Module 10 Lineaire Algebra

Vak
57.52
Les
36.0
L
Module 10 Lineaire Algebra
Afbeeldingen (vervolg (b))
In deze les worden de eigenwaarden en eigenvectoren van lineaire afbeeldingen behandeld.
Inhoud van de leskern
1
Basistransformatie
*0000==:;000=*
Leskern
57.52-36.0
1
2
Basistransformatie
1.1
Kentallen (coördinaten) ten opzichte van een basis
Zoals u weet vormt het stelsel fe1 ; e2 g een basis voor de R2 : Als er
verder niets vermeld wordt, bedoelt men ook deze basis.
worden in deze basisvectoren.
Iedere vector in de R2 kan uitgedrukt
¡¢
Bijvoorbeeld: de vector x = 32 = 3 e1 + 2 e2 : De getallen 3 en 2 zijn
de kentallen van de vector x ten opzichte van de basis fe1 ; e2 g :
Het is echter ook mogelijk om in de R2 twee andere onafhankelijke
vectoren te kiezen die de R2 opspannen. Deze onafhankelijke vectoren
hoeven in het geheel niet loodrecht op elkaar te staan en het hoeft ook
niet zo te zijn dat ze lengte 1 hebben. Men kan immers elke vector van
de R2 schrijven als een combinatie van zo’n onafhankelijk stelsel
vectoren.
Voorbeeld 1
Neem de twee onafhankelijke vectoren b1 en b2 als nieuwe basis voor
de R2 .
µ ¶
µ
¶
1
¡1
b1 =
en b2 =
1
1
Het is mogelijk om iedere vector in
¡ ¢deze basisvectoren uit te drukken.
Druk bijvoorbeeld de vector x = 32 uit in deze basisvectoren, dat wil
zeggen
µ
¶
x1
= x1 e1 + x2 e2 = y1 b1 + y2 b2
x2
en bereken de kentallen y1 en y2 :
-
Men noemt x1 en x2 de kentallen van x ten opzichte van fe1 ; e2 g :
Men noemt y1 en y2 de kentallen van dezelfde vector maar dan ten
opzichte van de nieuwe basis fb1 ; b2 g :
Zie ook afbeelding 1.
5/2 b1
x2-as
x
b2
b1
-1/2 b2
Afbeelding 1
Antwoord:
x1-as
57.52-36.0
3
De volgende vectorvergelijking moet opgelost worden waarin y1 en y2
de onbekenden zijn.
µ ¶
¶
µ
¶µ
3
1 ¡1
y1
= y1 b1 + y2 b2 =
=)
y2
2
1
1
µ
¶
µ
¶¡1 µ ¶ µ 1 1 ¶ µ ¶ µ 5 ¶
y1
1 ¡1
3
3
2
2
2
=
=
=
y2
1
1
2
2
¡ 12 12
¡ 12
De matrix waarvan de kolommen gevormd worden door de nieuwe
basisvectoren wordt B genoemd. Voor de berekening van de inverse
matrix B ¡1 kunt u Maple gebruiken
>
with(linalg):
>
B:=matrix([[1,-1],[1,1]])•
#
"
1 ¡1
B :=
1
1
>
inverse(B)•
2
3
1
2 7
7
1 5
2
1
6 2
6
4 ¡1
2
>
[y1,y2]=evalm(inverse(B) &* vector([3,2]))•
·
¸
5 ¡1
[y1; y2] = ;
2 2
Het komt er dus op neer dat u de vectoren van de nieuwe basis b1 en b2
in de kolommen van een matrix zet die u B noemt. Elke vector x 2 R2
kan uitgedrukt worden in de basisvectoren b1 en b2 : U hoeft slechts de
inverse van B te kennen en de nieuwe kentallen y1 en y2 van de
desbetreffende vector x zijn:
µ
¶
µ
¶
y1
x1
¡1
=B
y2
x2
Voorbeeld 2
Bereken de kentallen van e1 en e2 ten opzichte van de basis fb1 ; b2 g
van voorbeeld 1.
