inductieve statistiek - Toegepaste statistiek voor de

INDUCTIEVE STATISTIEK
Toegepaste hypothesetoetsing met SPSS
Tim Vanhoomissen
1
Workshop Inductieve Statistiek
INHOUD
• Hypothesetoetsing
−
−
−
−
−
Principe van hypothesetoetsing
Steekproevenverdeling
Centrale limiet theorema
Mogelijke fouten
Effectgrootte
• SPSS: data invoeren en bewerken
• Toetsen
− T-toetsen
− Variantieanalyse, repeated measures
− Regressieanalyse
2
Workshop Inductieve Statistiek
HYPOTHESETOETSING
Empirische cyclus
Theorie
Statistiek
Hypothese
Dataverzameling
3
Workshop Inductieve Statistiek
HYPOTHESETOETSING
Theorie
•Drummers zijn dommer
dan gemiddelde personen
4
Toetsing
Hypothese H1
•Hypothese verwerpen
•Hypothese niet
verwerpen
•Drummers scoren lager
op IQ test dan
gemiddelde personen
Dataverzameling
Nulhypothese H0
•IQ test
•Gemiddelden
•Drummers scoren even
hoog op IQ-test als
anderen
Workshop Inductieve Statistiek
HYPOTHESETOETSING
• Dus: nulhypothese (onschuld) wordt verworpen als de kans
klein is dat het bewijsmateriaal aanwezig is terwijl de
nulhypothese klopt.
In statistiek:
• Nulhypothese wordt verworpen als de kans klein is om een
bepaald steekproefgemiddelde te observeren terwijl de
nulhypothese klopt.
• Nulhypothese wordt behouden als de kans groot is om een
bepaald steekproefgemiddelde te observeren terwijl de
nulhypothese klopt.
5
Workshop Inductieve Statistiek
Theorie
HYPOTHESETOETSING
Hypothes
e
Toetsing
Dataverza
meling
Nulhypot
hese
Kansen zijn dus noodzakelijk om inductieve beslissingen te kunnen
nemen
=> kansverdeling van steekproefgemiddelden
=> om te beslissen of onze steekproef uitzonderlijk is of niet
We trokken een steekproef van drummers en vonden een gemiddeld IQ van
96. We weten dat het gemiddelde IQ 100 is.
Hoe groot is nu de kans om een gemiddelde van ,25
96 te vinden terwijl de
populatie drummers toch niet afwijkt van
,20
de algemene populatie?
Kunnen we afleiden uit de verdeling
van de steekproefgemiddelden:
kans
,15
,10
,05
,00
90
92
94
96
98
100
102
punten statistiek
6
Workshop Inductieve Statistiek
104
106
108
110
populatie
steekproef
steekproevenverdeling
7
Workshop Inductieve Statistiek
DE STEEKPROEVENVERDELING
Hoe groter de steekproef, hoe meer de normale verdeling benaderd wordt:
(vb: gooien van 1 dobbelsteen)
Abraham De Moivre, 17E
8
Workshop Inductieve Statistiek
DE STEEKPROEVENVERDELING
Vorm van de steekproevenverdeling?
populatie normaal
verdeeld?
ja
nee
nee
steekproefgrootte?
/
> 30
< 30
steekproevenverdeling
9
normaal verdeeld met
verw. waarde μ en  / N
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
onzeker
DE STEEKPROEVENVERDELING
Wat is er nu zo cool aan de steekproevenverdeling van het
gemiddelde?
Aangezien
−
we kennen:
µ
en

N
of
s
N
− we weten dat ze normaal verdeeld is (als populatie normaal verdeeld
is of als N > 30)
kunnen we z-scores berekenen en kansen
uit de standaardnormaalverdeling halen!
10
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en
kansberekening
z
x  X
X
HYPOTHESETOETSING
Terug naar de drummers:
Theorie
Toetsing
Dataverza
meling
Hypothes
e
Nulhypot
hese
steekproef: N = 36 ; X = 96 ; SX = 13
populatie: µ = 100 en  = 15
>> kans berekenen op een gemiddelde van 96 of hoger bij
een µ = 100 en  = 15
Stap1:
z (96) 
96  100
 1.6
15
36
Stap 2: P(z < -1.6) = 0.0548  ?
11
Workshop Inductieve Statistiek
HYPOTHESETOETSING
Kleine kans / grote kans?
5% = α
,03
,03
kans
,02
Sir Ronald Fisher, ernstig nadenkend
over hoe groot een kleine kans is.
,02
,01
,01
,00
20
40
60
80
100
IQ
12
Workshop Inductieve Statistiek
120
140
160
180
HYPOTHESETOETSING
Betekenis 5%
13
EÉN- OF TWEEZIJDIG?
14
EÉN- OF TWEEZIJDIG?
De keuze kan bepalend zijn voor significantie!
Populariteit van docenten statistiek is in populatie normaal verdeeld met µ
= 100 en σ = 15.
Onderzoekshypothese:
1. door doorgedreven training en complete restyling kan de
populariteitsscore stijgen (= eenzijdig).
of:
2. door doorgedreven training en complete restyling kan de
populariteitsscore veranderen (= tweezijdig).
25 docenten worden getraind. Populariteitsscore na training in deze
steekproef = 105.
15
EÉN- OF TWEEZIJDIG?
1. Rechtseenzijdig toetsen:
H0: µ ≤ 100
H1: µ > 100
105  100 105  100
zx 

25  1.67
15
15
25
Pr (1.67)
= 0.0475
= 0.048
Is 0.048 ≤ 0.05?
-> ja, dus verwerp H0 µ ≤ 100
16
EÉN- OF TWEEZIJDIG?
2. Tweezijdig toetsen:
H0: µ = 100
H1: µ ≠ 100
105  100 105  100
zx 

25  1.67
15
15
25
Pd (1.67)= 2 * Pr (1.67) = 2 * 0.0475 = 0.095
Is 0.095 ≤ 0.05?
-> neen, dus verwerp H0 µ = 100 niet
17
EÉN- OF TWEEZIJDIG?
In SPSS meestal tweezijdige overschrijdingskans!
Independent Samples Test
Lev ene's Test f or
Equality of Varianc es
F
inf o
Equal v ariances
ass umed
Equal v ariances
not as sumed
,109
Sig.
,741
t-test f or Equality of Means
t
df
Sig. (2-t ailed)
Mean
Dif f erence
Std. Error
Dif f erence
95% Conf idenc e
Interv al of the
Dif f erence
Lower
Upper
-2,342
697
,019
-, 0929
,03968
-, 17082
-, 01502
-2,350
687,853
,019
-, 0929
,03954
-, 17056
-, 01528
éénzijdige overschrijdingskans nodig?
=> sig (2-tailed) / 2 en vgl met α
tweezijdige overschrijdingskans nodig?
=> sig (2-tailed) direct vgl met α
18
ONZEKERHEDEN
Zijn we daar nu helemaal zeker van?
Beslissing
Realiteit
H0 verwerpen
H0 niet
verwerpen
H0 is waar
Type I-fout
=α
Correct
aanvaarden
=1-α
H0 is niet waar
Correcte
verwerping
=1-β
Type II-fout
=β
= sensitivity / power
19
ONZEKERHEDEN

 = .05


.025
.025

H0 waar

“verwerp H0”




“aanvaard H0”
H0 niet waar


“verwerp H0”






20






ONZEKERHEDEN

 = .016


.008
.008

H0 waar

“verwerp H0”




“aanvaard H0”
H0 niet waar


“verwerp H0”






21






EFFECTGROOTTE
•
Effectgrootte = indicatie van de mate waarin de onafhankelijke variabele de
variatie in de afhankelijke variabele kan verklaren.
•
Kan uitgedrukt worden in uiteenlopende grootheden (r, d, …) maar vaak
wordt r gebruikt.
•
Interpretatie:
−
.10 < r < .30 : klein effect
−
.30 < r < .50 : matig effect
−
r > .50 : sterk effect
• Dus:
22
−
Significantie: “Is er een effect van seksuele deprivatie op
alcoholgebruik?”
−
Effectgrootte: “Hoe sterk bepaalt seksuele deprivatie het
alcoholgebruik?”
DATA ORGANISEREN
De meest gebruikte commando’s om data
te ordenen in SPSS.
•23
Workshop Inductieve Statistiek
SPSS
•
•
•
•
24
Interface
Importeren (*.xls , *.csv , …)
Recode
Compute
Workshop Inductieve Statistiek
TOETSEN
De meest gebruikte parametrische en
nonparametrische toetsen
25
Workshop Inductieve Statistiek
PARAMETRISCH VS. NONPARAMETRISCH
Parametrische toetsen
• variabelen normaal
verdeeld in populatie
• (afhankelijke)
variabelen gemeten op
intervalniveau
• steekproeven hebben
gelijke varianties *
*als er meerdere steekproeven zijn
26
Non-parametrische
toetsen
• geen normale
verdeling vereist
• voordeel: breder
inzetbaar wegens
minder voorwaarden,
ook bij nominale- en
ordinale variabelen
• nadeel: minder snel
significante resultaten
type AV?
aantal OV?
type OV?
niet in dit boek
hoeveel
populaties?
categorieën
afhankelijk?
parametrisch
non-parametrisch
one sample t-test /
z-test
chi-square goodness
of fit
onafh.
independent t-test /
z-test
Rank-sum
afh.
dependent t-test
Signed-ranks
onafh.
one way ANOVA
Kruskal-Wallis
afh.
repeated measures
ANOVA
Friedman’s ANOVA
Pearson correlation
Spearman correlation
1
nominaal
2
1
>2
interval/
ordinaal
interval/
ordinaal
nominaal
>1
nominaal
1
≥2
onafh.
n-way ANOVA
afh.
repeated measures
ANOVA
gemengd
mixed design
ANOVA
interval
multiple regression
gemengd
multiple regression
1
onafh.
chi-square goodness
of fit
≥2
onafh.
Pearson chi-square
nominaal/
ordinaal
gemengd
logistic regression
STRAMIEN TOETSEN
1. Toetsingssituatie
Bij welk soort onderzoeksvragen gebruik je deze toets?
2. Voorwaarden
Wanneer mag je deze toets wel/niet gebruiken?
3. Hypothesen
Hoe zien H0 en H1 eruit wanneer je deze toets gebruikt?
4. Toetsingsgrootheid
Welke grootheid bereken je en wat is de kansverdeling van die grootheid?
5. Beslissingsregels
Wanneer verwerp je H0: via overschrijdingskansen of kritieke waarden?
6. Effectgrootte
Hoe belangrijk is het gevonden effect?
7. Rapporteren
Hoe vermeld je op een juiste manier de resultaten?
28
Workshop Inductieve Statistiek
T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE
1. Toetsingssituatie
Heeft het gemiddelde van de populatie waaruit de steekproef afkomstig is een
bepaalde waarde of niet?
2. Voorwaarden
•
σ is niet bekend en populatie is normaal verdeeld en N < 100
•
N > 30 en populatie is niet normaal verdeeld
σ bekend?
p
n
o
p
u
l
a
t
i
e
N
v
e
r
d
e
e
l
d
?
1
2
3
4
J
a
J
a
J
N
J
a
J
a
N
≥
1
Z
(
0
σ
0
)
<
1
Z
(
0
σ
0
)
a
e
e
≥
1
Z
(
j
0
σ
0
)
5
e
e
a
≥
1
Z
(
0
s
0
)
6
7
N
N
e
e
J
N
e
e
N
≥
1
Z
(
0
s
0
)
a
e
<
1
-
G
-
W
3
29
Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie
e
G
a
l
0
e
0
e
e
0
-
J
<
e
n
Z
l
t
n
e
s
e
<
n
a
l
1
s
0
0
t
<
e
a
<
n
8
1
-
G
-
W
0
e
0
e
e
e
e
N
e
e
<
n
l
N
Z
t
G
-
W
3
-
3
0
1
-
n
0
e
0
e
e
0
<
G
e
<
n
Z
l
t
n
e
3
<
n
a
1
t
0
l
0
a
s
0
l
s
T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE
• Opmerking: SPSS gaat ervan uit dat σ niet gekend is en voert
steeds een t-toets uit (dus ook in situaties waar een Z-toets
toegelaten is)
• Maar: de overschrijdingskansen bij een t-toets zijn groter dan bij
een z-toets (zie ook dikkere staarten in t-verdeling in vergelijking
met z-verdeling)
• Gevolg: H0 zal minder snel verworpen worden bij een t-toets in
vergelijking met een z-toets:
1-β (P om H0 terecht te verwerpen - onderscheidingsvermogen)
neemt af
• We krijgen dus minder snel een significant resultaat bij een t-
toets in vergelijking met een z-toets. Daarom eventueel manuele
Z-toets gebruiken als aan de voorwaarden is voldaan.
30
Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie
T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE
3. Hypothesen
Linkseenzijdig
H0: µ ≥ µ0
H1: µ < µ0
Rechtseenzijdig
H0: µ ≤ µ0
H1: µ > µ0
Tweezijdig
H0: µ = µ0
H1: µ ≠ µ0
µ0 = veronderstelde waarde voor populatiegemiddelde µ
31
Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie
T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE
4. Toetsingsgrootheid
tx 
X  0 X  0

