Veelvlakken - Beginscherm J.P.Hogendijk

Diktaat Concrete Meetkunde
Veelvlakken en alles wat daarbij komt kijken....
Anieke Brombacher 3230589
Auke Mollema 3233626
Patrick van Stiphout 3223604
24 april 2009
1
Inhoudsopgave
1 Inleiding
3
2 Regelmatige veelvlakken
2.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
3 Onregelmatige veelvlakken
3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . .
3.2 Archimedische veelvlakken . .
3.2.1 Dertien Archimedische
3.2.2 Ontstaan . . . . . . .
3.3 Overige . . . . . . . . . . . .
4 De
4.1
4.2
4.3
.
.
.
.
.
7
7
7
7
9
11
formule van Euler
Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Een bewijs van de formule van Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
12
14
. . . . . . .
. . . . . . .
veelvlakken
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Dualiteit
6 Symmetrie
6.1 Definities . . . . . . . . . . . .
6.2 Directe Symmetrie . . . . . . .
6.2.1 Tetraëder . . . . . . . .
6.2.2 Hexaëder en Octaëder .
6.2.3 Dodecaëder en Icosaëder
6.3 Indirecte symmetrie . . . . . .
16
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7 Referenties
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
19
20
21
21
22
23
25
2
1
Inleiding
Regelmatige veelvlakken, de meest van jullie zullen die wel kennen. Ook de namen als tetraëder,
kubus en octaëder zullen jullie wel eens gehoord hebben. Maar er is meer! In dit diktaat behandelen
we de regelmatige veelvlakken maar ook de ’vervormingen’ daarvan. We zullen de middelpunten
van de zijdes uitrekken en hoekpunten eraf snijden. Zo zullen we onregelmatige veelvlakken ontdekken en het verband tussen veelvlakken inzien. Tenslotte gaan we ook kijken naar symmetrieën
binnen deze veelvlakken.
Dit alles brengt ons tot het doel : Het enthousiast maken van de lezer voor dit onderwerp!
3
2
Regelmatige veelvlakken
2.1
Definities
Voordat we naar de regelmatige veelvlakken gaan kijken, zullen we eerst een aantal definities
behandelen en een aantal opmerkingen maken. Wanneer we naar een kubus kijken, valt het op
dat deze alleen maar uit vierkanten bestaat. In het algemeen blijkt dat een regelmatig veelvlak
bestaat uit zijvlakken die weer regelmatige veelhoeken zijn. Voor de grootte van een hoek in een
regelmatige n-hoek (f (n)) geldt:
f (n) = (n − 2).180o
Opgave 1 Probeer figuurlijk in te zien waarom deze formule klopt.
Tenslotte zullen we nog twee definities nodig hebben om een regelmatig veelvlak te kunen definiëren.
Definitie 1 Onder de orde van een zijvlak van een veelvlak wordt verstaan het aantal ribben (of
aantal hoekpunten) dat dat zijvlak begrenst.
Definitie 2 Onder de orde van een hoekpunt wordt verstaan het aantal ribben (of aantal zijden)
dat samenkomt in dat hoekpunt.
Nu kunnen we met behulp van definities 1 en 2 en de gemaakte opmerkingen een regelmatig veelvlak
definiëren:
Definitie 3 De voorwaarden voor een regelmatig veelvlak zijn:
• De zijden zijn identieke regelmatige veelhoeken
• Convex
• ......................
Opgave 2 Vul de tweede voorwaarde op de puntjes hierboven in (denk aan een kubus) en geef
daarbij een voorbeeld waaruit blijkt dat die voorwaarde nodig is.
4
Figuur 1: De vijf regelmatige veelvlakken
Dit alles geeft ons (een tabel met) 5 regelmatige veelvlakken:
Naam
Tetraëder
Kubus
Octaëder
Dodecaëder
Icosaëder
Zijden
4 driehoeken
6 vierkanten
8 driehoeken
12 vijfhoeken
20 driehoeken
Orde hoekpunt
3
3
4
3
5
Orde zijde
3
4
3
5
3
Opmerking 1 Uit de tabel blijkt dat er vijf regelmatige veelvlakken zijn. Probeer voordat je verder
leest te bedenken waarom er precies vijf zijn.
2.2
Bewijs
Uit de vorige paragraaf bleek dat er vijf regelmatige veelvlakken zijn. We zullen nu een bewijs
geven, waarom er hoogstens vijf regelmatige veelvlakken zijn.
Dit doen we met de volgende aandachtspunten:
• Er zijn minimaal drie zijden nodig rond een hoekpunt;
• Een zijvlak heeft minimaal drie hoekpunten;
• De hoeken van elk zijvlak zijn even groot;
• Een regelmatig veelvlak bestaat maar uit één soort regelmatige veelhoek.
5
Stelling 1 Er zijn hoogstens vijf regelmatige veelvlakken.
