De kick van bellen

De kick van bellen
Stroming van luchtbellen in water (of in het algemeen: gasbellen in een vloeistof) komt veelvuldig voor in de vrije natuur en in industriële processen. Dat maakt bestudering van
dit soort stroming van praktisch belang. Voorbeelden hiervan zijn talloos en te vinden in de (petro)chemische industrie, in de waterzuivering en bij biotechnologische processen.
Robert F. Mudde
[email protected]
4
Robert F. Mudde
studeerde natuurkunde aan de
Universiteit Leiden en promoveerde daar in de
jaren
tachtig
onder leiding van
Rudolf de Bruyn
Ouboter en Hugo
van Beelen. In
1988 startte hij
zijn werk aan de
Technische Universiteit Delft, in
de groep van Har-
rie van den Akker
op het gebied van
meerfasenstromingen. In 2001
werd hij benoemd
tot Antonie van
Leeuwenhoekhoogleraar aan de
tu Delft op het
gebied van de fysische transportverschijnselen, in
het bijzonder de
meerfasenstromingen.
Bij biotechnologische processen is het
in veel gevallen nodig om de micro-organismen die het werk doen te voorzien van zuurstof. Dit kan op betrekkelijk goedkope manier door in de waterige omgeving, waarbinnen de microorganismen hun werk doen, lucht te
blazen. Teneinde de overdracht van de
zuurstof in de lucht naar het water efficiënt te laten verlopen, is het gewenst
om het uitwisselend oppervlak tussen
water en lucht groot te maken. Dit kan
eenvoudig bereikt worden door de
lucht in de vorm van belletjes te injecteren, bijvoorbeeld via een poreus
steentje, zoals in veel aquaria is te zien.
De bellen stijgen uiteraard op als gevolg van de opwaartse kracht door het
water. De resulterende stroming is
echter vrijwel altijd gecompliceerd.
Immers, de opwaartse kracht werkt
niet alleen op de individuele bellen,
maar grijpt ook aan op dichtheidsvariaties die afkomstig zijn van niet-uniforme verdeling van de bellen in de
vloeistof: gebieden met een lokaal ho-
Figuur 1
Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde
januari 2004
gere aantaldichtheid van de bellen voelen een netto opwaartse kracht. In de
regel zullen zulke lokale variaties in de
bellendichtheid vanzelf ontstaan. Dit
geldt in het bijzonder voor luchtbellen
met een diameter van enkele millimeters. Achter elke bel ontwikkelt zich
een zog. Bij bellen van deze grootte is
dit zog instabiel en schudt het wervels
af die de bellen als het ware een tik
geven. Het gevolg hiervan is dat de bellen niet over een rechte lijn bewegen,
maar een grilliger pad omhoog volgen.
Dit is een prima mechanisme om lokale variaties in de bellendichtheid aan te
brengen en daarmee te zorgen voor effecten van de zwaartekracht over grotere afstanden. Voorbeelden hiervan
zijn tegenwoordig gemakkelijk te zien:
de detailhandel verkoopt cilinders gevuld met water, waarin via de bodem
luchtbellen ingeblazen worden. Een
lamp in de bodem verlicht dit geheel.
De stroming is voortdurend anders,
het is als de vlammen in een open
haard: je blijft kijken.
Structuren
Ook in de industrie worden dergelijke
apparaten gebruikt; ze staan bekend
onder de naam bellenkolom. Hoewel de
stroming van zowel de lucht als het
water aan de Navier-Stokes-vergelijkingen gehoorzaamt, is er veel onbekend over de bellenstroming. De oorzaak hiervan is, zoals zo vaak in de
stromingsleer, turbulentie. Reeds in
de jaren zestig werd in Nederland
onderzoek gedaan naar de vorming
van structuren in de bellenkolommen.
In een uniforme beluchte bak water organiseert de bellenstroming zich in discrete,
symmetrische pluimen. De foto toont een zij-aanzicht.
Figuur 2
Belletjes in een met water
gevulde U-buis. De bellen kiezen of het linker been of het
rechter been.
Figuur 1 laat een experiment zien van
Beek ([1], toentertijd verbonden aan
het Kramers Laboratorium van de
tu Delft).