s
s
N
N
cfr. Z-toets maar s ipv σ
Kansverdeling: Student t-verdeling
Vrijheidsgraden: df = N-1
32
Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie
T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE
Student t-verdeling
Lijkt sterk op de normale verdeling
- Symmetrisch
- Gemiddelde = 0
- Bij oneindig grote steekproef identiek
Verschillen:
- Iets platter, dikkere staarten
- Bepaald door grootte steekproef
-> Meerdere t-verdelingen: parameter df
33
Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie
William Gosset,
zichtbaar tevreden
met het ontdekken
van de t-verdeling
T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE
5. Beslissingsregels
a. overschrijdingskansen - H0 verwerpen indien:
Pl (t x) ≤ α?
>> linkseenzijdig
Pr (t x) ≤ α?
>> rechtseenzijdig
Pd (t x) = 2*Pl (t x) ≤ α? (als X < μ)
>> tweezijdig
2*Pr (t x) ≤ α? (als X > μ)
34
Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie
T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE
• Demo SPSS: metalfans en haarlengte
• Hebben metalfans langere haren dan de gemiddelde volwassene?
• (boek p76)
• Tests voor normaliteit: boek p.237
35
Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie
T-TOETS VOOR HET GEMIDDELDE
6. Effectgrootte
7. Rapporteren
Om na te gaan of metalfans langere haren hebben dan de algemene bevolking
werd een one sample t-test uitgevoerd. Gemiddeld hadden de metalfans uit de
steekproef langere haren (M = 9.83, SD = 2.62) dan de referentiewaarde 8.9 uit
de populatie, t(59) = 2.739, p = .008, r = .34.
36
Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie
Χ²-TOETS VOOR FREQUENTIES
Wat als niet voldaan is aan voorwaarden voor parametrisch
toetsen bij bestuderen van 1 populatie?
•
variabele niet normaal verdeeld in populatie?
•
steekproef < 30 ?
•
geen intervalvariabele?
 χ²-toets voor frequenties
37
Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie
Χ²-TOETS VOOR FREQUENTIES
1. Toetsingssituatie
Stemmen de geobserveerde frequenties in de steekproef overeen met de
verwachte frequenties op basis van normen of eerder onderzoek?
Vb. Stemmen de frequenties leerlingen die lezen op niveau AVI-2, AVI-3,
AVI-4 en AVI-5 in het tweede leerjaar van een bepaalde school overeen
met de frequenties van deze leesniveaus in de algemene bevolking?
2. Voorwaarden
• de categorieën waarvan de frequenties bestudeerd worden moeten
elkaar uitsluiten.
• 20% of minder van de categorieën heeft een verwachte frequentie
kleiner dan 5;
• geen enkele categorie heeft een verwachte frequentie van minder dan
1;
• ordinale variabelen worden beschouwd als nominale variabelen.
38
Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie
Χ²-TOETS VOOR FREQUENTIES
3. Hypothesen
Enkel tweezijdig!
H0: π1 = π2 = … = πk
H1: niet H0
Of
H0: π1 = πA ; π2 = πB ; … ; πk = πK
H1: niet H0
39
Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie
Χ²-TOETS VOOR FREQUENTIES
4. Toetsingsgrootheid
met df = k – 1
fo = geobserveerde frequenties
fe = verwachte frequenties
k = aantal categorieën
40
Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie
Χ²-TOETS VOOR FREQUENTIES
5. Beslissingsregels
a. overschrijdingskansen
maar χ²-verdeling afhankelijk van df, dus teveel mogelijkheden om te
tabelleren, daarom:
b.
41
kritieke waarden
Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie
Χ²-TOETS VOOR FREQUENTIES
6. Effectgrootte (phi)
(interpreteerbaar zoals r)
7. Rapporteren
Verwachte en geobserveerde proportie, X², df, p-waarde.
42
Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie
Χ²-TOETS VOOR FREQUENTIES
• Demo SPSS: voorkeur vrijetijdsactiviteit bij senioren.
• Een gemoedelijke Duitse gemeente wil in het kader van de
budgettering voor recreatie weten of de senioren in de gemeente
een uitgesproken voorkeur hebben voor een bepaalde
vrijetijdsactiviteit. Een steekproef van senioren wordt gevraagd een
keuze te maken tussen wandelen, fietsen of rotsklimmen.
43
Hoofdstuk 4: Toetsen voor één populatie
type AV?
aantal OV?
type OV?
niet in dit boek
hoeveel
populaties?
categorieën
afhankelijk?
parametrisch
non-parametrisch
one sample t-test /
z-test
chi-square goodness
of fit
onafh.
independent t-test /
z-test
Rank-sum
afh.
dependent t-test
Signed-ranks
onafh.
one way ANOVA
Kruskal-Wallis
afh.
repeated measures
ANOVA
Friedman’s ANOVA
Pearson correlation
Spearman correlation
1
nominaal
2
1
>2
interval/
ordinaal
interval/
ordinaal
nominaal
>1
nominaal
1
onafh.
n-way ANOVA
afh.
repeated measures
ANOVA
gemengd
mixed design
ANOVA
interval
multiple regression
gemengd
multiple regression
1
onafh.
chi-square goodness
of fit
≥2
onafh.
Pearson chi-square
nominaal/
ordinaal
•Workshop Inductieve Statistiek
•44
T-TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN 2
GEMIDDELDEN
1. Toetsingssituatie
Verschilt het gemiddelde in populatie 1 van het gemiddelde in populatie 2
waaruit de steekproeven afkomstig zijn?
Vb. Besteden jongens evenveel tijd aan hun huiswerk dan meisjes in de lagere
school?
Belangrijk: onafhankelijke steekproeven
2. Voorwaarden
•
σ1 en σ2 zijn niet bekend en populaties zijn normaal verdeeld en n1 < 100
en n2 < 100
•
populaties zijn niet normaal verdeeld, 30 < n1 < 100 en 30 < n2 < 100
45
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
T-TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN 2
GEMIDDELDEN
σ
1
p
o
n
1
e
p
u
e
σ
n
l
n
a
2
t
n
i
b
e
s
e
N
k
e
n
v
d
e
?
r
d
e
e
l
d
?
2
1
2
3
4
J
a
J
a
J
N
J
a
J
a
≥
1
Z
(
0
σ
0
)
N
<
1
Z
(
0
σ
0
)
a
e
e
≥
1
Z
(
J
0
σ
0
)
5
e
e
a
≥
1
Z
(
0
s
0
)
N
e
e
N
e
e
≥
1
Z
(
7
J
N
a
N
0
s
6
0
)
e
<
-
-
G
0
3
0
-
3. Hypothesen
Linkseenzijdig
H0:
H1:
Rechtseenzijdig H0:
H1:
Tweezijdig
H0:
H1:
46
µ1 ≥
µ1 <
µ1 ≤
µ1 >
µ1 =
µ1 ≠
µ2
µ2
µ2
µ2
µ2
µ2
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
of H0:
H1:
H0:
H1:
H0:
H0:
0
e
e
n
l
t
<
e
n
µ1
µ1
µ1
µ1
µ1
µ1
Z
1
2
e
l
s
<
<
n
2
t
<
-
-
1
0
0
1
0
0
a
3
l
s
e
n
n
1
1
G
W
0
0
N
e
e
N
e
e
<
e
e
n
e
l
t
Z
1
-
-
G
3
0
3
0
o
0
0
0
0
0
0
0
W
-
0
µ2 ≥
µ2 <
µ2 ≤
µ2 >
µ2 =
µ2 ≠
e
a
-
a
n
n
e
<
e
<
G
f
J
0
W
3
o
e
1
8
e
e
n
e
l
t
<
<
G
f
0
n
n
e
n
Z
a
1
2
e
2
l
s
<
<
n
t
<
1
0
0
1
0
0
a
3
l
0
s
e
n
1
n
T-TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN 2
GEMIDDELDEN
2 varianten om de toetsingsgrootheid te berekenen:
•
Variant 1: varianties in twee populaties zijn gelijk
•
Variant 2: varianties in twee populaties zijn niet gelijk
>> F-toets voor gelijke varianties
wordt in SPSS vaak mee gerapporteerd bij andere toetsen (Levene’s test bij ttest, ANOVA)
47
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
F-TOETS VOOR 2 VARIANTIES
1. Toetsingssituatie
Verschillen twee populatievarianties of niet? (als ‘hulptoets’ bij t-toets, of op zichzelf)
2. Voorwaarden
Populaties waaruit steekproeven komen zijn normaal verdeeld
Indien n > 100 is het minder erg als populaties niet normaal verdeeld zijn
In SPSS: Levene’s test for equality of variances (ook F-toets)
3. Hypothesen
Linkseenzijdig
Rechtseenzijdig
Tweezijdig
48
H0: σ²1 ≥ σ²2
of
H0: σ²1 - σ²2 ≥ 0
H1: σ²1 < σ²2
H1: σ²1 - σ²2 < 0
H0: σ²1 ≤ σ²2
H0: σ²1 – σ²2 ≤ 0
H1: σ²1 > σ²2
H1: σ²1 - σ²2 > 0
H0: σ²1 = σ²2
H0: σ²1 – σ²2 = 0
H1: σ²1 ≠ σ²2
H0: σ²1 – σ²2 ≠ 0
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
F-TOETS VOOR 2 VARIANTIES
4. Toetsingsgrootheid
s ²1
F
s² 2
met df1 = n1-1
en df2 = n2-1
opgelet: in teller altijd de grootste s² en in
noemer altijd de kleinste s²
F-toets: hoeveel maal is de grootste variantie groter dan de kleinste variantie?
Indien H0 waar is zal F in de buurt van 1 liggen. Hoe groter F wordt, hoe
aannemelijker dat de populatievarianties van elkaar verschillen.
Kansverdeling: F-verdeling die bepaald wordt door df1 en df2
49
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
F-TOETS VOOR 2 VARIANTIES
F-verdeling die bepaald wordt door df1 en df2
vb: F = 10/9 = 1.11 met df1 = 6 en df2 = 12





