Complexe getallen Les 1 Vergelijkingen van graad 3

Complexe getallen
Les 1
Vergelijkingen van graad 3
(Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Inleiding Complexe getallen van de
Wageningse Methode)
De a,b,c-formule
De oplossingen van de kwadratische vergelijkingen
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
vind je met de a,b,c-formule:
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑥1,2 =
2𝑎
De discriminant 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 bepaalt of de oplossing bestaat
en hoeveel oplossingen er zijn:
• D > 0  2 oplossingen
• D = 0  1 oplossing
• D < 0  geen oplossingen
De a,b,c-formule
Voorbeeld met D < 0
𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0
 D = 1  4 = 3.
De formele oplossingen volgens de a,b,c-formule zijn:
−1 ± −3
𝑥1,2 =
2
De derdegraads vergelijking
De algemene gedaante van de derdegraads vergelijking is:
𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
De derdegraads vergelijking
De algemene gedaante van de derdegraads vergelijking is:
𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
Voorbeeld
𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 9 = 0
De derdegraads vergelijking
De algemene gedaante van de derdegraads vergelijking is:
𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
Voorbeeld
𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 9 = 0
Omdat (𝑥 + 1)3 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 1
kun je de vergelijking schrijven in de vorm:
(𝑥 + 1)3 +8 = 0
De derdegraads vergelijking
De algemene gedaante van de derdegraads vergelijking is:
𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
Voorbeeld
𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 9 = 0
Omdat (𝑥 + 1)3 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 1
kun je de vergelijking schrijven in de vorm:
(𝑥 + 1)3 +8 = 0
Deze is van de gedaante:
𝑦 3 = −8
Dus 𝑦 = −2 en 𝑥 = −3.
De derdegraads vergelijking
Maak opgave 3 van bladzijde 2 en 3.
De derdegraads vergelijking
Derdegraads vergelijkingen van de gedaante
𝑥 3 + 𝑢𝑥 2 + 𝑣𝑥 + 𝑤 = 0
1
kun je door substitutie van 𝑥 = 𝑦 − 3 𝑢
omzetten in de gedaante:
𝑦 3 = 𝑝𝑦 + 𝑞
De derdegraads vergelijking
Voorbeeld
𝑥 3 − 12𝑥 2 − 4𝑥 + 48 = 0
Stel 𝑥 = 𝑦 + 4
De vergelijking gaat over in:
(𝑦 + 4)3 −12(𝑦 + 4)2 −4(𝑦 + 4) + 48 = 0
𝑦 3 + 12𝑦 2 + 48𝑦 + 64 − 12𝑦 2 − 96𝑦 − 192 − 4𝑦 − 16 + 48 = 0
𝑦 3 − 52𝑦 − 96 = 0
𝑦 3 = 52𝑦 + 96
De derdegraads vergelijking
Derdegraads vergelijkingen van de gedaante
𝑥 3 = 𝑝𝑥 + 𝑞
kun je oplossen met de formule van Cardano:
3
𝑥=
1
1 2
1 3 3 1
1 2
1 3
𝑞+
𝑞 −
𝑝 +
𝑞−
𝑞 −
𝑝
2
4
27
2
4
27
Dit is de ‘a,b,c’- formule voor derde graads vergelijkingen.
NB: Wiskundigen hebben bewezen dat er niet een dergelijke
formule bestaat voor vergelijkingen van de graad hoger dan 3.
De derdegraads vergelijking
Voorbeeld 𝑥 3 = 12𝑥 + 20 kun je oplossen met de formule van Cardano:
3
𝑥=
3
1
1
1
1
1
1
20 +
400 − 123 +
20 −
400 −
123
2
4
27
2
4
27
𝑥=
3
10 + 100 − 64 +
𝑥=
3
3
3
10 − 100 − 64
10 + 6 + 10 − 6
3
3
𝑥 = 16 + 4
De derdegraads vergelijking
Maak opgave 5c en 5d van bladzijde 4.
Rekenen met wortels uit negatieve
getallen (Bombelli)
𝑥 3 − 1 = 0 kun je ontbinden in: (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1) = 0.
Met de a,b,c-formule vind je als formele oplossingen:
−1 + −3
−1 − −3
𝑥 = 1; 𝑥 =
;𝑥 =
2
2
Rekenen met wortels uit negatieve
getallen (Bombelli)
Doe net of −1 bestaat en reken met −1 als getal:
Rekenregels:
−1
2
= −1 en −𝑎 = 𝑎 ∙ −1 (a > 0).
Rekenen met wortels uit negatieve
getallen (Bombelli)
Laat zien dat
−1+ −3
2
en 𝑥 =
−1− −3
2
oplossingen zijn van 𝑥 3 − 1 = 0.
Rekenen met wortels uit negatieve
getallen (Bombelli)
Uitwerking
3
−1 − −3
1
3
= − 1 + −3 =
2
8
1
2
3
= − 1 + 3 −3 + 3 −3 + −3
=
8
1
= − 1 + 3 −3 − 9 − 3 −3 = 1
8
Rekenen met wortels uit negatieve
getallen (Bombelli)
Schrijf 𝑖 = −1 dan is 𝑖 2 = −1.
De vergelijking 𝑥 3 − 1 = 0 heeft drie oplossingen:
• 𝑥=1
• 𝑥=
• 𝑥=
−1+ 3∙𝑖
2
−1− 3∙𝑖
2
1
1
1
1
= − 2 + 2 3𝑖;
= − 2 − 2 3𝑖
Complexe getallen
ℂ is de verzameling complexe getallen.
Dat zijn getallen 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 met a en b reële getallen.
Complexe getallen
ℂ is de verzameling complexe getallen.
Dat zijn getallen 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 met a en b reële getallen.

Rekenregels:
• (𝑎 + 𝑏𝑖) + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖
•
𝑎 + 𝑏𝑖 ∙ 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖 2 =
= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖
Complexe getallen
• (𝑎 + 𝑏𝑖) + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖
•
𝑎 + 𝑏𝑖 ∙ 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖 2 =
= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖
Voorbeelden:
• (1 + 2i) + (3 + 4i) = 1 + 3 + 2i + 4i = 4 + 6i
•
1 + i  1 − i = 1 − i + i − ii = 1 + 1 = 2
•
2+i
2
= 2 + i  2 + i = 4 + 2i + 2i + ii = 3 + 4i
Oefenen
Maken:
De opgaven van paragraaf 1, in ieder geval de opgaven 6, 7 en 9.
Huiswerk
Inleveren: van paragraaf 1, opgave 11 en 12.