanger: oor en intensiteit
VII Open Onderzoek
VIII Websites over gehoorzaken
Bijlage 1
Gehoorafwijkingen
Bijlage 2
Pythagoras en de harmonieën
Bijlage 3
Boventonen op de piano
Bijlage 4
De stelling van Fourier en boventonen
2
3
4
8
12
16
20
24
25
27
28
29
4
muziek
III BRON-MEDIUM-ONTVANGER
GELUIDSBONNEN
Proef 1
Snaren
Een sonometer is een plank waarover een of meerdere
snaren zijn gespannen. Je kunt muziek maken door de
snaren aan te tokkelen met je vingers, net als bij een
gitaar. Het instrument is zo ontworpen dat je geluid
kunt onderzoeken: je kunt namelijk de lengte, de spanning en de massa van aangeslagen snaar veranderen.
A
Hoe verandert de toon als je de lengte inkort
door het houtje te verschuiven?
B
En als je de spanning verhoogt door aan de schroef te draaien?
C
En als je de zwaardere snaar aan slaat?
Proef 2
platen en staven
Een xylofoon bestaat uit plaatjes die zo lang zijn gemaakt dat ze samen een toonladder
voortbrengen en een klokkenspel bestaat uit staafjes die net zo op lengte zijn gebracht.
A
Speel met beide instrumenten een eenvoudig melodietje. Zijn ze goed gestemd?
B
Hoe langer de plaat of de staaf hoe … de toon.
Proef 3
water- en luchtkolommen
Een flesje gevuld met water is ook een muziekinstrument:
je kunt er op blazen en zo muziek maken. Maar, dat kan ook
door met een hamertje tegen de fles te slaan.
A
Hoe verandert de toonhoogte van de fles bij blazen
als er meer water in de fles zit en de luchtkolom dus korter is?
B
Hoe verandert de toonhoogte van de fles bij aanslaan met een hamer als de waterkolom langer is.
C
Wat trilt er bij aanslaan en wat trilt er bij blazen, de lucht- of de waterkolom?
Muziek
GELUID IS EEN TRILLING
Proef 4
trillen: hard-zacht en hoog-laag
Een toongenerator is een apparaat dat electrische signalen
maakt die je met een speakertje in tonen kunt omzetten. We
zeggen dat de toongenerator wisselspanningen van bepaalde
frequenties maakt. Bekijk het apparaat, heb je door welk
knop hard-zacht en welke hoog-laag regelt?
A
Maak een zachte, lage toon en voel aan membraan van de speaker. Wat voel je?
B
Draai de toon wat harder. Wat voel je nu aan het speakertje?
C
Draai de toon eerst weer zachter en dan wat hoger: wat voel je nu?
Proef 5
geluidsbonnen zien bewegen
Geluidsbronnen trillen: we maken dat zichtbaar met een pingpong
balletje en een stroboscoop.
A
Sla met het hamertje tegen de stemvork en raak met de
stemvork voorzichtig het pingpong balletje aan. Wat gebeurt er?
B
Herhaal de proef met een harder aangeslagen stemvork.
We hebben stroboscoop en een stemvork in een donkere kijkdoos
gedaan.
C
Wat is de frequentie van de stemvork (staat er op!)?
D
Sla de stemvork aan en zet deze stil met de stroboscoop.
E
Bij welke frequenties staat de stemvork stil?
F
Waarom staat de stemvork bij meerdere frequenties stil?
Leg uit!
Proef 6
spoor trekken van geluid
We hebben op school een 100 Hz stemvork, die voorzien is van een haak waarmee je een spoor kunt trekken op een
beroete plaat. De stemvork maakt 100
trillingen per seconde gemaakt, dus elke trilling duurt T = 0,010 sec. We gaan proberen
te berekenen met welke snelheid v jij je hand over de beroete plaat trok.
A
Trek een spoor van tenminste 10 trillingen.
B
Meet de grootte van 10 door de stemvork getrokken golven (berg + dal!) op de
tiende centimeter nauwkeurig: de golflengte λ van een golf is λ = .. , .. cm.
C
Bereken de snelheid van je hand met de formule v = λ / T. Dus
v = ……. (cm) / 0,010 (s) = ……….. (cm/s) = ……….. (m/s)
5
6
VOORTPLANTING GELUID
Proef 7
door water?
Dat geluid door lucht gaat weten we nu wel, hoe zit het met
andere media (stoffen)? We beginnen met water.
A
Windt een wekker op en stel deze zo in dat deze bijna
afgaat.
B
Verpak het ding in plastic en doe de boel onder water.
C
Hoor je wat of moet je wachten tot je een ons weegt? Conclusie?
Proef 8
door een slang en touw?
Je kunt via blikjes in door een rubber slang en door
touwtjes proberen te praten. Zou dat lukken?
A
Eerst de rubber slang, moet deze strak
gespannen zijn of maakt het niet uit?
B
Dan het touw: zelfde vraag.
C
Wat zijn hier de media?
D
Verklaar het verschil tussen A en B.
Proef 9
door vacuüm?
Met een pomp kunnen we de lucht weghalen, wat zou er
dan gebeuren met het geluid.
A
Zet de elektrische wekker aan en pomp de ruimte
onder de stolp leeg (vraag om assistentie)!.
B
Wat gebeurt er met de toonhoogte?
C
Wat gebeurt er met de geluidssterkte?
D
Conclusie?
muziek
7
muziek
GELUID OPVANGEN
Proef 10
resonerende tafel
Muzikanten hebben een stemvork van 440 Hz die ze gewoon tegen de piano of tegen hun
gitaar aanhouden. Met deze stemvork kunnen ze hun instrument stemmen. Ze horen de
toon van 440 Hz door resonantie (‘’meeklinken’’)
A
Sla de stemvork aan en luister : wat hoor je (als er geen contact is)?
B
Houd nu de stemvork tegen de tafel: wat hoor je dan?
Proef 11
resonerende stemvork
Op tafel staan 3 stemvorken met klankasten: twee van 440 Hz (A en B) en één van 256
Hz (C).
A
Zet A tegen over B. Sla A met en hamertje aan en doof het geluid van A met je
hand. Wat hoor je nu ij B? Geef een verklaring voor hetgeen je hoort.
B
Zet nu A tegenover C en herhaal de eerdere proef. Wat kis het verschil?
