Hoofdstuk 2 Algemene ontwerpmethodes voor warmtewisselaars

Hoofdstuk 2
Algemene ontwerpmethodes voor warmtewisselaars
2.1 Inleiding
In dit hoofdstuk worden de principes uitgewerkt voor het thermisch ontwerp en de
dimensionering van een recuperator. Er wordt enkel ingegaan op de gevallen van zuivere
convectieve warmteoverdracht. Faseverandering wordt in een later hoofdstuk besproken.
Bij het thermisch ontwerp van een warmtewisselaar worden het vermogen dat wordt
overgedragen tussen de fluïda en de uitgangstemperaturen van de fluïda, die met een zeker
debiet doorheen de warmtewisselaar stromen, bepaald. Ten tweede kan ook het
ladingsverlies dat ontstaat doorheen de warmtewisselaar berekend worden. De afmetingen
van de warmtewisselaar zijn hier dus een gegeven.
Bij het dimensioneren van een warmtewisselaar worden de afmetingen van de
warmtewisselaar begroot, zodat de opgegeven in- en uitgangstemperaturen en
ladingsverliezen van de fluïda bereikt worden.
2.2 Relatieve stromingsrichting van de fluïda
Zoals besproken in hoofdstuk 1, kunnen recuperatoren opgedeeld worden naargelang de
relatieve zin waarmee de fluïda doorheen de warmtewisselaar stromen. Er wordt een
onderscheid gemaakt tussen meestroom, tegenstroom en dwarsstroom. De
stromingsrichting van de fluïda heeft een belangrijke invloed op de prestaties van de
warmtewisselaar.
2.3 Basisvergelijkingen
Hierna worden de basisvergelijkingen afgeleid voor de thermische analyse van een
warmtewisselaar (recuperator). Hierbij worden de beide fluïda gescheiden door een vast
oppervlak, waardoor warmteoverdracht plaatsvindt door conductie. Voor het volledige
ontwerp van een warmtewisselaar is ook nog een sterkteberekening nodig en komen
economische aspecten eveneens tussen. Het doel van de thermische analyse is het bepalen
van de oppervlakte van de warmtewisselaar (dimensionering). Prestatieanalyse is nodig als
de warmtewisselaar gekend is maar de uitgangstemperaturen, het vermogen en de
ladingsverliezen moeten worden bepaald. Hiertoe wordt een controlevolume gedefinieerd
(figuur 2.1).
15
De temperatuurverandering van een fluïdum-fluïdum-warmteoverdrachtsproces, afhankelijk
van de stromingszin, is voorgesteld in figuur 2.2. Langsheen de abscis is de oppervlakte van
de warmtewisselaar voorgesteld, terwijl de ordinaat de temperatuur van de fluïda voorstelt.
Figuur 2.1. Eerste hoofdwet voor een stationair stroomproces in een controlevolume
Figuur 2.2(b) geeft de gelijkstroom opstelling, figuur 2.2(a) de tegenstroom opstelling. In
figuren 2.2(c) en 2.2(d) worden de gevallen met respectievelijk constante koude
(verdamping) en warme stroom (condensatie). De vorm van de curven hangt eveneens af
van de debieten en de warmtecapaciteit van de fluïda.
Uit de eerste hoofdwet van de thermodynamica voor een open systeem met een constant
stroomproces, in stationaire toestand en met verwaarlozing van veranderingen in kinetische
en potentiële energie (zie figuur 2.1) geldt dat
& = im
δW + δQ
∑ & idhi
(2.1)
waarbij
δW
&
δQ
&i
m
dh
infinitesimaal overgedragen arbeid
infinitesimale overgedragen warmte
[Watt]
[Watt]
massadebiet van component i
[kg/s]
infinitesimale enthalpieverandering van component i [J/kg]
Vergelijking (2.1) toepassen op het controlevolume dat de volledige warmtewisselaar
omsluit, geeft, in de veronderstelling dat er geen warmte (adiabaat proces) en geen arbeid
over de wanden van de warmtewisselaar gaan:
& cdh c + m
& h dh h
0=m
(2.2)
De warme stroom wordt aangeduid met index h (hot), de koude stroom met index c (cold).
Integratie tussen ingang en uitgang van de warmtewisselaar, geeft
& h (h hi − h hu ) = m
& c (h cu − h ci )
m
16
(2.3)
De fluïdumeigenschappen bij ingang van de warmtewisselaar worden aangeduid met index i
en bij uitgang met index u. Dit toont aan dat alle energie die van de warme stroom wordt
afgegeven, ten goede komt aan de koude stroom.
Integratie van (2.1) kan eveneens voor de koude als voor de warme stroom gebeuren (het
controle volume wordt dan beperkt tot de koude en de warme stroom). Hierbij is er wel een
transport van warmte over de wand, tussen beide fluïda. Dit geeft:
& =m
& c (h cu − h ci )
Q
(2.4)
& =m
& h (h hi − h hu )
Q
(2.5)
Aangezien dh = cpdT en mits cp de gemiddelde specifieke warmtecapaciteit in het integratieinterval [T1,T2] voorstelt, geldt dat
& =m
& c cp,c (Tcu − Tci )
Q
(2.6)
& =m
& h cp,h (Thi − Thu )
Q
(2.7)
In bovenstaande vergelijkingen werd de warmtewisselaar beschouwd als een 'black box',
waarbij niets gezegd wordt over de bouw en de aanwezige oppervlakte in de
warmtewisselaar. Voor de bepaling van de warmtewisselende oppervlakte zal een derde
vergelijking nodig zijn. Deze kan op verschillende wijzen worden afgeleid.
2.3.1 Het gemiddeld logaritmisch temperatuurverschil
Algemeen lijkt het interessant een uitdrukking van de vorm
& = kA∆T
Q
m
(2.8)
te gebruiken, waarbij A de totale warmtewisselende oppervlakte is, k de gemiddelde
warmtedoorgangscoëfficiënt en ∆Tm een gemiddelde temperatuurval is afgeleid uit Th1, Th2,
Tc1, Tc2. De bepaling gemiddelde warmtedoorgangscoëfficiënt wordt beschreven in het
volgende hoofdstuk. Voor ∆Tm wordt eerst een vergelijking opgesteld.
De gelijkstroom warmtewisselaar
Voor een gelijkstroomwarmtewisselaar wordt het temperatuursverloop doorheen de
warmtewisselaar voorgesteld in figuur 2.2(b). Over een infinitesimaal deel dA van de
warmtewisselende oppervlakte in de warmtewisselaar is de temperatuursverandering van
het warme en het koude fluïdum respectievelijk: dTh en dTc. De infinitesimale warmteflux
doorheen dA is dan
& = −m
& h cp,h dTh
δQ
& ccp,c dTc
=m
(2.9)
(2.10)
De warmteflux doorheen de wand dA waarover een temperatuursverschil Th – Tc staat, kan
ook worden uitgedrukt door
17
& = k(T − T )dA
δQ
h
c
(2.11)
waarbij k de warmtedoorgangscoëfficiënt is ter hoogte van dA.
Figuur 2.2. Temperatuurverloop in (a) tegenstroom, (b) gelijkstroom, (c) verdamper (d)
condensor
Uit vergelijkingen (2.9) en (2.10) volgt dat
&
d(Th − Tc ) = −δQ(
1
1
+ )
C h Cc
(2.12)
& h cp,h en Cc = m
& ccp,c . Hierbij wordt C = mc
& p het thermisch capacitief debiet
waarbij Ch = m
(E: Capacity rate) genoemd.