Bewijs: Aangezien we in een zijvlak minimaal drie hoeken nodig hebben om een zijvlak te kunnen
maken en we drie zijvlakken nodig hebben in een hoekpunt beginnen we bij drie driehoeken in een
hoekpunt. De hoeken in een gelijkbenige driehoek zijn 60o graden, dus drie driehoeken levert 180o .
Dit geeft ons een tetraëder. Wanneer we vier driehoeken samen laten komen in een hoekpunt geeft
dat een totaal van 240o , de octaëder. Als we vijf driehoeken in een hoekpunt samen laten komen
geeft dat een hoek van 300o , de icosaëder. Tenslotte geeft zes driehoeken in een hoekpunt een
regelmatige zeshoek en dus een plat vlak.
Als we kijken naar de vierkanten en zo drie vierkanten in een hoekpunt samen laten komen geeft dat
270o in een hoekpunt. Dit veelvlak heet ook wel een kubus. Laten we vier vierkanten samenkomen
in een hoekpunt, dan krijgen we een groot vierkant verdeeld in vier kleine vierkantjes en dus een
plat vlak (360o ).
Voor drie vijfhoeken (met een hoek van 108o ) geeft 324o in een hoekpunt. Zo ontstaat de dodecaëder.
Vier vijfhoeken in een hoekpunt geeft meer dan 360o en zal dus nooit een gesloten figuur worden.
Tenslotte drie zeshoeken in een hoekpunt: voor de zeshoek geldt dat elke hoek 120o is, dus drie
zeshoeken geeft 360o en dat is een plat vlak. Hier kan geen ruimtelijk figuur van gemaakt worden.
Q.E.D.
Opgave 3 Hebben we nu bewezen dat er vijf zijn? Zo nja, denk nog eens wat verder na. Zo nee,
wat is het probleem nog? Zet het probleem en de oplossing uiteen in tenminste tien zinnen.
Tenslotte zullen we ons nog iets meer verdiepen in de mogelijkheden van regelmatige veelvlakken
door middel van twee opgaves.
Opgave 4 Bekijk de dodecaëder. Kies daarop 8 hoekpunten die met elkaar verbonden een kubus
opleveren. Hoeveel van die kubussen zijn er?
Opgave 5 Bekijk nogmaals de dodecaëder en vind (net zoals in de vorige opgave) door middel van
de hoekpunten te verbinden hoeveel tetraëders er in zitten.
6
3
Onregelmatige veelvlakken
3.1
Inleiding
Naast regelmatige veelvlakken bestaan er ook onregelmatige veelvlakken. Onregelmatige veelvlakken zijn veelvlakken waarvoor onder andere één van de onderstaande gevallen geldt:
• Het veelvlak bestaat uit minimaal twee soorten regelmatige veelhoeken (met willekeurige orde
van een hoekpunt);
• Het veelvlak bestaat uit één soort regelmatige veelhoek (met minstens twee verschillende
ordes van de hoekpunten).
Denk bij het laatste puntje nog even aan opgave twee van het vorige hoofdstuk.
Een voorbeeld van een onregelmatig veelvlak is een prisma. Wanneer we kijken naar een prisma met
een vijfhoek als basis en vierkanten als zijden dan hebben we het over een onregelmatig veelvlak.
Andere voorbeelden van onregelmatige veelvlakken zijn de dertien Archimedische veelvlakken. Deze
veelvlakken worden ook wel halfregematige veelvlakken genoemd. Aan de naam te zien ontstaat
het vermoeden dat er toch enige regelmaat te ontdekken is, daarom zullen we deze vlakken apart
behandelen.
Opgave 6 Laat zien dat er oneindig veel onregelmatige veelvlakken zijn.
3.2
3.2.1
Archimedische veelvlakken
Dertien Archimedische veelvlakken
Er bestaan dertien Archimedische veelvlakken en ze hebben allen een bijpassende naam. We bekijken voorlopig alleen de Engelse namen. In die naam is verwerkt hoe ze zijn ontstaan: de meeste
zijn namelijk ontstaan door een regelmatig veelvlak zo te veranderen dat hij niet meer regelmatig
is maar de zijvlakken wel regelmatige veelhoeken zijn.
Definitie 4 Een Archimedisch veelvlak is opgebouwd uit tenminste twee soorten regelmatige veelhoeken, in elk hoekpunt komt dezelfde groepering (in dezelfde volgorde) van veelhoeken voor en het
is geen prisma of antiprisma.
(Een antiprisma is een prisma waarbij het grondvlak en het bovenvlak niet precies boven elkaar
staan, maar het bovenvlak gedraaid is ten opzicht van het ondervlak.)
7
Figuur 2: De dertien Archimedische veelvlakken
1. Truncated Cube
2.
3.
4. Great Rhombicuboctahedron
5. Rhombicuboctahedron
6. Truncated Dodecahedron
7. Icosidodecahedron
8. Truncated Icosahedron
9. Great Rhombicosidodecahedron
10. Rhombicosidodecahedron
11. Snub Cube
12. Snub Dodecahedron
13. Truncated Tetrahedron
8
Onderstaande tabel geeft het aantal en soort van de zijvlakken weer van de dertien Archimedische
veelvlakken:
Zijvlakken
8
14
14
14
26
26
32
32
32
38
62
62
92
3.2.2
Drieh.
