Signalen en Transformaties (201100109)

Signalen en Transformaties 201100109
Docent :
Anton Stoorvogel
E-mail: [email protected]
1/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Stelling (Hoofdstelling Fourier-reeks) Zij f .t / T -periodiek en
stuksgewijs glad op Œ T =2; T =2. Dan geldt voor alle t 2 R:
1
X
f .t C/ C f .t /
fk e ik!0 t
D
2
kD 1
met fk gegeven door:
1
fk D
T
T =2
Z
f .t /e
ik!0 t
dt
T =2
2/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Filters beschreven door differentiaalvergelijkingen:
pn y .n/ .t / C pn
.n
y
1
1/
D qm u.m/ .t / C qm
.t / C C p1 y .1/ .t / C p0 y.t /
.m 1/
.t /
1u
C C q1 u.1/ .t / C q0 u.t /
Ingang u.t /,
Uitgang y.t /.
3/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Kies: u.t / D e st .
pn y .n/ .t / C pn
4/29
.n 1/
.1/
y
.t
/
C
C
p
y
.t / C p0 y.t /
1
1
st
m
m 1
D qm s C qm 1 s
C C q1 s C q0 e
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Probeer particuliere oplossing: y.t / D Ae st .
5/29
n
pn s C pn
1s
C C p1 s C p0 Ae st
st
m
m 1
D qm s C qm 1 s
C C q1 s C q0 e
n 1
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
qm s m C qm 1 s m 1 C C q1 s C q0
AD
pn s n C pn 1 s n 1 C C p1 s C p0
We definiëren:
qm s m C qm 1 s m 1 C C q1 s C q0
G.s/ D
pn s n C pn 1 s n 1 C C p1 s C p0
6/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
u.t / D
1
X
uk e ik!0 t
kD 1
Een particuliere oplossing wordt gegeven door:
y.t / D
1
X
G.i k!0 /uk e ik!0 t
kD 1
Dus:
yk D G.i k!0 /uk
7/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Elektrisch netwerk
i
C
u
8/29
R
C
y
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
We hebben:
y 0 .t / C ˛y.t / D ˛u.t /
met
1
˛D
RC
9/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Zaagtand
3
2
1
0
-1
-2
-3
-8
10/29
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
RC D 0:1
3
2
1
0
-1
-2
-3
-8
11/29
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
RC D 1
3
2
1
0
-1
-2
-3
-8
12/29
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
RC D 10
3
2
1
0
-1
-2
-3
-8
13/29
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Niet periodieke signalen
Kunnen we niet-periodieke functies ook uitdrukken als combinaties
van tijdharmonische signalen?
1
X
ck e i!k t
kD 1
In ieder geval kan niet !k D k!0
We zullen zien dat dit wel kan maar in een iets andere vorm:
Z1
fy.!/e i!t d!
1
14/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Riemann som
We hebben:
Z1
1
15/29
g.t /dt D lim
N !1
N
g
X
kD N
k
N
N
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Signalen van eindige tijdsduur
Zij f .t / een signaal van eindige tijdsduur:
f .t / D 0
jt j >
a
2
Zij fT .t / de T -periodieke voortzetting met T > a van f .t /:
fT .t / D f .t /
jt j < T =2
We vinden:
.fT /k D
!0 y
2 f .k!0 /
fy.!/ D
Z1
f .t /e
i!t
dt
1
16/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Riemann som
Voor een signaal van eindige tijdsduur:
k
Z1
1
1
g N
X
X
g.t /dt D lim
D lim
hg.hk/
N !1
N
h!0
1
17/29
kD 1
kD 1
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
We hadden:
1
f .t C/ C f .t /
1 X
D
!0 fy.k!0 /e ik!0 t
2
2
kD 1
voor jt j < T met
fy.!/ D
Z1
f .t /e
i!t
dt
1
Voor T ! 1 (!0 ! 0) krijgen we:
f .t C/ C f .t /
1
D
2
2
Z1
fy.!/e i!t d!
1
18/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Voor de functie
f .t / D recta .t /
vinden we
fy.!/ D
2 sin
!
a!
2
en
1
recta .t / D
2
Z1
2 sin
!
a!
2
e i!t d!
1
19/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Integreerbaarheid
Een signaal f heet integreerbaar als
Z1
1
f .!/ d! D lim
˛!1
Z˛
f .!/ d!:
˛
bestaat.
20/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Absoluut integreerbare signalen
Een signaal f .t / heet absoluut integreerbaar indien
Z1
jf .t /j dt < 1:
1
21/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Vergelijkingskenmerk
Als
jf .t /j 6 g.t / .t 2 R/ en
Z1
g.t / dt < 1;
1
dan is f .t / absoluut integreerbaar.
22/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Voorbeelden
e
t
1.t /
sin.t /e
23/29
t
1.t /
1
t 2 C1
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Absolute integreerbaarheid impliceert bestaan van:
Z1
1
f .t / dt D
lim
a2 !1;a1 ! 1
Za2
f .t / dt
a1
De functie
sin t
f .t / D
t
is integreerbaar maar niet absoluut integreerbaar.
24/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Hoofdstelling van de Fourier-integraal
Zij f .t / een absoluut integreerbaar signaal. Dan geldt
f .t C/ C f .t /
1
D
2
2
Z1
fy.!/e i!t d!;
1
waarin,
fy.!/ D
Z1
f .t /e
i!t
dt:
1
25/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
We willen de Fouriertransformatie uitbreiden:
absoluut integreerbare signalen, èn
begrensde signalen
Geeft ons de mogelijkheid een relatie te vinden tussen de
Fourierreeks en de Fouriertransformatie
26/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Gegeneraliseerde Fouriertransformatie
Ffı.t /g D
Z1
ı.t /e
i!t
dt D 1:
1
Inverse Fouriertransformatie:
1
2
Z1
e i!t d! D‹
1
27/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Kies een rij absoluut integreerbare signalen fa .t / zodanig dat
"lim" fa .t / D f .t /
a!1
dan wordt de gegeneraliseerde Fouriergetransformeerde van f .t /
gedefinieerd door:
Fff .t /g D "lim" Fffa .t /g:
a!1
28/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
“Bewijs”
Z1
Fffa .t /g'.!/ d! D
1
D
Z1 Z1
fa .t /e
i!t
dt '.!/ d!
1 1
Z1
fa .t /'.t
y /dt
1
en dus
lim
a!1
Z1
1
fa .t /'.t
y / dt D
Z1
f .t /'.t
y / dt:
1
met
'.t / $ '.!/
y
29/29
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI