Niet aftelbaar

Niet aftelbaar
1.
Beschouw kettingen gemaakt van oneindig veel kralen.
Stel je mag elke kraal kleuren, maar je beschikt maar over twee kleuren, zwart en wit. Nu beschouwen
we alle mogelijke gekleurde kettingen zoals hierboven beschreven. Deze verzameling kan niet
aftelbaar zijn. Volg de onderstaande redenering, verklaar elke stap en maak de redenering af.
a.
Stel we kunnen alle bovenstaande kettingen toch in een oneindige lijst rangschikken.
b.
Maak nu een nieuwe ketting als volgt: beschouw de kralen op de stippellijn en verander elke kraal
van kleur (wit wordt zwart en omgekeerd). Zo ontstaat er een nieuwe ketting waarvan elke kraal
precies de tegenovergestelde kleur heeft als de kralen op de stippellijn.
c.
Leg uit waarom deze ketting nooit in de lijst van alle kettingen kan zitten.
d.
Hoe kun je nu besluiten dat de verzameling van oneindig lange kettingen bestaande uit witte en
zwarte kralen niet aftelbaar is?
2.
Zou je de reële getallen tussen 0 en 1 kunnen identificeren met kettingen met oneindig veel kralen?
Hoe? Hoeveel kleuren heb je dan nodig om de kralen te kleuren? Hoe kun je de redenering uit
oefening 1 aanpassen om te verklaren dat het interval ] [ niet aftelbaar is?
3.
Toon aan dat het lijnstuk [
4.
Toon aan dat de halve cirkelboog ̂ , zonder eindpunten, gelijkmachtig is met de rechte
] gelijkmachtig is met de onderstaande halve cirkel.
5.
Maak gebruik van de besluiten uit de twee vorige oefeningen om te bewijzen dat de verzameling van
reële getallen gelijkmachtig is met elk interval, dus ook met ] [.
6.
Gebruik oefening 5 om te besluiten dat
niet aftelbaar is.