Wiskundige Technieken

1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen
1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde
Academiejaar 2012-2013
1ste semester
3 november 2012
Wiskundige Technieken
1. Bewijs via vectorrekening dat een driehoek gelijkbenig is als en slechts als de hoogtelijn en de
bissectrice uit een van de hoekpunten samenvallen. Maak GEEN gebruik van het invoeren van
coördinaten!
2. Beschouw het volgende vectorveld:
~v = (3yx)~u1 + (x3 zsin(y))~u2 + (xy)~u3 .
(a) Bereken rot(~v ).
(b) Bestaat er een scalaire functie f : R3 → R zodanig dat grad(f ) = ~v ? Verklaar je antwoord!
3. Los volgende vergelijking op in C:
z 6 + 2iz 3 − 1 = 0.
4. Los volgende differentiaalvergelijkingen op:
(a) xy 0 − 2y = x3 sec(x)tan(x),
(b) y 00 + 2y 0 + y = e−x .
Het examen duurt 3,5 uur. Het gebruik van de cursus, cursusnota’s en rekenmachine is niet toegelaten. Puntenverdeling: vraag 1 en 2: 5 punten, vraag 3: 4 punten, vraag 4: 6 punten.
Veel succes!
Oplossingen
2.
~u1
∂
rot~v = ∂x
3xy
~u2
∂
∂y
x3 z sin y
~u3 ∂ 3
u1 + y~u2 + (3x2 z sin y − 3x)~u3
∂z = (x − x z)~
xy Indien grad(f ) = ~v , dan is rot~v = rotgrad(f ) = ~0, en dit is niet het geval. ~v kan dus niet als een
gradiënt geschreven worden.
3. z 6 + 2iz 3 − 1 = (z 3 + i)2 = 0 als en alleen als z 3 = −i = e3πi/2 . De drie derdemachtswortels van
−i zijn
z1 = eπi/2 = i
π
1 √
π
z2 = eπi/2+2πi/3 = e7πi/6 = − cos − i sin = − ( 3 + i)
6
6
2
1 √
πi/2−2πi/3
−πi/6
z3 = e
=e
= ( 3 − i)
2
4a. We integreren eerst de geassocieerde homogene vergelijking met de methode van de gescheiden
veranderlijken:
xdy
dy
y
ln y
yh
= 2ydx
2dx
=
x
= 2 ln x + ln c
= cx2
Om een particuliere integraal yp te berekenen gebruiken we de methode van de variatie van de constante: zoek yp = c(x)x2 . We vinden
x3 c0 (x) = x3 sec xtgx
sin x
c0 (x) =
cos2 x
1
c(x) = −
cos x
x2
yp = −
cos x
De algemene integraal van de differentiaalvergelijking is dan
y = cx2 −
x2
cos x
4b. We integreren eerst de geassocieerde homogene vergelijking. De karakteristieke veelterm hiervan
is λ2 + 2λ + 1 = (λ + 1)2 . Hiervan is −1 een dubbel nulpunt, en dus is
yh = (Ax + B)e−x
We zoeken dan een particuliere integraal van de volledige vergelijking, van dezelfde vorm als het
rechterlid. Omdat −1 al een dubbel nulpunt is van de karakteristieke veelterm, vermenigvuldigen we
deze met x2 , m.a.w., we zoeken een particuliere integraal van de vorm
yp = cx2 e−x
Invullen in de vergelijking geeft
cx2 e−x + 2c(2x − x2 )e−x + c(2 − 4x + x62)e−x = e−x
of
2c = 1
We vinden dus yp = 21 x2 e−x , en de algemene integraal is dus
1
y = ( x2 + Ax + B)e−x .
2
2