Proef 12
resonerende flessen
Op tafel staan zeven bierflesjes met verschillende
hoeveelheden water erin. Je moet de lucht boven
het water in resonantie te brengen en telkens de
laagste frequentie waarbij dit lukt opschrijven.
A
Rangschik de flessen naar waterhoogte en
breng de lucht in de fles met het minste water in
resonantie.
B
Wat is de frequentie? Meet de lengte van de
luchtkolom bovenin de fles.
C
Herhaal deze proef met de andere flessen
en maak een tabel waarin je zowel de frequenties
als de lengte van de luchtkolom noteert.
8
muziek
IV
BRON: TRILLINGEN EN FREQUENTIE
IV.1 theorie over trillingen
Uit de proeven van de vorige paragraaf heb je hopelijk geleerd dat er geluid hoorbaar is
wanneer er bronnen (speaker, stembanden) trillen en wanneer er een medium is (lucht)
om de trillingen naar je oren door te geven. In deze les gebruiken we een toongenerator
om tonen en vangen we het geluid op met een sensor die aan de meetcomputer hangt.
Als de speaker een A van 440 Hz maakt, dan trilt ‘t membraan van de speaker 440
keer per seconde heen en weer. De lucht voor de speaker wordt dus 440 keer in ‘n seconde samengeperst en uitgerekt. Er ontstaan in die ene seconde dus 440 gebieden van over
en van onderdruk. Die hoge en lage drukgebiedjes reizen naar je oor, waar het trommelvlies in een seconde ook 440 keer naar binnen en naar buiten gaat. Via je gehoorbotjes en
alle andere onderdelen die er achter zitten wordt deze trilling omgezet in een toon van
440 Hz, de hoge A.
Om proeven met toonhoogte te doen moet je precies weten wat we met de frequentie f en met de periode T van een trilling bedoelen.
De frequentie f van een trilling is het aantal trillingen per seconde.
De periode T van een trilling is de tijdsduur die de beweging duurt.
Bij een trilling die 0,50 sec duurt dan passen er 2 in een seconde en is f dus 2 Hz, bij een
trilling die 0,10 sec duurt passen er 10 in een seconderen is f dus 10 Hz.
Dat geldt algemeen: f en T zijn elkaars omgekeerde. In een formule:
1
1
frequentie = --------f = -----(1)
trillingstijd
T
Vbn 1 HEEN
T = 50 ms dus f = 20 Hz
Milli betekent duizendste, dus 20 ms = 0,020 sec. Invullen levert:
1
1
1000
f= ___ = _______ = _______ = 20 Hz
T
0,050
50
Vbn 2 TERUG
f= 440 Hz dus T = 0,0227 sec
1
1
T= ___ = _______ = 0, 0227 sec = 22,7 ms.
f
440
9
muziek
IV.2 frequenties van tonen meten
Mensen horen andere dingen dan honden of dolfijnen.
Je hebt waarschijnlijk wel eens van hondenfluitjes gehoord, dat zijn fluitjes die een zo hoge piep maken dat
wij niets horen, maar honden met de staart tussen de
benen afdruipen vanwege de herrie die ze horen. Blijkbaar kunnen verschillende beesten verschillende tonen
horen.
Welke frequenties kunnen wij horen? Kunnen alle mensen dezelfde tonen horen,
of hoort de een veel beter dan de ander? In de loop van je leven ga je minder horen,
welke tonen verdwijnen vooral, de hoge of de lage? Op deze vragen gaan we antwoord
geven door in enkele demonstraties met een toongenerator en een computer wat tonen
te gaan meten die jullie net wel of net niet horen.
Geluiden en tonen kunnen in diverse aspecten verschillen. In de figuur hiernaast zijn ze
uitgebeeld. We onderscheiden drie dingen:
(1)
Geluidssterkte HOOGTE
Luidere tonen hebben een grotere amplitude zien, een
grotere uitwijking tov de evenwichtsstand.
(2)
Toonhoogte BREEDTE
Hogere tonen hebben kortere perioden en trillen vaker.
(3)
Klankkleur VORM
Een heel orkest of een gitaarduo dat een A speelt klinkt
heel anders dan een stemvork die een A laat horen, dat
zie je aan de vorm van de trilling.
demo 1
bereik gehoor
Met een toongenerator en een speaker meten we welke tonen jullie wel en welke jullie
niet meer horen. Leerlingen die nog een piep horen moeten blijven staan.
A
Bij welke toonhoogte hoorde jij niets meer?
B
Noteer de aantallen leerlingen die nog staan bij 18,0 18,5 19,0 19,5 enz kHz.
demo 2
toonhoogte, geluidssterkte en klankkleur
We bepalen van een aantal tonen de hoogte door met de meetcomputer en ’t programma
DATA-studio eerst de periode T te meten en dan de frequentie f te berekenen.
A
Stemvork: teken het patroon, meet T en bereken f.
B
Idem: met de A van de blokfluit.
C
Idem: met een gezongen toon.
D
Wat kun je zeggen van de klankkleur van deze tonen?
10
muziek
Als je 2 zuivere tonen tegelijkertijd aanslaat hoor je
soms een zweving, je hoort een mengtoon die in een
bepaald ritme aan en uitgaat. Hoe kan dat?
Hiernaast zie je een plaatje van een toon van
440 en een toon van 435 Hz. De twee tonen worden
tegelijkertijd en even sterk gemaakt. Gedurende 0,10
seconden zijn beide tonen getekend, die van 440 Hz
maakt dan 44 trillingen, de andere toon 43½. De grap
zit hem in die halve: de berg van de ene en het dal
van de toon andere tellen op tot 0! Samen niets!
Dit gebeurt elke tiende seconde. Het patroon is nu dat 440 – 435 = 5 keer in een
seconde het geluid aan en uit gaat, omdat de ene toon de andere zoveel keer inhaalt. Je
hoort een mengtoon van de gemiddelde waarde en een verschiltoon, dat is altijd zo bij
zwevingen.
Dit verschijnsel kent fraaie toepassingen, met name bij het stemmen van muziekinstrumenten. Maar, je kunt er ook mee toveren als het gaat om ultrasoon geluid.
demo 3
zwevingen met stemvorken
We gaan met twee stemvorken een zweving maken.
A
Meet van beide stemvorken de periode: T1 = … en T2 = …
B
Bereken in je schrift de frequenties f1 = … en f2 … .