In een bakje, tot een hoogte van enkele
centimeters gevuld met water en uniform belucht via de bodem, ontstaan
vanzelf ‘bellenpluimen’, gescheiden
door min of meer belvrije vloeistof. De
bellenpluim heeft een lagere dichtheid
dan het water, mede daardoor stijgt het
water in de pluim en zal het in het
midden van de belvrije structuur neerwaarts stromen. Vlak bij de bodem beweegt het water dus vanuit de belvrije
structuren richting de pluimen en als
gevolg van de wrijvingskracht bewegen de bellen naar het centrum van de
pluimen: de zwaartekrachteffecten en
de hydrodynamica versterken hier elkaar en zorgen voor het regelmatige
patroon zoals zichtbaar in figuur 1.
het apparaatje is dat de belletjes invloed uitoefenen op de stroming in de
U-buis. Neem de eerste bel die binnen
komt en veronderstel dat deze het
rechter been in gaat. Zodra de bel het
verticale standbeen van de U-buis inkomt is de totale massa van het water
in het linker been groter dan in het
rechter. De zwaartekracht zorgt dat
deze onbalans rechtgetrokken wordt:
er wordt een U-buis-oscillatie aangeslagen. De tweede bel die binnenkomt
zal de keuze voor het linker of het rechter been maken afhankelijk van de
stroomrichting onder in de U-buis, dat
wil zeggen afhankelijk van de fase van
de oscillatie. De keuze voor de bel is nu
niet langer vrij. Even later komt de bel
in een verticaal deel van het gekozen
been. Wederom is er dan ineens minder massa in dat been en de zwaartekracht grijpt aan. Anders geformuleerd: de bel geeft bij binnenkomst een
‘schop’ aan de oscillator. Daarmee
wordt dit een niet-lineair systeem: het
systeem wordt een eenvoudige gedempte harmonische oscillator, die op
vaste tijden een deltapiek-schop van
een inkomend belletje krijgt.
Indien de energiedissipatie in de stroming van het water verwaarloosd
wordt, kan voor de ‘kicked oscillator’ een
Hamiltoniaan opgesteld worden (zie
kader):
H = 12 p2 + 12 δ 2 −
K|p| δD (τ − nφ)
(1)
met p de impuls van het systeem, δ de
uitevenwichtswaarde van het wateroppervlak, K de sterkte van de ‘kick’ (die
direct gerelateerd is aan het volume
van een belletje), δD the delta-functie
van Dirac, τ de dimensieloze tijd en nφ
de discrete, dimensieloze tijd waarop
de oscillator een schopje krijgt. De tijd
is dimensieloos gemaakt met de eigenfrequentie
van de U-buis-oscillatie,
TU 0 = L/2g en φ is gedefinieerd
als φ = TTUb0 , met 1/Tb de frequentie
waarmee bellen geïnjecteerd worden.
De oscillator valt in de familie kicked oscillators. Een geladen deeltje, dat beweegt in een constant magnetisch veld
en kicks ondervindt van een elektrisch
veld in de vorm van golfpakketjes, valt
in deze familie. Maar ook de bekende
‘kicked rotor’ is hier onderdeel van. De
kicked rotor is in essentie een puntmassa
m, die aan een starre staaf met lengte
L rond een vaste as draait en op gezette tijden een ‘tik’ krijgt. Het bijzondere
U-buis-oscillaties
In de jaren negentig introduceerde dezelfde Beek een eenvoudig experiment: onderin een U-buis gevuld met
water worden met behulp van een
aquariumpompje met een vaste frequentie belletjes ingebracht [2]. Deze
belletjes stijgen door het water om- Faseplot
hoog: ofwel door het linker been, In [3] is de mathematische beschrijofwel door het rechter been van de U- ving van de ‘kicked oscillator’ te vinden.
buis (zie figuur 2).
Het aardige van dit experiment is dat
ook hier de zwaartekracht en de wrijp
p
vingskracht samen bepalen wat er gebeurt, maar nu in een eenvoudig te
K
∆E<0
modelleren systeem. De U-buis is sym∆
E
>
0
K
E2
metrisch: elke binnenkomende bel
heeft geen enkele voorkeur om een van
E1
-K/2
de twee benen in te gaan. Zodra er echK/ 2
ter stroming in de U-buis optreedt, is
δ
δ
∆E=0
dit anders. Immers, stel dat de stro∆E<0
ming van het linker- naar het rechterbeen is. Dan zal een bel die net onder
∆E>0
in de U-buis binnenkomt een wrijvingskracht voelen, die van links naar
rechts werkt en de bel het rechterbeen
in laat bewegen. Het bijzondere van Figuur 3 Faseplot en energieverandering. ∆E geeft de energiesprong die bij de kick met sterkte K hoort weer.
januari 2004
Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde
5
p
A
B
δ
C
Figuur 4
Baan van de oscillator in de faseruimte voor een dimensieloze belinjectieperiode van 0,76.