18
Samen met vergelijking (2.11) volgt hieruit dat
d(Th − Tc )
1
1
= −k(
+ )dA
(Th − Tc )
C h Cc
(2.13)
Door integratie van vergelijking (2.13) tussen het begin en het einde van de warmtewisselaar
(tussen 1 en 2), mits k constant doorheen de warmtewisselaar, bekomt men
⎡T − T ⎤
1
1
ln ⎢ h2 c2 ⎥ = − kA(
+ )
C h Cc
⎣ Th1 − Tc1 ⎦
(2.14)
Substitutie van vergelijkingen (2.7) en (2.6), na integratie, onder de vorm
levert
Ch =
&
Q
Th1 − Th2
(2.15)
Cc =
&
Q
Tc2 − Tc1
(2.16)
& = kA (Th2 − Tc2 ) − (Th1 − Tc1 )
Q
T −T
ln( h2 c2 )
Th1 − Tc1
(2.17)
Met ∆T1 = Th1 − Tc1 en ∆T2 = Th2 − Tc2 wordt dit
& = kA ∆T1 − ∆T2
Q
∆T
ln( 1 )
∆T2
(2.18)
Deze laatste uitdrukking (2.18) geeft het gezochte gemiddelde temperatuurverschil ∆Tm uit
(2.8). Dit temperatuurverschil wordt het logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil (∆Tlm)
genoemd:
∆Tlm =
∆T1 − ∆T2
∆T
ln( 1 )
∆T2
(2.19)
De tegenstroom warmtewisselaar
Voor een tegenstroom warmtewisselaar (zie figuur 2.2(b)) worden vergelijkingen (2.9) en
(2.10) respectievelijk
& = −m
& ccp,h dTh
δQ
(2.20)
& h cp,cdTc
= −m
(2.21)
19
Hierdoor wordt vergelijking (2.14):
⎡T − T ⎤
1
1
ln ⎢ h2 c2 ⎥ = − kA(
+ )
T
−
T
C
C
h
c
⎣ h1 c1 ⎦
(2.22)
Substitutie van vergelijkingen (2.7) en (2.6) onder de vorm
Ch =
&
Q
Th1 − Th2
(2.23)
Cc =
&
Q
Tc1 − Tc2
(2.24)
geeft terug vergelijking (2.17).
In het speciale geval dat ∆T1 = ∆T2 heeft de definitie van ∆Tlm geen betekenis. Teller en
noemer zijn dan immers beiden nul. Dit geval kan enkel optreden bij tegenstroom
warmtewisselaars. Indien met de regel van de L'Hopital de limiet wordt bepaald waarbij ∆T2
nadert naar ∆T1, dan bekomt men dat: ∆T1 = ∆T2 = ∆Tlm .
Merk ten slotte op dat voor dezelfde inlaat- en uitlaattemperaturen, het logaritmisch
gemiddeld temperatuurverschil bij een tegenstroomopstelling steeds groter is dan voor een
gelijkstroomopstelling. Dit wil ook zeggen dat het logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
het maximaal temperatuurpotentieel voor warmteoverdracht voorstelt, wat alleen kan worden
bekomen met een tegenstroom opstelling. Bijgevolg zal de oppervlakte nodig om een
& over te dragen kleiner zijn in tegenstroom dan in gelijkstroom, bij een
gegeven vermogen Q
zelfde waarde van k. Merk tevens op dat Tc2 groter kan worden dan Th2 in een tegenstroom
opstelling, maar niet in een gelijkstroomopstelling.
2.3.2 De warmtedoorgangscoëfficiënt
De warmtedoorgangscoëfficiënt wordt bepaald uit de serie schakeling van de verschillende
warmteweerstanden in de warmtewisselaar. Zoals aangetoond in de cursus
Warmteoverdracht 1, gebeurt de warmteoverdracht over een vlakke plaat waarlangs twee
fluïda stromen door:
1. convectie aan de ene zijde van het eerste fluïdum naar de wand
2. conductie doorheen de wand
3. convectie aan de andere zijde van de wand naar het fluïdum.
De totale warmtedoorgangscoëfficiënt wordt gegeven door
1 1
t
1
= +
+
k hi λ w h u
(2.25)
waarbij hi en hu respectievelijk de convectiecoëfficiënten zijn aan de ene en de andere zijde, t
de dikte van de plaat en λw de warmtegeleidbaarheid van het materiaal van de plaat.
20
Op analoge wijze kan een correlatie worden afgeleid voor een buis met inwendige diameter
di en uitwendige diameter du. Hierbij dient een onderscheid gemaakt te worden tussen de
warmtedoorganscoëfficiënt betrokken op de buitenzijde en betrokken op de binnenzijde,
omdat de oppervlakte van de buitenzijde groter is dan deze aan de binnenzijde. Dit geeft
respectievelijk:
d
Ai ln( u )
di
A 1
1
1
= +
+ i
ki hi
2πλ w L
Au h u
d
A u ln( u )
di
1 Au 1
1
=
+
+
k u Ai h i
2πλ w L
hu
(2.26)
(2.27)
Hierin is L de lengte van de buis en zijn Ai = πdiL de inwendige oppervlakte en Au = πduL de
uitwendige oppervlakte. In een volgend hoofdstuk worden de belangrijkste vergelijkingen
voor de bepaling van convectiecoëfficiënten herhaald.