P r (F = 1.11) = 0.41









F=1.11
Opgelet: niet symmetrisch!
-> daarom altijd grootste S² in teller!
50
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden



F-TOETS VOOR 2 VARIANTIES
5. Beslissingsregels
a. overschrijdingskansen - H0 verwerpen indien:
Pr (F) ≤ α?
Pd (F) = 2*Pr (F) ≤ α?
>> rechts/links eenzijdig
>> tweezijdig
b. kritieke waarden : H0 verwerpen indien:
vb. voor α = .05 en df1 = 6 en df2 = 12. (Andere α of df -> andere
kritieke waarden!!)
F≥3
F ≥ 3.7
51
>> rechts/links eenzijdig
>> tweezijdig
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
T-TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN 2
GEMIDDELDEN
Variant 1: varianties in twee populaties zijn gelijk
σ²1 = σ²2
Populatievarianties zijn onbekend en worden geschat op basis van de twee
steekproefvarianties s²1 en s²2; namelijk een schatting op basis van een
gewogen gemiddelde van s²1 en s²2 -> ‘gepoolde’ variantie s²p
(n1  1) s ²1  (n2  1) s ² 2
s² p 
(n1  1)  (n2  1)
52
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
T-TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN 2
GEMIDDELDEN
De standaardafwijking van de steekproevenverdeling van het verschil tussen twee
gemiddelden is gebaseerd op de gepoolde variantie s²p
s X 1 X 2 
s² p
n1

s² p
n2
-> t-score voor het verschil in gemiddelden van twee steekproeven uit populaties met
gelijke varianties
t x1 x 2
( X 1  X 2 )  ( 1   2 ) ( X 1  X 2 )  (  1  µ 2 )


s x1 x 2
s² p s² p

n1
n2
-> Kansverdeling: Student t-verdeling met df = n1+n2-2
53
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
meestal 0
T-TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN 2
GEMIDDELDEN
Variant 2: varianties in twee populaties zijn niet gelijk
We gebruiken geen gepoolde variantie (sp) maar de standaardafwijkingen in
elke steekproef (s1 en s2)
t x1 x 2
( X 1  X 2 )  ( 1   2 ) ( X 1  X 2 )  (  1  µ 2 )


s x1 x 2
s ²1 s ² 2

n1
n2
Kansverdeling: Student t-verdeling met vrijheidsgraden (schatting):
2
 s ²1 s ² 2 
n  n 
2 
df   1 2
2
 s ²1   s ² 2 
  

