y = Log(x,2)

IBB
ribwis1
Toegepaste wiskunde –
Exponentiele functies
Lesweek 6
Opleiding: Bouwkunde / Civiele
techniek Propedeuse, kernprogramma
2e kwartaal
1
De standaard logaritmische functie
Beschouw de functie:
2
y = 2logx ( Derive: y = Log(x,2) ) en
y = ½ logx ( Derive: y = Log(x, ½) )
De standaard logaritmische functie
Waardentabel: y = 2logx met g > 1
x
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
y = 2logx
-1
0
0,58
1
1,32
1,58
1,81
2
2,17
2,32
1
0,58
0,42
0,32
0,26
0,23
0,19
0,17
0,15
∆y
3
De standaard logaritmische functie
Waardentabel: y = ½ logx met 0 < g < 1
x
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
y = 1/2logx
1
0
-0,58
-1
-1,32
-1,58
-1,81
-2
-2,17
-2,32
-1
-0,58
-0,42
-0,32
-0,26
-0,23
-0,19
-0,17
-0,15
∆y
4
De standaard logaritmische functie







5
Bij x = 1 is y gelijk aan 0, dit is het snijpunt met de x-as.
Bij de logaritmische functie met grondtal 2 vertoont de functie een
stijgend verloop, bij toenemende x wordt de mate van stijgen
geringer.
Bij de logaritmische functie met grondtal ½ vertoont de functie
een dalend verloop, bij toenemende x wordt de mate van dalen
geringer.
Beide grafieken zijn elkaars spiegelbeeld in de x-as
De toe – en afnamen van de functie y = glogx worden steeds
kleiner
Als g > 1, dan is de grafiek van de functie stijgend
Als 0 < g < 1, dan is de grafiek van de functie dalend
De standaard logaritmische functie
Waardentabel:
y = 2logx
en
y = 2x
x
-2
-1
0
y = 2logx
6
y=2x
¼
½
1
¼
½
1
2
4
-2
-1
0
1
2
1,19
1,41
2
4
16
De standaard logaritmische functie






7
Eigenschappen
Voor y = 2logx geldt: x > 0.
Voor y = 2 x geldt: y > 0
De x- en y waarden van beide functies zijn verwisseld.
Beide functies zijn elkaars gespiegelde in de lijn x = y
Beide functies zijn stijgend, echter bij toenemende x
stijgt y= 2 x steeds sneller, y = 2logx daarentegen
steeds langzamer
Functievoorschrift van een
logaritmische functie opstellen.
De formulevorm is:
y = a * 2log(x + b)
Als een logaritmische functie door de punten (-3,0) en (0,10)
gaat, dan wordt de vergelijking gevonden de substitutiemethode
a * 2log(-3 + b) = 0
a * 2log(b)
= 10
↔
↔
↔ a = 0 of 2log(-3 + b) = 0
↔ a * 2log(b)
= 10
↔ -3 + b = 1
↔ a * 2log(b)
b=4
a = 10/2 = 5 (want: 2log4 = x → 2x = 22 → x = 2 )
De vergelijking van de gevraagde logaritmische functie
is dan: y = 5 * 2log(x + 4)
8
= 10
Functievoorschrift van een
logaritmische functie opstellen.
Als een logaritmische functie door de punten (3,0) en (6,3)
gaat, dan wordt de vergelijking gevonden de
substitutiemethode
y = a * 4log(x + b)
De formulevorm is:
a * 4log( 3 + b) = 0
↔ a = 0 of 4log( 3 + b) = 0
a * 4log(6 + b)
= 3 ↔ a * 4log(6 + b)
= 3
→
→
↔
↔
3+b=1
a * 4log(6 + b)
= 3
b = -2
a = 3 (want 4log4 = 1)
De vergelijking van de gevraagde logaritmische functie is dan:
y = 3 * 4log(x - 2)
9
Functievoorschrift van een
logaritmische functie opstellen.
Rekenregel
functievoorschrift
bepalen
Om het functievoorschrift
te bepalen moeten we de
coordinaten van twee
punten kennen om
vervolgens twee
vergelijkingen te kunnen
opstellen waarin a en b de
onbekenden zijn.
10
Transformaties
11

Als de grafiek van y = glogx bij positieve p horizontaal p eenheden naar links
wordt verschoven, dan heeft de nieuwe grafiek de functie y = glog(x + p)

Als de grafiek van y = glogx bij positieve p horizontaal p eenheden naar rechts
wordt verschoven, dan heeft de nieuwe grafiek de functie y = glog(x - p)

Als de grafiek van y = glogx met een factor p wordt vermenigvuldigd t.o.v. de xas, dan heeft de nieuwe grafiek de functievoorschrift y = p * glogx

Als de grafiek van y = glogx bij positieve p verticaal p eenheden naar boven
wordt verschoven, dan heeft de nieuwe grafiek de functie y = p + glogx

