Oplossing onderzoeksopdrachten van WPP5.1

WPP 5.1: Reële functies
Oplossing
onderzoeksopdrachten
Werkbladen ICT :
Opgaven en oplossingen
Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 30
Het gedrag op oneindig van een veeltermfunctie
Gegeven : de functie f ( x ) = 0, 001x 5 + 100x 2
In het vorige voorbeeld stelde je vast dat de bijdrage van de hoogstegraadsterm in de
berekening van de functiewaarde doorslaggevend is.
In dit voorbeeld zijn de coefficienten
speciaal gekozen. Verklaar.
Wat stel je vast in dit voorbeeld bij ' voldoende grote en kleine ' invoerwaarden ?
Bereken bijvoorbeeld f (1000 ) en f ( −1000 ) .
Oplossing
van x 5 is zeer klein gekozen t.o.v. de coefficient
van x 2 . De coefficient
van x 5
De coefficient
is namelijk een factor 105 kleiner zo dat zich de vraag stelt of de hoogstegraadsterm van
f ( x ) nog wel doorslaggevend is.
f (1000 ) = 0, 001 ⋅ 10005 + 100 ⋅ 10002 = 1012 + 108
f ( −1000 ) = 0, 001 ⋅ ( −1000 ) + 100 ⋅ ( −1000 ) = −1012 + 108
5
2
Je stelt vast dat voor deze invoerwaarden de bijdrage van de hoogstegraadsterm in de
berekening van de functiewaarde nog steeds doorslaggevend is.
Voor x = 30 is dit echter niet het geval.
Immers, f ( 30 ) = 0, 001 ⋅ 305 + 100 ⋅ 302 = 24300 + 90000
x moet dus ' voldoende groot ' of ' voldoende klein ' gekozen worden ( x → +∞ of x → −∞ ) .
2
Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 34
Het gedrag op oneindig van een veeltermfunctie – Aantal nulpunten van een
veeltermfunctie
Veeltermfuncties van een oneven graad
Onderzoek met PC/GRT het gedrag op oneindig van veeltermfuncties van een oneven graad
waarvan de coëfficiënt van de hoogstegraadsterm positief is.
Bijvoorbeeld: f ( x ) = 2x + 4, f ( x ) = x 3 + 2x 2 , ... .
Het gedrag op oneindig van dit type veeltermfuncties vertoont steeds hetzelfde patroon.
Formuleer dit in woorden en met behulp van de limietnotatie.
Trek conclusies over het bestaan van nulpunten als je de grafiek van links naar rechts
doorloopt.
Oplossing
Grafiek van f ( x ) = 2x + 4
Grafiek van f ( x ) = x 3 + 2x 2
Grafiek van f ( x ) = x 5 − x 4
Grafiek van f ( x ) = 2x 7 − x 4 + x 3
− Als x (zeer) klein wordt, of nog (uiterst) links in de grafiek worden de functiewaarden
steeds kleiner. In limietnotatie: lim f ( x ) = −∞
x →−∞
− Als x (zeer) groot wordt, of nog (uiterst) rechts in de grafiek worden de functiewaarden
steeds groter. In limietnotatie: lim f ( x ) = +∞
x →+∞
− Omdat je van −∞ naar +∞ loopt en de grafiek geen onderbrekingen vertoont, zal er
minstens één nulpunt zijn.
3
Doe hetzelfde voor veeltermfuncties van een oneven graad waarvan de coëfficiënt van de
hoogstegraadsterm negatief is.
Oplossing
Voor veeltermfuncties van een oneven graad waarvan de coëfficiënt van de
hoogstegraadsterm negatief is geldt: lim f ( x ) = +∞ en lim f ( x ) = −∞ .
x →−∞
x →+∞
Er is ook steeds minstens één nulpunt.
Veeltermfuncties van een even graad
Herhaal dit onderzoek voor functies zoals f ( x ) = x 2 + 3, f ( x ) = 0,5x 4 − x 3 + 3, ... .
Wijzig het voorschrift zo dat de grafiek verticaal verschuift.
Trek conclusies over het bestaan van nulpunten.
Oplossing
Grafiek van f ( x ) = x 2 + 3
Grafiek van f ( x ) = 0,5x 4 − x 3 + 3
Grafiek van f ( x ) = x 2
Grafiek van f ( x ) = 0,5x 4 − x 3 − 6
lim f ( x ) = +∞ en
x →−∞
lim f ( x ) = +∞
x →+∞
De grafiek kan geen, één of meerdere nulpunten hebben afhankelijk onder meer van de
exponent van de hoogstegraadsterm.
4
Doe een analoog onderzoek voor veeltermfuncties van een even graad waarvan de coëfficiënt
van de hoogstegraadsterm negatief is.
Oplossing
Als de coëfficiënt van de hoogstegraadsterm negatief is en f(x) is van een even graad, dan
geldt: lim f ( x ) = −∞ en lim f ( x ) = −∞ .
x →−∞
x →+∞
Maximaal aantal nulpunten van een veeltermfunctie – Werkblad ICT
Open het bestand 'Aantal nulpunten van een veeltermfunctie'.
Bij elke keuze van de coëfficiënten bekom je het voorschrift van een veeltermfunctie.
Bepaal het aantal nulwaarden van elke veeltermfunctie en vergelijk dit aantal met de graad
van de veeltermfunctie.
Is het mogelijk om bijvoorbeeld vier nulpunten te bekomen voor een derdegraadsfunctie?
Oplossing
Het aantal nulwaarden is steeds kleiner dan of gelijk aan de graad van de veeltermfunctie.
Het is bijgevolg onmogelijk om vier nulpunten te bekomen voor een derdegraadsfunctie.
5
Werkblad ICT : Aantal nulpunten van een veeltermfunctie
Werkblad ICT: Aantal nulpunten van een veeltermfunctie
Open het Cabri-programma.
Open het bestand ‘01 Aantal nulpunten van een veeltermfunctie’
Door het instellen van de waarden a, b, c, d, e en f definiëren we de functie met voorschrift
f (x) = ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f .
Door de punten a, b, c, d, e en f op de lijnstukken te verslepen stellen we de waarden van de
coëfficiënten a, b, c, d, e en f in.
Door het punt x op het lijnstuk [-20, 20] te verslepen bepalen we de x-waarde (de invoerwaarde).
We kunnen dan de bijhorende functiewaarde f(x) (de uitvoerwaarde) aflezen op het scherm.
Geef nu aan a, b, c, d, e en f telkens de waarden passend bij de functievoorschriften in
onderstaande tabel.
Beweeg met het punt x om de nulwaarde(n) op het scherm af te lezen.
Tel het aantal gevonden nulwaarden. Bepaal de graad van de functie.
Functievoorschrift
Verzameling
nulwaarden
f (x) = 0
f (x) = 3
f (x) = 2x + 5
f (x) = −5x + 14
Aantal
nulwaarden
Graad f
f (x) = x 2 + x − 12
f (x) = x 2 + 4x + 4
f (x) = − x 2 + 7x − 13
f (x) = x 3 − 3x 2 − x + 3
f (x) = 2x 3 + x 2 − 2x + 8
f (x) = x 3 − x 2 − 8x + 12
f (x) = x 3 − 5x − 12
f (x) = 4x 3 + 12x 2 − 9x − 7
f (x) = x 4 − 2x 2 + 1
f (x) = 2x 4 + 3x 3 − 12x 2 − 7x + 6
f (x) = x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1
f (x) = 2x 4 + 5x 3 − 3x 2 − 8x + 4
f (x) = 3x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 2x + 1
f (x) = x 5 − x 4 − 5x 3 + 2x 2 + 4x + 8
f (x) = 4x 5 − 13x 3 − 8x 2 + 3x + 2
f (x) = x 5 − 5x 3 + 4x
f (x) = x 5 − 5x 4 + 10x 3 − 10x 2 + 5x − 1
f (x) = x 5 − 6x 3 − 7x 2 − 6x
WiskundeProjectPlantyn
Aantal nulpunten van een veeltermfunctie
6
Werkblad ICT : Aantal nulpunten van een veeltermfunctie
Besluit
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
Een nulwaardenprobleem
Beschouw de functie met voorschrift f (x) = x 3 − x − 1.