 n1    n2 
n1  1
n2  1
54
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
T-TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN 2
GEMIDDELDEN
5. Beslissingsregels
a. overschrijdingskansen - H0 verwerpen indien:
Pl (tx1-x2) ≤ α?
Pr (tx1-x2) ≤ α?
Pd (tx1-x2) ≤ α?
>> linkseenzijdig
>> rechtseenzijdig
>> tweezijdig
b. kritieke waarden : H0 verwerpen indien:
vb. voor α = .05 en df = 17. (Andere α of df -> andere kritieke waarden!!)
tx1-x2 ≤ -1.74
tx1-x2 ≥ 1.74
tx1-x2 ≤ -2.11 of
55
≥ 2.11
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
>> linkseenzijdig
>> rechtseenzijdig
>> tweezijdig
T-TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN 2
GEMIDDELDEN
4. Significantie?
kritieke t-waarde opzoeken in tabel
-> df = 11+12-2 = 21 en alpha = 0.05 en 2-zijdig
-> 2.08
5. t-score vergelijken met kritieke t-score
-0.698 > -2.08 dus H0 niet verwerpen
Besluit?
56
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
T-TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN 2
GEMIDDELDEN IN SPSS
• Demo SPSS – independent samples t-test
• Muziekvoorkeuren
Waarom luisteren we liever naar onze favoriete muziek
dan naar andere muziek? Dopamineproductie vergelijken
bij luisteren naar favoriete vs niet-favoriete muziek.
57
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
T-TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN 2
GEMIDDELDEN
6. Effectgrootte
7. Rapporteren
Om na te gaan of er bij het luisteren naar favoriete muziek meer
dopamine aanwezig is in de hersenen dan bij het luisteren naar nietfavoriete muziek, werd een independent samples t-test uitgevoerd.
Gemiddeld werd er meer dopamine gemeten in de conditie met
favoriete muziek (M = 16.03, SD = 2.66) dan in de conditie met nietfavoriete muziek (M = 13.96, SD = 2.94). Dit effect was significant op
niveau α = .05, t(58) = 2.86, p = .006, r = .12.
58
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
WILCOXON RANK-SUM / MANNWHITNEY TOETS
Verschil tussen 2 medianen ipv tussen 2 gemiddelden omdat variabele ook op
ordinaal niveau kan gemeten worden
1. Toetsingssituatie
Verschillen de scores in populatie 1 over het algemeen van de scores in
populatie 2 waaruit de steekproeven afkomstig zijn?
Vb. Verschillen mannen en vrouwen in opleidingsniveau ( = ordinale
variabele)?
= nonparametrische variant van onafhankelijke t-toets
2. Voorwaarden
onafhankelijke steekproeven
minstens ordinaal meetniveau
scores hoeven niet normaal verdeeld te zijn
59
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
WILCOXON RANK-SUM / MANNWHITNEY TOETS
3. Hypotheses
60
tweezijdig
H0: θ1 = θ2
H1: θ1 ≠ θ2
rechtseenzijdig
H0: θ1 ≤ θ2
H1: θ1 > θ2
linkseenzijdig
H0: θ1 ≥ θ2
H1: θ1 < θ2
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
WILCOXON RANK-SUM / MANNWHITNEY TOETS
4. Toetsingsgrootheid
U bij Mann-Whitney
W bij Wilcoxon
SPSS: Analyze > nonparametric > 2 independent samples
5. Beslissingsregel
Is de gevonden P (Asymp. Sig. 2-tailed) kleiner dan α ?
ja: verwerp H0
nee: verwerp H0 niet
Ter herinnering: SPSS geeft 2-zijdige overschrijdingskans
-> als je éénzijdige overschrijdingskans nodig hebt (omdat je links- of rechtszijdig
wil toetsen): overschrijdingskans uit SPSS delen door 2 en kijken of dat getal ≤ α
(bv. 0.05)
61
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
WILCOXON RANK-SUM / MANNWHITNEY TOETS
2 groepen vergelijken op basis van
ordinale schaal
Score
Groep
3
5
6
6
8
10
14
15
15
15
18
21
1
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
1
Berekening van W:
a. Scores ordenen en rangen toekennen:
b. Rangensom per groep berekenen:
groep 1: 1 + 3.5 + 7 + 9 + 9 + 12 = 41.5
groep 2: 2 + 3.5 + 5 + 6 + 9 + 11 = 36.5
c. Toetsingsgrootheid = kleinste rangensom:
Ws = 36.5
62
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
Initiële
rang
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Defintieve
rang
1
2
3.5
3.5
5
6
7
9
9
9
11
12
WILCOXON RANK-SUM / MANNWHITNEY TOETS
d. Ws omzetten naar z-score:
wiskundige verwachting:
standaarddeviatie:
z-formule:
overschrijdingskans:
63
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
WILCOXON RANK-SUM / MANNWHITNEY TOETS
• Demo SPSS – Mann-Whitney / Wilcoxon Rank-Sum
• Voorkeur voor muziek meten aan de hand van ordinale
schaal:
Ik studeer nog liever drie dagen
onophoudelijk inductieve
statistiek dan hieraan deel te
nemen
64
Een documentaire
over het
paargedrag van
de bidsprinkhaan
lijkt me
opwindender dan
dit experiment
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
Deelname aan dit
Het evenaart
experiment maakt
geen
me eigenlijk
verjaardagsfeest,
warm noch koud maar komt toch al
in de buurt
Ik heb me sinds mijn kindertijd
niet meer zo gelukkig gevoeld
WILCOXON RANK-SUM / MANNWHITNEY TOETS
6. Effectgrootte
7. Rapportering
Om na te gaan of het subjectief welbevinden van mensen groter is bij het
luisteren naar favoriete muziek in tegenstelling tot niet-favoriete muziek
werd een Mann-Whitney toets uitgevoerd. De score voor subjectief
welbevinden was hoger in de conditie met favoriete muziek (Mdn = 4) dan
in de conditie met niet-favoriete muziek (Mdn = 3). Dit verschil was
significant op α = .05-niveau, Ws = 167.5, z = -2.767, p = .006, r = .51.
65
Hoofdstuk 5: Twee gemiddelden
type AV?
aantal OV?
type OV?
niet in dit boek
hoeveel
populaties?
categorieën
afhankelijk?
parametrisch
non-parametrisch
one sample t-test /
z-test
chi-square goodness
of fit
onafh.
independent t-test /
z-test
Rank-sum
afh.
dependent t-test
Signed-ranks
onafh.
one way ANOVA
Kruskal-Wallis
afh.
repeated measures
ANOVA
Friedman’s ANOVA
Pearson correlation
Spearman correlation
1
nominaal
2
1
>2
interval/
ordinaal
interval/
ordinaal
nominaal
>1
nominaal
1
onafh.
n-way ANOVA
afh.
repeated measures
ANOVA
gemengd
mixed design
ANOVA
interval
multiple regression
gemengd
multiple regression
1
onafh.
chi-square goodness
of fit
≥2
onafh.
Pearson chi-square
nominaal/
ordinaal
•Workshop Inductieve Statistiek
•66
T-TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN 2
GEMIDDELDEN, AFH. STEEKPROEVEN
1. Toetsingssituatie
Verschilt het gemiddelde in populatie 1 van het gemiddelde in populatie 2
waaruit de steekproeven afkomstig zijn?
Belangrijk: afhankelijke steekproeven zoals bij herhaalde metingen, gematchte
steekproeven
2. Voorwaarden
steekproeven zijn afhankelijk
populaties zijn normaal verdeeld
Indien populaties niet normaal zijn verdeeld moet n1 > 30 en n2 > 30 (dus het
aantal paren moet > 30)
67
Hoofdstuk 6: Twee gemiddelden uit
afhankelijke steekproeven
T-TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN 2
GEMIDDELDEN, AFH. STEEKPROEVEN
σ
p
o
n
1
1
p
e
e
n
u
l
n
σ
a
t
n
2
i
2
e
b
s
N
e
k
e
v
n
e
d
r
d
?
e
e
l
d
?
1
2
3
J
a
J
a
J
J
a
J
a
N
≥
t
1
0
0
<
t
1
0
0
≥
t
4
a
N
e
1
e
J
0
0
≥
t
5
e
e
a
1
0
0
6
N
e
e
J
N
e
e
N
≥
t
1
0
0
a
<
68
e
J
1
-
-
Hoofdstuk 6: Twee gemiddelden uit
afhankelijke steekproeven
N
e
0
w
e
3. Hypothesen
V = verschil per paar (steekproef1 – steekproef2)
Linkseenzijdig
H0: µv ≥ 0
H1: µv < 0
Rechtseenzijdig H0: µv ≤ 0
H1: µv > 0
Tweezijdig
H0: µv = 0
H1: µv ≠ 0
7
e
n
g
n
e
n
1
3
0
0
l
<
t
a
2
>
e
n
t
e
n
n
l
s
n
3
a
2
l
0
1
t
8
e
e
a
1
0
0
N
e
e
N
e
e
<
1
-
e
0
w
0
e
n
l
n
s
-
g
<
n
1
3
0
e
e
e
t
a
2
n
n
l
>
t
n
s
n
3
a
2
0
l
<
s
1
T-TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN 2
GEMIDDELDEN, AFH. STEEKPROEVEN
4. Toetsingsgrootheid
t-score van het gemiddelde verschil v
V  v
tv 
sv
aantal paren
n
standaarddeviatie van de verschilscores
gemiddelde verschil
steekproeven
veronderstelde gemiddelde verschil tussen 2
populaties
Kansverdeling? Student t-verdeling met df = n-1
69
Hoofdstuk 6: Twee gemiddelden uit
afhankelijke steekproeven
T-TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN 2
GEMIDDELDEN, AFH. STEEKPROEVEN
4. t score berekenen
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Score op test
voor
na
Verschil(voor-na)
4.52
4.12
.40
3.60
3.44
.16
3.88
1.92
1.96
4.36
4.08
.28
4.52
3.52
1.00
3.60
2.44
1.16
3.92
3.72
.20
3.72
3.33
.39
3.52
3.52
.00
3.68
3.08
.60
3.88
3.88
.00
4.52
4.00
.52
3.04
2.72
.32
3.96
3.28
.68
4.32
2.52
1.80
4.44
4.44
.00
3.96
3.96
.00
V = .5569
70
sv = .6023 
Hoofdstuk 6: Twee gemiddelden uit
afhankelijke steekproeven
t
.5569  0
17  3.8123
.60230
T-TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN 2
GEMIDDELDEN, AFH. STEEKPROEVEN
Voorbeeld: ratten en tinnitus in SPSS
Onderzoeksvraag: kunnen ratten door “herprogrammeren” van neuronen in
de auditieve cortex van hun tinnitus verlost worden?
17 ratten worden voor en na het toepassen van de techniek getest. De
afhankelijke variabele wordt bepaald door het aantal fouten dat de
ratten maken in het onderscheiden van tonen, en wordt gemeten op
intervalniveau.
Navzer D. Engineer, Jonathan R. Riley, Jonathan D. Seale, Will A. Vrana, Jai A. Shetake, Sindhu P.
Sudanagunta, Michael S. Borland, Michael P. Kilgard. Reversing pathological neural activity using
targeted plasticity.Nature, 2011; DOI: 10.1038/nature09656
71
Hoofdstuk 6: Twee gemiddelden uit
afhankelijke steekproeven
T-TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN 2
GEMIDDELDEN, AFH. STEEKPROEVEN
6. Effectgrootte
7. Rapporteren
Om na te gaan of de ratten beter presteerden op de frequentie-test
na de behandeling werd een t-test voor afhankelijke steekproeven
uitgevoerd. De ratten maakten significant minder fouten na (M =
3.41, SD = .69) dan voor de behandeling (M = 3.97, SD = .43), t(16) =
3.814, p = .002, r = .69 .
72
Hoofdstuk 6: Twee gemiddelden uit
afhankelijke steekproeven
WILCOXON RANGTEKENTOETS
1. Toetsingssituatie
Verschilt het gemiddelde in populatie 1 van het gemiddelde in populatie 2
waaruit de steekproeven afkomstig zijn?
Belangrijk: afhankelijke steekproeven (zie les over steekproeven) zoals bij
herhaalde metingen, gematchte steekproeven
= nonparametrische variant van afhankelijke t-toets
2. Voorwaarden
afhankelijke steekproeven
minstens ordinaal meetniveau (achterliggende variabele is continu)
scores hoeven niet normaal verdeeld te zijn
73
Hoofdstuk 6: Twee gemiddelden uit
afhankelijke steekproeven
WILCOXON RANGTEKENTOETS
3. Hypotheses
V = verschil binnen elk paar scores
Linkseenzijdig
H0: θv ≥ 0
H1: θv < 0
Rechtseenzijdig
H0: θv ≤ 0
H1: θv > 0
Tweezijdig
H0: θv = 0
H1: θv ≠ 0
concentratiescores hoger op woensdag dan op vrijdag?
74
H1: woensdag - vrijdag > 0 of
θv > 0
H0: woensdag – vrijdag ≤ 0 of
θv ≤ 0
Hoofdstuk 6: Twee gemiddelden uit
afhankelijke steekproeven
WILCOXON RANGTEKENTOETS
4. Toetsingsgrootheid
vrijdag
15
35
16
26
19
17
27
16
13
20
woensdag
28
35
35
22
39
32
27
29
36
35
verschil
13
0
19
-4
20
15
0
13
23
15
|verschil|
13
tie
19
4
20
15
tie
13
23
15
rang
2.5
Rang +
2.5
6
1
7
4.5
6
2.5
8
4.5
2.5
8
4.5
35
Toetsingsgrootheid = kleinste rangensom, hier: T- = 1
75
Hoofdstuk 6: Twee gemiddelden uit
afhankelijke steekproeven
Rang -
1
7
4.5
1
WILCOXON RANGTEKENTOETS
5. Beslissingsregel
overschrijdingskansen met z-toets
𝑧𝑇 =
𝑇−𝑇
𝑆𝐸
=
𝑛(𝑛+1)
4
𝑇−
𝑛 𝑛+1 (2𝑛+1)
24
=
met:
T = kleinste van rangensommen
n = aantal paren – aantal ties
76
Hoofdstuk 6: Twee gemiddelden uit
afhankelijke steekproeven
8(8+1)
4
1−
8 8+1 (16+1)
24
=
1−18
7.14
=-2.38
WILCOXON RANGTEKENTOETS
Demo SPSS: concentratiescores woensdag versus vrijdag
Berekenen van de medianen via Analyze > Descriptive
statistics > Frequencies > Statistics
77
Hoofdstuk 6: Twee gemiddelden uit
afhankelijke steekproeven
WILCOXON RANGTEKENTOETS
6. Effectgrootte
Opgelet: N = totaal aantal observaties, niet aantal paren!
7. Rapporteren
Om na te gaan of de concentratiescores variëren in functie van het moment
in de week werd een Wilcoxon signed rank toets uitgevoerd. De scores
waren significant hoger op vrijdag (Mdn = 33.5) dan op woensdag (Mdn =
18), z = -2.39, p = .017, r = -.53 .
78
Hoofdstuk 6: Twee gemiddelden uit
afhankelijke steekproeven
OEFENINGEN
Handboek
H4: 3 & 4
H5: 2 & 3
H6: 3
Variantieanalyse: one- en two-way ANOVA
& Kruskal-Wallis
type AV?
aantal OV?
type OV?
niet in dit boek
hoeveel
populaties?
categorieën
afhankelijk?
parametrisch
non-parametrisch
one sample t-test /
z-test
chi-square goodness
of fit
onafh.
independent t-test /
z-test
Rank-sum
afh.
dependent t-test
Signed-ranks
onafh.
one way ANOVA
Kruskal-Wallis
afh.
repeated measures
ANOVA
Friedman’s ANOVA
Pearson correlation
Spearman correlation
1
nominaal
2
1
>2
interval/
ordinaal
interval/
ordinaal
nominaal
>1
nominaal
1
onafh.
n-way ANOVA
afh.
repeated measures
ANOVA
gemengd
mixed design
ANOVA
interval
multiple regression
gemengd
multiple regression
1
onafh.
chi-square goodness
of fit
≥2
onafh.
Pearson chi-square
nominaal/
ordinaal
•Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
•81
VARIANTIEANALYSE
Toetsen voor verschillen tussen meer dan 2 gemiddelden
- is er een verschil in het welbevinden van kinderen met ouders die
autoritair, autoritatief of permissief opvoeden?
-> telkens 1 OV (vb. opvoedingsstijl) met telkens meer dan 2
waarden (vb. 3)
-> telkens 1 AV (vb. welbevinden)
eenwegs (‘one way’) variantie-analyse (‘ANOVA’)
Bij twee OV: tweewegs (‘two way’) variantie analyse (zie volgende
les)
Bij meer dan één AV: MANOVA (niet in Statistiek II)
82
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
VARIANTIEANALYSE
1. Toetsingssituatie
Is er een verschil in gemiddelde tussen groep a, b, c, … op variabele Y?
of
Is er een effect van variabele X (met niveau’s a, b, c,..) op variabele Y?
en:
Indien er een effect is, tussen welke groepen is er een verschil? (= post
hoc toetsing)
83
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
VARIANTIEANALYSE
2. Voorwaarden
• AV is gemeten op intervalniveau
• OV wordt als nominaal beschouwd (ook al is OV soms ordinaal)
• scores van AV zijn in elke populatie normaal verdeeld of aantal
deelnemers is in elke populatie groter dan 30
• varianties in populaties zijn gelijk (homogeniteit)
• onafhankelijke steekproeven
Assumptie van normaliteit en homogeniteit minder strikt bij gelijke
steekproeven
84
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
VARIANTIEANALYSE
3. Hypothesen
H0: alle populatiegemiddelden zijn aan elkaar gelijk:
µa = µb = µc = … = µj als er J populaties zijn
H1: minstens twee populatiegemiddelden zijn niet gelijk aan elkaar
µj ≠ µj’ voor minstens één paar van j en j’
Dus H1 is NIET µa ≠ µb ≠ µc ≠… ≠ µj
H0 wordt getoetst door gebruik te maken van varianties:
De tussen-groeps-variantie of between-groups variance
mean square between (MSb)
De binnen-groeps-variantie of within-groups variance
mean square within (MSw)
85
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
VARIANTIEANALYSE
Within groups
86
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
VARIANTIEANALYSE
Between groups
Within groups
87
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
VARIANTIEANALYSE
Between groups
Within groups
Wanneer de verschillen tussen groepsgemiddelden groter worden en de
verschillen binnen elke groep ongeveer hetzelfde blijven wordt de betweengroups variantie groter ten opzichte van de within-groups varianties.
Dus: de verhouding between-groups variantie/within-groups variantie zegt iets
over het verschil tussen groepsgemiddelden.
88
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
VARIANTIEANALYSE
Between groups
Within groups
89
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
VARIANTIEANALYSE
MSw
= verschillen te wijten aan verschillen tussen personen binnen
dezelfde groep
= inter-individuele verschillen die niet te wijten zijn aan het effect van
de OV
= foutenvariantie (varfout)
MSb
= variantie van groepsgemiddelden + variantie van scores rondom
groepsgemiddelden
= variantie van de effecten van OV (vareffect) + foutenvariantie
(varfout)
MSw = varfout
MSb = vareffect + varfout
90
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
VARIANTIEANALYSE
MSb = vareffect + varfout
MSw = varfout
-> ALS H0 waar is, dwz. vareffect zeer klein is of gelijk is aan 0
DAN: MSb = MSw of MSb / MSw = 1
-> ALS H0 niet waar is, dwz. vareffect verschilt van 0
DAN: MSb > MSw of MSb / MSw > 1
91
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
VARIANTIEANALYSE
4. Toetsingsgrootheid
F
MSb SSb / df b

