Voortgangstoets Lineaire Algebra III " AEO

Voortgangstoets Lineaire Algebra III - AEO
27-02-2009, 11.00-12.00 zaal B1.B
Succes!
Opg 1 Beschouw deelruimte V
R3 met opspansel V = span f~v1 ; ~v2 g, waarbij
0 1
0 1
1
0
~v1 = @0A ; ~v2 = @1A :
1
1
a Construeer een orthonormale basis van V = span f~u1 ; ~u2 g m.b.v. de Gram-Schmidt
methode.
b Bepaal de QR factorisatie van de matrix A = (~v1 ~v2 ).
c Bepaal de matrix M van de orthogonale projectie op V:
d Bepaal de matrix van de spiegeling S t.o.v. V:
Uitwerking
0 1
1
~v2
1 @ A
0 ~u2 =
a ~u1 = p
k ~v2
2 1
p 1
0
p1=p6
(~u1 ~v2 )~u1
= @ 2=p 3 A :
(~u1 ~v2 )~u1 k
1= 6
p
p 1
1= 2 p1=p6
=) Q = (~u1 ; ~u2 ) = @ 0p
2=p 3 A :
1= 2 1= 6
.
0
b De QR factorisatie van de matrix A =) Q> A = Q> QR = R =)
1
0
p
p
p
p
1 0
2
1=
1= p2 p 0p 1=p2 @
p p2
0 1 A=
R=
1= 6
2= 3 1= 6
0
3= 2
1 1
.
.
c De matrix van de orthogonale projectie op deelruimte V :
projV ~x = QQ> ~x = M~x:
0
2=3
=) M = QQ> = @ 1=3
1=3
1=3
2=3
1=3
1
1=3
1=3 A.
2=3
d De matrix van de spiegeling S t.o.v. V is S = 2M
0
1=3
I3 = @ 2=3
2=3
2=3
1=3
2=3
1
2=3
2=3 A :
1=3
Opg 2 Beschouw de vectoren ~u en ~v in Rn .
Bewijs met behulp van de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz dat
k ~u
~v k k ~u k
k ~v k :
Bewijs: k ~u ~v k2 =k ~u k2 + k ~v k2 2(~u ~v )
Cauchy-Swartz: j (~u ~v ) j k ~u kk ~v k=) j (~u ~v ) j
k ~u kk ~v k=)
k ~u ~v k2 k ~u k2 + k ~v k2 2 k ~u kk ~v k= (k ~u k k ~v k)2 :