Getaltheorie (Chinese Reststelling)

Getaltheorie
Trainingsweekend 2; 15 februari 2008
De Chinese Reststelling: Laat m1 , . . . , mk ∈ N en a1 , . . . , ak , b1 , . . . , bk ∈ Z gegeven zijn
zodanig dat ggd(ai , mi ) = 1 voor alle 1 ≤ i ≤ k en ggd(mi , mj ) = 1 voor alle 1 ≤ i < j ≤ k.
Dan heeft het stelsel
a1 x ≡ b 1
a2 x ≡ b 2
..
.
mod m1
mod m2
ak x ≡ bk
mod mk
precies één oplossing x modulo m1 m2 · · · mk .
Opgave 1 a Vind alle x zodat x ≡ 3 mod 11 en 5x ≡ 2 mod 7.
b Vind alle x zodat 2x ≡ 3 mod 5, 5x ≡ 2 mod 6 en x ≡ 2 mod 7.
c Vind alle x zodat x ≡ 5 mod 7 en x ≡ 7 mod 11 en x ≡ 11 mod 5.
Opgave 2 Bepaal het kleinste getal x ∈ N zo dat x ≡ n − 1 mod n voor alle natuurlijke
getallen n met 2 ≤ n ≤ 10.
Opgave 3 Bepaal de laatste drie cijfers van 7999 .
Opgave 4 Laat x en y positieve gehele getallen zijn met xy = 20072008 . Bewijs dat x + y
geen veelvoud van 2008 is.
Opgave 5 Laat m en l positieve gehele getallen zijn met ggd(m, l) = 1.
Bewijs dat ϕ(ml) = ϕ(m)ϕ(l).
Opgave 6 Vind een uitdrukking voor ϕ(n).
1
k
Opgave 7 ? Bewijs dat voor alle k ≥ 0 een getal m bestaat zodat 22 − 1 | m2 + 9.
Opgave 8 ? Vind alle positieve gehele getallen n zodat er een positief geheel getal m bestaat
met 2n − 1 | m2 + 9.
2