MS w SS w / df w
Df b = J – 1 (J =aantal groepen)
Df w = N – J (N = totaal aantal waarnemingen; J = aantal groepen)
Kansverdeling: F-verdeling (zie bijlage)
Vb. F  39.35 / 2  19.68  7.13
66.27 / 24
Met df b = 3 – 1 = 2
92
2.76
en df w = 27 – 3 = 24
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
VARIANTIEANALYSE
5. Beslissingsregels
a. Overschrijdingskansen (niet in tabel)
Is P r (F) ≤ α ?
ja, verwerp H0
neen, verwerp H0 niet
Vb. P r (F = 7.13) = 0.0037 voor df b = 2 , df w= 24
P r (= 0.0037) < 0.05 dus H0 verwerpen
93
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
VARIANTIEANALYSE
b. kritieke waarden
Is F ≥ kritieke F waarde bij
df teller = df b = J – 1
df noemer = df w = N - J
ja, verwerp H0
neen, verwerp H0 niet
kritieke F waarde df b = 2 , df w= 24 bij alpha = 0.05 = 3.4 (zie
tabel)
F (7.13) > Fkritiek (3.4) dus H0 verwerpen
94
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
VARIANTIEANALYSE
ANOVA
TOETSGEG
Between Groups
Within Groups
Tot al
95
Sum of
Squares
39, 355
66, 275
105,630
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
df
2
24
26
Mean Square
19, 677
2, 761
F
7, 126
Sig.
,004
VARIANTIEANALYSE
Wanneer H0 verworpen is weten we dat minstens 2 groepen verschillen mbt. hun
gemiddelde
-> welke groepen?
= post-hoc toetsing
We zouden via t-toetsen elk paar van groepen met elkaar kunnen vergelijken (vb.
groep 1-2, 2-3, 1-3). Bij elke t-toets gebruiken we een α = 0.05. Probleem: door
herhaaldelijk t-toetsen uit te voeren neemt de fout van de 1e soort toe.
Oplossing: bij posthoc toetsing corrigeren voor deze hogere kans op fouten van de
1e soort.
>> Bonferroni correctie: wanneer we drie groepen vergelijken, alleen besluiten dat
er een significant verschil is als P ≤ 0.05/3 (ipv. 0.05)
(andere mogelijke correcties: Tukey, Scheffé,...)
96
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
VARIANTIEANALYSE
Post-hoc toetsing in SPSS:
Multiple Comparisons
Dependent Variable: TOETSGEG
Bonferroni
(I) GROEP
1,00
2,00
3,00
(J) GROEP
2,00
3,00
1,00
3,00
1,00
2,00
Mean
Difference
(I-J)
Std. Error
-1,2667
,76353
-3,0417*
,80747
1,2667
,76353
-1,7750
,78824
3,0417*
,80747
1,7750
,78824
Sig.
,330
,003
,330
,101
,003
,101
95% Confidence Interval
Lower Bound Upper Bound
-3,2317
,6984
-5,1198
-,9635
-,6984
3,2317
-3,8037
,2537
,9635
5,1198
-,2537
3,8037
*. The mean difference is significant at the .05 level.
SPSS output houdt al rekening met deze correctie; dus de P waarden zijn al gecorrigeerd.
Als P ≤ 0.05 dan is er een significant verschil tussen beide groepen
vb. enkel significant verschil ts. Groep 1-3
97
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
VARIANTIEANALYSE
Voorbeeld ANOVA in SPSS: stressreductie door chocolade bij
dansers
98
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
VARIANTIEANALYSE
6. Effectgrootte
ANOVA
stress
Sum of
𝑟=
𝑟=
𝑆𝑆𝑏𝑒𝑡𝑤𝑒𝑒𝑛
𝑆𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
df
Mean Square
F
Sig.
Squares
Between Groups
714,490
2
357,245
Within Groups
11277,471
99
113,914
Total
11991,961
101
3,136
714.49
= 0.060 = 0.24
11991,961
7. Rapportering
Er was een significant effect van chocolade op het stressniveau van de dansers, F(2,
99) = 3.14, p = .048, r = .24 . De dansers die geen chocolade aten rapporteerden een
hoger stressniveau (M = 65.5, SD = 10.54) dan dansers die twee repen chocolade aten
(M = 59.12, SD = 12.27). Het stressniveau van de dansers die één reep chocolade aten
(M = 61.32, SD = 8.95) verschilde niet significant van de andere condities.
99
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
,048
Variantieanalyse: two way ANOVA
type AV?
aantal OV?
type OV?
niet in dit boek
hoeveel
populaties?
categorieën
afhankelijk?
parametrisch
non-parametrisch
one sample t-test /
z-test
chi-square goodness
of fit
onafh.
independent t-test /
z-test
Rank-sum
afh.
dependent t-test
Signed-ranks
onafh.
one way ANOVA
Kruskal-Wallis
afh.
repeated measures
ANOVA
Friedman’s ANOVA
Pearson correlation
Spearman correlation
1
nominaal
2
1
>2
interval/
ordinaal
interval/
ordinaal
nominaal
>1
nominaal
1
onafh.
n-way ANOVA
afh.
repeated measures
ANOVA
gemengd
mixed design
ANOVA
interval
multiple regression
gemengd
multiple regression
1
onafh.
chi-square goodness
of fit
≥2
onafh.
Pearson chi-square
nominaal/
ordinaal
TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE
Twee vragen:
1. vraag over hoofdeffect van elke OV op AV
2. vraag over interactie-effect tussen OV1 en OV2 op AV
hoe hebben de twee OV’s samen in combinatie een effect op AV?
is het effect van de ene OV op AV anders naargelang het niveau van de andere OV?
- is het effect van ses op toekomstbeeld anders voor jongens dan voor meisjes?
- is het effect van chocolade op stressreductie anders voor beginners dan voor
gevorderden?
102
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE
1. Toetsingssituatie
a. Is er een effect van variabele A (met niveaus a1, a2, …) op variabele Y?
b. Is er een effect van variabele B (met niveaus b1, b2, …) op variabele Y?
= 2 hoofdeffecten
c. Is het effect van variabele A anders naargelang het niveau van variabele
B (of omgekeerd)? Wat is het effect van de combinatie van A en B op Y?
= interactie-effect tussen A en B
d. Indien er een hoofdeffect is van A, tussen welke groepen van A is er een
verschil?
e. Indien er een hoofdeffect is van B, tussen welke groepen van B is er een
verschil?
= post hoc toetsing
103
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE
2. Voorwaarden
• AV is gemeten op intervalniveau
• OV’s worden als nominaal beschouwd (ook al is OV soms ordinaal)
• scores van AV zijn in alle populaties normaal verdeeld
• varianties in populaties zijn gelijk (F-toets of Levene’s toets)
• onafhankelijke steekproeven
104
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE
3. Hypothesen
Wat is het effect van ses en geslacht op de toekomstverwachting van jongeren?
OV1 (A) = ses (laag, midden, hoog)
OV2 (B) = geslacht (jongens, meisje)
AV = toekomstbeeld score ts. -10 en +10
-> 3 x 2 design (dus 6 populaties - zie les 2: waarden van OV bepalen aantal populaties)
a. Is er een hoofdeffect van variabele A (met i niveaus)?
Of in termen van varianties
105
H0: σ²A = σ²W of
H1: σ²A > σ²W of
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
σ²A / σ²W = 1
σ²A / σ²W > 1
7
Toekomstbeeld
H0: alle populatiegemiddelden van A zijn aan elkaar gelijk
µ1 = µ2 = µ3 = … = µi als er I groepen zijn van A
H1: minstens twee populatiegemiddelden zijn niet gelijk aan elkaar
µi ≠ µi’ voor minstens één paar van i en i’
6
5
4
3
2
1
0
laag
midden
SES
hoog
TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE
b. Is er een hoofdeffect van variabele B (met j niveaus)?
H0: alle populatiegemiddelden van B zijn aan elkaar gelijk
µ1 = µ2 = µ3 = … = µj als er J groepen zijn van B
H1: minstens twee populatiegemiddelden zijn niet gelijk aan elkaar
µj ≠ µj’ voor minstens één paar van j en j’
Of in termen van varianties
H0: σ²B = σ²W of
σ²B / σ²W = 1
H1: σ²B > σ²W of
σ²B / σ²W > 1
Toekomstbeeld
6
5
4
3
2
1
0
jongens
meisjes
geslacht
106
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE
c. Is er een interactie-effect van variabele AxB ?
H0: alle populatiegemiddelden van combinatie AxB zijn aan elkaar gelijk: µ11 =
µ12 = … = µij als er I x J groepen zijn
H1: minstens twee populatiegemiddelden zijn niet gelijk aan elkaar
µij ≠ µi’j’ voor minstens één paar van ij en i’j’
Of in termen van varianties
H0: σ²AxB = σ²W of
H1: σ²AXB > σ²W of
9
Toekomstbeeld
8
7
6
5
4
jongens
3
meisjes
2
1
0
laag
midden
hoog
SES
107
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
σ²AXB / σ²W = 1
σ²AXB / σ²W > 1
TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE
4. Toetsingsgrootheid
4.1 F toets voor hoofdeffect van A
FA 
MS A
SS A / df A