4
8
8
8
Vierk.
Vijfh.
6
6
Achth.
Twaalfh.
6
18
12
8
20
20
32
20
Zesh.
4
4
8
12
12
6
20
12
6
30
30
12
20
80
12
Ontstaan
Wanneer we naar een tetraëder kijken en op de één of andere manier de hoekpunten eraf snijden
dan lijkt het wel of je de ’truncated tetrahedron’ krijgt. Als je nu kijkt naar de kubus en je pakt
het midden van de vier zijden rondom en trekt dat midden omhoog op de één of andere manier
dan krijg je de ’cub-octahedron’. Hieruit blijkt dat je door regelmatige veelvlakken een beetje te
verbouwen al een aantal van deze Archimedische veelvlakken krijgt. In het bijzonder bekijken we
’de verbouwingen’ afknotten en uitstulpen.
Definitie 5 Afknotten betekent letterlijk dat je de hoekpunten van een veelvlak afsnijdt. Daarbij
heeft de snijlijn overal dezelfde afstand tot het hoekpunt en de basis van het gedeelte dat je er
afsnijdt is een regelmatige veelhoek. Daarbij geldt ook dat de zijdes die je overhoudt ook regelmatige
veelhoeken moeten zijn.
Definitie 6 Uitstulpen betekent dat je het midden van een zijde loodrecht omhoog trekt met gelijke
afstand tussen het uitgetrokken hoekpunt en de hoekpunten van het zijvlak.
Deze twee definities zullen we even illustreren met twee plaatjes. Hieronder zie je het principe van
uitstulpen bij een kubus. De linker is niet goed maar de rechter is wel goed:
Figuur 3: Uitstulpen, links fout en rechts goed.
9
En op de volgende pagina wordt een kubus afgeknot. Daarbij is weer het linker plaatje fout en het
rechter plaatje goed. Wanneer je bij alle hoekpunten afknot zoals het rechterplaatje ontstaat de
’truncated cube’. Daarbij is de zijde dus een regelmatige achthoek of een regelmatige driehoek:
Figuur 4: Afknotten, links fout en rechts goed.
Opvallend in de twee definities is dat we bij beide over de afstand praten tot ’het’ hoekpunt. Dit
doen we omdat we zo een Archimedische veelvlak krijgen. Verder geldt bij het afknotten dat er een
vlak bijkomt, een hoekpunt weggaat en er evenveel ribben als hoekpunten bijkomen. Iets waarvan
we in het volgende hoofdstuk de regelmaat van zullen ontdekken.
We eindigen dit hoofdstuk met een aantal plaatjes van het afknotten van 3 regelmatige veelvlakken:
Figuur 5: Afknotten van een tetraëder geeft een octaëder
Figuur 6: Afknotten van een kubus
Figuur 7: Afknotten van een octaëder
10
Opgave 7 Zoals je ziet zijn bij het plaatje van de Archimedische veelvlakken twee namen weggevallen. Aangezien de naam veel vertelt over het veelvlak zijn die weggehaald. Probeer te achterhalen
hoe die veelvlakken zijn ontstaan.
Opgave 8 Welke veelvlakken ontstaan er bij het afknotten van de icosaëder en de dodecaëder?
Opgave 9 De ’rhomb-cub-octahedron’ heeft zijvlakken gemeenschappelijk met drie andere van de
tot nu toe behandelde veelvlakken. Welke?
Opgave 10 De ’snub cube’ ofwel stompe kubus heeft zijvlakken gemeenschappelijk met de kubus en
de octaëder. Leg uit waarom er geen ’snub tetrahedron’ is.
Opgave 11 Welke twee Archimedische veelvlakken kunnen niet ’gemaakt’ worden door het afknotten van een regelmatig veelvlak?
3.3
Overige
Deze paragraaf bestaat uit een aantal stellingen en een vraag. Kruis bij de stellingen aan of de
stelling juist of onjuist is. Wanneer u juist aankruist probeer dan het onregelmatige veelvlak te
tekenen. Wanneer we het hebben over een n-hoek dan is deze regelmatig.
• Je kan een onregelmatig veelvlak maken met 5 vierkanten en 2 vijfhoeken Juist / Onjuist
• Je kan een onregelmatig veelvlak maken met 2 vierkanten en 8 driehoeken Juist / Onjuist
• Je kan een onregelmatig veelvlak maken met een tienhoek, een vijfhoek, 5 vierkanten en 5
driehoeken Juist / Onjuist
• Je kan een onregelmatig veelvlak maken met 12 vijfhoeken Juist / Onjuist
Opgave 12 Wanneer we kijken naar de icosaëder dan kunnen we gedeelten eraf snijden en dan een
onregelmatig veelvlak overhouden (zie hieronder). Probeer door middel van snijden in het veelvlak
(minimaal één keer) vier verschillende onregelmatige veelvlakken eruit te halen.