C
Controleer deze in de frequentieweergave van DATA-studio:
D
Sla de stemvorken tegelijk aan, bekijk het tijdsbeeld en teken het in je schrift.
E
Bekijk en teken ook de frequentieweergave van de zweving in DATA-studio.
demo 4
zwevingen met hondenfluitjes
Herhaal demo 3 met 2 onhoorbare tonen, namelijk die van hondenfluitjes.
A
Meet van beide fluitjes de periode: T1 = … en T2 = …
B
Bereken in je schrift de frequenties: f1 = … en f2 … .
C
Controleer deze in de frequentieweergave van DATA-studio:
D
Sla de stemvorken tegelijk aan, bekijk het tijdsbeeld en teken het in je schrift.
E
Bekijk en teken ook de frequentieweergave van de zweving in DATA-studio.
F
Wat is het verschil met de stemvorken?
Demo 5
het stemmen van een gitaar
Er zijn speciale apparaatje om gitaren te stemmen, maar het gaat ook met zwevingen
met een A-stemvork. In de klas is de procedure door John Heidemann voorgedaan.
A
Beschrijf in je eigen woorden zo precies mogelijk hoe je de A-snaar stemt.
B
En hoe stem je dan de rest?
11
muziek
IV.3 sommen over tonen
Som 1 Trillingstijd en frequentie
Het lichtnet heeft een wisselspanning van 230 V met een frequentie van 50 Hz, de
lijnen van een beeldbuis worden met 60 Hz geschreven.
A
Bereken de periode van deze trillingen in ms.
De televisie piept met een periode van 0,050 ms.
B
Bereken de frequentie van deze trilling.
C
Leg uit of wij deze piep kunnen horen?
Som 2 Meten aan klanken
Wij meten met geluidssensoren en het programma Datastudio met de computer. Je kunt
ook met zogenaamde oscilloscopen aan tonen meten. Hieronder zie je plaatjes van tonen
gemaakt met een oscilloscoop. Stel dat elk hokje van de oscilloscoop op dezelfde schaal
is ingesteld, namelijk 2 ms/div (elk hokje is dat 2 ms).
A
Noem 3 aspecten waarin deze tonen verschillen.
B
Bereken van elke toon de toonhoogte in Hz.
De instelling oscilloscoop is nu van links naar rechts 4ms/div, 2 ms/div resp. 1 ms/div.
C
Bereken nu opnieuw de toonhoogte van elk van de tonen uit onderstaande figuren.
Som 3
zwevingen
Kees heeft twee stemvorken, een van 220 en een van 330 Hz. Hij slaat beide aan.
A
Beschrijf en verklaar wat hij hoort.
B
Idem, als hij stemvorken van 220 en 440 Hz gebruikt
Som 4 Gitaar stemmen
Kees stemt de A-snaar van zijn gitaar mbv een stemvork van 220 Hz, hij hoort een zweving van 4 Hz en draait de spanning van zijn snaar nog iets op. De zweving verdwijnt.
A
Wat gebeurt er met de toonhoogte van de snaar als je de spanning opvoert.
B
Leg uit wat de toonhoogte van de snaar was toen de zweving hoorbaar was.
Som 5 drie hondenfluitjes!
Wim heeft 3 hondenfluitjes, hiernaast zie je de
frequentiekarakteristieken van de fluitjes
A
Leg met een plaatje uit waarom je een verschiltoon hoort als je op 2 fluitjes blaast.
B
Welke toon je hoort als je op 1+2 blaast?
C
En op 2+3?En op 1+2+3?
12
muziek
V
MEDIUM: GOLVEN EN GOLFLENGTE
V.1 theorie over golven
Wij nemen als model voor trillingen en golven
een grote veer, we gaan deze aan de linkerkant in trilling brengen zodat er op de veer
golven ontstaan. Als de bron T (s) trilt dan
ontstaat er op de veer en hele golflengte
(m) . Deze golf noemen we een lopende golf,
de golf loopt spontaan van links naar rechts
over de veer. De figuur hiernaast is ‘’n stripverhaal van waarin de periode T in vieren is
gehakt, elke kwart periode zie je waar de
golf dan is.
Let op: de bron heeft precies een hele trilling gemaakt.
Voor golven geldt een eenvoudige formule over snelheid:
golflengte
λ
Snelheid = --------v = ----periode
T
(2)
Jij moet met deze formule golflengtes kunnen berekenen.
Als de bron blijft trillen ontstaan er soms staande golven,
Maar dan moet je de bron wel met de goede frequentie in
trilling brengen. Bij de laagste frequentie ontstaat er een
buik, daarna twee buiken enz enz. Tussen de buiken zitten
knopen, dat zijn punten die stil lijken te staan maar wel de
golven langs de veer door geven.
Bij staande golven trillen alle punten in hetzelfde
ritme, bij lopende golven
Demo 5 lopende en staande golven op een lange veer
Op de grond in de klas doen we 4 demonstraties met golven. Teken in je schrift stripverhaaltjes voor de voortbeweging van:
A
een lopende golf van een halve golflengte,
B
en lopende golf van een halve golflengte die botst met een los uiteinde,
C
een lopende golf van en halve golflengte die botst met een vast einde,
D
een staande golven bestaande uit 5 buiken.
13
muziek
Geluid dat in een klankkast versterkt wordt geraagt zich precies als staande golven. Op school
hangt in de gang een orgel voor witte ruis. De
herrie die jullie maken wordt door de 8 pijpen
opgevangen en versterkt. De A-buis versterkt
tonen van 220 Hz, de B-buis tonen van 247 Hz
enz enz.. De buizen zijn zo lang afgezaagd dat
de geschikte tonen er precies in passen. Als je
luistert bij de A-buis dan hoor je een A, als je
op de G-buis blaast dan hoor je een G.
Hoe werkt dit? De buizen pikken lopende golven uit de gangen op. Deze botsen in de
buis tegen de openingen en gaan terug. Doordat
de golven samenwerken met nieuwe lopende golen ontstaan er soms staande golven. Dat is het
geval als de lengte van de buizen precies goed is voor het versterken van die en die
golflengte. Wij horen dan herrie van een bepaalde toonhoogte (resonantie).
Een interessant verschijnsel is nu dat er door elke buis meerdere tonen versterkt
worden, behalve de grondtoon worden er door elke buis meerdere boventonen versterkt.