Om algebraïsch de nulwaarden te bepalen, probeer je de vergelijking
x 3 − x − 1 = 0 op te lossen naar x in lR.
Welke methoden ken je om deze vergelijking op te lossen?
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
Probeer je beschreven methoden uit te voeren.
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
Wat stel je (helaas) vast ?
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
We brengen nu een ‘grafische oplossing’.
Maak in het bestand ‘01 Aantal nulpunten van een veeltermfunctie’ een passende
instelling om de functie met voorschrift f (x) = x 3 − x − 1 te tekenen.
Beweeg het punt x in [-20, 20].
In welk interval ligt de nulwaarde? ……………………………………………………..
~
Om de nulwaarde in dit interval te benaderen, kunnen we gebruik maken van ons grafisch
rekentoestel (TI-83).
Voer het functievoorschrift in.
Teken de grafiek in het venster [-3, 3] op [-3, 3].
Gebruik nu 2nd CALC 2 : zero .
Het toestel vraagt naar een ‘Left Bound?’.
Gebruik een pijltjestoets om je links van het nulpunt te plaatsen, en druk ENTER.
WiskundeProjectPlantyn
Aantal nulpunten van een veeltermfunctie
7
Werkblad ICT : Aantal nulpunten van een veeltermfunctie
Het toestel vraagt nu naar een ‘Right Bound?’.
Gebruik een pijltjestoets om je rechts van het nulpunt te plaatsen, en druk ENTER.
Het toestel vraagt nu een ‘Guess?’.
Gebruik een pijltjestoets om je tussen de opgegeven ‘Left Bound’ en ‘Rigth Bound’ te
plaatsen, en druk ENTER.
Het toestel toont een benadering van het nulpunt.
Wat is de waarde van je verkregen benadering? ……………………………………………
Via het programma ‘Derive 5’ kunnen we de vergelijking in exacte mode oplossen.
Open het programma ‘Derive 5’.
Tik op de invoerlijn de vergelijking x^3 − x − 1 = 0 in, gevolgd door ENTER.
Gebruik de knop
om de vergelijking op te lossen.
Opteer in Oplossingsgebied voor 'Reëel'.
Welke exacte oplossing verkrijg je?
………………………………………………………
Gebruik de knop
om de exacte oplossing te benaderen.
Vergelijk deze benadering met de benadering van je rekentoestel!
Nog even dit!
− In de analyse ontwikkelen we later ‘benaderingsmethoden’ om nulwaarden van een
functie te bepalen. Deze methoden zijn nu in ons rekentoestel (standaard)
geïmplementeerd.
− Het programma ‘Derive 5’ is in staat een derdegraadsvergelijking in exacte mode op te
lossen omdat er in de wiskunde methoden ontwikkeld werden om zo’n vergelijking
algebraïsch op te lossen. Het zijn deze algoritmen die in de informatica werden
geprogrammeerd (zie historische noot ‘Korte geschiedenis van veeltermen’).
WiskundeProjectPlantyn
Aantal nulpunten van een veeltermfunctie
8
Werkblad ICT : Aantal nulpunten van een veeltermfunctie
Het oplossen van een derdegraadsvergelijking
Het oplossen van vergelijkingen is voor wiskundigen steeds een even fascinerende als nuttige
bezigheid geweest. In het begin van de 16-de eeuw vond Scipione del Ferro (°1465-†1526),
professor te Bologna, een formule om de derdegraadsvergelijking x 3 = px + q met p, q ∈ lR 0+
op te lossen. del Ferro publiceerde zijn formule echter niet. Toch verspreidde zich het nieuws
over de ontdekking en zette anderen aan om de formule eveneens te vinden.
Nicolo Fontana (°±1500-†1557) uit Brescia, beter bekend onder de naam Tartaglia (= stotteraar)
slaagde in dit opzet. Maar ook hij hield de formule geheim. Een Milanese arts, Geronimo
Cardano (°1501-†1576) slaagde erin om de formule van Tartaglia te bemachtigen na hem
onder eed beloofd te hebben ze niet openbaar te maken. Maar Cardano kon niet nalaten om de
formule toch te publiceren in zijn boek ‘Ars Magna’ (1545), weliswaar met de vermelding
van de naam van Tartaglia. Zo vinden we ook in dit werk dat men de oplossingen van de
vergelijking x 3 = px + q met p, q ∈ lR 0+ kan bepalen met de formule:
2
3
2
3
q
q
⎛q⎞ ⎛p⎞
⎛q⎞ ⎛p⎞
x=
+ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ + 3 − ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ .
2
2
⎝2⎠ ⎝3⎠
⎝2⎠ ⎝3⎠
3
Pas deze formule toe op de vergelijking x 3 − x − 1 = 0 en vergelijk met het resultaat gegeven
door het programma ‘Derive 5’.
WiskundeProjectPlantyn
Aantal nulpunten van een veeltermfunctie
9
Werkblad ICT : Aantal nulpunten van een veeltermfunctie
Oplossing Werkblad ICT : Aantal nulpunten van een veeltermfunctie
Open het Cabri-programma.
Open het bestand ‘01 Aantal nulpunten van een veeltermfunctie’
Door het instellen van de waarden a, b, c, d, e en f definiëren we de functie met voorschrift
f (x) = ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f .
Door de punten a, b, c, d, e en f op de lijnstukken te verslepen stellen we de waarden van de
coëfficiënten a, b, c, d, e en f in.
Door het punt x op het lijnstuk [-20, 20] te verslepen bepalen we de x-waarde (de invoerwaarde).
We kunnen dan de bijhorende functiewaarde f(x) (de uitvoerwaarde) aflezen op het scherm.
Geef nu aan a, b, c, d, e en f telkens de waarden passend bij de functievoorschriften in
onderstaande tabel.
Beweeg met het punt x om de nulwaarde(n) op het scherm af te lezen.
Tel het aantal gevonden nulwaarden. Bepaal de graad van de functie.
Functievoorschrift
Verz. nulwaarden
Aantal
nulwaarden
∞
0
1
Graad f
1
1
2
2
1
2
∅
0
2
{−1, 1, 3}
{−2}
{−3, 2}
{3}
3
3
1
3
2
3
1
3
3
3
2
4
4
4
1
4
f (x) = 2x 4 + 5x 3 − 3x 2 − 8x + 4
{−3,5 ; − 0,5 ; 1}
{−1, 1}
{−3 ; − 1 ; 0,5 ; 2}
{−1}
{−2 ; 0,5 ; 1}
3
4
f (x) = 3x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 2x + 1
∅
0
4
{−2, 2}
2
5
{−1 ; − 0,5 ; 0,5 ; 2}
{−2, − 1, 0, 1, 2}
4
5
5
5
f (x) = 0
f (x) = 3
f (x) = 2x + 5
lR
∅
{−2,5}
{2,8}
{−4, 3}
{−2}
f (x) = −5x + 14
f (x) = x 2 + x − 12
f (x) = x 2 + 4x + 4
f (x) = − x 2 + 7x − 13
f (x) = x 3 − 3x 2 − x + 3
f (x) = 2x 3 + x 2 − 2x + 8
f (x) = x 3 − x 2 − 8x + 12
f (x) = x 3 − 5x − 12
f (x) = 4x 3 + 12x 2 − 9x − 7
f (x) = x 4 − 2x 2 + 1
f (x) = 2x 4 + 3x 3 − 12x 2 − 7x + 6
f (x) = x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1
f (x) = x 5 − x 4 − 5x 3 + 2x 2 + 4x + 8
f (x) = 4x 5 − 13x 3 − 8x 2 + 3x + 2
f (x) = x 5 − 5x 3 + 4x
WiskundeProjectPlantyn
Aantal nulpunten van een veeltermfunctie
n.g.