Figuur 8: Afbeelding bij opgave 12
11
4
De formule van Euler
4.1
Inleiding
Geschiedenis1
Leonhard Euler (Bazel, 15 april 1707 Sint-Petersburg, 18 september 1783) was een Zwitserse wiskundige en natuurkundige die het grootste deel van zijn leven doorbracht in Rusland en Duitsland.
Hij was een van de meest productieve wiskundigen ooit; zo heeft Euler veel nieuwe concepten
ontwikkeld en heeft hij zeer veel bijgedragen aan de moderne wiskundige notatie.
Als we verschillende figuren met elkaar gaan vergelijken zien we dat de kubus acht hoekpunten,
twaalf ribben en zes zijden heeft. Op dezelfde manier zien we dat de octaëder zes hoekpunten,
twaalf ribben en acht zijden heeft en de tetraëder vier hoekpunten, zes ribben en vier zijden. Als
we kijken naar de hoeveelheden blijkt steeds dat als we het aantal hoekputen en het aantal zijden
optellen en er het aantal ribben vanaf halen, dat we dan twee eruit krijgen. Hierover heeft Euler
een formule ontdekt.
4.2
De formule
De formule van Euler gaat als volgt:
Stelling 2 Het aantal hoeken + het aantal zijden - het aantal ribben = 2, m.a.w. H − R + Z = 2
In de rest van dit dictaat is het aantal hoekpunten afgekort tot H, het aantal ribben afgekort
tot R en het aantal zijvlakken afgekort tot Z. Zoals hieronder staat klopt het dus voor alle vijf
regelmatige veelvlakken die hiervoor behandeld zijn. Zoals hieronder te zien is:
• Tetraëder: H − R + Z = 4 − 6 + 4 = 2
• Kubus: H − R + Z = 8 − 12 + 6 = 2
• Octaëder: H − R + Z = 6 − 12 + 8 = 2
• Dodecaëder: H − R + Z = 20 − 30 + 12 = 2
• Icosaëder: H − R + Z = 12 − 30 + 20 = 2
12
We gaan nu de formule van Euler na voor de volgende figuur:
Figuur 9: La Grande Arche
Geschiedenis2
Dit is La Grande Arche de la Fraternit ook wel bekend onder de naam l’Arche de la Dense of
Grande Arche. Het is een gebouw in de wijk La Dense in Parijs. De Deense architect Johann Otto
von Spreckelsen ontwierp een 20e eeuwse versie van de Arc de Triomphe. Toen hij in 1987 overleed
nam de Franse architect Paul Andreu het werk over. Het gebouw werd geopend op 14 juli 1989,
200 jaar na de bestorming van de Bastille. De Grande Arche is vrijwel kubusvormig en de binnenkant is open. Het heeft een hoogte van 110 meter (zo hoog dat de Notre-Dame erin zou passen), een
lengte van 108 meter en een breedte van 112 meter.
De Grand Arche heeft vier zijden aan de buitenkant, vier aan de voorkant, vier aan de achterkant en vier binnenin. Dat zijn dus 16 zijden. Verder zijn er 16 hoekpunten en 32 ribben. Als je
dit invult in de formule van Euler krijg je: 16 − 32 + 16 = 0.
Blijkbaar geldt de Formule van Euler niet voor dit soort veelvlakken. Er zijn blijkbaar een aantal
voorwaarden waar een veelvlak aan moet voldoen zodat de Formule van Euler klopt. De voorwaarden is dat het figuur enkelvoudig samenhangend moet zijn.
Definitie 7 Een enkelvoudig veelvlak is een veelvlak dat niet doorboord is.
Definitie 8 Een samenhangend veelvlak is een veelvlak dat uit één deel bestaat en dat niet uit twee
losse delen bestaat.
Wat we zien in figuur 9 is dat de La Grande Arche doorboord is; dit verklaart waarom de formule
van Euler hier niet geldt.
Opgave 13 We hebben gezien dat de formule niet klopt voor een kubus met een gat erin. Hier
komt blijkbaar nul uit. Is dit toevallig of geldt dit voor alle veelvlakken waar een gat in zit? Kun je
ook op −2 uitkomen?
13
4.3
Een bewijs van de formule van Euler
Er zijn veel verschillende bewijzen van de formule van Euler. We bekijken het bewijs door Von
Staudt:
Bewijs:
We kleuren een hoekpunt van een enkelvoudig samenhangend figuur rood. Dan kleuren we een
ribben die aan dat hoekpunt grenst rood. Daardoor kleuren we dus weer een hoekpunt rood. Als
we dit zolang blijven doen tot alle hoekpunten rood zijn, maar er geen gesloten paden ontstaan zijn
we klaar.