Antwoord:
De nieuwe kentallen worden
µ ¶
µ 1
1
¡1
2
B
=
0
¡ 12
1
e1 =
b ¡
2 1
µ ¶
µ 1
0
¡1
2
B
=
1
¡ 12
1
b +
e2 =
2 1
1
2
1
2
¶µ
1
b
2 2
¶µ
1
2
1
2
1
b
2 2
1
0
¶
0
1
¶
=
µ
1
2
¡ 12
=
µ
1
2
1
2
¶
¶
=)
=)
57.52-36.0
4
Ga op afbeelding 1 na dat de kentallen van de vectoren e1 en e2 ten
opzichte van de basis fb1 ; b2 g kloppen.
-
Een vector 2 Rn met n kentallen ten opzichte van fe1 ; e2 ; :::::; en g
kan overgevoerd worden naar dezelfde vector y 2 Rn maar nu met
kentallen ten opzichte van een nieuwe basis fb1 ; b2 ; :::::; bn g door
middel van y = B ¡1 x waarbij B de matrix is waarvan de
kolommen gevormd worden door de vectoren van deze nieuwe
basis.
U zult begrijpen dat een basis in de Rn bestaat uit n vectoren met n
kentallen, dus de matrix B is vierkant. Deze n vectoren moeten
onafhankelijk zijn. Dit houdt in dat de matrix B altijd inverteerbaar is.
Opdracht 1
Bereken de kentallen van de vector x = (1; 2; 3) ten opzichte van de
basis:
! Ã !)
(Ã
! Ã
1
0
2
0 ; 6
2 ;
fb1 ; b2 ; b3 g =
¡2
¡3
0
1.2
Afbeeldingen ten opzichte van een basis
U weet dat in de kolommen van een afbeeldingsmatrix van een
afbeelding van R2 naar R2 de beelden staan van de basisvectoren e1 en
e2 : Dat wil zeggen dat de afbeelding beschreven is ten opzichte van
deze basis. Meestal zegt men dat er niet bij als het om de
standaard-basis gaat.
Voorbeeld 3
Neemt u de afbeelding van R2 naar R2 van de spiegeling in de lijn
x1 = x2 : Zie ook afbeelding 2.
x2-as
b2
b1
x1-as
Afbeelding 2
De matrix (ten opzichte van fe1 ; e2 g) van deze afbeelding S (spiegeling
in de lijn x1 = x2 ) is
µ
¶
0 1
S=
1 0
57.52-36.0
5
en heeft als kolommen de beelden van e1 en e2 : Het zou eigenlijk
mooier zijn om niet fe1 ; e2 g als basis te nemen voor juist deze
afbeelding S maar over te gaan op een nieuwe basis fb1 ; b2 g met
µ ¶
µ
¶
1
¡1
en b2 =
b1 =
1
1
Op afbeelding 2 zult u kunnen zien dat deze basis voor juist deze
afbeelding zéér geschikt is, want bij deze spiegeling worden de beelden
van deze basisvectoren op zichzelf of op hun eigen lijn afgebeeld!! De
matrix (ten opzichte van fb1 ; b2 g) van déze spiegeling moet als
kolommen de beelden van b1 en b2 hebben! Bij deze afbeelding geldt
dus dat b1 op zijn plaats blijft en dat b2 alleen maar omgeklapt wordt.
De beelden van b1 en b2 zijn dus S b1 = b1 en S b2 = ¡b2 : De
vectoren b1 en b2 zijn nu juist de eigenvectoren van deze spiegeling!
