Koorde en Raaklijn

Koorde en Raaklijn.
1.
Examenvraagstuk Wiskunde B, 2011.
D is een willekeurig punt op zijde BC van driehoek
ABC.
De cirkel door D die AB raakt in B en de cirkel door
D die AC raakt in C hebben koorde DF
gemeenschappelijk.
Bewijs dat vierhoek ABFC een koordenvierhoek is.
2.
De machtsstelling:
Voor een willekeurige lijn door een punt P buiten een
cirkel die de cirkel in Q en S snijdt, en een raaklijn
PR geldt
PQ • PS = PR2
Bewijs deze stelling.
3.
Twee cirkels raken elkaar in R.
Een lijn door R snijdt de cirkels in A en in B.
S is een willekeurig punt buiten de cirkels.
SA en SB snijden de cirkels in P en Q.
Toon aan dat P, Q, R en S op één cirkel liggen.
1.
Stelling van raaklijn en koorde: de hoek tussen een raaklijn en een koorde van een
cirkel is gelijk aan de omtrekshoek van die koorde.
∠ACD is zo'n hoek, en is dus gelijk aan de omtrekshoek van koorde CD.
Dat is ook gelijk aan ∠CFD.
∠ABD is ook zo'n hoek en is dus gelijk aan de omtrekshoek van koorde BD.
Dat is ook gelijk aan ∠BFD.
∠ACD + ∠ABD = ∠CFD + ∠BFD = ∠BFC.
maar in driehoek ABC zie je dat ∠ACD + ∠ABD + ∠BAC = 180º
Dus is ook ∠BFC + ∠BAC = 180º
Dus is ABFC een koordenvierhoek.
2.
∠PRQ = ∠RSP (koorde en raaklijn)
∠SRT = ∠SQR (koorde en raaklijn)
(1)
∠PRS + ∠SRT = 180º
∠PQR + ∠SQR = 180º dus ∠PQR + ∠SRT = 180º
(vanwege (1))
Daaruit volgt dat ∠PQR = ∠PRS
de driehoeken PQR en PRS zijn gelijkvormig (hoek P plus
de rood+gele hoek)
PQ
/PR = PR/PS
PQ • PS = PR • PR
3.
zie de figuur hiernaast.
de rode hoeken zijn gelijk (koorde en raaklijn)
de groene hoeken zijn gelijk (koorde en raaklijn)
rood + groen + geel = 180º
(hoekensom driehoek ABS)
dus ∠PSQ + ∠PRQ = 180º
dan is PQRS een koordenvierhoek.
dan liggen de punten P, Q, R en S op één cirkel.