We gaan uit van de derdegraads functie: ( ) ( 2 )( ) f x x x a x b = -

We gaan uit van de derdegraads functie:
f ( x ) = x ( x − 2a)( x − b)
Je kan door verschuiving van de oorsprong elke derdegraads functie met drie reële
nulpunten wel zo schrijven.
We onderstellen verder 0 < 2a < b. Dat maak in principe niet veel uit; 't is maar met
welke naam je de nulpunten aangeeft.
De nulpunten van die functie zijn dus: x = 0, x = 2a en x = b.
We gaan precies tussen x = 0 en x = 2a zitten; dus in het punt met x = a.
Dan is: f (a) = a (a − 2a)(a − b) = −a 2 (a − b) ; dit is de y-coördinaat van het raakpunt.
Voor de afgeleide vinden we (productregel!):
f ′( x) = 1 ⋅ ( x − 2a ) ⋅ ( x − b) + x ⋅1 ⋅ ( x − b) + x ⋅ ( x − 2a) ⋅1
zodat voor de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt met x = a geldt:
f '(a ) = − a(a − b) + a(a − b) + a(− a ) = − a 2
En dan stellen we de vergelijking van de raaklijn op in het betreffende punt.
Algemeen luidt die vergelijking:
y − y0 = m( x − x0 )
waarbij m de richtingscoëfficiënt is en (x0, y0) het punt waarin de raaklijn getekend
wordt.
De vergelijking van de raaklijn wordt dan:
y − (−a 2 (a − b)) = − a 2 ( x − a )
Het snijpunt van de raaklijn met de x-as vinden we voor y =0, zodat:
a 2 (a − b ) = − a 2 ( x − a )
Deling (links en rechts) door a2 (dat mag, want a is ongelijk aan 0) geeft dan:
a − b = −x + a
Zodat inderdaad x = b.
De raaklijn snijdt dus de grafiek van de functie in het derde nulpunt.
En dat wilden we bewijzen.