1
1
0
1
1
2
1
3
2
5
1
4
1
5
Figuur 5
6
2
3
2
7
3
8
3
5
3
7
4
7
3
4
5
8
5
7
4
5
Fareyboom.
aan de U-buis is dat de kicks een vaste
grootte hebben, met variabel teken. In
de faseruimte wordt dit zeer overzichtelijk, zie figuur 3.
De kick die de oscillator krijgt van een
belletje geeft enkel een sprong ter
grootte K in de uitevenwichtspositie
van de oscillator en niet in de impuls
(zie kader). Verder hangt de richting
van de kick enkel af van het teken van de
snelheid van de oscillator. Dit is een direct gevolg van de wrijvingskracht van
het water, die de belletjes naar links of
rechts stuurt. De oscillator kan door
een kick meer of minder energie krijgen. In het rechter deel van figuur 3 is
dit weergegeven.
Periodieke baan
In de faseruimte zijn gesloten banen
mogelijk, die de oscillator tussen een
beperkt aantal energieniveaus laten
springen. Dit worden relatief eenvoudige banen, die een periodiek karakter
hebben. Voor de bellen betekent dit,
dat ze een simpele reeks vormen in de
keuze linker- of rechterbeen. Een voorbeeld is gegeven in figuur 4. Hier is het
dimensieloze tijdsinterval tussen twee
opeenvolgende belinjecties gelijk aan
0, 76, dat wil zeggen Tb /TU 0 = 0, 76.
Dit betekent dat een belletje binnenkomt na 0, 76 omloop in de faseruimte. Echter, de kicks kunnen de periode
van de oscillator bijstellen. Dit is te
zien in figuur 4. Laten we de baan volgen. Op punt a komt een bel binnen.
De snelheid is dan juist zo dat de bel
naar het linker been gestuurd wordt.
De energie van de oscillator neemt af
en de fase wordt een eindje terug
gezet. Na 0, 76 omwenteling komt er
weer een bel binnen (punt b). De snelheid van het water is wederom zo, dat
de bel naar het linker been gaat. Maar
nu neemt de energie toe en wel met
precies dezelfde hoeveelheid als waarmee eerst de energie afnam. De oscil-
De Hamiltoniaan van een harmonische oscillator (met impuls p en De toegevoegde term vertegenwoordigt het effect van de kicks
uitwijkings δ ) is eenvoudig te bepalen:
met sterkte K : enkel op discrete tijdstippen krijgt de oscillator een
2
schopje. De bewegingsvergelijkingen luiden nu:
P
H = T + V = 2m
+ 12 kδ 2
p = δ̇ en δ̇ = p − Ksgn(p) δD (τ − nφ)
De bewegingsvergelijkingen volgen uit
Hieruit volgt, dat de oscillator op vaste tijden een tik krijgt met
∂H
∂H
∂δ = −ṗ en ∂δ = −δ̇
grootte K en richting die afhangt van het teken van p: sgn(p) = 1
Dit levert uiteraard de eenvoudige slingerbeweging op. als p > 0 en −1 als p < 0. Uit integreren van de tweede beweBovenstaande kan vereenvoudigd worden door een eenhedenstel- gingsvergelijking van τ = (nφ)− tot τ = (nφ)+ (dat wil zeggen
sel te kiezen zodat geldt k = 1 en m = 1 (hiermee wordt tevens juist vóór een kick tot juist erna) volgt dat zo’n kick een stap in de
de interpretatie van de snelheid en de impuls eenvoudig uitwissel- plaats δ geeft ter grootte ±K , terwijl de impuls, p, van de oscillabaar). De bewegingsvergelijking is uiteraard:
tor onveranderd blijft. Dit is ook in figuur 3 weergegeven. De positie waar de kick plaatsvindt, bepaalt of de energie van de oscillator
ṗ + δ = 0 ↔ δ̈ + δ = 0 en p = δ̇
afneemt (de oscillator komt op een meer naar binnen gelegen cirDe beweging is aanschouwelijk te maken in een faseruimte, in dit kel terecht) of dat de energie toeneemt (de nieuwe baan heeft een
geval uiteraard het {δ, p}-vlak. De harmonsiche oscillator beschrijft grotere straal). Door de kicks springt de oscillator van baan naar
in de faseruimte een cirkel (zie figuur 3, bij elke cirkelbaan hoort baan in de faseruimte. In figuur 3 is met ∆E het teken van de enereen energie E ).