De grondtoon is de laagste toon die versterkt wordt, de volgende tonen noemen we de 1e
de 2e enz boventoon.
Bij veren zitten er knopen aan de uiteinden, die punten kunnen niet bewegen. Bij pijpen
is het andersom, daar zitten buiken aan het eind.
Bij de opening van een pijp kan lucht heen
en weer geblazen worden. Daarom zitten er bij de
openingen buiken, daar kan de luchtdruk maximaal
veranderen. Knopen zitten bij afgesloten pijpen,
daar kan namelijk geen lucht in en uit en dus verandert daar de luchtdruk niet.
Demo 6
witte ruis
A
Laat iemand vader Jacob op het orgel blazen. Lukt dat?
B
Luister bij de A-buis van 220 als er herrie op de gangen is. Wat hoor je?
Houd een aangeslagen stemvork van 440 Hz voor alle openingen van de buizen.
C
Welke worden er versterkt? Welke niet?
D
Bereken de 1e t/m de 4e boventonen van deze buizen. Klopt het dat juist deze
buizen de A versterken, en de rest niet?
Met DATA-studio meten we de frequentiekarakteristieken van de buizen na.
E
Teken in je schrift een van die karakteristieken na, bijvoorbeeld van de A-buis.
14
muziek
Hierboven zijn voor bij een dubbel-open buis de 1e drie resonantietoestanden getekend,
de grondtoon en twee boventonen. De 1e en de 2e boventoon hebben 2f0 en 3f0 als frequentie. Dat die frequenties 2, 3 enz maal zo groot worden is eenvoudig te begrijpen uit
de formule voor snelheid en frequentie.
Combineren van de formules (1) en (2) hierboven levert een formule die handig is
om te rekenen aan orgelpijpen:
v = λ. f
(3)
vooral als je een wat andere vorm gebruikt
λ 0. f 0= λ 1. f 1= λ 2. f 2
(4)
De snelheid waarmee geluid door de lucht beweegt is constant, maar de golflengte en de
frequentie van tonen die door buizen versterkt worden kunnen veranderen (dat heb je
bij de boventonen gezin). Als de golflengte halveert dan verdubbelt de versterkte toon,
als de golflengte een derde maal zo groot wordt dan wordt de versterkte toon drie maal
zo hoog.
Hiernaast zijn voor de halfopen klankkast drie
resonantietoestanden getekend. De 1e en 2e boventoon
hebben hier 3f0 en 5f0 als frequentie. Dat patroon is te
begrijpen vanuit de theorie van staande golven: bij de
opening zit een buik en bij de gesloten klant een knoop
(omdat de luchter daar niet uit kan). Hiernaast zie je
hoe het intekenen van buiken en knopen ertoe leidt dat
de golflengte van de 1e boventoon 3 keer zoklein is dat
golflengte van de grondtoon en dat de golflengte van de
2e boventoon 5 keer zo klein is als de golflengte van de
grondtoon. Dan moeten de frequenties wel 3 en 5 keer zo hoog zijn.
Volgens de theorie past er precies een ¼ golflengte op de lengte van de klankkast.
Stel dat we een A van 440 Hz willen versterken: hoe lang moet dan de klankkast zijn?
We vullen formule 3 in:
v = λ. f
340 = 440 .f
f = 330/440 = 0,745 (m)
de lengte wordt dus:
l = ¼ λ = 75 cm / 4 = 18,75 - 19 cm
Demo 7 klankkast stemvork
A
Meet de lengte van de klankkast: hoeveel cm steekt de buik uit? Klopt het dat het
een ¼ van de diameter van de opening is?
Sla de stemvork aan en meet met DATA-studio het patroon van grond- en boventonen.
B
Is het 1-3-5 patroon zichtbaar? Zie je ook andere pieken?
Demo 8 sonometer
A
Tokkel het ding aan en meet het patroon van grond en boventonen.
B
Welk patroon is er zichtbaar? Valt daar wat van te snappen?
15
muziek
V.2 sommen over golven
som 6 orgel voor witte ruis
Op pagina 13 staat een afbeelding van het orgel voor witte ruis met de frequenties die
er versterkt moeten worden. De lengte van de buizen is berekend met de formule v=λ.f
met het idee dat bij de grondtoon de lengte een kwart golflengte is met v = 330 m/s.
A
Bereken de golflengte van elk van de tonen op de tiende cm.
Buiken prikken een stukje uit de opening van de holle buizen: ze steken er een ¼ van de
diameter uit, dat is dus zowel onder als boven 1,0 cm (diameter Pvc-buis is 4,0 cm)
B
Bereken de lengte van de buizen op basis van deze gegevens.
Kees is een pestkop: hij spuit de buizen vol met een raar stinkend gas dat als geluidssnelheid en vel lagere waarde heeft, 220 m/s.
C
Worden de tonen die de buizen versterken nu hoger of lager?
D
Bereken welke toon er nu wordt versterkt door de A-buis van 440 Hz.
Som 7 gitaarsnaar
De A-snaar van 440 Hz is op een gitaar 82 cm lang. Je kunt hiermee kun je ook een A
van 220 Hz spelen
A
Waar moet je dan je vinger houden?
Tussen deze beide tonen zitten ook zes andere tonen (zie frequenties pag 13).
B
Bereken waar de 6 fretje moeten zitten.
Som 8 resonerende bierflesjes
A
Leg uit waarom de lengte van de luchtkolom bij resonantie ¼ golflengte is.
B
Bereken uit de lengte van de luchtkolommen die je gemeten hebt de versterkte
frequenties (proef 12). Kloppen je metingen?
Som 9 pianosnaar
In een piano zit een snaar van 120 cm lengte die bij aanslag door een hamertje een A van
220 Hz oplevert. Op de snaar ontstaat een staande golf (halve golflengte, grondtoon)
A
Bereken met formule (2) de snelheid waarmee de golven over het koord bewegen.
B
Beredeneer wat de frequenties van de boventonen van deze A zullen zijn (Hint: de
uiteinden van de snaar bestaan uit 2 knopen, teken patronen en ga redeneren!).
Som 10 het kerkorgel
Een kerkorgel heeft pijpen die aan beide kanten gesloten zijn: aan de onderkant, waar
de lucht op een spleet wordt geblazen, zitten knopen. Boven, waar de pijpen afgesloten
zijn zitten ook knopen. Het is hetzelfde patroon als de snaar van een piano. De
temperatuur in de Kerk is 20 oC zodat de geluidssnelheid 330 m/s is.