2.3.3 Een niet-constante warmtedoorgangscoëfficiënt
Bovenstaande
vergelijkingen
werden
afgeleid
met
de
beperking
dat
de
warmtedoorgangscoëfficiënt constant is. In realiteit hangt de waarde van deze
warmtedoorgangscoëfficiënt in sterke mate af van het Reynoldsgetal van de stroming, de
geometrie van het warmtewisselend oppervlak, en de fluïdumeigenschappen. Deze laatste
kunnen sterk variëren met de temperatuur.
Figuur 2.3. Typische gevallen van warmtewisselaars met veranderende k
21
Figuur 2.3 toont een aantal typische situaties waarbij de variatie van k in de warmtewisselaar
relatief groot kan zijn. Het geval waarbij beide fluïda van fase veranderen is voorgesteld in
2.3(a). De temperatuur blijft hier constant, het stromingsbeeld verandert aanzienlijk doorheen
de warmtewisselaar . De condensor voorgesteld in 2.3(b) komt echter meer voor. Het
condenserende fluïdum komt binnen op een temperatuur hoger dan de saturatietemperatuur.
Vervolgens condenseert het, waarna het verder wordt onderkoeld in het laatste deel van de
warmtewisselaar. Een analoge situatie voor een verdamper wordt getoond in figuur 2.3(c).
Ten slotte kan ook fluïdum gebruikt worden met een condenseerbare en nietcondenseerbare component. Het temperatuursverloop doorheen de warmtewisselaar wordt
dan complex en wordt op een algemene wijze voorgesteld in figuur 2.3(d). Het belangrijkste
probleem bij al deze gevallen is dat k varieert. Indien voor ieder deel van figuur 2.3(b) en (c),
k constant zou zijn, dan kunnen de verschillende delen behandeld worden als een aparte
warmtewisselaar.
Voor een willekeurige variatie van k, zal de warmtewisselaar worden opgesplitst in eindige
lengtes, waarbij een verschillende maar constante waarde van k per segment wordt gebruikt.
Hierbij zal men beroep doen op numerieke methoden, bijvoorbeeld de eindige elementen
methode.
Voor een gelijkstroomwarmtewisselaar gaat men als volgt te werk.
De warmtewisselaar wordt opgedeeld in een eindig aantal segmenten met oppervlakte ∆Ai,
waar de temperaturen Th,i en Tc,i heersen. Men neemt aan dat de
warmtedoorgangscoëfficiënt kan uitgedrukt worden als functie van deze twee temperaturen:
k i = k i (Th,i , Tc,i )
(2.28)
De warmte die wordt overgedragen in segment i is dan
& = −(mc
& p )h,i (Th,i +1 − Th,i ) = (mc
& p )c,i (Tc,i +1 − Tc,i )
∆Q
i
(2.29)
& = k ∆A (T − T )
∆Q
i
i
i h,i
c,i
(2.30)
en ook
Naar analogie met vergelijking (2.13) wordt dit:
(Th − Tc )i +1 − (Th − Tc )i
1
1
) ∆A i
= −ki (
+
(Th − Tc )i
Ch,i Cc,i
(2.31)
(Th − Tc )i +1
= 1 − K i ∆Ai
(Th − Tc )i
(2.32)
waaruit
met K i = k i (
1
1
+
)
Ch,i Cc,i
22
De numerieke oplossing van dit probleem gebeurt als volgt:
1. kies een passende waarde voor ∆Ai
2. bereken de k-waarde voor de inlaatvoorwaarden en in het eerste increment ∆A
3. bereken de waarde van ∆Qi met vergelijking (2.30)
4. bepaal Th –Tc evenals Th en Tc met vergelijkingen (2.32) en (2.29)
5. herhaal deze bewerkingen voor de volgende segmenten.
Het totale vermogen van de warmtewisselaar kan worden bepaald uit:
& = n ∆Q
&
Q
tot ∑ i =1
i
2.3.4 De temperatuurwetten
In figuren 2.2(a) en 2.2(b) werd het temperatuurverloop van de koude en de warme stroom
voorgesteld in functie van de oppervlakte van de warmtewisselaar. Op basis van
vergelijkingen (2.9), (2.10) en (2.11), kunnen de vergelijkingen voor dit temperatuurverloop
worden afgeleid.