giesprong weergegeven. Omdat een kick enkel effect heeft op de
Voor de ongedempte, kicked harmonische oscillator is ook een positie van de oscillator, is er geen energieverandering (∆E = 0)
Hamiltoniaan op te stellen (weer in het stelsel waarin als de kick plaats vindt op positie δ = K/2(p > 0) en
m = 1, k = 1):
δ = −K/2(p < 0). Dat betekent dat de oscillator op dezelfde
baan blijft.
H = 12 p2 + 12 δ 2 − K|p| δD (τ − nφ)
Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde
januari 2004
1
1
1519/1913
3/4
Ω
Ω
2/3
11/18
0,5
0
Figuur 6
1/14
1/7
1/5
1/6
1/9
2264/6476
1/4
355/5154
1/12
0,5
φ
1
0,5
0
φ
1
Locking als functie van de belperiode.
lator komt weer op de originele ‘buitenbaan’ terecht. Tevens wordt de fase
een beetje terug gezet. Na 0, 76 omwenteling komt er een derde bel
binnen (punt c). De snelheid is nu zo,
dat de bel naar het rechter been gaat.
De energiesprong is nu precies zo, dat
de oscillator op de buitenbaan blijft en
enkel de fase teruggezet wordt. Vervolgens wordt de baan gevolgd tot exact
op positie a de vierde bel binnenkomt
en de cyclus zich herhaalt. Het totale
effect van de drie fasesprongen bij a, b
en c is nu zo dat de oscillator een langere periode krijgt, TU locked , zodat de verhouding van de Tb /TU locked = 2/3.
De oscillator koppelt zich in de toestand
2/3 wat overeenkomt met de bellenreeks llr–llr enzovoort (een bel naar
het linker been noteren we met l, naar
het rechter been met r). Andere toestanden zijn ook mogelijk, bijvoorbeeld lr–lr wat overeenkomt met
Tb /TU locked = 1/2 , of llrr–llrr
wat betekent Tb /TU locked = 3/4 .
Fareyboom
De breuken die de l–r-combinatie
weergeven zijn niet vrij te kiezen door
de systeemparameters in te stellen op
de juiste waarde. De toegestane combinaties volgen een simpele rekenregel, die aanleiding geeft tot de zogenaamde Fareyboom. Dit is een boom
die ontstaat door te beginnen met de
twee breuken 0/1 en 1/1. Vervolgens
volgen nieuwe elementen via
p1
q1
0,5
1/2
1/8
1/10
4/5
⊕
p2
q2
=
p1 +p2
q1 +q2
(2)
In figuur 5 is de Fareyboom weergegeven. In het bovenstaande is demping
van de beweging buiten beschouwing
gelaten. Voor het water-lucht-systeem
is die relatief groot en zullen de banen
in de faseruimte naar de oorsprong
spiraliseren. De bellen leveren de benodigde energie om de beweging
gaande te houden. De demping heeft
wel tot gevolg dat het water-luchtsysteem geen toestanden kent diep in
de Fareyboom: de hoogste die we
tegengekomen zijn, zijn llrlr (= 2/5)
en llrrr (= 1/5). Bij een specifieke
l–r-reeks kan eenvoudig de bijbehorende breuk in de Fareyboom gevonden worden. Neem de reeks
llrllrrllr (en daarna repeterend).
Splits deze reeks tussen elke tweede
wisseling van letter: llr–llrr–llr.
Dat levert de elementaire toestanden
van de reeks. Een elementaire toestand
van lengte n (het aantal l’s en r’s) met
slechts één wisseling is gekoppeld aan
1/n. Dus llr is 1/3 en llrr is 1/4. De
reeks hierboven is dan volgens de optelregel: 1/3 ⊕ 1/4 ⊕ 1/3 = 3/10. Elke
periodieke baan, die we hebben gevonden, is opgebouwd uit dit soort elementaire toestanden waarbij de
waarde van n klein bleef.