We kunnen zo alle hoekpunten bereiken, want de figuur is enkelvoudig samenhangend figuur. Als
we met het inkleuren een hoekpunt overhouden, is die ook rood te kleuren. Omdat de figuur enkelvoudig samenhangend is bestaat er een ribbe die tussen een ongekleurd en een rood hoekpunt zit
en deze kunnen we dan rood kleuren. Op deze manier kunnen we altijd ieder hoekpunt bereiken en
we krijgen op deze manier nooit een gesloten vlak, want anders was het hoekpunt al rood gekleurd.
Als we nu het rode pad uittekenen krijgen we een graaf. Dan zien we dat het aantal rode ribben gelijk is aan het aantal hoekpunten min één.
Figuur 10: Een voorbeeld van een graaf
Rr = H − 1
(1)
Rr is hierbij het aantal rode ribben.
De ribben in de figuur die we niet rood kleurden, kleuren we nu groen. We stellen de zijvlakken
nu voor als knopen, en tussen twee knopen tekenen we een boog als de desbetreffende zijvlakken
verbonden zijn door groene ribben.
De groene ribben kunnen geen cykel vormen, want als dat zou gebeuren kun je er een rood maken
en dan zou de cykel worden doorbroken. Dus krijgen we een samenhangende graaf, want in de
groene ribben zitten geen cykels. Wat we dan zien is dat het aantal bogen is het aantal knopen
min één, dus:
aantal bogen = aantal knopen - 1.
Dit geld altijd, want als geldt dat een graaf samenhangend is en geen cykels heeft geldt altijd dat
het aantal ribben gelijk is aan het aantal knopen min één. Als dit niet zo is, dan moet gelden dat
de graaf uit 2 delen bestaat omdat dan komt er één knoop per deel bij komt. Om een aantal ribben
14
minimaal gelijk aan het aantal knopen te hebben, moet de graaf een cykel of gesloten pad bevatten.
De bogen zijn de zijden en de knopen zijn de groene ribben, dus dan krijgen we dat het aantal
groene ribben gelijk is aan het aantal zijden min één.
Rg = Z − 1
Rg is hierbij het aantal groene ribben.
Het totale aantal ribben is gelijk aan het aantal groene ribben + het aantal rode ribben = Z 1 + H - 1. Dat kunnen we dan dus schrijven als R = Z + H - 2, wat we om kunnen schrijven als:
H - R + Z = 2. Q.E.D.
Dit bewijs gaat niet op voor de Grande Arche, omdat dit geen enkelvoudig samenhangend figuur
is. We kunnen de ribben dus niet zo rood kleuren dat alle hoekpunten rood zijn, zonder dat de
figuur gesloten is. Verder zien we dat de figuur niet in twee delen uiteen kan vallen.
15
5
Dualiteit
We gaan eerst terug naar alles wat we al weten voordat we gaan kijken wat dualiteit inhoudt:
• Tetraëder: H − R + Z = 4 − 6 + 4 = 2
• Kubus: H − R + Z = 8 − 12 + 6 = 2
• Octaëder: H − R + Z = 6 − 12 + 8 = 2
• Dodecaëder: H − R + Z = 20 − 30 + 12 = 2
• Icosaëder: H − R + Z = 12 − 30 + 20 = 2
Als we van deze formules de orde van de zijde en de orde van de hoek bekijken.
• Tetraëder: Orde van de zijde: 3 Orde hoek: 3
• Kubus: Orde van de zijde: 4 Orde hoek: 3
• Octaëder: Orde van de zijde: 3 Orde hoek: 4
• Dodecaëder: Orde van de zijde: 5 Orde hoek: 3
• Icosaëder: Orde van de zijde: 3 Orde hoek: 5
Hieronder volgt een samenvattend schema:
Tetraëder
Kubus
Octaëder
Dodecaëder
Icosaëder
H
4
8
6
20
12
R
6
12
12
30
30
Z
4
6
8
12
20
Orde zijde
3
4
3
5
3
Orde hoek
3
3
4
3
5
Wat opvalt is dat, als je naar kubus en de octaëder kijkt, zijn de aantallen hoeken en zijden
omgedraaid. Hetzelfde geldt voor de dodecaëder en de icosaëder. Deze noemen we elkaars duale.
De tetraëder is duaal met zichzelf.
Stel K is het regelmatige veelvlak waarmee we beginnen, K’ is het duale veelvlak van K, en →
betekent de vorming van het duale veelvlak. Dan moet gelden:
Als
K → K 0 → K”
en als geldt dat K = K”, dan heet dit een operatie van dualiteit.
16
Ter illustratie volgt de volgende opdracht:
Opgave 14 Neem een ballon en blaas deze op. Teken er met een watervaste stift vierkante blokken
op, dit zijn landen. Pak van elk land het midden(de hoofdstad) en verbind de middens van de
buurlanden met elkaar, met een andere kleur. We krijgen dan een nieuw netwerk van landen.
Verbind nu weer de middens van deze landen. Wat valt je op?