0
1
10
Werkblad ICT : Aantal nulpunten van een veeltermfunctie
{1}
1
5
{−2, 0, 3}
3
5
f (x) = x 5 − 5x 4 + 10x 3 − 10x 2 + 5x − 1
f (x) = x 5 − 6x 3 − 7x 2 − 6x
Besluit
Als de graad van een veeltermfunctie n is, dan is het aantal verschillende nulwaarden van de
veeltermfunctie hoogstens gelijk aan n.
Een nulwaardenprobleem
Beschouw de functie met voorschrift f (x) = x 3 − x − 1.
Om algebraïsch de nulwaarden te bepalen, probeer je de vergelijking
x 3 − x − 1 = 0 op te lossen naar x in lR.
Welke methoden ken je om deze vergelijking op te lossen?
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
Probeer je beschreven methoden uit te voeren.
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
Wat stel je (helaas) vast ?
We kunnen deze vergelijking niet met de tot nu toe aangeleerde methoden.
We brengen nu een ‘grafische oplossing’.
Maak in het bestand ‘01 Aantal nulpunten van een veeltermfunctie’ een passende
instelling om de functie met voorschrift f (x) = x 3 − x − 1 te tekenen.
Beweeg het punt x in [-20, 20].
In welk interval ligt de nulwaarde? In [1,3 ; 1,4]
~
Om de nulwaarde in dit interval te benaderen, kunnen we gebruik maken van ons grafisch
rekentoestel (TI-83).
Voer het functievoorschrift in.
Teken de grafiek in het venster [-3, 3] op [-3, 3].
Gebruik nu 2nd CALC 2 : zero .
Het toestel vraagt naar een ‘Left Bound?’.
WiskundeProjectPlantyn
Aantal nulpunten van een veeltermfunctie
11
Werkblad ICT : Aantal nulpunten van een veeltermfunctie
Gebruik een pijltjestoets om je links van het nulpunt te plaatsen, en druk ENTER.
Het toestel vraagt nu naar een ‘Right Bound?’.
Gebruik een pijltjestoets om je rechts van het nulpunt te plaatsen, en druk ENTER.
Het toestel vraagt nu een ‘Guess?’.
Gebruik een pijltjestoets om je tussen de opgegeven ‘Left Bound’ en ‘Rigth Bound’ te
plaatsen, en druk ENTER.
Het toestel toont een benadering van het nulpunt.
Wat is de waarde van je verkregen benadering? 1,324718
Via het programma ‘Derive 5’ kunnen we de vergelijking in exacte mode oplossen.
Open het programma ‘Derive 5’.
Tik op de invoerlijn de vergelijking x^3 − x − 1 = 0 in, gevolgd door ENTER.
Gebruik de knop
om de vergelijking op te lossen.
Opteer in Oplossingsgebied voor 'Reëel'.
Welke exacte oplossing verkrijg je?
………………………………………………………
Gebruik de knop
om de exacte oplossing te benaderen.
Vergelijk deze benadering met de benadering van je rekentoestel!
Het oplossen van een derdegraadsvergelijking
Het oplossen van vergelijkingen is voor wiskundigen steeds een even fascinerende als nuttige
bezigheid geweest. In het begin van de 16-de eeuw vond Scipione del Ferro (°1465-†1526),
professor te Bologna, een formule om de derdegraadsvergelijking x 3 = px + q met p, q ∈ lR 0+
WiskundeProjectPlantyn
Aantal nulpunten van een veeltermfunctie
12
Werkblad ICT : Aantal nulpunten van een veeltermfunctie
op te lossen. del Ferro publiceerde zijn formule echter niet. Toch verspreidde zich het nieuws
over de ontdekking en zette anderen aan om de formule eveneens te vinden.
Nicolo Fontana (°±1500-†1557) uit Brescia, beter bekend onder de naam Tartaglia (= stotteraar)
slaagde in dit opzet. Maar ook hij hield de formule geheim. Een Milanese arts, Geronimo
Cardano (°1501-†1576) slaagde erin om de formule van Tartaglia te bemachtigen na hem
onder eed beloofd te hebben ze niet openbaar te maken. Maar Cardano kon niet nalaten om de
formule toch te publiceren in zijn boek ‘Ars Magna’ (1545), weliswaar met de vermelding
van de naam van Tartaglia. Zo vinden we ook in dit werk dat men de oplossingen van de
vergelijking x 3 = px + q met p, q ∈ lR 0+ kan bepalen met de formule:
2
3
2
3
q
q
⎛q⎞ ⎛p⎞
⎛q⎞ ⎛p⎞
x=
+ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ + 3 − ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ .
2
2
⎝2⎠ ⎝3⎠
⎝2⎠ ⎝3⎠
3
Pas deze formule toe op de vergelijking x 3 − x − 1 = 0 en vergelijk met het resultaat gegeven
door het programma ‘Derive 5’.
x3 − x − 1 = 0
⇔ x3 = x + 1
2
3
2
⇔x=
3
1
1
⎛1⎞ ⎛1⎞
⎛ 1⎞ ⎛1⎞
+ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ + 3 − ⎜ ⎟ −⎜ ⎟
2
2
⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠
⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠
⇔x=
3
1
1 1
1
1 1
+
−
+3 −
−
2
4 27
2
4 27
⇔x=
3
1
27 − 4 3 1
27 − 4
+
+
−
2
108
2
108
⇔x=
3
1
23 3 1
23
+
+
−
2
108
2
108
⇔x=
3
1
23 3 1
23
+
+
−
2 6 3
2 6 3
⇔x=
3
1
23 ⋅ 3 3 1
23 ⋅ 3
+
+
−
2 6 3⋅ 3
2 6 3⋅ 3
⇔x=
3
1
69 3 1
69
+
+
−
2 18
2 18
1
3
⎛1
69 ⎞ ⎛ 1
69 ⎞
⇔ x = ⎜⎜ +
⎟⎟ + ⎜⎜ −
⎟⎟
⎝ 2 18 ⎠ ⎝ 2 18 ⎠
3
1
3
Dit is de oplossing die het programma 'Derive 5' ons toont.
WiskundeProjectPlantyn
Aantal nulpunten van een veeltermfunctie
13
Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 93
Rationale functies en verticale asymptoten
• Pas deze werkwijze toe om na te gaan of f ( x ) =
7x
verticale asymptoten
( x + 2 )( x − 3)
heeft en geef hun vergelijking. Ga na hoeveel VA er zijn.
Oplossing
We maken een tabel in de omgeving van de nulwaarden van de noemer.
Je stelt vast dat deze functie een VA heeft x = −2 en x = 3.
Er zijn bijgevolg twee VA.
• Ga na of f ( x ) =
7x ( x + 2 )
( x + 2 )( x − 3)
verticale asymptoten heeft. Bepaal zonder het voorschrift
te vereenvoudigen, het domein en de nulwaarden van f en stel tabellen op om het verloop
van deze functie na te gaan.
Maak ook de grafiek van deze functie in een gepast venster.
Oplossing
dom f = lR \ {−2, 3}
De nulwaarde van f is 0.
Er is enkel een VA bij x = 3. In x = −2 heeft de grafiek een onderbreking. Niet bij elke
nulwaarde van de noemer van het voorschrift heeft deze rationale functie een verticale
asymptoot.
14
• Ga na of f ( x ) =
( x + 2)
2
x+2
en of g ( x ) =
x+2
( x + 2)
2
verticale asymptoten hebben,
door een tabel of een grafiek te maken.
Oplossing
Functiewaardentabel van f
Functiewaardentabel van g
Uit de functiewaardentabel leiden we af dat f geen VA heeft en dat g een VA heeft met
vergelijking x = −2.
De grafiek van f is een rechte met een onderbreking in x = −2.