Computersimulatie
De kicked oscillator is met een eenvoudig
computermodel te analyseren. Tussen
twee bellen is de beweging gedempt
harmonisch. Zoals we gezien hebben
geeft elke bel een stap in de faseruimte. Door nu een groot aantal belletjes te
injecteren, kan gezocht worden naar
de uiteindelijk optredende baan en geinspecteerd worden of deze periodiek
is en welke bellenreeks daar bij hoort.
De periode die de oscillator in ‘gelockte’
toestand aanneemt is een functie van
de kick-grootte K , de dempingsparameter µ en de dimensieloze belperiode
φ (dat wil zeggen de tijd tussen twee
opeenvolgende belinjecties, dimensieloos gemaakt met de periode van de
ongestoorde U-buis-oscillatie).
Voor relatief hoge demping is het aantal toegestane toestanden betrekkelijk
gering. De resultaten kunnen goed
weergegeven worden in een grafiek
waarin de dimensieloze gelockte tijd
Ω ≡ Tb /TU locked wordt uitgezet
tegen de dimensieloze belperiode φ. In
figuur 6 zijn twee voorbeelden gegeven: een voor relatief hoge demping en
een voor relatief lage.
De lijn Ω = φ representeert de situatie
dat de gelockte oscillator dezelfde periode heeft als de vrije oscillator:
TU locked = TU 0 . Duidelijk is, dat geringe demping de oscillator toestaat
om veel dichter bij de natuurlijke frequentie te blijven, maar dat dit enkel
gaat via banen met een hoge complexiteit. Bijvoorbeeld de baan met
Ω = 2264/6476 is periodiek, met vrijwel TU locked gelijk aan TU 0 , maar pas
repeterend na 6476 belinjecties. We
zitten hier diep in de Fareyboom. Merk
ook op dat eenvoudige banen en complexe banen heel dicht bij elkaar kunnen liggen: zie de punten met Ω =
1519/1913 en 4/5 die bij vrijwel dezelfde waarde van φ (0,82 en 0,822 respectievelijk) optreden. De eerste is complex met een repeteerlengte van 1913
bellen, de tweede is simpel met het
bellenpatroon lllrr. Voor nog geringere demping wordt het scala aan patronen nog groter, waarbij voor sommige waarden van φ na 108 belinjecties
nog geen regelmatig patroon is aange-
januari 2004
Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde
7
Figuur 7
Afhankelijkheid van eindtoestand met betrekking tot beginvoorwaarden (φ = 0,76, K =
0,001, µ = 4,17 10-3).
troffen. Of dit betekent dat dat er dan
ook niet is, is nog niet met zekerheid
te zeggen, mede omdat afronding
door de computer nu in het geding
komt.
Prachtige patronen
Tot nu toe werden de simulaties opgestart vanuit dezelfde toestand: de Ubuis is in evenwicht als de eerste bel
geïnjecteerd wordt. Door andere beginvoorwaarden te kiezen (zowel voor
de uitevenwichtstand als voor de snelheid) kan de invloed van de begincondities op de uiteindelijke banen bestudeerd worden. Een voorbeeld is gegeven in figuur 7, voor φ = 0, 76,
K = 0, 001, µ = 4, 17 10−3 . De begincondities, waarin de U-buis-oscillatie zich bevond bij injectie van de eer-
ste bel (dat wil zeggen begin-uitevenwichtspositie δ0 en beginimpuls p0 ),
zijn systematisch gevarieerd van –0,2 <
δ0 < 0,2 en –0,2 < p0 < 0,2. De gevonden toestanden zijn: 1/2, 2/3, 3/4, 5/7,
7/10 en 13/18, waarbij 3/4 (dat wil zeggen llrr) domineert.
De kicked U-buis-oscillator maakt duidelijk dat hele eenvoudige systemen,
met huis-tuin-en-keuken-spulletjes,
een geweldig rijke dynamica kunnen
vertonen. Koppeling van twee tijdschalen levert organisatie in simpele en
minder simpele toestanden op. De kick
8
Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde
januari 2004
van bellen is voor wie er oog voor heeft
nog immer groot.
Referenties
1 W.J. Beek, ‘Oscillations and vortices in a
batch of liquid sustained by a gas flow’, Symp.
Ser. on Two-Phase Flow, Univ. of Exeter
(1965).
2 R.W. van den Berg, ‘Interplaying time scales
in two-phase flows’, Ph.D. thesis, tu Delft
(1996).
3 R.F. Mudde en S.G. Jansz, ‘Influence of damping on the delta-kicked harmonic oscillator
with Heaviside kick’, Physica d 179 (2003),
1–17.