In de voorgaande tabel met de aantallen ribben, zijvlakken en hoekpunten per regelmatig veelvlak
valt ons iets op: voor elk veelvlak bestaat een ander veelvlak waarvan het aantal ribben hetzelfde
is, maar het aantal hoekpunten en zijvlakken precies is omgedraaid. Verder zien we bij dezelfde
figuren dat de orde van de hoek en de orde van de zijden omgedraaid zijn. We vragen ons af of
deze veelvlakken elkaars duale vormen kunnen zijn. Dit gaan we als volgt onderzoeken:
We verbinden de middens van de zijvlakken van een veelvlak met elkaar. Deze middelpunten worden
de hoekpunten in de nieuwe figuur: de aantallen zijvlakken en hoekpunten wordt dus omgewisseld.
Als we nu in de nieuwe figuur weer de middens van de zijvlakken verbinden, zullen we de oorspronkelijke figuur terug krijgen.
Het verbinden van middens van zijvlakken is dus een manier om een duale van een veelvlak te
creëren. We zullen dit toepassen op de regelmatige veelvlakken.
We bekijken eerst de tetraëder. Als we de middens van de vlakken met elkaar verbinden zien
we dat we weer een tetraëder krijgen. De tetraëder is dus duaal met zichzelf: dit heet zelfduaal.
Figuur 11: De middens van de zijden van de tetraëder met elkaar verbonden
We bekijken nu de kubus en de octaëder:
Figuur 12: Links: de middens van de zijden van de kubus met elkaar verbonden, rechts: de
middens van de zijden van de octaëder met elkaar verbonden
17
Op dezelfde manier als bij de tetraëder is in te zien dat de kubus en de octaëder elkaars duale zijn.
Als laatste de dodecaëder en icosaëder: De dodecaëder en de isocaëder zijn elkaars duale. Dit kun
je hieronder zien:
Figuur 13: Links: de middens van de zijden van de dodecaëder met elkaar verbonden, rechts: de
middens van de zijden van de icosaëder met elkaar verbonden
Voor al deze figuren geldt dus: K = K”.
Verder kunnen we dus zien dat we deze figuren uit de andere figuren kunnen krijgen als er gebruik
wordt gemaakt van afknotten en uitstulpen. Dit zijn dan dus ook duale operaties.
Opgave 15 Bepaal de dualel van een kubus waarbij in 1 hoek een stuk is afgeknot.
Opgave 16 Is het verbinden van de middens van de ribben van veelvlakken een duale operatie?
Laat zien.
Een goed sluitende definitie noemen we niet. Hieronder volgt namelijk een tegenvoorbeeld waar je
anders tegenaan loopt:
Stel je hebt een tetraëder. Je kan delen van de tetraëder wegsnijden zodanig dat je een kubus overhoudt en van deze kubus kan je delen wegsnijden zodat je weer een tetraëder overhoudt. Er zou
dan gelden: K = tetraëder, K’ = kubus en K”= tetraëderen zouden de tetraëder en de kubus dus
elkaars duale zijn. Dit klopt niet, want je voert namelijk niet twee maal precies dezelfde operatie
uit.
Uit dit alles blijkt dat we geen definitie van dualiteit willen noemen omdat je daar meer kennis
voor nodig hebt, want je wilt dat je definitie alle uitzonderingen uitsluit. Ons doel was om in dit
hoofdstuk puur de methode laten zien.
18
6
Symmetrie
In n van de eerste colleges van deze cursus is het onderwerp symmetrie behandeld, toegepast op twee
dimensies. Om symmetrie toe te kunnen passen op regelmatige veelvlakken zullen we met isometrieen in de derde dimensie moeten werken, maar deze zullen in veel opzichten weinig verschillen van
de tweedimensionale varianten. We willen de symmetrie binnen regelmatige en halfregelmatige
veelvlakken gaan beschrijven, dus daardoor zullen we niet alle isometrieën die bekend zijn van twee
dimensies gebruiken: glijspiegelingen en translaties zullen bijvoorbeeld niet aan bod komen. De
belangrijkste isometrieën zijn vandaag rotatie- en spiegelsymmetrie.
6.1
Definities
We onderscheiden vandaag twee verschillende isometrieën: directe en indirecte symmetrie. We
zullen hier nu eerst formele definities van geven.
Definitie 9 Directe symmetrie is een beweging van een object die het object afbeeldt op een positie
die niet te onderscheiden is van de beginpositie.
Hierbij is het niet de beweging die de operatie interessant maakt, maar de relatie tussen begin- en
eindpositie. Zo kunnen verschillende combinaties van operaties hetzelfde eindresultaat opleveren.
Directe symmetrie is makkelijk te visualiseren door bijvoorbeeld een object vast te pakken en
het in een nieuwe positie te draaien. In de praktijk zullen directe symmetrieën dan ook vaak
rotatiesymmetrieën zijn.
Definitie 10 Indirecte symmetrie is een operatie die een (driedimensionaal) object spiegelt in een
denkbeeldige lijn of vlak.
