Rekenen met rente en rendement

Rekenen met rente en rendement
Woekerpolis? Lening met lokrente? Er wordt met de beschuldigende vinger naar banken en
verzekeraars gewezen die op hun beurt weer terugwijzen naar de consument: Deze zou te weinig kennis hebben van financiële produkten. Dit document speelt in op het laatste en heeft als
doel de basis uit te leggen van het rekenen met rente of rendement. Ook al is niet iedereen financieel onderlegd, vroeg of laat krijgt praktisch iedereen te maken met sparen, lenen of pensioen. Dit document gaat niet in detail in op alle mogelijke financiële produkten en varianten
daarvan, maar biedt houvast bij het doen van berekeningen met rente en rendement.
Wat is rente?
Geld heeft een tweeledig doel: Ten eerste fungeert het als ruilmiddel. Het verbetert de ruilhandel in feite. Daarnaast is het een vermogensvormer: We sparen geld om later aankopen te kunnen doen of om van te leven, bijvoorbeeld pensioen. Geld wordt in de loop door inflatie
steeds minder waard. Als iemand wil investeren, is geld nodig. Als iemand nog geen geld verdiend heeft, is investeren niet mogelijk, tenzij hij geld van iemand kan lenen. Na enige tijd als
het geleende bedrag wordt terugbetaald, minder waard geworden door inflatie. Rente is in feite een compensatie voor deze inflatie. Daarnaast is het ook een vergoeding voor het gelopen
risico: De investering kan immers verkeerd uitpakken. Hoe hoger het risico op verlies wordt
ingeschat, hoe hoger de rente doorgaans is. Daarnaast is het meestal zo dat hoe langer het geld
uitgeleend zal worden, hoe hoger de rente zal zijn. De inflatie kan immers langer zijn werk
doen.
De basis
Stel ik leg op 1 januari 100 euro in op een spaarrekening met 5 % rente per jaar. Op 31 december van hetzelfde jaar zou ik dan 105 euro moeten hebben. Het jaar daarna krijg ik geen
rente over 100 euro, maar over 105 euro. Dit geeft 110,25 als eindsaldo. Dit kunnen we ook
anders opschrijven:
100∗1,05=105
100∗1,05∗1,05=100∗1,052=110,25
Na n jaren is mijn eerste inleg gegroeid naar:
E  n= I 1in
(1)
Hierbij is n het aantal jaren, E(n) het eindbedrag na n jaar, I mijn eerste inleg en i is het rentepercentage gedeeld door 100.
Maar wat nu als ik mijn geld niet een jaar laat staan, maar slechts een maand? De rente wordt
meestal maar eens per jaar uitgekeerd, maar dat betekent niet dat er geen recht is op rente. De
rente wordt dan meestal uitbetaald als de rekening na een maand weer wordt opgeheven. De
truuk is om de rente per maand uit te rekenen i.p.v. per jaar. Na 12 maanden rente te hebben
1
ontvangen per maand, moet dit weer gelijk zijn aan de 5 % per jaar. Oftewel, stel dat j de fractie is per maand, dan moet gelden:
1 j 12=1i
(2a)
1 j=1 i1 /12
(2b)
Oftewel:
Met i = 5 % is de factor 1 + j ongeveer gelijk aan 1,00407, oftewel de rente is 0,407 % per
maand.
Voorbeeld 1: AEX Spaarrekening
ABN Amro heeft al een tijdje de zogenaamde AEX Spaarrekening in zijn assortiment die
maximaal 7 % rente biedt afhankelijk van hoeveel de beursindex de AEX gestegen is. Maar
klinkt dit niet leuker dan het is? Ja. Want de 7 % is niet de rente per jaar, maar de rente per
half jaar als de AEX met minstens 7 % gestegen is. Stel ik leg 1000 euro in op zo'n rekening
en de AEX stijgt het eerste halfjaar met 8 %. Nu heb ik recht op 7 % rente op halfjaarbasis. Ik
ontvang dan ongeveer 35 euro aan rente. Het volgende halfjaar stijgt de AEX met 2 %. Ik ontvang nu ongeveer 10 euro. In totaal heb ik 45 euro aan rente ontvangen na 1 jaar. Dit is 4,5 %.