Voor een tegenstroomwarmtewisselaar geldt dat
& = k(T − T )dA = −C dT = −C dT
δQ
h
c
c c
h h
(2.34)
dTh
k
=−
dA
Th − Tc
Ch
(2.35)
dTc
k
=−
dA
Th − Tc
Cc
(2.36)
d(Th − Tc )
1
1
= −k(
− )dA = − kΓdA
Th − Tc
C h Cc
(2.37)
Hieruit volgt dat
en dat
Γ=(
1
1
− )
C h Cc
(2.38)
Integratie van A = 0 naar A = A, waarbij A een willekeurige positie is tussen begin en einde
van de warmtewisselaar en index 1 het begin van de warmtewisselaar aanduidt (waar A = 0),
geeft:
T − Tc
ln( h
) = − kΓA
Th1 − Tc1
(2.39)
Th − Tc = (Th1 − Tc1 )e− kΓA
(2.40)
of
23
Th en Tc zijn de temperaturen die optreden bij A = A.
Na substitutie van (2.40) in (2.35) bekomt men:
dTh = −
k
(Th1 − Tc1 )e− kΓA dA
Ch
(2.41)
Wederom integreren tussen A = 0 en A = A resulteert in
Th − Th1 =
of
k
e− kΓA − 1
(Th1 − Tc1 )
Ch
kΓ
Tc1 Th1 (Th1 − Tc1 ) − kΓA
e
−
+
C h Cc
Ch
Th =
Γ
(2.42)
(2.43)
Op analoge wijze wordt Tc berekend als
Tc1 Th1 (Th1 − Tc1 ) − kΓA
e
−
+
C h Cc
Cc
Tc =
Γ
(2.44)
In vergelijkingen (2.43) en (2.44) komt de uittredetemperatuur Tc1 voor. Deze is veelal
onbekend. Men kan deze verwijderen door de totale oppervlakte Atot in te voeren. In Atot is
Th = Th2. Verder geldt dat
Ch (Th1 − Th2 ) = Cc (Tc1 − Tc2 )
(2.45)
Tc1 elimineren uit (2.43) met vergelijking (2.44) en de vergelijking voor Th2 die men bekomt na
invullen van Atot in (2.43), geeft:
Th1 − Th = (Th1 − Tc2 )
1 − e − kΓA
C
1 − h e− kΓA tot
Cc
Ch − kΓA
e
(1 − e− k(A tot − A) )
Cc
Tc − Tc2 = (Th1 − Tc2 )
C
1 − h e− kΓA tot
Cc
(2.46)
(2.47)
Voor gelijkstroomwarmtewisselaars bekomt men op analoge wijze vergelijkingen voor Tc en
Th (figuur 2.2(b)). Merk op dat hier zowel Tc1 als Th1 gekend zijn als ingangstemperaturen van
de warmtewisselaar.
24
(Th1 − Tc1 )(1 − e− kΓA )
Th1 − Th =
C
1+ h
Cc
Tc − Tc1 =
(Th1 − Tc1 )(1 − e− kΓA )
C
1+ c
Ch
(2.48)
(2.49)
waarbij
Th − Tc = (Th1 − Tc1 )e− kΓA
Γ=
(2.50)
1
1
+
C h Cc
2.4 Dwarsstroomwarmtewisselaars
meerdere doorgangen
(2.51)
en
warmtewisselaars
met
De afleiding die in vorige secties werd gedaan voor de tegenstroom- en
gelijkstroomwarmtewisselaars, kan niet zonder meer worden toegepast voor
dwarsstroomwarmtewisselaars of voor warmtewisselaars met verschillende doorgangen in
tegen-, gelijk- of dwarsstroom.
Integratie van vergelijking (2.11) voor deze schikkingen resulteert in een vergelijking voor
∆Tm waarvoor geldt dat
Q = kA∆Tm
waarbij ∆Tm het werkelijk (of effectief) gemiddeld temperatuurverschil is. ∆Tm is dan een
complexe functie van Th1, Th2, Tc1 en Tc2. Algemeen kan deze vergelijking afgeleid worden als
uitdrukking van volgende grootheden:
∆Tlm,ts =
(Th2 − Tc1 ) − (Th1 − Tc2 )
T −T
ln( h2 c1 )
Th1 − Tc2
T −T
∆Tc
P = c2 c1 =
Th1 − Tc1 ∆Tmax
en
R=
Cc Th1 − Th2
=
Ch Tc2 − Tc1
(2.52)
(2.53)
(2.54)
Merk op dat index 1 slaat op de ingaande stromen en 2 op de uitgaande stromen. Dit is
anders dan de conventie in de vorige paragraaf, waar 1 sloeg op de ene zijde en 2 op de
andere zijde van de warmtewisselaar.