Deze isometrie wordt ook wel spiegelsymmetrie genoemd: de eindpositie wordt verkregen door een
object te spiegelen in een lijn, of in het driedimensionale geval, een vlak. Indirecte symmetrie verschilt wezenlijk van directe symmetrie: het is vaak niet mogelijk om dezelfde eindpositie te creëren
door een combinatie van rotaties. Dit kan makkelijk worden ingezien door de hoekpunten van het
object te nummeren. Als we nu een indirecte symmetrie toepassen op het object kan men inzien dat
de positie die hierdoor verkregen wordt niet gevormd kan worden door een combinatie van rotaties.
19
Figuur 14: Een octaëder met spiegelbeeld
We zullen nu beide isometrieën toegepast op regelmatige veelvlakken uitgebreider beschreven, en
we zullen inzien dat het begrip dualiteit een belangrijke rol zal spelen.
6.2
Directe Symmetrie
Leonhard Euler toonde aan dat elke vorm van directe symmetrie binnen een willekeurig veelvlak
een rotatie om een as is. We zullen daarom van nu af directe symmetrie aanduiden met rotatiesymmetrie. Om een rotatie te beschrijven zijn twee dingen nodig: een hoek en een as. In een veelvlak
kunnen verschillende rotatieassen mogelijk zijn, en Euler bewees dat wanneer dit het geval is, deze
assen elkaar snijden in het middelpunt van het veelvlak.
Om de verschillende directe symmetrieën binnen een veelvlak goed te kunnen beschrijven, zullen
we eerst de grootte van een willekeurige rotatie moeten beschrijven. Dit kan op twee manieren:
we kunnen de grootte van de rotatiehoek gebruiken, of het aantal roaties dat nodig is voordat een
object weer in zijn oorspronkelijke situatie is. We zullen vandaag de laatste vorm gebruiken: deze
maakt het werken met regelmatige veelvlakken overzichtelijker. Stel dat er bij een bepaalde rotatie
as n rotaties nodig zijn voordat het object weer terug is in zijn beginpositie, dan heet de rotatie
n-voudig. De bijbehorende as heet een n-voudige as.
Aan de hand van het aantal verschillende soorten rotatie- en spiegelsymmetrieën binnen een veelvlak
kunnen we nu verschillende types van symmetrie onderscheiden, op zo’n manier dat elk willekeurig
veelvlak tot een van deze types behoort. We zullen dit illustreren aan de hand van de regelmatige
veelvlakken.
Tip: tijdens het lezen kan het handig zijn modellen van de veelvlakken bij de hand te houden.
20
6.2.1
Tetraëder
We zien dat er vier symmetrieassen getekend kunnen worden door een hoekpunt van de tetraëder
en het midden van de zijde tegenover dat hoekpunt (L). Over deze as zijn drie rotaties nodig om
de tetraëder in de oorspronkelijke positie terug te zetten, dus deze rotaties zijn drievoudig. In
totaal zijn er vier verschillende assen voor drievoudige symmetrie, door elk hoekpunt één. Ook is
het mogelijk om een as te tekenen door de middens van twee overstaande ribben (K). De rotatie
behorende bij deze assen is tweevoudig.
Figuur 15: De rotatie assen van een tetraëder
6.2.2
Hexaëder en Octaëder
We beginnen met de hexaëder (kubus). We zien dat hier n-voudige symmetrieën te vinden zijn
voor drie verschillende waarden van n:
• Er zijn zes verschillende assen van tweevoudige symmetrie(M): deze assen gaan door de middens van twee overstaande ribben.
• Er zijn vier verschillende assen van drievoudige symmetrie (L): deze gaan door twee overstaande hoekpunten.
• Er zijn drie verschillende assen van viervoudige symmetrie (K): deze gaan door de middens
van twee overstaande zijden.
21
Figuur 16: De rotatie assen van een kubus en een octaëder
Een hexaëder en octaëder met een aantal symmetrie assen. De n behorende bij de as staat tussen
haakjes aangegeven.
Als we nu de octaëder gaan bekijken, zien we iets opvallends:
• Er zijn zes assen van tweevoudige symmetrie (M): de assen gaan door de middens van twee
overstaande ribben.
• Er zijn vier assen van drievoudige symmetrie (L): de assen gaan door de middens van twee
overstaande zijden.
• Er zijn drie assen van viervoudige symmetrie (K): de assen gaan door twee overstaande
hoekpunten.
De octaëder en hexaëder hebben dus dezelfde aantallen n-voudige symmetrie-assen, voor verschillende waarden van n.
6.2.3
Dodecaëder en Icosaëder
Opgave 17 Zoek alle n-voudige symmetrie-assen van de dodecaëder en de icosaëder en vul deze
in in de tabel. Wat valt je op? Hoe zou je dit kunnen verklaren?
n
2
3
4
5
Dodecaëder
Icosaëder
22
6.3
Indirecte symmetrie
Zoals al eerder gezegd is het vlak van een spiegelsymmetrie in de derde dimensie een vlak. Deze
as is tweevoudig: door twee keer te spiegelen komen we terug in de beginsituatie. Omdat veel
objecten ook spiegelsymmetrie hebben, zullen we hier rekening mee moeten houden wanneer we
deze objecten op grond van hun symmetrie in klassen willen indelen. We zullen nu dan ook de
verschillende spiegelsymmetrieën van de regelmatige veelvlakken gaan onderzoeken en deze aan
hun klassen toevoegen.