Als we deze beeldvectoren ook nog met de kentallen willen schrijven
ten opzichte van de nieuwe basis fb1 ; b2 g dan worden de beelden van
deze basisvectoren na spiegelen in de lijn x1 = x2 dus
µ ¶
µ ¶
1
0
¡1
¡1
en B S b2 =
B S b1 =
0
¡1
¡¢
Let op!, de betekenis van 10 ten opzichte van de nieuwe basis fb1 ; b2 g
¡1¢
wil zeggen 0 = 1 ¢ b1 + 0 ¢ b2 :
Vormen we nu met de beelden van b1 en b2 de kolommen van een
matrix waarbij ook nog de kentallen ten opzichte van de nieuwe basis
fb1 ; b2 g gegeven zijn, dan krijgen we de matrix die de genoemde
spiegeling beschrijft met als basis het stelsel fb1 ; b2 g : Het moet u
opvallen dat het resultaat een diagonaal-matrix is.
µ
¶
1
0
¡1
B SB =
0 ¡1
-
Algemeen geldt nu het volgende voor een afbeelding A (ten
opzichte van de normale basis). Zet men de beelden van een stelsel
nieuwe basisvectoren (met kentallen ten opzichte van deze
basisvectoren) in de kolommen van de afbeeldingsmatrix, dan
krijgt men de matrix B ¡1 A B: (De kolommen van matrix B
worden gevormd door de nieuwe basisvectoren.) Deze
samengestelde matrix stelt weer precies dezelfde afbeelding voor.
Men moet zich echter bewust zijn van het feit dat deze afbeelding
niet meer ten opzichte van de gewone basis beschreven wordt, maar
ten opzichte van een nieuwe basis die natuurlijk wel erbij vermeld
dient te worden.
Opdracht 2
Gegeven is een afbeeldingsmatrix A.
µ
¶
5 ¡2
A=
6 ¡2
a. Bereken de
van deze afbeelding, maar nu ten opzichte van
¢ ¡ ¢ª
©¡ matrix
de basis 11 ; ¡11 waarvan de matrix B1 genoemd wordt.
b. Bereken de
¢ ¡2¢ªvan deze afbeelding, maar nu ten opzichte van
©¡1matrix
de basis 2 ; 3 waarvan de matrix B2 genoemd wordt.
57.52-36.0
6
c. Bereken de eigenwaarden van afbeeldingsmatrix A.
d. Bereken de eigenwaarden van de afbeeldingsmatrix B1 A B1 ten
opzichte van basis B1 en ook van de afbeeldingsmatrix B2 A B2
ten opzichte van basis B2 :
e. Bereken de eigenvectoren van A uitgedrukt in de basis fe1 ; e2 g :
f. Bereken de eigenvectoren van de afbeelding B1 A B1 ten opzichte
van basis B1 en van de afbeelding B2 A B2 ten opzichte van basis
B2 : Let op!, deze eigenvectoren zijn dan ook uitgedrukt in de
vectoren van de nieuwe basis.
g. Controleer dat de kolommen van de matrix B1¡1 A B1 gevormd
worden door de beelden van de bijbehorende basisvectoren,
uitgedrukt in deze basisvectoren.
1.3
Diagonaalmatrix
Het is niet voor niets geweest dat we in voorbeeld 3 de nieuwe
basisvectoren b1 en b2 hadden genomen! De spiegelingsmatrix
B ¡1 S B (ten opzichte van fb1 ; b2 g) wordt nu heel mooi een
diagonaalmatrix.
Misschien is u al opgevallen dat b1 en b2 juist de eigenvectoren waren
van de spiegelingsmatrix S:
Er geldt immers S b1 = b1 en dus is b1 een eigenvector met
eigenwaarde 1.
Er geldt immers S b2 = ¡b2 en dus is b2 een eigenvector met
eigenwaarde ¡1.
In de diagonaalmatrix staan heel netjes de eigenwaarden op de
diagonaalplaatsen.
Ook in opdracht 2 ziet u dat de basis van eigenvectoren de
diagonaalmatrix (B2 ) oplevert bij basistransformatie naar de basis van
eigenvectoren.