Het vereenvoudigd voorschrift van g is g ( x ) =
hyperbool met VA : x = −2.
1
. De grafiek van g is een orthogonale
x+2
• Volstaat het om te kijken naar de nulwaarden van de noemer in het voorschrift om een
VA te vinden ? Formuleer wanneer een nulwaarde van de noemer tot een VA leidt of
tot een onderbreking leidt.
Oplossing
Neen, het volstaat niet te kijken naar de nulwaarden van de noemer in het voorschrift om een
VA te vinden.
Als in het vereenvoudigde voorschrift van f een nulwaarde a in de noemer voorkomt, dan is er
een VA met vergelijking x = a.
Een nulwaarde van de noemer die ook een nulwaarde is van de teller leidt meestal tot een
onderbreking in de grafiek.
15
Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 95
Rationale functies en horizontale asymptoten
• Pas deze werkwijze toe om na te gaan of f ( x ) =
x+5
een HA heeft.
x2 − 3
Herinner je dat een HA een horizontale rechte is die door de grafiek van de functie altijd
beter benaderd wordt als x → −∞ en / of als x → +∞.
Oplossing
Je stelt vast dat lim f ( x ) = 0 en lim f ( x ) = 0 .
x →−∞
x →+∞
Bijgevolg zal f een horizontale asymptoot hebben met vergelijking y = 0.
3x 2 + 15x + 8
een HA heeft. Merk je een verschil op in de ligging van
x2 + 4
de grafiek t.o.v. de HA bij deze en bij de vorige functie ?
• Ga na of f ( x ) =
Oplossing
Je stelt vast dat lim f ( x ) = 3 en lim f ( x ) = 3 .
x →−∞
x →+∞
Bijgevolg zal f een horizontale asymptoot hebben met vergelijking y = 3.
Je stelt vast dat de grafiek de HA wel snijdt, maar niet voor zeer grote of zeer kleine
invoerwaarden.
• Is het volgens jou mogelijk dat een rationale functie meerdere HA heeft ?
Een functie heeft meerdere HA indien lim f ( x ) = a en lim f ( x ) = b met a, b ∈ lR en a ≠ b.
x →−∞
x →+∞
In de analyse zullen we aantonen dat er geen rationale functies bestaan die hieraan voldoen.
16
Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 97
Rationale functies en schuine asymptoten
• Voor zeer grote en voor zeer kleine invoerwaarden zullen de functiewaarden van
x3
praktisch gelijk worden aan de bijbehorende functiewaarden van de
x2 − 9
SA : y = x. Je kan ook zeggen dat, als er een SA is, de grafiek van de functie zich als
f (x) =
een rechte gedraagt voor zeer grote en voor zeer kleine invoerwaarden.
Onderzoek dit door de grafiek van f één of meerdere keren uit te zoomen.
Oplossing
[ −10, 10] op [ −10, 10]
[ −30, 30] op [ −30, 30]
[ −100, 100] op [ −100, 100]
0,5x 2 + 3x
.
• Onderzoek de rationale functie f ( x ) =
x +1
Bepaal het domein, de nulpunten en de asymptoten.
Probeer met ' trial and error ' de vergelijking te vinden van de SA.
Gedraagt deze grafiek zich op oneindig als een rechte?
Gedragen de grafieken van functies die een HA hebben zich op oneindig ook als een rechte ?
Ga dit na met zelf gekozen voorbeelden.
Oplossing
dom f = lR \ {−1}
De nulwaarden van f zijn 0 en − 6.
VA : x = −1
Om de HA te onderzoeken tekenenwe de grafiek
in het standaardvenster.
Als x nadert naar +∞ worden de functiewaarden
steeds groter.
Als x nadert naar −∞ worden de functiewaarden
steeds kleiner.
Er zal dus geen HA zijn.
17
Om de SA te onderzoeken gaan we inzoomen.
We tekenen de grafiek in het venster [−100, 100] op [−100, 100].
Je stelt vast dat de grafiek erg dicht ligt bij de rechte y = 0,5x.
De functie heeft een SA : y = 0,5x.
Om na te gaan of de grafieken van functies die een HA hebben zich op oneindig ook als een
1
rechte gedragen, stellen we f ( x ) = + 3 .
x
We tekenen de grafiek van deze functie in het
standaardvenster.
Deze functie heeft een HA : y = 3.
We tekenen de grafiek van deze functie in het
venster [ −100, 100] op [ −10, 10] .
Op oneindig gedraagt deze functie zich zoals de
rechte y = 3.
Dit is de HA.
Kies zelf nog een aantal verdere voorbeelden.
Je stelt vast dat de grafieken van functies die een HA hebben, zich op oneindig ook als een
rechte gedragen.
18
Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 117
Grondeigenschap van een n-de machtswortel −
n
an
In de grondeigenschap trek je eerst de n-de machtswortel uit a en daarna verhef je het
bekomen resultaat tot de n-de macht.
getal a tot de n-de macht en trek daarna de n-de machtswortel,
Verhef nu eerst het reeel
of nog, bepaal waaraan n a n gelijk is.
Je kan starten met het berekenen van :
22
( −2 )
2
3
23
3
( −2 )
3
4
24
4
( −2 )
4
Vul aan met goed gekozen voorbeelden en formuleer je besluit.
Oplossing
22 = 4 = 2
( −2 )
2
= 4 = 2 ≠ −2 !!
3
23 = 3 8 = 2
3
( −2 )
4
24 = 4 16 = 2
4
( −2 )
5
25 = 5 32 = 2
5
( −2 )
3
4
5
= 3 −8 = −2
= 4 16 = 2 ≠ −2 !!
= 5 −32 = −2
en ook :
6
46 = 6 4096 = 4
6
( −4 )
6
= 6 4096 = 4 ≠ −4 !!
enz.
Besluit
n
a n = a als n oneven is.
⎧⎪ n a n = a als n even is en a positief
⎨n n
⎪⎩ a = −a als n even is en a negatief .
19
5
25
5
( −2 )
5
Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 135
Irrationale vergelijkingen − Machtverheffingsvoorwaarde
Gegeven : a, b ∈ lR en n ∈ IN 0
Ga na of geldt : a = b ⇔ a n = b n .
• Als a = b, mag je dan besluiten dat a n = b n ?
Indien niet, bepaal de bijkomende voorwaarden.
Maak een onderscheid voor n even en n oneven.
Oplossing
Je bekomt steeds : a = b ⇒ a n = b n .
• Als a n = b n , mag je dan besluiten dat a = b ?
Indien niet, bepaal de bijkomende voorwaarden.
Maak een onderscheid voor n even en n oneven.
Oplossing
- n is even
Uit a n = b n volgt dat n a n = n b n .
Indien a ∈ lR 0+ en b ∈ lR 0+ dan geldt dat a = b.
Indien a ∈ lR 0− en b ∈ lR 0− dan geldt dat − a = − b, of nog, a = b.
Indien a ∈ lR 0+ en b ∈ lR 0− dan geldt dat a = −b.
Indien a ∈ lR 0− en b ∈ lR 0+ dan gedlt dat − a = b.
Voor n even geldt :
Uit a n = b n volgt dat a = b, op voorwaarde dat a en b hetzelfde teken hebben.
- n is oneven
Uit a n = b n volgt dat n a n = n b n .
Voor n oneven is steeds n a n = a en n b n = b.
Voor n oneven geldt :
Uit a n = b n volgt dat a = b.
Voor n oneven zal dus ook gelden : a n = b n ⇔ a = b.
20
Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 155
Een functie van het type f ( x ) = ax 2 + bx + c
Onderzoek de grafiek van irrationale functies van het type f ( x ) = ax 2 + bx + c
met a ∈ lR 0 en b, c ∈ lR.
− Stel g ( x ) = ax 2 + bx + c.
− Bespreek de nulpunten van g en van f .
− Er zijn zes gevallen voor het tekenschema van g.
Bepaal in elk van deze gevallen het domein van f .