Voor de berekening wordt ervan uitgegaan dat de warmtewisselaar wordt doorstroomd alsof
het een tegenstroomwarmtewisselaar is. ∆Tm stelt dan ook het logaritmisch gemiddeld
25
temperatuurverschil voor het geval van een tegenstroomwarmtewisselaar met dezelfde
ingangs- en uitgangstemperaturen als de dwarsstroomwarmtewisselaar. P is een maat voor
verhouding van de warmte die werkelijk wordt overgedragen tot warmteoverdracht die zou
plaatshebben als het koude fluïdum zou worden opgewarmd tot inlaattemperatuur van het
warme fluïdum. P wordt ook de temperatuur effectiviteit betrokken op de koude zijde van de
& p van het koude en het warme
warmtewisselaar genoemd. R is de verhouding van mc
fluïdum en wordt bijgevolg de capaciteitsverhouding (E: heat capacity ratio) genoemd.
In een meer pragmatisch aanpak die voor ontwerpsdoeleinden wordt toegepast wordt aan de
vergelijking (2.8) met een correctiefactor F toegevoegd. Men gaat er wederom vanuit dat
gewerkt kan worden volgens het tegenstroomprincipe zodat:
Q = kAF∆Tlm,ts
F is dimensieloos en is afhankelijk van de temperatuureffectiviteit
capaciteitsverhouding R en de stromingsschikking van de warmtewisselaar.
F = f (P, R, stromingsschikking)
(2.55)
P,
de
(2.56)
Het verloop van F kan worden afgelezen uit curven zoals die werden afgeleid door Bowman
et al. [1], voor verschillende veel voorkomende gevallen van dwarsstroomwarmtewisselaars
en
trommel-en-pijp-warmtewisselaars.
F
is
steeds
kleiner
dan
1
voor
dwarstroomwarmtewisselaars en is 1 voor tegenstroomwarmtewisselaars. Deze
correctiefactor is met andere woorden een maat voor de afwijking van de
tegenstroomschikking. In figuren 2.4 tot 2.10 worden de F-factoren gegeven voor veel
voorkomende warmtewisselaars.
Figuur 2.4. F-factor voor trommel-en-pijp-warmtewisselaar met 1 trommeldoorgang en 2 of
een veelvoud van twee pijpdoorgangen
26
Figuur 2.5. F-factor voor trommel-en-pijp-warmtewisselaar met 2 trommeldoorgangen en 4 of
een veelvoud van vier pijpdoorgangen
Figuur 2.6. F-factor voor trommel-en-pijp-warmtewisselaar met 3 trommeldoorgangen en 6 of
veelvoud van zes pijpdoorgangen
27
Figuur 2.7. F-factor voor trommel-en-pijp-warmtewisselaar met verdeelde stroming en een
even aantal pijpdoorgangen
Figuur 2.8. F-factor voor trommel-en-pijp-warmtewisselaar met gesplitste stroming en 2
pijpdoorgangen
28
Figuur 2.9. F-factor voor dwarsstroomwarmtewisselaar beide fluïda ongemengd
Figuur 2.10. F-factor voor dwarsstroomwarmtewisselaar 1 fluïdum ongemengd en 1 fluïdum
gemengd
29
2.5 Doelmatigheid
Het begrip doelmatigheid van een warmtewisselaar (E: heat exchanger effectiveness) werd
voor het eerst gedefinieerd door Nusselt in 1930 en de E-NTU methode werd door London
en Seban [2] in 1942 geïntroduceerd. De doelmatigheid wordt gedefinieerd als de
& tot de thermodynamisch maximum
verhouding van de werkelijk overgedragen warmte Q
&
mogelijke overdraagbare warmte Q
MAX in de warmtewisselaar, indien de oppervlakte A
oneindig groot zou zijn.
&
Q
E= &
Q MAX
(2.57)
Uit vergelijkingen (2.9) en (2.10) volgt dat ± Ch dTh = Cc dTc . De temperatuurverandering van
de fluïda is afhankelijk van het thermisch capacitief debiet C. Het fluïdum met de kleinste C
zal de grootste dT ondergaan.
