Opgaven week 47 analyse op variëteiten

Opgaven week 47 analyse op variëteiten
Opgave 1, Terra incognita
Wiskunde doen is onbekende werelden in kaart brengen als een moderne Columbus. Het is van levensbelang om goed in kaart te brengen welke delen van de
wereld je al bezocht hebt en welke landen nog in kaart gebracht moeten worden:
de terra incognita.
a. Doe het boek vector analysis open en blader (zeil) er doorheen.
b. Breng in kaart welke delen van de eerste 9 hoofdstukken je begrijpt en
welke niet.
c. Formuleer wat voor jou de drie belangrijkste agendapunten van de komende
hoor-en werkcolleges zouden moeten zijn.
Opgave 2, Stokes fail
Om te beginnen is de Möbiusband M een manifold met rand die als topologische ruimte gelijk is aan het vierkant [−1, 1]2 / ∼ waarbij de equivalentierelatie
gegeven wordt door (x, y) ∼ (−x, 2 + y). De quotientafbeelding [−1, 1]2 → M
noemen we π. We gebruiken de volgende atlas van M bestaande uit de vier
kaarten (Ui , hi ), waarbij hi : Ui → R2− gedefinieerd zijn als Ui = π(Vi ) in termen van de Vi hier beneden.
V1 =(−1, 1] × (−1, 1) h1 = t1 ◦ π −1
t1 (x, y) = (−1 + x, y)
−1
t2 (x, y) = (−1 − x, y)
V2 =[−1, 1) × (−1, 1) h2 = t2 ◦ π
V3 =(−1, 1] × [−1, 0) ∪ [−1, 1) × (0, 1]
V4 =[−1, 1) × [−1, 0) ∪ (−1, 1] × (0, 1]
h3 = t3 ◦ π
−1
h4 = t4 ◦ π
−1
(
(−1 + x, 2 + y) y < 0
(−1 − x, y)
y>0
(
(−1 − x, 2 + y) y < 0
(−1 + x, y)
y>0
t3 (x, y) =
t4 (x, y) =
a. Teken een plaatje van [−1, 1] met daarin de Vi zodat je begrijpt dat M echt
een Möbiusband is en dat de afbeeldingen ti de rand op de standaardrand
van R2− afbeelden. Ga ook na dat hoewel π −1 a priori niet goed gedefineerd
is, de hi dat wel zijn omdat ti constant is op de equivalentieklassen in Vi .
b. Stel we hebben een 1-vorm ω op M met voor iedere p ∈ U1 de uitdrukking
−1 ∗
∗
1
((h−1
1 ) ω)h1 (p) = dy |h1 (p) . Bereken dan ook ((hi ) ω)hi (p) voor i = 2, 3, 4
en p ∈ U1 ∩ Ui . Hierbij gebruiken we coordinaten xi , y i op kaart Ui om
verwarring te voorkomen.
Hint: bereken eerst de transitiefuncties.
1
∗
c. Ga na dat de uitdrukkingen voor ω op U1 ∩ Ui , (dwz de (h−1
i ) ωhi (p) )
uitgebreid kunnen worden tot de gehele Ui voor i = 2, 3, 4.
d. Concludeer dat deze uitdrukkingen inderdaad een gladde 1-vorm ω op M
definieeren. Dus ω ∈ Ω1 (M ).
e. Is supp(ω) compact?
R
f. Bereken M dω.
g. Geef een atlas {(Wj , kj )} van de rand ∂M met vier kaarten die gebaseerd
zijn op de kaarten (Uj , hj ) van M .
h. Als i : ∂M → M de inclusie-afbeelding is, bereken dan de uitdrukkingen
van i∗ ω op de kaarten (Wj , hj ).
R
R
i. Bewijs dat ∂M ω = ∂M i∗ ω > 0.
j. Uit onderdelen i en f volgt dat de stelling van Stokes NIET geldt voor
M . Hoe komt dat? Wat kunnen we hieruit concluderen over M ?
2