− Geef in elk van deze gevallen het grafiektype van f .
− Als b = 0 in het voorschrift van f ( x ) = ax 2 + bx + c , dan geldt : f ( − x ) = f ( x ) .
Wat betekent dit voor de symmetrie van de grafiek van f ( x ) = ax 2 + c ?
− Met f ( x ) = − ax 2 + c kan je ook grafieken bekomen die onder de x-as liggen.
− Zoek zes voorschriften van functies die samen resulteren in onderstaand scherm op PC / GRT.
Op deze grafiek worden twee hyperbolen
en één ellips afgebeeld.
In de analytische meetkunde bestudeer je
deze krommen en leer je hun vergelijking
omvormen tot voorschriften van
irrationale functies.
Oplossing
g ( x ) = 0 ⇔ ax 2 + bx + c = 0
f ( x ) = 0 ⇔ ax 2 + bx + c = 0 ⇔ ax 2 + bx + c = 0
De functies g en f hebben dezelfde nulpunten.
1.
2.
3.
a > 0 en D > 0
a > 0 en D = 0
a > 0 en D < 0
x
g(x)
x
g(x)
x
g(x)
x1
0
+
+
x2
0
−
x1
0
+
dom f = ]−∞, x1 ] ∪ [ x 2 , + ∞[
dom f = lR
+
dom f = lR
+
21
4.
a < 0 en D > 0
5.
a < 0 en D = 0
6.
a < 0 en D < 0
x
g(x)
x
g(x)
x
g(x)
x1
0
−
−
x2
0
+
x1
0
dom f = [ x1 , x 2 ]
−
dom f = { x1 }
−
dom f = ∅
−
Mogelijke grafiektypen :
1. a > 0 en D > 0
x1
4. a < 0 en D > 0
x2
x1
2. a > 0 en D = 0
x2
5. a < 0 en D = 0
x1
x1
3. a > 0 en D < 0
6. a < 0 en D < 0
Als b = 0, dan is f ( x ) = ax 2 + c.
f is een even functie. De y-as is een symmetrieas voor de grafiek van f .
We zoeken zes voorschriften die resulteren in het gegeven scherm.
Stel f1 ( x ) = ax 2 + c.
f1 ( 0 ) = 2 ⇔ a ⋅ 02 + c = 2 ⇔ c = 2 ⇔ c = 4.
Dus f1 ( x ) = ax 2 + 4.
4
f1 ( 3) = 0 ⇔ a ⋅ 32 + 4 = 0 ⇔ 9a + 4 = 0 ⇔ 9a + 4 = 0 ⇔ a = − .
9
4
Hieruit bekomen we : f1 ( x ) = − x 2 + 4.
9
22
We tekenen de grafiek van f1.
4
Hieruit leiden we af : f 2 ( x ) = − − x 2 + 4 .
9
De grafiek van f1 ∪ f 2 is de ellips in de gegeven tekening.
Beschouwen we de functies f 3 ( x ) =
van deze functies lR \ ]−3, 3[ zijn.
4 2
4 2
x − 4 en f 4 ( x ) = −
x − 4, dan zal het domein
9
9
De grafiek van f3 ∪ f 4 is de hyperbool die de x-as snijdt in ( −3, 0 ) en ( 3, 0 ) .
We tekenen de grafiek van f3.
De functie f5 moet de tak van de hyperbool die boven de x-as ligt en die de y-as snijdt in (0, 2)
en (0, −2) beschrijven.
Stel f 5 ( x ) = ax 2 + c. Zoals bij f1 vinden we dat c = 4.
Dus f 5 ( x ) = ax 2 + 4. Omdat f5 geen nulwaarden heeft, is 02 − 4 ⋅ a ⋅ 4 < 0, of nog, a > 0.
4
Rekening houdend met de symmetrie en het voorschrift van f1 , stellen we voorop : a = .
9
4 2
4 2
x + 4.
Hieruit volgt : f5 ( x ) =
x + 4 en : f 6 ( x ) = −
9
9
We tekenen de grafiek van f5.
23
Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 162
Transcendente functies
transcendente
De 'zaagtandfunctie ' is een reele,
functie met als voorschrift f : lR → lR : x 6 Z ( x ) .
Geef in woorden en symbolen het voorschrift Z ( x )
Z
van deze functie als de grafiek van Z gegeven is.
Oplossing
In het interval [ 0, 1[ is Z ( x ) = x.
De overige lijnstukjes in de grafiek van Z ontstaan door de grafiek van Z beperkt tot [ 0, 1[
horizontaal te verschuiven.
In het interval [1, 2[ is Z ( x ) = x − 1
In het interval [ 2, 3[ is Z ( x ) = x − 2
( horizontale verschuiving met waarde 1)
( horizontale verschuiving met waarde 2 )
#
In het interval [ −1, 0[ is Z ( x ) = x + 1
In het interval [ −2, − 1[ is Z ( x ) = x + 2
( horizontale verschuiving met waarde − 1)
( horizontale verschuiving met waarde − 2 )
#
Hieruit leiden we het voorschrift van Z af :
Z ( x ) = x − int ( x ) met int de functie die x afbeeldt op het grootste geheel getal kleiner dan
of gelijk aan x.
We controleren met GRT.
24
Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 181-182
Goniometrische getallen van merkwaardige hoeken
In toepassingen worden de hoeken van 30°, 45° en 60° veel gebruikt. Met behulp van de
bijbehorende figuren en de formules voor verwante hoeken kan je de goniometrische getallen
van deze hoeken exact bepalen.
2
2
• Bewijs in ∆OBD dat sin 45° =
Oplossing
OB = 1 (1)
In ∆OBD is sin 45° =
BD
OB
=
BD
1
( 2)
= BD
n = 45°. ∆OBD is dus gelijkbenig. Bijgevolg is OD = DB . ( 3 )
OBD
De stelling van Pythagoras levert : OD + DB = OB . ( 4 )
2
2
2
Invullen van (1) en (3) in (4) levert : DB + DB = 12 , of nog, 2 DB = 1.
2
Hieruit volgt dat DB =
2
2
1
2
=
. ( 5)
2
2
Uit (2) en (5) volgt : sin 45° =
2
.
2
• Bewijs in ∆OAD dat cos 60° =
1
2
Oplossing
OA = OB = 1 (1)
n = 60° ( 2 )
BOA
Uit (1) en (2) volgt dat ∆OAB gelijkzijdig is. Elke zijde heeft lengte 1.
AD is de hoogtelijn uit A op de zijde OB.
Het voetpunt D van deze hoogtelijn is het midden van [ OB] . ( 3 )
1
Uit (1) en (3) volgt dat OD = . ( 4 )
2
OD
OD
=
= OD
In ∆OAD is cos 60° =
OA
1
( 5)
Uit (4) en (5) volgt : cos 60° = 12 .
25
• Neem de onderstaande tabel over en vul aan
α
0° = 0 rad
30° =
π
rad
6
45° =
π
π
π
rad 60° = rad 90° = rad
4
3
2
cos α
sin α
tan α
cot α
Oplossing
Door de formules voor complementaire hoeken toe te passen, vinden we :
cos 45° = sin 45° =
2
1
en sin 30° = cos 60° = .
2
2
Uit de hoofdformule volgt :
2
1 3⎫
⎛1⎞
sin 60° = 1 − cos 60° = 1 − ⎜ ⎟ = 1 − = ⎪
3
4 4 ⎬ ⇒ sin 60° =
⎝2⎠
2
⎪
sin 60° > 0
⎭
2
2
3
.
2
Met de formules voor complementaire hoeken bekomen we : cos 30° = sin 60° =
Dit stelt ons in staat om de tabel aan te vullen.