Indien A naar oneindig gaat zullen voor een gelijkstroomwarmtewisselaar de
uitgangstemperaturen van beide fluïda aan elkaar gelijk worden (figuur 2.2), namelijk de
temperatuur die zou bereikt worden bij menging. Voor een tegenstroomwarmtewisselaar zal
de uitgangstemperatuur van het fluïdum met de kleinste C tot de ingangstemperatuur van het
fluïdum met de grootste C naderen. De grootste temperatuurverandering zal met andere
woorden worden ondergaan door het fluïdum met de kleinste C. Deze C zullen we Cmin
noemen.
De maximale temperatuurverandering die kan worden gerealiseerd in een warmtewisselaar
is deze waarbij of het koude fluïdum opwarmt tot de ingangstemperatuur van het warme
fluïdum of deze waarbij het warme fluïdum afkoelt tot de ingangstemperatuuur van het koude
fluïdum. In beide gevallen wordt de maximale temperatuurverandering gegeven door
Th,in − Tc,in .
Uit voorgaande twee vaststellingen volgt dat de maximale overdraagbare warmte gegeven
wordt door
&
Q
(2.58)
MAX = Cmin (Th,in − Tc,in )
De overgedragen warmte wordt voor een gelijkstroomwarmtewisselaar gegeven door
& = C (T − T ) = C (T − T )
Q
h h1
h2
c c2
c1
(2.59)
en voor een tegenstroomwarmtewisselaar
& = C (T − T ) = C (T − T )
Q
h h1
h2
c c1
c2
(2.60)
De doelmatigheid kan dan worden uitgedrukt als
E=
Ch (Th1 − Th2 )
Cmin (Th1 − Tc2 )
(2.61)
=
Cc (Tc1 − Tc2 )
Cmin (Th1 − Tc2 )
(2.62)
30
voor een tegenstroomwarmtewisselaar en als
E=
Ch (Th1 − Th2 )
Cmin (Th1 − Tc1 )
(2.63)
=
Cc (Tc2 − Tc1 )
Cmin (Th1 − Tc1 )
(2.64)
voor een gelijkstroomwarmtewisselaar.
In bovenstaande vergelijkingen zal ofwel Ch = Cmin ofwel Cc = Cmin waardoor de
doelmatigheid kan worden uitgedrukt als
E=
temperatuurverandering van het fluïdum met Cmin
de max imale temperatuurverandering in de warmtewisselaar
2.5.1 De NTU-methode
Het begrip NTU staat voor Number of Transfer Units en wordt gedefinieerd als:
NTU =
Ak
1
kdA
=
Cmin Cmin ∫A
(2.65)
De NTU geeft een aanduiding van de 'thermische' grootte van een warmtewisselaar. De term
geeft de verhouding tussen het warmteoverdrachtspotentieel van de warmtewisselaar (kA)
tot het minimum capacitief debiet. Dit is echter geen eigenschap van de warmtewisselaar
zelf, maar van de bedrijfsvoorwaarden waarin de warmtewisselaar wordt gebruikt. Als k niet
constant is moet de tweede vergelijking uit (2.65) worden toegepast.
Het is nu mogelijk om de doelmatigheid E uit te drukken als functie van de NTU.
Bijvoorbeeld voor een tegenstroomwarmtewisselaar waarbij Cc > Ch, zodat Ch = Cmin en
Cc = CMAX, volgt uit vergelijking (2.22) dat
Th2 − Tc2 = (Th1 − Tc1 )e
− NTU(1−
C min
)
CMAX
(2.66)
Met vergelijking (2.61) kan hieruit de vergelijking voor E worden berekend als:
1− e
E=
1− (
− NTU(1−
Cmin
)e
CMAX
Cmin
)
CMAX
− NTU(1−
Cmin
)
CMAX
Merk op dat voor het geval dat Ch > Cc dezelfde uitdrukking bekomen wordt.
31
(2.67)
Voor het geval van een gelijkstroomwarmtewisselaar kan via een gelijkaardige analyse
volgende uitdrukking worden bekomen:
E=
1− e
− NTU(1+
1+ (
Cmin
)
CMAX
Cmin
)
CMAX
(2.68)
Twee limietgevallen zijn van bijzonder belang: Cmin/CMAX = 1 en Cmin/CMAX = 0.
