§10.1 Machtsfuncties f(x) = axn is een standaardfunctie waarbij ook

§10.1 Machtsfuncties
f(x) = axn is een standaardfunctie waarbij ook een standaardgrafiek hoort
n = even
a>0
dalparabool
n = even
a<0
bergparabool
n = oneven
a>0
grafiek van linksonder naar rechtsboven en kromming
n = oneven
a<0
grafiek van linksboven naar rechtsonder en kromming
Een verschuiving noemen we ook wel een translatie. Hierdoor ontstaat een beeldgrafiek.
Bij een translatie (p,q) moet je: - x vervangen voor (x-p)
- er q bij optellen
Dus y = axn  translatie (p,q)  y = a(x-p)n + q
Een translatie geeft ook een maximum/minimum aan bij een dal/bergparabool.
Je hebt een translatie van (5,-4), dan is het minimum van f is f(5) = -4
Formule is f(x) = 0,2(x-5)2 – 4
Hierop is de translatie toegepast van (5,-4) en de formule was dus y = 0,2x2
a > 0 dus dalparabool, dus minimum van f is f(5) = -4
Buiten translaties heb je ook nog vermenigvuldigen met de x-as. Zowel translaties als
vermenigvuldigingen zijn transformaties van een grafiek.
Op y = 0,25x² wordt eerst de translatie (2,-3) toegepast en daarna wordt hij vermenigvuldigt met de
x-as met -2.
y = 0,25x²
top (0,0)
translatie (2,-3)
y = 0,25(x-2)² -3
top (2,-3)
vermenigvuldigen -2
y = -2(0,25(x-2)²-3)
y = -0,5(x-2)² + 6
top (2,6)
Bereken exact de oplossing van 1/3x4 – 1 = 5
- 1/3x4 = 6
- x4 = 18
- x = 4√18 V x = -4√18
Los op en bereken in 2 decimalen 3(2x – 6)5 + 1 = 25
- 3(2x – 6)5 = 24
- (2x – 6)5 = 8
- 2x – 6 = 5√8
- 2x = 6 + 5√8
- x = (6+5√8)/2
x ≈ 3,76
§10.2 Wortelfuncties
Een wortelfunctie in zijn eenvoudigste vorm is f(x) = √x. De grafiek is een halve parabool en het
beginpunt is hier (0,0). Je kunt in deze functie geen negatieve getallen voor x invullen, want een
wortel van een negatief getal bestaat niet. Het domein Df = [0, →>. De kleinste functiewaarde die je
dus kunt invullen is 0. Daarom is het bereik Bf = [0, →>.
Stel y = √x
translatie (3,0)
y = √(x-3)
Beginpunt is hier (3,0)
Domein is hier [3, >}
Lees je af op de x-as
Bereik is hier {<,0]
Lees je af op de y-as
y=√x
y=√x
translatie (p,q)
vermenigv. a
vermenigv. -2
y = -2√(x-3)
y = √(x-p) +q
y = a√x
Teken de grafiek van de wortelfunctie f(x) = -3 + √(5-4x)
- domein berekenen door 5 – 4x ≥ 0
- -4x ≥ -5
- x ≤ 1,25 dus Df = { < , 1.25]
- Beginpunt is (1.25, f(1,25)) dus (1,25;-3)
- tabel maken en grafiek tekenen
- Bf = [-3, >}
Los algebraïsch op
3 + 2√x = 12
2√x = 9
√x = 4,5
x = 4,5² = 20,25
Los op 4 - √(3x-1) = 5
-√(3x-1) = 1
√(3x-1) = -1
kan niet, want er staat een negatief getal onder de wortel
§10.3 Gebroken functies
In een gebroken functie komt de variabele in de noemer van een breuk voor. De eenvoudigste is
f(x) = 1/x. De grafiek hiervan is een standaardgrafiek, hyperbool genaamd, en hij bestaat uit 2 delen.
Hierbij moet je vaak de asymptoot berekenen. Dat is een lijn (horizontaal of verticaal) waar de grafiek
op den duur vrijwel mee samenvalt.
Stel
y = 1/x translatie (2,3) f(x) = (1 / x-2) +3
De asymptoten hierbij zijn dan x= 2 en y =3
Hoe moet je asymptoten berekenen?
- verticale asymptoot; stel de noemer 0
- horizontale asymptoot; neem een hele kleine en hele grote x-waarde
Teken de grafiek van f(x) = (4x-3)/(2x+4)
- verticale asymptoot berekenen door noemer = 0
- 2x + 4 = 0 geeft x = -2
- horizontale asymptoot door grote en kleine x-waarden
- f(100) = 1,946 en f(1000) = 1,995
dus y = 2
- maak een tabel
- teken de grafiek
Gebroken vergelijking los je op door kruislings te vermenigvuldigen.