α
0° = 0 rad
π
rad
6
3
2
1
2
30° =
π
π
π
rad 60° = rad 90° = rad
4
3
2
1
2
0
2
2
2
3
1
2
2
45° =
cos α
1
sin α
0
tan α
0
3
3
1
3
niet gedefinieerd
cot α
niet gedefinieerd
3
1
3
3
0
• Breid de tabel uit voor hoeken van 120°, 135°, 150° en 180°
Oplossing
26
α
cos α
120°
1
−
2
135°
−
150°
2
2
2
2
−
180°
3
2
1
2
−1
3
3
0
sin α
3
2
tan α
− 3
−1
−
cot α
−
3
3
−1
− 3
0
niet gedefinieerd
• Breid de tabel uit voor hoeken van 210°, 225°, 240° en 270°
Oplossing
α
cos α
sin α
210°
225°
3
2
1
−
2
−
−
240°
1
−
2
2
2
2
−
2
−
270°
0
3
2
−1
tan α
3
3
1
3
niet gedefinieerd
cot α
3
1
3
3
0
• Breid de tabel uit voor hoeken van 300°, 315°, 330° en 360°
Oplossing
α
cos α
300°
1
2
3
2
315°
330°
360°
2
2
2
−
2
3
2
1
−
2
1
sin α
−
tan α
− 3
−1
−
cot α
−
3
3
−1
− 3
27
3
3
0
0
niet gedefinieerd
Werkblad ICT : De algemene sinusfunctie
Werkblad ICT : De algemene sinusfunctie
Open het Cabri-programma.
Open het bestand ‘31 De algemene sinusfunctie f(x) = a sin(bx + c) + d'
Door het instellen van de waarden a, b, c en d definiëren we de functie met voorschrift
f (x) = a sin(bx + c) + d.
Door de punten a, b, c en d op de lijnstukken te verslepen stellen we de waarden van a, b, c en
d in.
Door het punt x op het lijnstuk [-8, 25] te verslepen bepalen we de x-waarde (de invoerwaarde).
We kunnen dan de bijhorende functiewaarde f(x) (de uitvoerwaarde) aflezen op het scherm.
Geef nu aan a, b, c en d telkens de waarden passend bij de functievoorschriften in
onderstaande tabel.
Beweeg met het punt x om het bereik van f te bepalen.
Lees de periode p op het scherm af.
functievoorschrift
f (x) = sin x
f (x) = 2 sin x
f (x) = 3sin x
ber f
periode p
functievoorschrift
f (x) = sin x
f (x) = 2 sin 2x
f (x) = 4 sin 3x
f (x) = − sin 4x
f (x) = −2 sin 3x
f (x) = −4 sin x
f (x) = −4sin (1,5 ⋅ x )
f (x) = sin x
f (x) = sin 2x
f (x) = sin x
f (x) = sin 4x
f (x) = sin ( − x )
f (x) = sin ( −2x )
f (x) = sin ( −3x )
f (x) = sin ( −4x )
WiskundeProjectPlantyn
periode p
f (x) = 3sin ( − x )
f (x) = 4 sin x
f (x) = − sin x
f (x) = −2 sin x
f (x) = −3sin x
f (x) = sin 3x
ber f
f (x) = −3sin ( −2x )
π⎞
⎛
f (x) = 2sin ⎜ 2x + ⎟ + 0,5
4⎠
⎝
π⎞
⎛
f (x) = 3sin ⎜ − x + ⎟ − 0,5
2⎠
⎝
3π ⎞
⎛
f (x) = 4sin ⎜ 3x + ⎟ + 1
4 ⎠
⎝
π⎞
⎛
f (x) = − sin ⎜ 4x − ⎟ − 1
4⎠
⎝
π⎞
⎛
f (x) = −2sin ⎜ 3x − ⎟ − 1,5
2⎠
⎝
3π ⎞
⎛
f (x) = −3sin ⎜ −2x − ⎟ + 1,5
4 ⎠
⎝
f (x) = −4sin (1,5 ⋅ x − π ) + 2
De algemene sinusfunctie
28
Werkblad ICT : De algemene sinusfunctie
− Van welke parameter(s) hangt het bereik van f(x) = a sin (bx + c) + d af ?
………………………………………………………………………………………….
− Van welke parameter(s) hangt de periode van f(x) = a sin(bx + c) + d af ?
………………………………………………………………………………………….
Schrijf een algemene formule neer om ber f en periode p te bepalen.
Voor f(x) = a sin(bx + c) + d is ber f = …………….. en p = …………
Transformaties van f(x) = sin x
Uit de studie van reële functies (zie WPP 4.1) weten we:
• Als we de grafiek van een functie f horizontaal
f
verschuiven met een waarde k, dan is
g(x) = f(x - k) het functievoorschrift van het
schuifbeeld.
g
• Als we de grafiek van een functie f verticaal
f
verschuiven met een waarde k, dan is
g(x) = f(x) + k het functievoorschrift van het
g
schuifbeeld.
• Als we de grafiek van een functie f verticaal
uitrekken of samendrukken met een waarde k
( k ∈ lR 0 ) dan is g(x) = k ⋅ f(x) het
functievoorschrift van de vervormde grafiek.
Als k > 1 dan wordt de grafiek van f verticaal
uitgerokken.
Als k < 1 dan wordt de grafiek van f verticaal
samengedrukt.
f
g
f
g
Bij de transformatie van f naar g volgens de
formule g(x) = k ⋅ f (x) blijven de nulpunten
behouden.
WiskundeProjectPlantyn
De algemene sinusfunctie
29
Werkblad ICT : De algemene sinusfunctie
Open het bestand ‘32 De algemene sinusfunctie g ( x ) = a sin ( b ( x − c ) ) + d '
De grafiek van f ( x ) = sin x staat getekend.
Beweeg het punt b van −4 naar 4.
Treedt er één van de drie bekende tranformaties op ? ……………………………
De optredende transformatie kan beschreven worden als een horizontale vervorming.
Welke waarden van b geven aanleiding tot een horizontale samendrukking ?
…………………………………………………………………………………..
Welke waarden van b geven aanleiding tot een horizontale uitrekking ?
…………………………………………………………………………………..
Beweeg het punt c van −2π naar 2π.
Welke transformatie treedt er op ? Verklaar.
Wat is de invloed van het teken van c ?
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
Beweeg het punt a in van −4 naar 4.
Welke transformatie treedt er op ? Verklaar.
Wat is de invloed van het teken van a ?
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
Beweeg het punt d van −2 naar 2.
Welke transformatie treedt er op? Verklaar.
Wat is de invloed van het teken van d ?
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
WiskundeProjectPlantyn
De algemene sinusfunctie
30
Werkblad ICT : De algemene sinusfunctie
Oplossing Werkblad ICT : De algemene sinusfunctie
Open het Cabri-programma.
Open het bestand ‘31 De algemene sinusfunctie f(x) = a sin(bx + c) + d'
Door het instellen van de waarden a, b, c en d definiëren we de functie met voorschrift
f (x) = a sin(bx + c) + d.
Door de punten a, b, c en d op de lijnstukken te verslepen stellen we de waarden van a, b, c en
d in.
Door het punt x op het lijnstuk [-8, 25] te verslepen bepalen we de x-waarde (de invoerwaarde).
We kunnen dan de bijhorende functiewaarde f(x) (de uitvoerwaarde) aflezen op het scherm.
Geef nu aan a, b, c en d telkens de waarden passend bij de functievoorschriften in
onderstaande tabel.
Beweeg met het punt x om het bereik van f te bepalen.