Dus ondanks het feit dat de AEX met meer dan 10 % in een jaar is gestegen, ontvang ik
slechts effectief 4,5 % rente en geen 7 %. Had ik wel het maximale van 7 % willen ontvangen,
dan had de AEX met effectief 1,07 * 1,07 = 1,449 oftewel 14,49 % moeten stijgen. Het is zeer
onwaarschijnlijk dat de AEX elk jaar met dit percentage zal stijgen.
Het begrip effectieve rente versus nominale rente
Voorbeeld 1 geeft al aan dat het vergelijken van rentes niet zoveel zin heeft als ze betrekking
hebben op verschillende looptijden. Vergelijken heeft pas zin als een gegeven rente (de nominale rente) wordt omgerekend naar een rente per jaar (de effectieve rente). Door effectieve
rentes te vergelijken i.p.v. de nominale rentes kan beter inzicht verkegen worden of iets duur
is of niet. Banken en andere financiele instellingen zijn tegenwoordig verplicht bij sparen en
bij leningen effectieve rentes te vermelden.
Voorbeeld 2: Roodstaan op een betaalrekening
Stel op een rekeningafschrift staat dat roodstaan 1 % rente per maand kost. Effectief is dit dus
(1,01)12 = 1,1268 oftewel 12,68 % rente effectief per jaar.
Voorbeeld 3: Een hypotheek
Stel dat in een hypotheekofferte van 150.000 euro een nominale rente wordt gevraagd van 6
% per jaar. Als de hypotheek 1 jaar loopt, moet aan het einde hiervan dus 9000 euro aan rente
betaald worden. Echter, de geldgever wil alleen de rente automatisch incasseren in gelijke delen van 750 euro per maand. Over dit bedrag kan ik tijdelijk dus geen rente meer ontvangen
op een spaarrekening bijvoorbeeld en is dus een extra verlies. Effectief wordt er in feite
750/150.000 = 0,5 % per maand aan rente betaald. Dit is (1,005) 12 = 1,0617 oftewel 6,17 %
rente effectief per jaar.
2
Sparen met vaste inleg
In voorgaande voorbeelden is er slechts sprake geweest van een enkele inleg. Stel dat iemand
ieder jaar of iedere maand een vast bedrag inlegt. In het eerste voorbeeld het eerste jaar 100
euro, het tweede jaar weer 100 euro, enzovoort. Na 2 jaar groeit de eerste 100 euro aan met
(1,05)2, de tweede 100 euro met 1,05. Het totaal is de som van de twee bijdragen. Spaar 10
jaar op deze manier en de rekensom wordt een lange exercitie. Echter, de bovenstaande vormt
een zogenaamde meetkundige reeks waarvan het eindbedrag is te berekenen als 1 formule.
Een afleiding wordt in dit document niet gegeven, maar het resultaat hiervan is:
1in1 −1
E  n= I 
−1
i
(3a)
Een variant van deze vergelijking is wanneer de eerste inleg afwijkt van de daarop volgende
inleg. Stel dat de eerste inleg E(0) is. Vergelijking (3a) kan dan uitgebreid worden met:
E  n= E 01in I 
1in −1
−1
i
(3b)
Voorbeeld 4: Een spaarhypotheek
Bij een spaarhypotheek wordt niet gedurende de looptijd van een hypotheek de hypotheekschuld afgelost, maar wordt er apart gespaard om na het verstrijken van de looptijd de schuld
ineens af te kunnen lossen. Dit wordt gedaan omdat zo de hele rente gedurende de looptijd
mag worden afgetrokken van de inkomstenbelasting. Op het gespaarde bedrag wordt dezelfde
rente ontvangen als de rente die over de schuld moet worden betaald. Bij een rentestijging
dempt dit enigszins de stijging van de maandlasten.