A
Bereken de lengte van de buis die de A van 220 Hz versterkt.
Op een winterdag is het orgel ontstemd. Alle tonen kloppen niet. Pieter van Dijk, de organist, gaat de temperatuur meten. Hij meet slechts 0 oC, zodat de geluidsssnelheid
maar 320 m/s is. Met een speciaal stampertje kort hij de buizen in om het orgel op toon
te houden.
B
Bereken de lengte die de buis nu zou moeten hebben 220 Hz te versterken.
C
Leg uit hoeveel cm de buis moet worden ingekort?
16
muziek
VI
ONTVANGER: OOR EN INTENSITEIT
VI.1
opbouw oor
Hiernaast zie je een schematische weergave van het oor. Er zijn drie onderdelen,
elk weer in kleine eenheden verdeeld:
(1)
buitenoor
(2)
middenoor
(3)
inwendig gehoororgaan
In het middenoor liggen de gehoorbeentjes, deze geven de geluidstrillingen
door. Naar hun vorm worden de beentjes
hamer, aambeeld en stijgbeugel genoemd.
De stijgbeugel is op het ovale venster van het slakkenhuis ’gemonteerd’. Dit slakkenhuis ligt in het binnenoor en is in feite
onze gehoorsensor: het bestaat uit een plaat waar trilharen van verschillende lengte op
geplaatst zijn. Elke trilhaar zit vast aan een eigen zenuwcel en resoneert op zijn eigen
frequentie en geeft zo aan de gehoorzenuw door welke toon er naar de hersenen moet
worden gezonden. Hieronder zie je op hoeveel mm van het ovale venster de diverse
sensoren zitten.
17
IV.2
muziek
geluidsniveau: de decibelschaal
Het geluidsniveau L op zekere afstand
van een bron meten we in de decibel
(dB). We meten het geluidsniveau met
een decibelmeter, een doosje met een
geluidssensor en een schaalverdeling
in dB. Om enig gevoel te krijgen voor
die vreemde schaal moet je maar eens
naar de tabel kijken.
Niets horen komt met 0 dB
overeen, een onweersbui die zeer doet
aan je oren is 120 dB. Die 0 dB heet
de gehoordrempel, 120 dB is de pijngrens.
De decibelschaal is een logaritmische schaal, wat dat precies is leer je nog wel
bij wiskunde, maar voor ons betekent dat het volgende:
Verdubbeling van de geluidsintensiteit betekent een toename met 3,0 dB
Bij proeven (demo 9) zullen we deze regel testen door enkele malen keren twee keer zoveel herrie te maken.
Van belang is natuurlijk de afstand tot de geluidsbron. Daar geldt een eenvoudige regel
voor, die goed is uit te leggen. Als je de afstand van de dB-meter tot de bron verdubbelt dan moet het geluid door een vier keer zo groot oppervlak en wordt dus vier keer
zo zwak. Verdubbelen van de afstand betekent dus 2 keer halveren van de intensiteit,
zodat het aantal decibellen met 2x3=6 dB zal dalen.
Verdubbelen van de afstand tot de bron betekent een verlaging van L met 6 dB
Demo 9 werken met de decibelmeter
A
Laat alle rechterleerlingen op normaal volume in de klas een mop vertellen en
meet voor in de klas het aantal dB. Laat vervolgens iedereen tegelijkertijd een mop
vertelen en meet weer het aantak dB. Conclusie?
B
Doe hetzelfde met schreeuwen, eerst alleen de halve klas, later de hele klas.
Demo 10 afstandswet
A
Maak met de toongenerator een toon van 500 Hz en met op 1,0 m het aantal dB.
B
Herhaal dit voor afstanden van 2,0 en 4,0 m. Controleer de afstandswet.
18
muziek
IV.3
audiogram maken
demo 11 audiogram maken
Het is simpel om met een toongenerator en een decibelmeter een audiogram te maken.
We gaan dat als demonstratie doen met iemand die de hoge tonen deels mist. Kijk eens
naar de procedure die in de figuur hieronder beschreven is: snap je die?
Een audiogram geeft aan wat jij minder hoort dan de gehoordrempel: stel daarom
de decibelmeter in op 90 dB op 20 cm en ga zelf veel verder zitten, zeg op 4,0 m. Verlaag nu de intensiteit van de toongenerator zodanig dat je net niks meer hoort, dan zit
je op jouw gehoordrempel.
A
Noteer in de tabel hoe veel lager het niveau L in dB is dan de gehoordrempel.
F (HZ)
L (dB)
20
50
100
200
500
1000
2000
5000
10000
B
Teken deze in het audiogram (rechtsonder)
C
Teken hieronder de echte gehoordrempel (linksonder) en bepaal zodoende welk
deel van de spraak en de muziek onze proefpersoon niet hoort.
19
IV.4
muziek
sommen over het gehoor en de decibelschaal
Som 11
slakkenhuis
De A van de piano klinkt (klein octaaf, 220 Hz), er zijn 3 boventonen hoorbaar.
A
Welke frequenties zijn er dan hoorbaar? Welke tonen zijn dat (zie bijlage 3)?
B
Lees af op hoeveel mm van het ovale venster de tonen versterkt worden.
C
Teken het patroon van resonanties in zijn (opgerolde) slakkenhuis.
Som 12
hoorbaar?
Kees doet proeven met een toongenerator en een decibelmeter om zijn gehoor te testen
Hij maakt een brom van 50 Hz die vlak bij zijn oor een geluidsniveau van 20 dB heeft,
hij heeft een normaal gehoor (zie de figuur op pag. 18 voor zijn frequentiebereik).
A
Is de toon hoorbaar?
B
Tot hoeveel dB moet hij het niveau veranderen wil de toon net hoorbaar zijn?
C
Tot hoeveel Hertz moet hij de frequentie opvoeren wil de toon net hoorbar zijn?
Som 13 verdubbelen en halveren
Op een pleintje staan 8 brommers, de motoren staan voluit aan en Kees meet met een
decibelmeter op 10 meter afstand 102 dB.
A
Wat zou Wim meten op 2,5 m afstand?
B
Wat wordt het gelui8dsniveau in dB als er 7 brommers weg rijden?