Lees de periode p op het scherm af.
functievoorschrift
ber f
f (x) = sin x
[ −1, 1]
f (x) = 2 sin x
[ −2, 2]
f (x) = 3sin x
[−3, 3]
periode p
functievoorschrift
f (x) = sin x
6,28318
f (x) = 2 sin 2x
6,28318
6,28318
f (x) = 3sin ( − x )
ber f
[ −1, 1]
[ −2, 2]
[ −3, 3]
periode p
6,28318
3,14159
6,28318
f (x) = 4 sin x
f (x) = − sin x
f (x) = −2 sin x
f (x) = −3sin x
[ −4, 4]
[ −1, 1]
[ −2, 2]
[−3, 3]
6,28318
6,28318
6,28318
6,28318
f (x) = 4 sin 3x
f (x) = − sin 4x
f (x) = −2 sin 3x
f (x) = −3sin ( −2x )
[ −4, 4]
[ −1, 1]
[ −2, 2]
[ −3, 3]
2,09439
1,57079
2,09439
3,14159
f (x) = −4 sin x
[ −4, 4]
6,28318
f (x) = −4sin (1,5 ⋅ x )
[ −4, 4]
4,18879
f (x) = sin x
f (x) = sin 2x
[ −1, 1]
[ −1, 1]
6,28318
3,14159
f (x) = sin x
[ −1, 1]
6,28318
[ −1, 5 ; 2, 5] 3,14159
f (x) = sin 3x
[ −1, 1]
2,09439
f (x) = sin 4x
[ −1, 1]
1,57079
f (x) = sin ( − x )
[ −1, 1]
6,28318
f (x) = sin ( −2x )
[ −1, 1]
3,14159
f (x) = sin ( −3x )
[ −1, 1]
2,09439
f (x) = sin ( −4x )
[ −1, 1]
1,57079
WiskundeProjectPlantyn
π⎞
⎛
f (x) = 2sin ⎜ 2x + ⎟ + 0,5
4⎠
⎝
π⎞
⎛
f (x) = 3sin ⎜ − x + ⎟ − 0,5
2⎠
⎝
3π ⎞
⎛
f (x) = 4sin ⎜ 3x + ⎟ + 1
4 ⎠
⎝
π⎞
⎛
f (x) = − sin ⎜ 4x − ⎟ − 1
4⎠
⎝
π⎞
⎛
f (x) = −2sin ⎜ 3x − ⎟ − 1,5
2⎠
⎝
3π ⎞
⎛
f (x) = −3sin ⎜ −2x − ⎟ + 1,5
4 ⎠
⎝
f (x) = −4sin (1,5 ⋅ x − π ) + 2
De algemene sinusfunctie
[−3, 5 ; 2,5] 6,28318
[ −3, 5]
2,09439
[ −2, 0]
1,57079
[−3, 5 ; 0,5] 2,09439
[ −1, 5 ; 4, 5] 3,14159
[ −2, 6]
4,18879
31
Werkblad ICT : De algemene sinusfunctie
− Van welke parameter(s) hangt het bereik van f(x) = a sin (bx + c) + d af ?
Het bereik van f(x) = a sin(bx + c) + d hangt van de parameters a en d af.
− Van welke parameter(s) hangt de periode van f(x) = a sin(bx + c) + d af ?
De periode van f(x) = a sin(bx + c) + d hangt enkel van de parameter b af.
Schrijf een algemene formule neer om ber f en periode p te bepalen.
2π
Voor f(x) = a sin(bx + c) + d is ber f = ⎡−
⎣ a + d, a + d ⎤⎦ en p = b .
Open het bestand ‘32 De algemene sinusfunctie g ( x ) = a sin ( b ( x − c ) ) + d '
De grafiek van f ( x ) = sin x staat getekend.
Beweeg het punt b van −4 naar 4.
Treedt er één van de drie bekende tranformaties op ? Nee.
De optredende transformatie kan beschreven worden als een horizontale vervorming.
Welke waarden van b geven aanleiding tot een horizontale samendrukking ?
Als b > 1 of b < −1 verkrijgen we een horizontale samendrukking.
Welke waarden van b geven aanleiding tot een horizontale uitrekking ?
Als −1 < b < 1 verkrijgen we een horizontale uitrekking.
Beweeg het punt c van −2π naar 2π.
Welke transformatie treedt er op ? Verklaar.
Wat is de invloed van het teken van c ?
Er treedt een horizontale verschuiving op. Als g(x) = f(x − k), dan is de grafiek van g het
horizontaal schuifbeeld van de grafiek van f.
Als c > 0, dan schuift de grafiek naar rechts. Als c < 0, dan schuift de grafiek naar links.
Beweeg het punt a in van −4 naar 4.
Welke transformatie treedt er op ? Verklaar.
Wat is de invloed van het teken van a ?
Er treedt een verticale vervorming op. Als g(x) = k.f(x), dan is de grafiek van g de
verticale vervorming van de grafiek van f.
Als 0 < a < 1, dan wordt de grafiek verticaal samengedrukt.
Als 1 < a < +∞, dan wordt de grafiek verticaal uitgerekt.
Als −1 < a < 0, dan wordt de grafiek gespiegeld om de x-as en daarna verticaal
samengedrukt. Deze twee transformaties samen, noemen we ook kortweg een verticale
samendrukking.
WiskundeProjectPlantyn
De algemene sinusfunctie
32
Werkblad ICT : De algemene sinusfunctie
Als −∞ < a < −1 dan wordt de grafiek gespiegeld om de x-as en daarna verticaal uitgerekt.
Deze twee transformaties samen, noemen we ook kortweg een verticale uitrekking.
Beweeg het punt d van −2 naar 2.
Welke transformatie treedt er op? Verklaar.
Wat is de invloed van het teken van d ?
Er treedt een verticale verschuiving op. Als g(x) = f(x) + k, dan is de grafiek van g het
verticaal schuifbeeld van de grafiek van f.
Als d > 0, dan schuift de grafiek naar boven. Als d < 0, dan schuift de grafiek naar
beneden.
WiskundeProjectPlantyn
De algemene sinusfunctie
33
Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 199
De grafiek van f(x) = sin x horizontaal vervormen
Bestudeer de horizontale vervorming in het periode-interval [ 0, 2π] van de grafiek van
f ( x ) = sin x tot de grafiek van g ( x ) = sin 2x.
Voer in het rekentoestel de functies f en g in en maak een functiewaardentabel met
TblStart = 0 en ∆Tbl = 1.
Vul aan : f ( 2 ) = g ( ...) ; f ( 4 ) = g (...) ; f ( 6 ) = g ( ...) ; ... ; f ( a ) = g ( ...) .
Controleer op de figuur.
Vergelijk de periode van f met de periode van g.
Oplossing
⎛a⎞
f ( 2 ) = g (1) ; f ( 4 ) = g ( 2 ) ; f ( 6 ) = g ( 3) ; ... ; f ( a ) = g ⎜ ⎟ .
⎝2⎠
De periode van g is de helft van de periode van f.
34
Bestudeer de horizontale vervorming in het periode-interval [ 0, 2π] van de grafiek van
1
f ( x ) = sin x tot de grafiek van g ( x ) = sin x.
2
Voer in het rekentoestel de functies f en g in en maak een functiewaardentabel met
TblStart = 0 en ∆Tbl = 1.
Vul aan : f (1) = g ( ...) ; f ( 3) = g ( ...) ; f ( 5 ) = g ( ...) ; ... ; f ( a ) = g ( ...) .
Controleer op de figuur.
Vergelijk de periode van f met de periode van g.
Oplossing
f (1) = g ( 2 ) ; f ( 3) = g ( 6 ) ; f ( 5) = g (10 ) ; ... ; f ( a ) = g ( 2a ) .
De periode van g is het dubbel van de periode van f.
Bestudeer de horizontale vervorming van de grafiek van f ( x ) = sin x tot de grafiek van
g1 ( x ) = sin 3x en tot de grafiek van g 2 ( x ) = sin ( −3x ) in het periode-interval [ 0, 2π] .
Vergelijk de periode van f met de periode van g1 en g 2 .
1
⎛ 1 ⎞
Herhaal dit voor g 3 ( x ) = sin x en g 4 ( x ) = sin ⎜ − x ⎟ .
3
⎝ 3 ⎠
Oplossing
35
De periode van g1 is één derde van de periode van f.
De periode van g2 is één derde van de periode van f.
De periode van g3 is het drievoud van de periode van f.