Stel dat een spaarhypotheek van 150.000 euro 30 jaar loopt met een nominale rente van 4 %
per jaar die 10 jaar vast staat. De eerste 10 jaar is de maandlast 500 euro aan rente per maand
+ 218,18 euro aan inleg op de spaarrekening, gebruik makende van formule (3a) om na 30
jaar exact 150.000 euro af te kunnen lossen.Na het verstrijken van de rentevaste periode is de
rente ineens 6 %. Aan rentelasten moet nu ineens 750 euro per maand betaald worden, maar
nu 103,92 euro op de spaarrekening. Na 10 jaar heeft een inleg van 218,18 op de spaarrekening 32.110,90 opgeleverd. (formule 3a) Als de rente de resterende 20 jaar 6 % blijft, dan
groeit dit bedrag aan tot 102.984,- euro. (eerste term van formule 3b). Er resteert nog 47.016
euro om de hypotheekschuld van 150.000 euro af te kunnen lossen. Dit moet opgebracht worden door de tweede term in formule (3b) gedurende 20 jaar. De inleg wordt dan 103,92 per
maand.
Bij een aflossingsvrije hypotheek zou een stijging van 500 naar 750 euro een stijging van 50
% van de maandlasten betekenen. Bij een spaarhypotheek stijgen de maandlasten van 718,18
naar 853,93 euro, oftewel een stijging van 18,9 %.
Het begrip reële rente
Zoals eerder gezegd wordt geld in de loop der tijd minder waard door inflatie. Stel i is nu de
inflatie. Stel dat de inflatie 2 % in een jaar is. Na 1 jaar kost een produkt wat eerst 1 euro kostte nu 1,02 euro. Je kunt ook zeggen dat die ene euro effectief 1/1,02 = 0,98 waard is. Nu is
3
sparen redelijk veilig, mits ondergebracht bij een goede bank en het geen achtergesteld deposito is. Beneden een bepaald bedrag wordt het tegoed dan gegarandeerd door De Nederlandse
Bank d.m.v. het Depositogarantiestelsel. Effectief is het enige risico wat bij een spaarrekening
wordt gelopen het inflatierisico. Enerzijds wordt er rente ontvangen, anderszijds wordt het tegoed minder waard door inflatie. Stel dat de rente die na 1 jaar wordt ontvangen 1 + r is. Effectief neemt het saldo dus toe met
1rr=
1r
1i
(4)
Hierbij is rr de zogenaamde reële rente. Dit is een maat voor de koopkracht van het spaartegoed na bijvoorbeeld een jaar. Deze kan zelfs negatief worden, als de inflatie dus hoger is dan
de rente die wordt ontvangen op een spaarrekening.
Voorbeeld 5: Direkt opneembare spaarrekening
Stel dat op een spaarrekening 2,5 % rente wordt ontvangen in een jaar. De inflatie bedraagt
echter 1 %. Effectief is het saldo dus echter met 1,025/1,01 = 1,0149 oftewel 1,49 % gegroeid.
Omdat i klein is, is dit dus te benaderen door 2,5 – 1 = 1,5 %
Lenen tegen rente met aflossing: Annuiteiten
Stel iemand heeft geld geleend en moet hierover rente betalen maar ook aflossing. Het te betalen bedrag is echter zo uit te kienen dat de maandlast gelijk blijft, maar na een vaste periode
de hele schuld met rente is terugbetaald. De eerste maand bestaat het maandbedrag uit relatief
veel rente, weinig aflossing, de volgende maand iets minder rente en wat meer aflossing zodanig dat na bijvoorbeeld 5 jaar de hele schuld is afbetaald. Dit is een zogenaamde annuiteit en
doet zich bijvoorbeeld voor bij een persoonlijke lening. Hierbij staat de rente gedurende de
looptijd meestal vast zodat er geen renterisico wordt gelopen, maar is heropname uit de lening
niet mogelijk en is vroegtijdig aflossen soms gebonden aan een boete. De afleiding volgt weer
uit een meetkundige reeks. Stel dat het maandbedrag u is en de hoofdsom van de lening H. De
annuiteit u wordt dan:
i
u=H
1−
1
n
1i
(5)
Voorbeeld 6: Een annuitaire hypotheek
Annuitaire aflossing kan niet alleen bij een persoonlijke lening, maar ook bij een hypotheek.