Tetraëder Er bestaat één soort spiegelsymmetrievlak voor de tetraëder: de vlakken van deze
symmetrieën gaan door een ribbe van de tetraëder en het middelpunt van de ribbe hier tegenover.
We laten het aan de lezer om al deze vlakken te identificeren.
We kunnen nu de eerste symmetrieklasse definiëren:
Definitie 11 De verzameling van alle objecten die dezelfde aantallen spiegelsymmetrie en n-voudige
rotatiesymmetrie bezitten als de tetraëder voor alle verschillende waarden van n noemen we
Tetraëder symmetrisch.
Hexaëder en Octacaëder Een hexaëder en dodecaëder hebben beide twee verschillende soorten
spiegelvlakken:
• Een vlak door twee overliggende ribben
• Een vlak door de middens van twee overliggende ribben en het midden van de ribbe die tussen
deze ribben in ligt (hexaëder) of het hoekpunt dat tussen deze ribben in ligt (octaëder).
We laten het weer aan de lezer om deze assen te identificeren.
We zien nu dat de octaëder en hexaëder niet alleen dezelfde aantallen rotatiesymmetrieën hebben;
ook hun spiegelsymmetrieën komen overeen. Deze twee veevlakken behoren dan ook tot dezefde
symmetrieklasse:
Definitie 12 De hexaëder- of octaëder symmetrieklasse bestaat uit alle objecten die precies dezelfde aantallen spiegelsymmetrie en n-voudige rotatiesymmetrie bezitten als de hexaëder en octaeder.
Opgave 18 Construeer op dezelfde manier de verschillende assen voor de dodecaëder en icosaëder
Het feit dat hexaëders en octaëders tot dezelfde klasse behoren, en dodecaëders en icosaëders ook,
kan worden verklaard door dualiteit. De hexaëder en de octaëder zijn elkaars duale vorm, net als
de dodecaëder en de icosaëder. Volgens de definitie van dualiteit ligt een hoekpunt van de ene vorm
op het midden van een zijde van de andere vorm: als we dus een as tekenen door twee hoekpunten
van de ene vorm, zal deze ook door de middens van twee overstaande zijden van de duale vorm
gaan. Dit verklaart dezelfde aantallen vier- en drievoudige symmetrie. Wat lastiger, maar toch
ook nog vrij duidelijk in te zien is dat een as die door de middens van twee overstaande ribben in
de oorspronkelijke vorm gaat, ook door de middens van twee overstaande ribben in de duale vorm
gaat. Hiermee wordt duidelijk dat het aantal twee-voudige assen in beide vormen hetzelfde is, en
dus behoren beide duale vormen tot dezelfde klasse. Dit geldt ook voor alle spiegelassen van deze
23
veelvlakken.
Hetzelfde verhaal geldt voor de dodecaëder en de octaëder. Deze twee zijn iets latiger te visualiseren, maar met een beetje fantasie lukt dit ook nog wel. De duale vorm van de tetraëder is de
tetraëder zelf, daarom heeft dit regelmatige veelvlak een eigen klasse.
De overige symmetrieklassen zullen we verder niet beschrijven, op één uitzondering na: de klassen
zonder spiegelsymmetrie. Dit zijn een aantal verschillende klassen: objecten zonder spiegelsymmetrie kunnen immers verschillende rotatie symmetrieën hebben. Het bijzondere is hier dat één zo’n
klasse in twee groepen verdeeld kan worden. Hierbij is de ene groep het spiegelbeeld van de andere
groep (denk bijvoorbeeld aan een kurkentrekker, deze kan linksdraaiend of rechtsdraaiend zijn).
Een aantal halfregelmatige veelvlakken zijn goede voorbeelden van veelvlakken zonder spiegelsymmetrie, zie hieronder bijvoorbeeld de stompe dodecaëder:
Figuur 17: De stompe dodecaëder
Opgave 19 Onderzoek welke symmetrieën de stompe kubus heeft.
a) Behoort dit veelvlak tot één van de typen Tetraëder-, Hexaëder- of Dodecaëder symmetrie?
b) Heeft dit veelvlak spiegelsymmetrie? Zo ja, geef de assen, zo nee, teken twee bouplaten van de
stompe kubus waarbij de ene bouwplaat (in elkaar gezet) het spiegelbeeld van de andere voorstelt.
Het kan bij deze opdracht handig zijn een model van het veelvlak te maken, zie bijvoorbeeld
Mathematica of de engelse site van Wikipedia voor een goed model.
24
7
Referenties
Naast het enthousiasme van Aad hebben we de volgende bronnen gebruikt:
Polyhedra Peter R. Cromwell
De veelzijdigheid van bollen Martin Kindt en P. Boon
25