Bij het voetballen wordt gescoord, er juichen 1000 man. Op de middenstip wordt 86 dB
gemeten. Even later scoort de tegenpartij, die heeft 32 000 juichende aanhangers.
C
Beredeneer hoeveel dB er dan op de middenstip is te horen.
Som 14
lawaaigestoord audiogram
John heeft een lawaaigestoord audiogram: tot 1 kHz is er
geen enkel functieverlies, daar boven is er sprake van een
vermindering van maar liefst 50 dB voor alle tonen.
A
Teken zijn audioagram.
B
Teken hiernaast zijn gehoordrempel in.
C
Omschrijf wat hij niet meer hoort.
Som 15
gehoorgestoord audioagram
Lotte heeft een gehoorgestroord audiogram: tot 250 Hz
is er geen functieverlies, daarboven is er een lineair
verlies. Bij 8000 Hz is haar verlies 70 dB.
A
Teken haar audioagram.
B
Teken hiernaast haar gehoordrempel in.
C
Omschrijf wat zij niet meer hoort.
20
muziek
VII OPEN ONDERZOEKEN
VII.1
audiogrammen maken
Wat we in de klas als demonstratie gedaan hebben moet jij met jouw tweetal
herhalen voor 5 leerlingen: maak met de toongenerator n de decibelmeter een audiogram
van leerlingen.
F (HZ)
L1 (dB)
L2 (dB)
L3 (dB)
L4 (dB)
L5 (dB)
20
50
100
200
500
1000
2000
5000
10000
A
Noteer in de tabel hoe veel lager het niveau L in dB is dan de gehoordrempel.
B
Teken deze in het audiogram, , vraag aan je leraar kopieën van de figuren.
C
Teken hieronder de echte gehoordrempel (linksonder) en bepaal zodoende welk
deel van de spraak en de muziek onze proefpersoon niet hoort.
21
muziek
VII.2
koptelefoons doormeten
Je moet van 25 leerlingen het geluidsniveau L
van hun koptelefoon meten en de resultaten in
de vorm van een grafiek verwerken. In de grafiek zijn het geluidsniveau L en de luistertijd t
tegen elkaar afgezet. Je moet elke leerling als
stip intekenen, je kunt dan direct zien welk deel
van de leerlingen-populatie te veel geluid ontvangt.
Het doel van de metingen is om vast te stellen hoeveel procent van de leerlingen qua luistergedrag in de gevarenzone zit, hoeveel procent van de leerlingen heeft
zijn koptelefoon te lang en/of te hard aan staan?
Verzamel hiertoe van elke leerling de volgende gegevens:
(1)
het geluidsniveau waarop hun koptelefoon ’s morgens staat (L1)
(2)
het aantal uur dat er die dag geluisterd wordt (t), en
(3)
het geluidsniveau aan het eind van de dag (L2).
(4)
Bereken het gemiddelde geluidsniveau L en zet dat af tegen de tijd.
L1 (DB)
L2 (dB)
L = (l1+L2)/2
t (u)
L1 (DB)
L2 (dB)
L = (l1+L2)/2
t (u)
L (DB)
80
83
86
89
92
95
TIJD (U)
8
4
2
1
0,5
0,25
22
muziek
VII.3
VII.4
gehoortest voor en na muziek beluisteren
interviews gehoorgestoorden
23
muziek
VIII WEBSITES OVER HET GEHOOR
Algemene portal over gehoorproblemen met veel natuurkunde en biologie
http://www.hoorzaken.nl/index.htm
http://www.hoorplus.net/
overzicht van gehoorbeschadigingen (werk oor- neus- en keelarts)
http://www.kno.nl/voorlichting/ooroperatie.php
gehoorschade en muziek
http://orkestengehoor.nl/gehoorschade/wat_is_gehoorschade/
over audiogrammen
http://www.hoorplus.net/html/audiogram.html
http://www.hoorzaken.nl/audiogram.htm
over oordoppen
http://www.filterz.net/index.html
http://www.eartech.nl/eartech_uniplug.htm
http://www.ibw.nl/eartech/
gehoortests via het web
http://www.oorcheck.nl/index_keuze.html
http://www.hoortest.nl/hoortest.html
24
muziek
BIJLAGE I
GEHOORAFWIJKINGEN
Achter je trommelvlies zitten de gehoorbotjes die de trillingen naar het slakkenhuis
moeten doorgeven. Er kan daar natuurlijk van alles mis zijn door erfelijke aanleg, door
verkalking of door de vele ontstekingen waar we me gepest worden. Maar, daar is van
alles aan te doen. Ontstekingen gaan vaak gewoon over en anders kan de KNO-arts ze
bestrijden met medicijnen, kalk kan weggehaald worden en de botjes kunnen zelf met
(micro)chirurgie gerepareerd of hersteld worden. Gehoorschade die het gevolg is van
defecten van het middenoor zijn vaak te herstellen. Vaak, niet altijd.
Heel anders is dat met het slakkenhuis. Wat daar eenmaal kapot is kan niet meer
gerepareerd worden. Het slakkenhuis is een zo gevoelig en zo precies orgaan dat er niet
aan te sleutelen valt, wat eenmaal kapot is blijft kapot!
Heel veel slakkenhuisschade is een gevolg van overbelasting van het oor door te
hard en te lang geluid. Een kleine 40% van de beroepsmuzikanten loopt in zijn carrière
gehoorschade op door te langdurige blootstelling aan t veel dB. Heel veel motorrijders
bij de politie bijvoorbeeld lopen gehoorschade op door de enorme herrie die de wind in
hun oren maakt. En, last but not least, 1 op de 11 (!) 20-jarigen momenteel heeft gehoorschade opgelopen als gevolg van te vaak naar te luide popmuziek luisteren. In jullie klas
gaat het om 3 leerlingen die op hun 20ste gehoorklachten zullen hebben! Waarschijnlijk
weten jullie nu al wie dat zullen zijn! 1 op de 11: dat is veel en veel te veel!
De grafiek en de tabel hieronder geven de tijden en belastingen waarbij je nog
wel veilig kunt luisteren: onthoud maar 8 uur belasten met 80 dB kan net. Verdubbelen in
geluidsniveau betekent 3 dB erbij en dus de tijd halveren. Zo kom je bij 95 dB op maximaal een kwartier. Veel leerlingen die wij op school met de dB-meter meten zitten veel
en veel hoger, bij hun ontstaan straks de problemen.