MSW SSW / df W
met dfA = I – 1 (I = aantal niveaus van A)
met dfW = N – (I x J) (N = totaal aantal )
vb. FA = 10/2.02 = 4.95 met dfA = 2 dfW = 24
4.2 F toets voor hoofdeffect van B
MS B
SS B / df B
FB 

MSW SSW / df W
met dfB = J – 1 (J = aantal niveaus van B)
met dfW = N – (I x J) (N = totaal aantal )
vb. FB = 0.53/2.02 = 0.26 met dfB = 1 dfW = 24
4.3 F toets voor interactie-effect van AxB
FAxB 
108
MS AxB SS AxB / df AxB

MSW
SSW / df W
met dfAxB = (I - 1). (J – 1)
met dfW = N – (I x J) (N = totaal aantal)
vb. FAxB = 30.54/2.02 = 15.12 met dfAxB = 2 dfW = 24
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE
5. Beslissingsregels
a. Overschrijdingskansen
Is P r (F) ≤ α?
ja, verwerp H0
neen, verwerp H0 niet
>> overschrijdingskans per mogelijk effect (hoofd / interactie) in ANOVA-tabel
SPSS
b. Kritieke waarden
Ook mogelijk via tabel met F-waarden.
109
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE
significant hoofdeffect ses: jongens en meisjes samengenomen is er een effect van ses
geen significant hoofdeffect geslacht: 3 ses niveaus samengenomen is er geen
significant verschil tussen j en m
een interactie-effect: het verschil ts. j en m is niet hetzelfde voor
alle niveaus van ses
>> post-hoc toetsing nodig om te weten tussen welke groepen er een verschil is. (SPSS)
110
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE
interactie effect
8
6
4
2
0
laag
midden
ses
hoog
SES
laag midden hoog
jongens
5,6
5,6
4,2
5,13
meisjes
2,4
4,4
7,8
4,87
4
5
6
geen hoofdeffect geslacht
Toekomstbeeld
Toekomstbeeld
Toekomstbeeld
hoofdeffect SES
6
4
2
0
jongens
meisjes
geslacht
111
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
jongens
meisjes
laag
midden
hoog
SES
interactie-effect: het verschil
ts. jongens en meisjes is
niet hetzelfde voor alle
niveaus van ses (lijnen
lopen niet parallel)
TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE
Post hoc analyse bij two-way ANOVA:
Zie post-hoc bij one-way ANOVA: niveaus binnen 1 OV vergelijken.
ses
laag midden hoog
jongens
5,6
5,6
4,2
5,13
meisjes
2,4
4,4
7,8
4,87
4
5
6
(overbodig als er maar 2 niveaus zijn –
bv. geslacht. Kijk dan naar
gemiddeldentabel)
Om alle cellen paarsgewijs te vergelijken: simple effects – enkel met
SPSS syntax (zie boek p. 163)
ses
laag midden hoog
jongens
5,6
5,6
4,2
5,13
meisjes
2,4
4,4
7,8
4,87
4
5
6
112
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE
6. Effectgrootte
Partial Eta squared: interpreteerbaar
zoals r
te berekenen met SPSS
Via ANOVA-dialoogbox > options >
estimates of effect size aanvinken
113
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE
Demo two-way ANOVA: effect van chocolade én dansniveau op stress?
114
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE
7. Rapportering
Eerst de potentiële hoofdeffecten bespreken (zie one-way ANOVA,
inclusief eventuele post-hoc)
 gegevens: gemiddelden, SD, F-waarde, p-waarde, r
Daarna potentieel interactie-effect, zelfde gegevens.
Hoofdeffecten zijn niet meer relevant als er een interactie-effect is,
maar moeten wel gerapporteerd worden. Interpretatie van de
resultaten gaat enkel over interactie-effect.
115
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
type AV?
aantal OV?
type OV?
niet in dit boek
hoeveel
populaties?
categorieën
afhankelijk?
parametrisch
non-parametrisch
one sample t-test /
z-test
chi-square goodness
of fit
onafh.
independent t-test /
z-test
Rank-sum
afh.
dependent t-test
Signed-ranks
onafh.
one way ANOVA
Kruskal-Wallis
afh.
repeated measures
ANOVA
Friedman’s ANOVA
Pearson correlation
Spearman correlation
1
nominaal
2
1
>2
interval/
ordinaal
interval/
ordinaal
nominaal
>1
nominaal
1
onafh.
n-way ANOVA
afh.
repeated measures
ANOVA
gemengd
mixed design
ANOVA
interval
multiple regression
gemengd
multiple regression
1
onafh.
chi-square goodness
of fit
≥2
onafh.
Pearson chi-square
nominaal/
ordinaal
•Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
•116
KRUSKAL-WALLIS TOETS VOOR
VERSCHIL TUSSEN K POPULATIES
1. Toetsingssituatie
Is er een verschil in gemiddelde tussen groep a, b, c, … op variabele Y?
>> zelfde situatie als eenwegs-variantieanalyse.
2. Voorwaarden
AV is niet normaal verdeeld en/of
AV is van ordinaal meetniveau
Chocolade als afrodisiacum? Gemeten met:
Seks is absoluut het allerlaatste
waar ik nu aan kan denken.
117
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
Ik ervaar niet meer of
minder zin in seks dan op
een doordeweekse dag.
Ik voel een onwaarschijnlijke lust tot
paren – annuleer de voorstelling!
KRUSKAL-WALLIS TOETS VOOR
VERSCHIL TUSSEN K POPULATIES
3. Hypothesen
H0: θ1 = θ2 = … = θk
H1= “niet H0”
bij k niveaus van de OV
4. Toetsingsgrootheid
Gebaseerd op rangordening zoals bij Mann-Whitney, grootheid = H
>> analyze > non-parametric > legacy dialogs > k independent samples
(zie boek 7.3.4)
118
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
KRUSKAL-WALLIS TOETS VOOR
VERSCHIL TUSSEN K POPULATIES
5. Beslissingsregel
Is de gerapporteerde overschrijdingskans in SPSS kleiner dan α ?
ja > verwerp H0
nee > verwerp H0 niet
Is er een effect?  post-hoc toetsen met meerdere Mann-Whitney/Wilcoxon
Rank-Sum. Gebruik zo weinig mogelijk tests en hanteer Bonferroni-correctie:
α / aantal tests.
119
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
KRUSKAL-WALLIS TOETS VOOR
VERSCHIL TUSSEN K POPULATIES
Demo Kruskal-Wallis: chocolade als afrodisiacum?
OV : 3 niveaus chocolade – geen, één reep, twee repen
AV: ordinale schaal met 3 niveaus
120
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
KRUSKAL-WALLIS TOETS VOOR
VERSCHIL TUSSEN K POPULATIES
6. Effectgrootte
• Geen effectgrootte voor K-W test algemeen
• Wel effectgrootte van bijhorende Mann-Whitney tests – zie H5
Test Statisticsa
lust
Mann-Whitney U
359,500
Wilcoxon W
954,500
Z
Asymp. Sig. (2-tailed)
-2,976
,003
a. Grouping Variable: chocolade
121
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
KRUSKAL-WALLIS TOETS VOOR
VERSCHIL TUSSEN K POPULATIES
7. Rapportering
Een Kruskal-Wallis toets werd uitgevoerd om het effect van het eten van
chocolade op de lustgevoelens van dansers na te gaan. Dit effect bleek
inderdaad significant, H = 8.71, p = .013. Bijkomend werden de condities
zonder chocolade (mean rank = 41), met één reep chocolade (mean rank =
59.91) en twee repen chocolade (mean rank = 53.59) onderling vergeleken
door middel van een Wilcoxon rank-sum toets, waarbij een gecorrigeerd
significantieniveau van α = .017 werd gehanteerd. Hieruit bleek dat er enkel
een significant verschil was tussen de conditie zonder chocolade en de
conditie met één reep chocolade (Ws = 954.5, z = -2.976, p = .003, r = -.36).
Het verschil tussen de conditie zonder chocolade en de conditie met twee
repen chocolade (Ws = 1034.5, z = -1.861, p = .06, r = -.23) noch het verschil
tussen de conditie met één reep chocolade en de conditie met twee repen
chocolade (Ws = 1105.5, z = -.917, p = .36, r = -.11) waren significant.
122
Hoofdstuk 7: Variantieanalyse
Variantieanalyse bij herhaalde metingen
HERHAALDE METINGEN ANOVA
De motivatie van 17
voetbalspeelsters wordt gemeten
op drie momenten in het
voetbalseizoen. We willen
nagaan of de motivatie eerder
stijgt dan wel daalt door de
strenge behandeling door de
coach.
Jarmila Kratochvilova, in haar eigen glorietijd bij de
Tsjechische nationale atletiekploeg.
124
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
type AV?
aantal OV?
type OV?
niet in dit boek
hoeveel
populaties?
categorieën
afhankelijk?
parametrisch
non-parametrisch
one sample t-test /
z-test
chi-square goodness
of fit
onafh.
independent t-test /
z-test
Rank-sum
afh.
dependent t-test
Signed-ranks
onafh.
one way ANOVA
Kruskal-Wallis
afh.
repeated measures
ANOVA
Friedman’s ANOVA
Pearson correlation
Spearman correlation
1
nominaal
2
1
>2
interval/
ordinaal
interval/
ordinaal
nominaal
>1
nominaal
1
onafh.
n-way ANOVA
afh.
repeated measures
ANOVA
gemengd
mixed design
ANOVA
interval
multiple regression
gemengd
multiple regression
1
onafh.
chi-square goodness
of fit
≥2
onafh.
Pearson chi-square
nominaal/
ordinaal
•Hoofdstuk 8: Variantieanalyse
herhaalde metingen
HERHAALDE METINGEN ANOVA
1. Toetsingssituatie
Is er een verschil in gemiddelde tussen metingen 1, 2, 3, … van
variabele Y?
of
Is er een effect van variabele X (metingen 1, 2, 3,..) op variabele Y?
en:
Indien er een effect is, tussen welke metingen is er een verschil? (= post
hoc toetsing)
126
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
HERHAALDE METINGEN ANOVA
2. Voorwaarden
• AV is gemeten op intervalniveau
• scores van AV zijn in elke populatie normaal verdeeld of aantal
deelnemers is in elke steekproef groter dan 30
• OV wordt als nominaal beschouwd (ook al is OV soms ordinaal)
• afhankelijke steekproeven
• voldaan aan sfericiteits-eis
127
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
HERHAALDE METINGEN ANOVA
Sfericiteit?
Varianties van verschilscores moeten ongeveer gelijk zijn aan
elkaar:
Meting 1
Meting 2
Meting 3
Verschil
Verschil
Verschil
1-3
2-3
1
8
12
14
-4
-6
-2
2
12
16
22
-4
-10
-6
3
46
32
38
14
8
-6
4
41
35
45
6
-4
-10
5
12
29
20
-17
-8
9
6
16
24
30
-8
-14
-6
7
53
35
52
18
1
-17
8
45
42
49
3
-4
-7
9
21
28
35
-7
-14
-7
10
26
31
39
-5
-13
-8
Variantie
113.6
49.82
42.67
 Mauchly’s test + eventuele correctie
128
1-2
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
HERHAALDE METINGEN ANOVA
3. Hypothesen
H0: alle populatiegemiddelden zijn aan elkaar gelijk:
H1: minstens twee populatiegemiddelden zijn niet gelijk aan elkaar
tweezijdig
H0 : μ 1 = μ2 = … = μ j
H1: μi ≠ μj voor minstens 1 paar van i en j
Dus H1 is NIET µa ≠ µb ≠ µc ≠… ≠ µj
129
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
HERHAALDE METINGEN ANOVA
4. Prinicipe