Los algebraïsch op:
15 – (4x-1)/(x+8) = 12
-(4x-1)/(x+8) = -3
(4x-1)/(x+8) = 3
4x-1 = 3(x+8)
4x-1 = 3x + 24 dus x = 25
§10.4 Exponentiële functies
f(x) = 2x is een exponentiële functie, in de naturel vorm is dat f(x) = gx.
g>1
stijgende grafiek
0<g<1
dalende grafiek
Bij beiden is de x-as de asymptoot en het bereik is [0, >}
y = gx
y = gx
translatie (p,q)
vermenigv. met a
y = gx-p + q
y = a ∙ gx
Gegeven is f(x) = (1/2)x-2 – 1. Hoe ontstaat de grafiek van f uit de standaardgrafiek?
y = (1/2)x
translatie (2,-1)
f(x) = (1/2)x-2 – 1
Bereik Bf = [-1, >}
Rekenregels voor machten: zie H14 smv.
Los algebraïsch op:
2 ∙ 52x – 1 + 6 = 56
2 ∙ 52x – 1 = 50
52x – 1 = 25
52x – 1 = 5²
2x-1 = 2
2x = 3 dus x = 1,5
§ 10.5 Logaritmische functies
Logaritmische functie: ²log(16) = 4, want 24 = 16
²log(√2) =0,5 want 20,5 = √2
Het grondtal (in dit geval 2) staat altijd linksboven log. Naturel: glog(x)
Hierbij geldt: 0 < g < 1 en g > 1, anders heeft een logaritme geen betekenis.
y = glog(x) is de inverse functie van y = gx en het betekent gy = x.
Bereken 5log(25√5)
- 5log ( 5² ∙ 51/2) = 5log(51/2) = 2,5
Bereken 2log(1/8√2)
- ²log(1/(23) ∙ 21/2)
- ²log(2-3 ∙ 21/2)
- ²log(2-2/1/2) = -2,5
Los algebraïsch op
1 + 2 ∙ 5log(x) = 7
5
- 2 ∙ log(x) = 6
- 5log(x) = 3
- x = 53 dus x = 125
De log-toets op je rekenmachine staat voor 10log. Om bijvoorbeeld 2log(500) goed uit te rekenen,
moet je daarom het volgende toepassen: glog(a) = log(a) : log(g)
Ofwel: ²log(500) = log(500) : log(2) ≈ 8,966
Ook op een logaritmische functie kun je translaties en vermenigvuldigingen toepassen:
g
log(x) translatie (p,q)
y = glog(x-p) + q
g
log(x) vermenigv. a
y = a ∙ glog(x)
Bij translatie (p,q) is domein [p,>}, zonder translatie is domein [0,>}
Bij translatie (p,q) is formule asymptoot x = p, zonder translatie is het x = 0
Verticale asymptoot berekenen van y = glog(ax+b) + c
- ax + b = 0
je krijgt dan de lijn x = b/a
- domein volgt uit ax + b > 0
Teken de grafiek van f(x) 1 + 1/2log(7-2x)
- verticale asymptoot is 7-2x = 0 dus x = 3,5
- invoeren y1 = 1 + log(7-2x) : log(0,5)
- tabel maken
- grafiek tekenen
§10.6 Rekenregels voor logaritmen
g
log(ab) = glog(a) + glog(b)
g
log(a/b) = glog(a) – glog (b)
g
log(an) = n ∙ glog(a)
g
log(a) = plog(a) : plog(g)
Herleid tot één logaritme: 4 – 3log(6)
- 3log(34) – 3log(6) = 3log((34)/6) = 3log(131/2)
Herleid tot één logaritme: ²log(6) + 3 ∙ ²log(5)
- ²log(5) + ²log(53)
- ²log(6 ∙ 53)
- ²log(750)
Los algebraïsch op: 3log(x-2) = 1 + 5 ∙ 3log(2)
- 3log(x-2) = 3log(3) + 3log(25)
- 3log(x-2) = 3log(3) + 3log(32)
- 3log(x-2) = 3log(96)
- x-2 = 96 dus x = 98
Gegeven is 2 ∙ log(N) = 9 – 3k. Herleid tot N = b ∙gk
- log(N) = 4,5 – 1,5k
- N = 104,5 – 1,5k
- N = 104,5 ∙ 101,5k
- N = 104,5 ∙ (101,5)k
- Je krijgt N = 32000 ∙ 0,032k
Gegeven is y = 2 ∙ 3x. Herleid tot vorm log(y) = ax+b
- log(y) = log(2 ∙ 3x)
- log(y) = log(2) + log(3x)
- log(y) = log(2) + x ∙ log(3)
- Je krijgt log(y) = 0,48x + 0,30