-
-
De matrix van S (van voorbeeld 3) ten opzichte van fe1 ; e2 g stelt
dezelfde afbeelding voor als de matrix B ¡1 S B (met dezelfde
eigenvectoren en dezelfde eigenwaarden), maar de laatste is ten
opzichte van de basis fb1 ; b2 g. Hierin vormen de vectoren b1 en b2
de kolommen van matrix B (uitgedrukt in deze basisvectoren).
Voor iedere afbeelding A van Rn naar Rn kan men in Rn een
nieuwe basis kiezen (van n onafhankelijke vectoren) die Rn
opspant (het domein van de afbeelding). De vectoren van deze
nieuwe basis vormen de kolommen van de vierkante matrix B. De
afbeelding wordt beschreven door matrix A (ten opzichte van
fe1 ; ::::::en g), maar kan ook beschreven worden door de matrix
B ¡1 A B ten opzichte van fb1 ; ::::::bn g :
U kunt zelf kiezen voor een willekeurige basis, maar de basis die
gevormd wordt door de eigenvectoren van de afbeelding is het mooist.
-
jordan
De afbeeldingsmatrix ten opzichte van de basis van eigenvectoren
wordt dan de diagonaalmatrix met op de diagonaalplaatsen de
eigenwaarden.
Maple heeft een gemakkelijk commando om van een afbeeldingsmatrix
A van de R3 naar de R3 de diagonaalmatrix B ¡1 A B te maken en
metéén ook de matrix B van eigenvectoren te geven. Dit commando kan
echter alléén gebruikt worden als u er zeker van bent dat u met een
stelsel onafhankelijke eigenvectoren te maken hebt. Zo niet, dan krijgt u
met dit commando ook geen diagonaalmatrix. Het commando luidt
jordan en hier volgt metéén een voorbeeld.
57.52-36.0
7
Voorbeeld 4
Gegeven de afbeeldingsmatrix van de spiegeling van voorbeeld 3.
Bepaal de diagonaalmatrix B ¡1 A B en ga na dat in de kolommen van
de matrix B de eigenvectoren van A staan.
Antwoord:
Bij het opgeven van de matrix A kunt u als optie ’B’ meegeven die dan
staat voor de matrix van eigenvectoren. De letter B (deze letter kiest u
zelf) staat tussen quotes, want anders zou Maple deze kunnen opvatten
als een eerder gede¿nieerde B.
>
with(linalg):
>
A:=matrix([[0,1],[1,0]])•
"
#
0 1
A :=
1 0
>
jordan(A,’B’)•
>
evalm(B)•
>
eigenvects(A)•
"
¡1 0
0 1
#
2
3
1 1
6 2 2 7
6
7
4 ¡1 1 5
2 2
U ziet dat de diagonaalmatrix links boven de eigenwaarde ¸ = ¡1
vermeldt. In de bijbehorende matrix B vindt u als eerste kolom de
eigenvector ( 12 ; ¡ 12 ): Deze eigenvector noteren wij meestal zonder
breuken als (1; ¡1): Het maakt niet uit welke lengte deze eigenvector
heeft, het moet een representant zijn. De tweede eigenwaarde ¸ = 1
van matrix A staat op de tweede diagonaalplaats van de
diagonaalmatrix en de tweede eigenvector staat in de tweede kolom van
matrix B. Deze tweede eigenvector staat als ( 12 ; 12 ) genoteerd, maar wij
schrijven liever zonder breuken (1; 1): De controle voor de
eigenwaarden en eigenvectoren kunt u ook met eigenvects doen.
[¡1; 1; f[¡1; 1]g]; [1; 1; f[1; 1]g]
Opdracht 3
Onderzoek of er een basis van eigenvectoren te vinden is bij de
volgende matrices en bepaal zo mogelijk de diagonaalmatrix.
0 1
1
Ã
!
3
¡2
3 ¡1 ¡1
2 0
0
1
0
P =
en Q = @ 32 ¡ 12 0 A
1 ¡1
1
0
0 3