Opnieuw vergelijken van effectvariantie met foutenvariantie, maar nu
zit de effectvariantie in de within groups variantie!
130
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
HERHAALDE METINGEN ANOVA
131
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
HERHAALDE METINGEN ANOVA
132
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
HERHAALDE METINGEN ANOVA
5. Beslissingsregels
a. Overschrijdingskansen (niet in tabel)
Is P (F) ≤ α ?
ja, verwerp H0
neen, verwerp H0 niet
Vb. P (F = 7.13) = 0.0037 voor dfm = 2 , dferror= 24
P (= 0.0037) < 0.05 dus H0 verwerpen
133
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
HERHAALDE METINGEN ANOVA
5. Beslissingsregels
b. kritieke waarden
Is F ≥ kritieke F waarde bij
dfteller = dfm = k – 1
dfnoemer = dferror = dfw - dfm
ja, verwerp H0
neen, verwerp H0 niet
kritieke F waarde df b = 2 , df w= 24 bij alpha = 0.05 = 3.4 (zie tabel)
F (7.13) > Fkritiek (3.4) dus H0 verwerpen
134
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
HERHAALDE METINGEN ANOVA
Tests of Within-Subjects Effects
Measure: motivatie
Source
moment
Type III Sum of Squares
Mean Square
F
Sig. Partial Eta Squared
Sphericity Assumed
426,303
2
213,152 5,271 ,009
,201
Greenhouse-Geisser
426,303
1,692
251,939 5,271 ,013
,201
Huynh-Feldt
426,303
1,824
233,663 5,271 ,011
,201
Lower-bound
426,303
1,000
426,303 5,271 ,032
,201
1698,364
42
40,437
Greenhouse-Geisser
1698,364 35,534
47,796
Huynh-Feldt
1698,364 38,313
44,329
Lower-bound
1698,364 21,000
80,874
Error(moment) Sphericity Assumed
135
df
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
HERHAALDE METINGEN ANOVA
Wanneer H0 verworpen is weten we dat minstens 2 metingen
verschillen mbt. hun gemiddelde
-> welke metingen?
= post-hoc toetsing
Zelfde probleem als bij one-way ANOVA voor herhaalde
toetsen, dus opnieuw corrigeren voor verhoogde kans op Type
1-fout.
>> Bonferroni correctie
(wanneer we drie groepen vergelijken, alleen besluiten dat er
een significant verschil is als P ≤ 0.05/3)
136
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
HERHAALDE METINGEN ANOVA
Pairwise Comparisons
Measure: motivatie
(I) moment (J) moment Mean Difference (I-J) Std. Error Sig.b 95% Confidence Interval for Differenceb
Lower Bound
1
2
3
Upper Bound
2
2,455
2,175 ,815
-3,203
8,112
3
6,182*
2,038 ,019
,880
11,484
1
-2,455
2,175 ,815
-8,112
3,203
3
3,727
1,464 ,056
-,081
7,536
1
-6,182*
2,038 ,019
-11,484
-,880
2
-3,727
1,464 ,056
-7,536
,081
Based on estimated marginal means
*. The mean difference is significant at the ,05 level.
b. Adjustment for multiple comparisons: Bonferroni.
•
•
•
137
SPSS output houdt al rekening met deze correctie; dus de P waarden zijn al gecorrigeerd.
Als P ≤ 0.05 dan is er een significant verschil tussen beide groepen
vb. enkel significant verschil ts. Groep 1-3
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
HERHAALDE METINGEN ANOVA
Voorbeeld ANOVA in SPSS: motivatie van voetbalspeelsters
op drie meetmomenten
Aandacht voor correcte invoer van data!
138
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
HERHAALDE METINGEN ANOVA
6. Effectgrootte
Partial Eta squared: η²
• interpreteerbaar zoals r
• te berekenen met SPSS
Via ANOVA-dialoogbox > options > estimates of effect size
aanvinken
139
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
HERHAALDE METINGEN ANOVA
7. Rapportering
Om na te gaan of de coachingmethode een effect heeft op de
motivatie van de speelsters werd een repeated measures
ANOVA uitgevoerd. Hieruit bleek dat er een significant effect
van meetmoment op de motivatie was, F(2, 42) = 5.27, p =
.009, η² = .201 . In het begin van het voetbalseizoen was de
motivatie van de speelsters hoger (M = 47.64, SD = 6.81) dan
op het einde van het seizoen (M = 41.45, SD = 5.40, p = .019).
Ook vlak na de winterstop was de motivatie van de speelsters
hoger (M = 45.18, SD = 5.15) dan op het einde van het
seizoen, maar dit verschil benaderde slechts significantie, p =
.056.
140
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
FRIEDMAN’S ANOVA
1. Toetsingssituatie
Is er een verschil in gemiddelde tussen metingen 1, 2, 3, … van
variabele Y?
>> zelfde situatie als herhaalde metingen-variantieanalyse.
2. Voorwaarden
AV is niet normaal verdeeld en/of
AV is van ordinaal meetniveau
Evaluatie van de coach in onderzoek van Evelien:
“Op een schaal van 1 tot 10, hoe sterk wens je de coach op dit moment
enkele bijzonder pijnlijke eksterogen toe?”
141
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
type AV?
aantal OV?
type OV?
niet in dit boek
hoeveel
populaties?
categorieën
afhankelijk?
parametrisch
non-parametrisch
one sample t-test /
z-test
chi-square goodness
of fit
onafh.
independent t-test /
z-test
Rank-sum
afh.
dependent t-test
Signed-ranks
onafh.
one way ANOVA
Kruskal-Wallis
afh.
repeated measures
ANOVA
Friedman’s ANOVA
Pearson correlation
Spearman correlation
1
nominaal
2
1
>2
interval/
ordinaal
interval/
ordinaal
nominaal
>1
nominaal
1
onafh.
n-way ANOVA
afh.
repeated measures
ANOVA
gemengd
mixed design
ANOVA
interval
multiple regression
gemengd
multiple regression
1
onafh.
chi-square goodness
of fit
≥2
onafh.
Pearson chi-square
nominaal/
ordinaal
•Hoofdstuk 8: Variantieanalyse
herhaalde metingen
FRIEDMAN’S ANOVA
3. Hypothesen
H0: θ1 = θ2 = … = θk
H1: θi ≠ θj voor minstens 1 paar van i en j
bij k niveaus van de OV
4. Toetsingsgrootheid
Gebaseerd op rangordening zoals bij Mann-Whitney, grootheid = H
>> analyze > non-parametric > legacy dialogs > k independent samples
(zie boek 7.3.4)
143
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
FRIEDMAN’S ANOVA
4. Toetsingsgrootheid
Rangordening zoals bij Kruskal-Wallis, maar ordenen per deelnemer ipv groep
speelster
1
2
3
4
5
moment 1
moment 2
moment 3
moment 1
moment 2
moment 3
4
5
2
3
5
5
6
4
7
5
4
6
6
7
5
1.5
1
1
1
2
6.5
3
2.5
2
2.5
2
12
1.5
2.5
3
2.5
2
11.5
Ri
R = de rangensom voor moment/conditie i
N = totale steekproefgrootte
k = aantal meetmomenten/condities
144
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
FRIEDMAN’S ANOVA
5. Beslissingsregel
a. Is de gerapporteerde overschrijdingskans in SPSS kleiner dan α ?
ja > verwerp H0
nee > verwerp H0 niet
b. Is Fr groter dan de kritieke X²-waarde? (df = k – 1)
ja > verwerp H0
nee > verwerp H0 niet
Is er een effect?  post-hoc toetsen met meerdere Wilcoxon Signed-Rank
toetsen. Gebruik zo weinig mogelijk toetsen en hanteer Bonferronicorrectie:
α / aantal tests.
145
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
FRIEDMAN’S ANOVA
Demo Friedman’s ANOVA: evaluatie van de coach
OV : meetmoment in het seizoen
AV: haatgevoelens t.o.v. de coach
146
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
FRIEDMAN’S ANOVA
6. Effectgrootte
Geen effectgrootte voor Friedman’s toets
Wel effectgrootte voor eventuele Wilcoxon Signed-rank
toetsen (zie H6)
147
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
FRIEDMAN’S ANOVA
7. Rapportering
Friedman’s ANOVA werd uitgevoerd om het effect van de coachingmethode
op de haatgevoelens tegenover de coach na te gaan. Dit effect bleek
inderdaad significant, F = 18.87, p < .001. Bijkomend werden paarsgewijze
Wilcoxon signed-rank toetsen uitgevoerd om de metingen bij de start van
het seizoen (mean rank = 1.34), vlak na de winterstop (mean rank = 2.23) en
op het einde van het seizoen (mean rank = 2.43) onderling te vergelijken.
Hierbij werd een gecorrigeerd significantieniveau van α = .017 gehanteerd.
Uit deze post hoc toetsen bleken significante verschillen tussen de
haatgevoelens bij de start van het seizoen en vlak na de winterstop (z = 3.47, p < .001, r = -.52) alsook tussen de haatgevoelens bij de start van het
seizoen en op het einde van het seizoen (z = -3.42, p < .001, r = -.51). Er
was geen significant verschil tussen de haatgevoelens vlak na de winterstop
en op het einde van het seizoen (z = 1.58, p = .11, r = -.24).
148
Hoofdstuk 8: Variantieanalyse herhaalde
metingen
STATISTIEK II
toetsen voor het verband tussen
variabelen met gelijk meetniveau
hoofdstuk 9
PEARSON CORRELATIE
Wat is een correlatie? (zie Statistiek I)
De samenhang tussen twee variabelen (sterkte + richting van het
verband)
-1 als minimumwaarde en +1 als maximumwaarde
140,00
80,00
120,00
70,00
120,00
100,00
r = +0.87
r = +0.99
60,00
r = -0.01
100,00
Y
Y
Y
80,00
50,00
80,00
60,00
40,00
60,00
30,00
40,00
40,00
20,00
20,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
20,00
X
150
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
30,00
40,00
50,00
X
60,00
70,00
20,00
30,00
40,00
50,00
X
60,00
70,00
PEARSON CORRELATIE
Formule
r=
𝑛
𝑖=1(𝑥𝑖
− 𝑥 )(𝑦𝑖 − 𝑦)
(𝑁 − 1)𝑠𝑥 𝑠𝑦
met N = aantal paren
151
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
PEARSON CORRELATIE
1. Toetsingssituatie
Is er een lineair (rechtlijnig) verband tussen twee variabelen?
Vb. is er een positief verband tussen intelligentie en schoolresultaten?
2. Voorwaarden
X en Y zijn gemeten op intervalniveau
X en Y zijn normaal verdeeld in de populatie of N ≥ 30
X en Y zijn bivariaat normaal verdeeld (voor elke X waarde zijn de Y waarden
normaal verdeeld)
Homoscedasticiteit (populatievarianties van Y voor elke waarde van X zijn aan
elkaar gelijk)
152
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
PEARSON CORRELATIE
3. Hypothesen
Linkseenzijdig
H0: ρ ≥ 0
H1: ρ < 0
Rechtseenzijdig
H0: ρ ≤ 0
H1: ρ > 0
Tweezijdig
H0: ρ = 0
H1: ρ ≠ 0
4. Toetsingsgrootheid
r. N  2
tr 
1 r²
met df = N – 2 (N = aantal paren)
Kansverdeling: Student t-verdeling
153
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
PEARSON CORRELATIE
5. Beslissingsregels
Studenten die meer vooraan in de aula zitten halen ook hogere cijfers op het
examen.
Tweezijdig H0: ρ = 0
H1: ρ  0
Steekproef: 32 studenten, r(rij, examen) = -.38
tr 
r. N  2  0.39. 32  2  2.14