De periode van g4 is het drievoud van de periode van f.
Besluit
De periode van g ( x ) = sin ( kx ) is
2π
.
k
36
Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 211
Kenmerken van de cotangensfunctie
Onderzoek de kenmerken van de cotangensfunctie.
Schets de grafiek.
We herschrijven cot x.
⎛π
⎞
cot x = tan ⎜ − x ⎟
⎝2
⎠
⎛ ⎛
π ⎞⎞
= tan ⎜ − ⎜ x − ⎟ ⎟
2 ⎠⎠
⎝ ⎝
π⎞
⎛
= − tan ⎜ x − ⎟
2⎠
⎝
De grafiek van de cotangensfunctie ontstaat door de grafiek van de tangensfunctie horizontaal
te verschuiven met een waarde
−2 π
−3π
2
π
2
−π −π
2
en vervolgens te spiegelen om de x-as.
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
7π
4π
2
• Domein, bereik en symmetrie
Oplossing
dom cot = lR \ {kπ met k ∈ ]}
ber cot = lR
De cotangensfunctie is een oneven functie want, ∀ x ∈ dom cot : cot ( − x ) = − cot x.
37
Bijgevolg is de oorsprong van het assenstelsel een symmetriecentrum van de grafiek van
de cotangensfunctie.
• Periode
Oplossing
De periode is π.
− De cotangensfunctie is een periodieke functie. Immers, ∀ x ∈ dom cot : cot ( x + 2π ) = cot x.
− We tonen aan dat π de periode is.
Daarvoor lossen we de vergelijking cot ( x + p ) = cot x op naar p.
cot ( x + p ) = cot x
8
x + p = x + kπ, met k ∈ ]
8
p = kπ, met k ∈ ]
getal.
In p = kπ is π het kleinste strikt positief reeel
Bijgevolg is π de periode van de cotangensfunctie.
• Nulwaarden
Oplossing
⎛π
⎞
De grafiek snijdt de x-as in de punten ⎜ + kπ, 0 ⎟ met k ∈ ].
⎝2
⎠
−3π π π 3π 5π 7 π
De nulwaarden zijn bijgevolg ...,
,− , ,
,
,
, ... .
2
2 2 2 2 2
• Teken- en verloopschema
Oplossing
Tekenschema in het periode-interval [ 0, π]
x
cot(x)
π
π
0
2
+
0
−
Dit tekenschema herhaalt zich in de intervallen …, [−π, 0], [π, 2π], [2π, 3π], …
38
Verloopschema in het periode-interval [ 0, π]
x
cot(x)
π
0
Ì
Dit verloopschema herhaalt zich in de intervallen …, [−π, 0], [π, 2π], [2π, 3π], …
• Verticale asymptoten
Oplossing
De rechten x = kπ met k ∈ ] zijn verticale asymptoten voor de grafiek van de
cotangensfunctie.
39
Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 223
Som- en verschilformules
• Leid de formule voor cos ( α + β ) af uit de formule voor cos ( α − β ) .
Stel daarvoor α + β = α − ( −β ) en pas de formules van de verwante hoeken toe.
Oplossing
cos(α + β) = cos [ α − (−β)]
= cos α ⋅ cos(−β) + sin α ⋅ sin(−β)
= cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ (− sin β)
= cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β
Besluit : cos ( α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β
• De formule voor sin ( α + β ) kan je afleiden uit de formule voor cos ( α − β ) .
⎡π
⎤
Stel daarvoor sin ( α + β ) = cos ⎢ − ( α + β ) ⎥ en herschik de haakjes.
⎣2
⎦
Oplossing
⎡π
⎤
sin(α + β) = cos ⎢ − (α + β) ⎥
⎣2
⎦
⎡⎛ π
⎞ ⎤
= cos ⎢⎜ − α ⎟ − β ⎥
⎠ ⎦
⎣⎝ 2
⎛π
⎞
⎛π
⎞
= cos ⎜ − α ⎟ ⋅ cos β + sin ⎜ − α ⎟ ⋅ sin β
⎝2
⎠
⎝2
⎠
= sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β
Besluit : sin ( α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β
• Leid ook de formule af voor sin ( α − β ) .
Oplossing
sin(α − β) = sin [ α + (−β) ]
= sin α ⋅ cos(−β) + cos α ⋅ sin(−β)
= sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ (− sin β)
= sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β
Besluit : sin ( α − β ) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β
40
Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 227
Formules van Simpson
Toon aan.
p+q
p−q
⋅ cos
2
2
p+q
p−q
⋅ sin
cos p − cos q = −2 ⋅ sin
.
2
2
cos p + cos q = 2 ⋅ cos
Volg een analoge werkwijze als voor de formules sin p + sin q en sin p − sin q.
Oplossing
− Om deze formules op te stellen, vertrekken we van de som- en verschilformules voor
de cosinus.
cos ( α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β
cos ( α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β
We tellen de overeenkomstige leden op.
cos ( α + β ) + cos ( α − β ) = 2 ⋅ cos α ⋅ cos β
We trekken de overeenkomstige leden van elkaar af .
cos ( α + β ) − cos ( α − β ) = −2 ⋅ sin α ⋅ sin β
− We stellen α + β = p en α − β = q.
Zo bekom je : cos p + cos q = 2 ⋅ cos α ⋅ cos β
en cos p − cos q = −2 ⋅ sin α ⋅ sin β.
We bepalen α en β in functie van p en q.
⎧α + β = p
op.
Daarvoor lossen we het stelsel S : ⎨
⎩α − β = q
p+q
⎧
α
=
⎧α + β = p
⎪⎪
2
⇔ ⎨
S: ⎨
( 3)
−
p
q
⎩α − β = q
⎪β =
⎪⎩
2
− In (1) en (2) vervangen we α en β.
p+q
p−q
⋅ cos
2
2
p+q
p−q
⋅ sin
cos p − cos q = −2 ⋅ sin
2
2
cos p + cos q = 2 ⋅ cos
41
(1)
( 2)
Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 228
Een product van goniometrische getallen omzetten in een som of een verschil
Toon aan.
2 ⋅ cos α ⋅ cos β = cos ( α + β ) + cos ( α − β )
−2 ⋅ sin α ⋅ sin β = cos ( α + β ) − cos ( α − β )
Volg een analoge werkwijze als voor de formules 2 ⋅ sin α ⋅ cos β en 2 ⋅ cos α ⋅ sin β.
Oplossing
− Om deze formules op te stellen, vertrekken we van de som- en verschilformules voor
de cosinus.
cos ( α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β
(1)
( 2)
cos ( α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β
− We tellen de overeenkomstige leden van (1) en (2) op.
cos ( α + β ) + cos ( α − β ) = 2 ⋅ cos α ⋅ cos β, of nog,
2 ⋅ cos α ⋅ cos β = cos ( α + β ) + cos ( α − β )
We trekken de overeenkomstige leden van (1) en (2) van elkaar af .
cos ( α + β ) − cos ( α − β ) = −2 ⋅ sin α ⋅ sin β, of nog
− 2 ⋅ sin α ⋅ sin β = cos ( α + β ) − cos ( α − β )
42
Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 246
Vergelijkingen van de vorm a sin x + b cos x = 0
• Los de vergelijking 3sin x − 5 cos x = 0 op naar x met de oplossingsmethode van de
homogene vergelijkingen.
Oplossing
3sin x − 5 cos x = 0
3sin x − 5 cos x
0
=
cos x
cos x
⇔ 3 tan x − 5 = 0
⇔
5
3
⇔ x = 0, 6405223127 + kπ, met k ∈ ]
⇔ tan x =
• Geef de grafische voorstelling van de oplossingen van de vergelijking 3sin x − 5 cos x = 0.
Oplossing
Stel f ( x ) = 3sin x − 5 cos x.
We tekenen de grafiek van f .
De oplossingen van 3sin x − 5 cos x = 0 zijn de nulwaarden van f .
.............
.............
43