L (DB)
80
83
86
89
92
95
TIJD (U)
8
4
2
1
0,5
0,25
25
muziek
Wil j een beschrijving van de mogelijke problemen? Ga er maar eens even voor zitten,
voor dat je echt doof wordt is er al een hoop ellende op de wereld te bekleven.
Wat dacht je van Tinnitus of oorsuizen? Wie dit heeft hoort een spontane piep, keihard
en altijd. Deze piep is niet uit te zetten, ook ’s nachts niet. Patiënten met deze kwaal
omschrijven hun aandoening als gekmakend, vooral de eerste paar jaren als Tinnitus het
ergste schijnt te zijn. Patiënten met deze aandoening zoeken geluidsarme omgevingen op
en dragen soms koptelefoons om geluid te weren. Oorzaak is meestal een degeneratie
van het slakkenhuis, door overbelasting zijn de trilhaartjes vérnietigd en ontstaan er
spontane pulstreintjes in de zenuwen die de impressie van ‘’geluid’’ veroorzaken. Er valt
niets aan te doen behalve de gehoorzenuw doorsnijden, wat incidenteel gebeurt.
Hyperacusis kis ook niet mis, vooral niet voor muziekliefhebbers. Deze aandoening
Is een sterk verhoogde gevoeligheid voor scherpe geluiden, waarbij de pijngrens tot 80
a 90 decibel zakt. Dit betekent dat normale geluiden al pijn veroorzaken. Muzikanten
hebben vaak last van de aandoening en kunnen dan hun werk alleen nog doen als ze oordoppen dragen die het aantal dB met 30 verlagen.
Bij Dypolacusis ga je verschillen tussen links en rechts waarnemen. De hoge tonen,
die met het begin van het slakkenhuis worden waargenomen, zorgen als eerste voor problemen omdat daar de hoge energie van hard geluid daar wordt opgenomen. Beluisteren
van muziekstukken is met deze aandoening bijna onmogelijk omdat de waarneming
verstoord wordt. Muzikanten met deze aandoening moeten stoppen met hun werk.
Sociaal heel lastig is het Cocktailpartyeffect, het niet goed horen van achtergrondgeluiden. Je kunt gewone gesprekken in gezelschap dan niet meer volgen. Wie dit
heeft raakt onvermijdelijk geïsoleerd, met alle gevolgen van dien. Dove mensen noemen
dit vaak als een van de ergste gevolgen van hun handicap.
Het voorkomen van overbodig oorletsel is een van de redenen om dit project met jullie
te doen. De middelen zijn eenvoudig.
(1)
Ga verstandig met geluidsoverlast om. Hanteer de norm 80 dB max 8 uur,
zoals hierboven uitgelegd.
(2)
Laat bij twijfel eens een audiogram maken, om te kijken hoe het bij jou zit
met de waarneming van de hoge tonen.
(3)
Schuw niet om in belastende situaties oordoppen te dragen, er zijn hele
goede oordoppen in de handel die veel leed kunnen voorkomen.
In jullie leventjes zijn koptelefoons, popconcerten en discotheken de
boosdoeners. Als je jong bent herstelt alles meestal snel, ook het gehoor, maar de
verhalen over blijvende schade bij jongeren worden de laatste jaren wel erg hardnekkig.
Koop een duurdere MP3speler of ipod met begrenzer, koop goede koptelefoons
(van die grote!) en zorg er zet het geluid nooit zo hard dat anderen het horen.
26
muziek
BIJLAGE II
PYTHAGORAS EN DE HARMONIEEN
Jullie kennen Pythagoras van Samos (5e eeuw voor Chr.) waarschijnlijk van zijn stelling
over rechthoekige driehoeken, a2+b2=c2. Voor Pythagoras was dit maar een van de vele
voorbeelden van de rol van getallen en hun verhoudingen in de natuur. Zowel in de wiskunde, als in de sterrenkunde en de muziek zag Pythagoras in harmonische verschijnselen altijd eenvoudige natuurlijke getallen. Hij meende dat getallen en andere wiskundige vormen in alle vakken een verklarende rol zouden moeten spelen. Wat kan hier mee
bedoeld zijn?
Hele getallen die aan de stelling van Pythagoras voldoen heten pythagorese 3-tallen. In
de eerste tabel staan er een paar. Omdat
32+42 = 9 + 19 = 25 = 52
is het drietal (3,4,5) pythagorees. Driehoeken zijn rechthoekig omdat de bijbehorende
getallen pythagorees zijn.
A
3
5
6
7
8
B
4
12
8
24
15
C
5
13
10
25
17
Pythagoras’ dierbaarste ontdekking was dat bij welluidende samenklanken, zogenaamde consonanten, de lengten van snaren zich verhouden als eenvoudige breuken. Je
kunt dat hieronder in de tweede tabel boven zien aan de getallen. In de tabel zijn niet
snaarlengten maar frequenties afgedrukt. Pythagoras kende de term ‘frequentie’ niet,
maar daar geldt hetzelfde voor: de consonanten terts, quint en octaaf verhouden zich
als 5/4, 3/2 en 2/1.
TOON
C
D
E
F
G
A
B
F
(HZ)
65
73
82
87
98
110
123
F/FC
BREUK
INTERVALLEN
1,00
1,12
1.25
1,33
1.50
1,69
1,89
1/1
9/8
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8
Priem
Secunde
Terts
Kwart
Quint
Sext
Septiem
C
131
2,00
2/1
Octaaf
27
muziek
Ook voor dissonante intervallen geldt in de moderne stemming dat de snaarlengten zich
verhouden als simpele breuken, zij het dat die breuken minder eenvoudig zijn dan bij
consonanten. Die breuken zeggen blijkbaar toch iets over het samenklinken van tonen.
In de sterrenkunde zouden de afstanden
van de planeten tot het midden zich op een
keurige manier als eenvoudige breuken gedragen. Wat die getallen precies waren wist
Pythagoras niet, omdat die afstanden toen
nog onbekend waren.
Pas in de 16e eeuw was het Johannes
Kepler, een late volgeling van Pythagoras,
die de planeetafstanden kon opmeten en die
met die verhoudingen ging rekenen.