Ze komen relatief weinig voor omdat ze vanwege de hypotheekrenteaftrek nadelig zijn. Maar
bij hypotheken waarvan de rente niet mag worden afgetrokken kan de aflossing ook annuitair
plaatsvinden. Stel iemand heeft zijn hypotheek overgesloten vanwege de lage, gedaalde rente
en betaalt de extra kosten van 10.000 euro door een nieuw, niet fiscaal aftrekbaar hypotheekdeel. Omdat de rente nu heel laag is, maar rentestijgingen niet gewenst zijn, wordt dit deel van
de hypotheek in 5 jaar met een vaste rente van 5 % afgelost. Let op, bij annuitaire hypotheken
is de rente verschuldigd per jaar, de aflossing ook. De rente wordt echter vaak per maand betaald, wat nadelig is. In formule (5) is n daarom niet 60, maar 5. Per jaar moet dan 2309,75
euro betaald worden om de hypotheeksom in 5 jaar geheel af te lossen met rente. Dit wordt
meestal gespreid over 12 termijnen van 192,48 euro.
4
Voorbeeld 7: Een doorlopend krediet
Bij een doorlopend krediet wordt eveneens een vast bedrag per maand betaald, is heropnemen
tot de afgesproken kredietlimiet mogelijk, maar is de rente vaak variabel. Is deze gestegen,
dan blijft men meestal een vast bedrag per maand te betalen, maar gaat het langer duren voordat de lening helemaal is ingelost. Het minimale percentage of fractie f = u/H om een krediet
binnen een bepaalde tijd af te kunnen lossen, is te berekenen met formule (5). Meestal hanteren banken een vast percentage van 2 of 2,5 %. Bij een gelijkblijvende rente is dan de theoretische looptijd n uit te rekenen. Stel iemand heeft een kredietlimiet afgesproken van 10.000
euro en betaalt per maand 2 % van deze limiet aan rente en aflossing, dus 200 euro per
maand. De rente is op dat moment 6,9 %. Zou de rente de gehele looptijd gelijk blijven, dan
duurt het dus 59 maanden om het gehele krediet van 10.000 inclusief rente af te lossen. Door
een rentestijging kan dit echter oplopen, dus het is meestal raadzaam om méér af te lossen dan
200 euro per maand. Of beter gezegd: Een minder hoge kredietlimiet afspreken om zo sneller
te kunnen aflossen en een rentestijging op te kunnen vangen.
Pensioen: Direct ingaande lijfrente
Formule (5) kan ook omgekeerd gebruikt worden. Via bijvoorbeeld een verzekeringspolis of
een pensioen volgens het beschikbaar premiestelsel is er een som geld gespaard of belegd. Ieder jaar kan hier rente op ontvangen worden en een deel ervan uit ontrokken, net zolang tot
het op is. Dit is een zogenaamde direct ingaande lijfrente. Met bijvoorbeeld een zogenaamde
overbruggingslijfrente kan iemand die op zijn 60ste met pensioen wil, de periode tot 65 jaar
overbruggen. De uitkering per maand, kwartaal of zelfs per jaar hangt af van enerzijnds het
gespaarde of belegde bedrag en anderzijnds de rente op dat moment, die meestal voor de periode van 5 jaar vaststaat.
5