Voor Cmin/CMAX = 1 wordt vergelijking (2.67) onbepaald. Toepassen van de regel van de
L'Hospital op (2.67) levert echter in de limiet:
E=
NTU
1 + NTU
(2.69)
Voor een gelijkstroomwarmtewisselaar geeft vergelijking (2.68)
1
E = (1 − e−2NTU )
2
(2.70)
Voor het geval dat Cmin/CMAX = 0, zoals in boilers of in condensors geldt voor zowel tegen- als
gelijkstroom dat
E = 1 − e− NTU
(2.71)
Algemeen kan gesteld worden dat
E = f (NTU, Cmin/CMAX, stromingsschikking)
Er werden voor verschillende schikkingen vergelijkingen afgeleid voor dwarsstroom en
andere configuraties. Deze vergelijkingen werden samengevat in tabel 2.1, met
C* = Cmin/CMAX.
Tabel 2.1. E-NTU uitdrukkingen
32
Enige van deze E-NTU vergelijkingen worden voorgesteld in figuren 2.11 tot 2.13. De
volgende vaststellingen kunnen worden gemaakt:
1. de doelmatigheid E neemt toe met toenemende waarden van NTU bij constante
Cmin/CMAX
2. de doelmatigheid E neemt toe met afnemende waarden van Cmin/CMAX bij constante NTU
3. voor E< 40 % heeft de verhouding Cmin/CMAX geen significante invloed op E.
Wegens het asymptotisch karakter van de E-NTU curves, is een grote toename van de NTU
(en dus van de afmetingen van de warmtewisselaar) nodig om een kleine toename van de
doelmatigheid E te bekomen. De tegenstroomwarmtewisselaar heeft de grootste
doelmatigheid E voor gegeven waarden van NTU en Cmin/CMAX, in vergelijking met alle
andere stromingsschikkingen. M.a.w. wordt voor een gegeven NTU en Cmin/CMAX een
maximale prestatie bereikt in tegenstroom.
33
Figuur 2.11. Doelmatigheid in functie van NTU voor verschillende warmtewisselaars
34
Figuur 2.12. Doelmatigheid in functie van NTU voor verschillende warmtewisselaars
35
Figuur 2.13. Doelmatigheid in functie van NTU voor verschillende warmtewisselaars
2.6 Ontwerpsberekeningen voor warmtewisselaars
2.6.1 Gebruik van de berekeningsmethodes
In de voorgaande paragrafen werden twee methodes bediscussieerd om de thermische
analyse van een warmtewisselaar te maken. De bepaling van de afmeting en de prestatie
van warmtewisselaars komen vaak voor in de thermische analyse van warmtewisselaars. Als
bijvoorbeeld de inlaattemperaturen en één van de uitlaattemperaturen gekend zijn samen
met de massadebieten, kan via de warmtebalansen en de LMTD-methode de afmetingen
van de warmtewisselaar bepaald worden in volgende stappen:
1.
2.
3.
4.
& en de onbekende uitlaattemperatuur met vergelijkingen (2.6) en (2.7)
bereken Q
bereken ∆Tm met vergelijking (2.19) en bepaal de correctiefactor F indien nodig
bereken de warmtedoorgangscoëfficiënt k
bepaal A uit (2.55).
De LMTD-methode kan ook gebruikt worden om de prestaties van een gekende
warmtewisselaar te bepalen. De berekeningen worden dan echter vrij omslachtig. De
E-NTU-methode leent zich tot eenvoudiger berekeningen. Bijvoorbeeld:
1.
2.
3.
4.
bepaal de capaciteitsverhouding en de NTU
bepaal E met de correcte curve
bepaal uit E met (2.57) en (2.58) het vermogen Q
bepaal de uitlaattemperaturen uit vergelijkingen (2.6) en (2.7).
36
Analoog kan op omgekeerde wijze de NTU-methode gebruikt worden om de oppervlakte A te
bepalen:
1.
2.
3.
4.
5.
bepaal E uit de temperaturen
bepaal de capaciteitsverhouding
bepaal k
bepaal NTU uit E en de capaciteitsverhouding en de stromingsschikking
uit de NTU en k bepaal A.
Traditioneel wordt de LMTD-methode het meest toegepast.
37