Als de grafiek van y = glogx bij positieve p verticaal p eenheden naar beneden
wordt verschoven, dan heeft de nieuwe grafiek de functie y = - p + glogx
Transformaties
y
y =2 + 3 * 2log(x+2)
y = 3 * 2log(x+2)
y = 3 * 2log(x)
y = 2logx
x
De grafiek y = 2logx wordt met factor 3 vermenigvuldigd t.o.v de x-as en
vervolgens twee eenheden naar links en twee eenheden naar boven
verschoven. Het functievoorschrift van de dan ontstane functie is dan:
y = 2 + 3 * 2log(x + 2)
12
Transformaties
13
Rekenregels



14
standaardfunctie met een factor
vermenigvuldigen
grafiek horizontaal verschuiven
grafiek verticaal verschuiven
Logaritmische ongelijkheden
Grafische oplossing



Teken de grafiek van de functies uit het linker- en rechterlid van de
ongelijkheid.
Bereken de snijpunten van beide grafieken.
Lees uit de tekening de oplossing af.
Voorbeeld:
De grafiek van : 1/3logx < 2
Het snijpunt volgt uit:
1/3logx
= 2 ↔ x = 1/9 ( (3-1)2 = 1/32 = 1/9 )
Uit de tekening volgt: x > 1/9
15
Logaritmische ongelijkheden
Algebraïsche oplossing:
Schrijf het linker- en het rechterlid als één logaritme, beide met hetzelfde
grondtal.
Gebruik volgens de eigenschappen;
g>1
b
0<g<1
b
16
dan:
dan:
aloga
> glogb
↔
a>
gloga
> glogb
↔
a<
Logaritmische ongelijkheden
Voorbeeld 1:
1/3logx
1/3logx
< 1/3log1/9
↔
x > 1/9
<2 ↔
x > 0 (bestaansvoorwaarde)
We zeggen ook wel dat bij een logaritmische ongelijkheid met grondtal g met 0 < g < 1
het ongelijkheidsteken omklapt.
17
Logaritmische ongelijkheden
Voorbeeld 2:
3log(x2)
1/3log(1/x2)
< 3log(x + 2)
↔
↔
↔
↔
↔
x2 < x +2
en x ≠ 0 en x > -2
x2 – x – 2 < 0
en x ≠ 0 en x > -2
(x – 2)(x + 1) < 0
en x ≠ 0 en x > -2
-1 < x < 2
en x ≠ 0 en x > -2
-1 < x < 0 of 0 < x < 2
Uitwerking:
1/3log(1/x2) ↔ 3log1/x2 / 3log1/3
18
↔ 2 * 3logx ↔
< 3log(x + 2)
x ≠ 0 (bestaansvoorwaarde linkerlid)
x > -2 (bestaansvoorwaarde rechterlid
3logx2
↔
3logx-2
/ -1 ↔-11 * -2 * 3logx
Grafiek voorbeeld 2
-1 < x < 2
-1 < x < 0 of 0 < x < 2
19
en x ≠ 0 en x > -2
Logaritmische ongelijkheden
Voorbeeld 3
-1 + 3log(x + 2) ≥ 3log(x – 4)
Snijpunt:
-1 + 3log(x + 2) = 3log(x – 4)
bestaansvoorwaarde: -1 + 3log(x + 2) → x >- 2
3log(x – 4)
→ x >4
↔
↔
↔
↔
↔
Uit de tekening aflezen:
20
3log1/3 + 3log(x + 2) = 3log(x – 4)
3log (x +2) / 3 = 3log(x - 4)
(x + 2) / 3 = x – 4
-2x = -14
x=7
4<x≤7
Grafiek uit voorbeeld 3
Uit de tekening aflezen:
21
4<x≤7
Grafiek uit voorbeeld 3
Voorbeeld 4:
Het aantal konijnen K in een duingebied wordt beschreven door de functie
met de vergelijking:
K = 5000 + 2000 * 3log(t + 1)
Hierin is t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 1990
Teken de grafiek van deze functie voor de periode 1990 -2010
Hoeveel konijnen waren er op 1 januari 1995 ?
In welk jaar zal het aantal konijnen de 15000 overschrijden ?
22
Grafiek uit voorbeeld 4
Voor t = 0 : 3Log(0 + 1) = 3Log1 = 0, invullen in de formule geeft voor K = 5000
K = : 5000 + 2000 * 3Log(5 + 1) ↔ 5000 + 2000 * Log6 / Log3 ↔ K = 8262
3log(t+1) > 5 ↔ 35 = t + 1 = 243
→ t = 243 – 1 → t = 242
Het overschrijdingsjaar is: 1990 + 242 = 2232
(Tip: K = 5000 + 2000 * 3log(t + 1) voor K = 15000)
23
EINDE
Docent: M.J.Roos
WWW.HRO.MROOS.COM
24