Java Printing

n -wet
Wisnet-hbo
update mei. 2008
1 Inleiding
De wortel-n-wet komt in de praktijk erg vaak voor op twee manieren, namelijk bij het nemen
van steekproeven en bij het bepalen van de som van een aantal trekkingen uit een
verdeling.
Beide keren speelt n een belangrijke rol.
1.1 Steekproef
Je neemt een steekproef uit een populatie waarvan het gemiddelde gelijk is aan μ en
standaarddeviatie gelijk aan σ.
Hoe groter de steekproef uit deze populatie is, des te nauwkeuriger kun je bepalen wat
het gemiddelde is geweest van de populatie.
Neem het gemiddelde van de steekproef en als deze steekproef groot is, wijkt het
gemiddelde van deze steekproef minder af van de waarde van μ van de populatie.
Het gemiddelde van de steekproef geeft namelijk ongeveer dezelfde verdeling als de
populatie waaruit de steekproef genomen is.
Echter deze verdeling zal smaller zijn, naarmate de steekproef groter is.
Het gemiddelde van een steekproef van n elementen zal een verdeling geven met
dezelfde waarde van de gemiddelde waarde μ als de gemiddelde waarde van de
populatie maar met een standaarddeviatie σ die n keer zo klein is:
populatie
gemiddelde = μ
standaarddeviatie =
σ
steekproef ter
grootte n
steekproefgemiddeld standaarddeviatie =
e=μ
σ
n
Variantie = σ²
2
σ
Var
=
steekproef
n
1.2 Som van een serie trekkingen
De som van een aantal normaal verdeelde variabelen is zelf ook normaal verdeeld.
Als alle trekingen afkomstig zijn uit een normale verdeling met verwachtingswaarde μ en
standaarddeviatie σ, dan geldt dat de som van n trekkingen een verwachtingswaarde
heeft van n×μ.
De variantie (σ²) heeft voor elke trekking invloed op de som.
1
De totale variantie is dan gelijk aan n×Var(x) = n×σ².
De standaarddeviatie van de som: σsom = n $σ
populatie
gemiddelde = μ
standaarddeviatie =
σ
som van n
trekkingen
μ
σ
som
= n$μ
som
=
n $σ
Variantie = σ²
Var
2
som
= n$σ
2 Voorbeelden van steekproef
populatie
gemiddelde = μ
standaarddeviatie =
σ
steekproef ter
grootte n
steekproefgemiddeld standaarddeviatie =
e=μ
σ
n
Variantie = σ²
2
σ
Var
=
steekproef
n
2.1 Verpakkingen
De instellingen van een vulmachine zijn zodanig dat het gewicht x dat in een verpakking
terechtkomt een kansvariabele is met een normale verdeling waarvoor geldt μ = 506
gram en σ = 15 gram.
Ter controle doen we een steekproef van 25 verpakkingen en meten het gewicht van al
deze verpakkingen.
Hoe groot is de kans dat het gemiddelde van deze steekproef op minder dan 500 gram
komt?
2.1.1 oplossing
De instellingen van een vulmachine zijn zodanig dat het gewicht x dat in een
verpakking terechtkomt een kansvariabele is met een normale verdeling waarvoor
geldt μ = 506 gram en σ = 15 gram.
Ter controle doen we een steekproef van 25 verpakkingen en meten het gewicht van
al deze verpakkingen.
Hoe groot is de kans dat het gemiddelde van deze steekproef op minder dan 500
gram komt?
Het gemiddelde van de steekproef levert een normaal verdeelde variabele x
steekproef
met μ = 506 gram en σ =
15
= 3 gram.
25
P x
steekproef
! 500 = P z !K2 = P z O 2 = 0.023
2.2 Reistijd
De reistijd t van een werknemer naar zijn kantoor is niet helemaal constant en kan
worden beschouwd als een normaal verdeelde kansvariabele met μ = 35 minuten en σ =
2
4 minuten.
a) Hoe groot is de kans dat de reistijd in één week (5 dagen) iedere dag meer is dan 40
minuten?
b) Hoe groot is de kans dat de reistijd in één week (5 dagen) gemiddeld meer is dan 40
minuten?
2.2.1 oplossing a)
De reistijd t van een werknemer naar zijn kantoor is niet helemaal constant en kan
worden beschouwd als een normaal verdeelde kansvariabele met μ = 35 minuten en
σ = 4 minuten.
Hoe groot is de kans dat de reistijd in één week (5 dagen) iedere dag meer is dan 40
minuten?