In het afgebeelde plaatje cirkelen de
planeten in de bolschillen en de grootte van
de bollen wordt bepaald door het in elkaar
passen van die bollen in de 5 van oudsher
bekende regelmatige veelvlakken (20-vlak,
12-vlak, 8-vlak kubus en prisma). Kepler kreeg de gegevens aardig kloppend en zei dat de
afstanden van de planeten tot de zon waren zoals ze waren omdat de bollen en veelvlakken zo in elkaar pasten.
Kepler ging zelfs zo ver dat hij aan
de diverse planeten eigen tonen en melodieën toekende, hij spraak van de harmonie
der sferen.
Pythagoras heeft het idee nagelaten dat wiskundige vormen en getallen de natuur kunnen verklaren. Naar het schijnt had hij bij zijn tijdgenoten erg veel succes, zo veel dat
hij sekteleider is geworden. Zijn sekte schijnt een zwijgorde geweest te zijn waarin het
eten van bonen van allerlei soort verplicht was. Pythagoras’ getallenleer was de centrale
leer van de sekte, die tot Pythagoras’ dood schijnt te hebben bestaan.
Het verhaal gaat dat Pythagoras ontdekkíng dat en dat √2 niet als een eenvoudige
verhouding van breuken te schrijven is tot een enorme crisis in de sekte heeft geleid.
Het wereldbeeld van de pythagoreeers zou geschokt zijn door die ontdekking en men
zou zelfs zo ver zijn gegaan de ontdekking geheim te houden.
28
muziek
bijlage III
BOVENTONEN OP DE PIANO
De resonantieproefjes uit de eerste les (11 en 12)
kun je ook met de piano doen, dan moet je wel wat
weten van de frequenties waarop de piano gestemd
zijn en van de frequenties van boventonen. In deze
bijlage staan de benodigde getallen in 2 tabellen.
Het middelste octaaf, waarop je gewoonlijk speelt, is het eengestreepte octaaf,
links daarvan zit het klein octaaf, daarmee gaan we de proeven doen. We zoeken naar
boventonen van het klein octaaf die door het eengestreepte octaaf versterkt worden.
In de tabel hieronder zijn de frequenties van de tonen afgedrukt. Achter zo’n stemming
zitten allerlei keuzen die je niet aan de getallen ziet (met name Pythagoras’ ontdekking
dat de golflengtes van harmonische klanken zich verhouden als eenvoudige gehele getallen) , maar je ziet vast wel dat in elke octaaf de getallen verdubbelen.
FREQUENTIE
Groot octaaf
Klein octaaf
Eengestreept
Tweegestreept
Driegestreept
Viergestreept
C
65
131
262
523
1047
2093
CIS
69
139
277
554
1109
2217
D
73
147
294
587
1175
2349
DIS
78
156
311
622
1245
2489
E
82
165
330
659
1319
2637
F
87
175
349
698
1397
2794
FIS
93
185
370
740
1480
2960
G
98
196
392
784
1568
3136
GIS
104
208
415
831
1661
3322
A
110
220
440
880
1760
3520
AIS
117
233
466
932
1845
3729
B
123
247
494
988
1976
3951
Bij de snaren van een piano (net als bij open orgelpijpen) zijn de frequenties van boventonen een eenvoudige reeks, namelijk f1=2f0, f2=3f0 enz enz.. In de tabel hieronder zijn
de eerste vijf boventonen voor alle tonen van het klein octaaf afgedrukt.
BOVENTONEN
Klein octaaf
Eerste
Tweede
Derde
Vierde
Vijfde
C
131
262
393
524
656
787
CIS
139
278
417
556
695
834
D
147
294
441
588
735
882
DIS
156
312
468
624
780
936
E
165
330
495
660
825
990
F
175
350
525
700
875
1050
FIS
185
370
575
740
925
1110
G
196
392
588
784
980
1114
GIS
208
416
624
832
1040
1248
A
220
440
660
880
1100
1320
AIS
233
466
699
932
1165
1399
B
247
492
739
984
1235
1482
Proef 13
resonerende snaren
A
Houd de C van het eengestreepte octaaf ingedrukt (262) en sla de G van het klein
octaaf (196) aan. Je hoort nu een boventoon. Welke? Als je naar de getallen kijkt dan
zie je het: de 3e boventoon van de G is nu vrijwel gelijk aan de 3e boventoon van de C
(3x262 = 786). Controle: sla de G (784) van het tweegestreepte octaaf aan, die klinkt
net zo.
B
Zoek op basis van de getallen in de tabellen andere combinaties die hetzelfde
effect hebben.
29
muziek
BIJLAGE IV
DE STELLING VAN FOURIER EN BOVENTONEN
Zuivere tonen zoals stemvorken die maken zijn wiskundig gesproken sinussen, van die mooie slangetjes
zoals hiernaast getekend. Ook boventonen zijn
zulke slangetjes. Waarom zijn die functies zo
belangrijk?
De reden is dat je met deze functies elke
tril-ling mee kunt maken. Er is een belangrijke
wiskunde stelling, van de fransman Fourier, die
daarover gaat:
Elke periodieke functie is te schrijven
als de som van een aantal sinussen.
Het plaatje hiernaast geeft het idee weer: het periodieke signaal van drie periodes is te zien als de
som van de grondtoon (3 periodes) en de eerste (9
periodes) en tweede boventoon (15 periodes).
Het magische is dat dit niet alleen geldt voor deze bijzondere functie maar voor
alle periodieke functies, voor alle functies die zichzelf herhalen!
Om deze reden is de stelling zo belangrijk, Het programma DATA-studio is op de
stelling gebaseerd. Met dat programma kan van elke waargenomen toon een frequentiespectrum gemaakt worden als je het programma in de toestand fourieranalyse zet
Elke toon is te analyseren als een unieke combinatie van zuivere tonen (grond- en
boventonen), van deze combinatie kun je een spectrum maken.
Hiernaast zie je het frequentiespectrum van de
voorbeeldfunctie. Omdat je de periodieke functie
met 3 functies kunt maken zijn hiernaast 3 pieken
getekend.
De hoogte van de pieken verschilt: de grondtoon heeft de hoogste piek, de hoogtes van de eerste en de tweede boventoon zijn steeds lager.
Heel lang geleden, in de
Middeleeuwen hoorde
muziek tot de B-vakken,
samen met Astronomia,
Geometrica en Arithmetica
vormde Musica het tweede
vak van het zogenaamde
quadruvium.
.
In dit thema, waarin je
fors gerekend hebt aan
muziek, heb je misschien
gemerkt waarom!