Voor één dag geldt:
P t O 40 = P z O 1.25 = 0.1056
Voor vijf dagen achtereenvolgens allemaal meer dan 40 minuten is dat:
5
0.1056 = 0.000013
2.2.2 oplossing b)
De reistijd t van een werknemer naar zijn kantoor is niet helemaal constant en kan
worden beschouwd als een normaal verdeelde kansvariabele met μ = 35 minuten en
σ = 4 minuten.
Hoe groot is de kans dat de reistijd in één week (5 dagen) gemiddeld meer is dan 40
minuten?
Het is dus een steekproef met n = 5.
De gemiddelde waarde van deze steekproef vertoont weer een normaal verdeelde
4
variabele tsteekproef met μ = 35 minuten en σ =
= 1.789.
5
5
P tsteekproef O 40 = P z O
= P z O 2.795 = 0.003
1.789
2.3 Speerwerper
Het resultaat van een worp van een speerwerper kan worden beschreven door een
normale verdeling.
Hij gooit gemiddeld 61 meter met een standaarddeviatie van μ = 3 meter.
De speerwerper doet nu drie pogingen.
Wat is de kans dat het gemiddelde resultaat van de drie worpen minder is dan 59?
2.3.1 oplossing
Het resultaat van een worp van een speerwerper kan worden beschreven door een
normale verdeling.
Hij gooit gemiddeld 61 meter met een standaarddeviatie van μ = 3 meter.
De speerwerper doet nu drie pogingen.
Wat is de kans dat het gemiddelde resultaat van de drie worpen minder is dan 59?
Beschouw het resultaat van het gemiddelde van drie worpen als een nieuwe variabele
3
met μ = 61 en σ =
= 3 = 1.73.
3
3
P x ! 59 = P z !
59 K61
= P z !K1.15 = P z O 1.15 = 0.125
3
3 Voorbeelden van
de som van een serie trekkingen
populatie
gemiddelde = μ
som van n trekkingen μ
som
standaarddeviatie =
σ
σ
= n$μ
som
=
n $σ
Variantie = σ²
Var
som
2
= n$σ
3.1 Appels
De gewichten van appels uit een grote partij blijken normaal verdeeld te zijn met μ = 100
gram en σ = 20 gram.
Hoe groot is de kans dat een zak met 10 appels meer dan 1010 gram weegt?
3.1.1 oplossing
De gewichten van appels uit een grote partij blijken normaal verdeeld te zijn met μ =
100 gram en σ = 20 gram.
Hoe groot is de kans dat een zak met 10 appels meer dan 1100 gram weegt?
Voor de zak met appels geldt μzak = 1000 gram en σzak = 20 10 = 63.246
P xzak O 1100 = P z O
1100 K1000
63.245
= P z O 1.58 = 0.057
3.2 Vertegenwoordiger
De tijd die een veregenwoordiger nodig heeft voor het bezoeken (inclusief reistijd) van
een klant, wordt weergegeven door de kansvariabele x .
Op grond van ervaring is bekend dat deze kansvariabele normaal verdeeld is met μ = 45
minuten en σ = 10 minuten.
Hoe groot is de kans dat 8 bezoeken meer dan zes en een half uur vergt?
3.2.1 oplossing
De tijd die een veregenwoordiger nodig heeft voor het bezoeken (inclusief reistijd) van
een klant wordt weergegeven door de kansvariabele x .
Op grond van ervaring is bekend dat deze kansvariabele normaal verdeeld is met μ =
45 minuten en σ = 10 minuten.
Hoe groot is de kans dat 8 bezoeken meer dan zes en een half uur vergt?
Neem een nieuwe kansvariabele voor deze 8 bezoeken met μ = 8×45 minuten = 6 uur
en σ = 10$ 8 = 28.28 minuten.
30
P x O 6.5 uur = P z O
= P z O 1.06 = 0.1446
28.28
3.3 Levensduur batterijen
4
Een wereldreiziger koopt ten behoeve van zijn videocamera batterijen waarvan de
levensduur kan worden beschreven door een normale verdeling met μ = 20 uur en σ = 2
uur.
Hij neemt 25 batterijen mee op zijn tocht.
Hoe groot is de kans dat de totale draaitijd van 480 uur niet gehaald wordt?
3.3.1 oplossing
Een wereldreiziger koopt ten behoeve van zijn videocamera batterijen waarvan de
levensduur kan worden beschreven door een normale verdeling met μ = 20 uur en σ
= 2 uur.
Hij neemt 25 batterijen mee op zijn tocht.
Hoe groot is de kans dat de totale draaitijd van 480 uur niet gehaald wordt?
Neem als nieuwe variabele xsom met μ = 20 × 25 = 500 uur en σ = 2 × 5 = 10 uur
P xsom ! 480 = P z !
480 K500
10
5
= P z !K2 = P z O 2 = 0.023