 2.32
0.93
1 r²
1  (0.39²)
Voor df = 30 en alpha = 0.05 is kritieke waarde (tweezijdig) gelijk aan 2.042 (tabel p.
323 ev.)
Is t l (-2.32) < t kritiek (-2.042)? Ja, dus H0 verwerpen
>> studenten die meer vooraan zitten halen inderdaad hogere cijfers!
154
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
PEARSON CORRELATIE
Determinatiecoëficiënt R²
• R² = r²
• wat is het aandeel van variabele X in de variantie van
variabele Y? Wat is hun gedeelde variantie?
• ≠ in welke mate is variabele X oorzaak van variabele Y?
155
−
causaliteit kan in twee richtingen lopen
−
derde variabele kan verband verklaren  partiële correlatie
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
PEARSON CORRELATIE
Partiële correlatie
Wat is de gedeeltelijke gezamenlijke variantie tussen twee
variabelen als je controleert voor de invloed van een derde
variabele?
rij
punten
156
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
motivatie?
PEARSON CORRELATIE
Demo SPSS: Studenten die meer vooraan in de aula zitten halen ook hogere
cijfers op het examen.
157
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
PEARSON CORRELATIE
6. Effectgrootte
Effectgrootte = r
7. Rapportering
Om na te gaan of er een verband is tussen de plaats in de aula waar
studenten zitten en hun cijfers op het examen, werd een correlatie
berekend. Dit verband bleek significant, r = -.39 , p = .027, N = 32 .
Hoe verder de studenten van de docent zaten, hoe lager de punten
op het examen. Nadat gecorrigeerd werd voor de motivatie van de
studenten daalde deze correlatie tot r = .005, p = .98, N = 32.
158
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
RANGCORRELATIE VAN SPEARMAN
1. Toetsingssituatie
Berekenen van een correlatie tussen twee ordinale variabelen.
(Pearson correlatie = correlatie tussen twee intervalvariabelen)
2. Voorwaarden
Twee variabelen gemeten op ordinaal niveau of
Twee variabelen duidelijk niet normaal verdeeld
3. Hypothesen
Linkseenzijdig
H0: ρs ≥ 0
H1: ρs < 0
Rechtseenzijdig
H0: ρs ≤ 0
H1: ρs > 0
Tweezijdig
H0: ρs = 0
H1: ρs ≠ 0
159
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
RANGCORRELATIE VAN SPEARMAN
4. Toetsingsgrootheid
De waarden van X en Y afzonderlijk ordenen en correlatie berekenen tussen
beide rangordeningen
rs  1 
6 D ²
N³ N
N = aantal paren
D = verschil in rangordenr per paar
-1 als minimumwaarde en +1 als maximumwaarde
160
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
RANGCORRELATIE VAN SPEARMAN
Toetsingsgrootheid zoals bij Pearson’s correlatie m.b.v. t-verdeling:
5. Beslissingsregels
Is de gevonden P (Asymp. Sig. 2-tailed) kleiner dan α ?
ja: verwerp H0
nee: verwerp H0 niet
161
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
RANGCORRELATIE VAN SPEARMAN
6. Effectgrootte
Effectgrootte = rs = ρs
7. Rapportering
(zie Pearson correlatie, maar dan met rs )
162
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
Χ²-TOETS VOOR VERBAND TUSSEN 2 NOMINALE VARIABELEN
1. Toetsingssituatie
Zijn twee nominale variabelen afhankelijk van elkaar?
>> Kruistabel met frequenties
Is er een verband tussen de wijze waarop vragenlijsten worden afgenomen
en het al of niet willen meedoen met de enquête?
Niet meedoen
Wel meedoen
163
Schriftelijk
90
110
200
Telefonisch
70
130
200
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
Mondeling
25
75
100
185
315
500
Χ²-TOETS VOOR VERBAND TUSSEN 2 NOMINALE VARIABELEN
2. Voorwaarden
•
Categorieën van elke variabele sluiten elkaar uit
•
Alle waarden die in het onderzoek bestudeerd worden kunnen in de
categorieën ondergebracht worden
•
X² toets mag je gebruiken wanneer minder dan 20% van de cellen een fe < 5
en geen van de cellen een fe < 1
164
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
Χ²-TOETS VOOR VERBAND TUSSEN 2 NOMINALE VARIABELEN
3. Hypothesen
H0: de variabelen zijn onafhankelijk; er is geen verband
H1: de variabelen zijn afhankelijk; er is wel een verband
Opm. altijd 2-zijdige toetsing
4. Toetsingsgrootheid
Pearson Chi Square:
165
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
Χ²-TOETS VOOR VERBAND TUSSEN 2 NOMINALE VARIABELEN
5. Beslissingsregels
Overschrijdingskansen
Is de gevonden P (Asymp. Sig. 2-tailed) kleiner dan α ?
ja: verwerp H0
nee: verwerp H0 niet
166
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
Χ²-TOETS VOOR VERBAND TUSSEN 2 NOMINALE VARIABELEN
fo
Chi-Square Tests
Pearson Chi-Square
Likelihood Ratio
N of Valid Cases
Value
12, 012 a
12, 254
500
df
2
2
Asy mp. Sig.
(2-sided)
,002
,002
a. 0 cells (,0%) hav e expec ted count less t han 5. The
minimum expec ted count is 37, 00.
fe
aan de voorwaarden is voldaan want 0%
van de cellen heeft fe < 5 en minimum fe > 1
167
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
Χ²-TOETS VOOR VERBAND TUSSEN 2 NOMINALE VARIABELEN
6. Effectgrootte
Verschillende mogelijkheden,
Cramer’s V meest universeel geschikt:
7. Rapportering
Om na te gaan of er een verband bestaat tussen de wijze waarop vragenlijsten
worden afgenomen en het al of niet willen meedoen met de enquête werd
een X²-toets uitgevoerd, die uitwees dat er inderdaad een eerder zwak
verband is tussen beide variabelen, X² = 12.01, p = .002, V = .16)
168
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
OEFENINGEN
Handboek
H7: 1 & 3
H8: 1 & 3
H9: 1 & 2
STATISTIEK II
Regressieanalyse
hoofdstuk 10
REGRESSIEANALYSE
• Voorspelling maken op basis van correlatie
• Invloed van verschillende OV vergelijken
171
Workshop Inductieve Statistiek
REGRESSIEANALYSE
Voorwaarden
• De criteriumvariabele (= afhankelijke variabele) is
gemeten op intervalniveau.
• De observaties van de criteriumvariabele zijn
onafhankelijk van elkaar.
• De predictor (= onafhankelijke variabele) is gemeten op
intervalniveau of het is een dichotome variabele.
• De fouten (of residuen) van de voorspelling die we maken
zijn normaal verdeeld met een gemiddelde van 0.
• De fouten (of residuen) van de voorspelling die we maken
zijn ongecorreleerd met elkaar.
172
Workshop Inductieve Statistiek
ENKELVOUDIGE REGRESSIE
y = 2 + 3x
173
Workshop Inductieve Statistiek
ENKELVOUDIGE REGRESSIE
20
d = 1.8
18
fuifsatisfactie
16
d = 2.1
14
d = 1.2
12
10
8
6
{
4
2
0
70
80
90
100
110
120
alcohol
𝑌𝑖 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖
174
Workshop Inductieve Statistiek
130
140
150
20
20
18
18
16
16
14
14
fuifsatisfactie
fuifsatisfactie
ENKELVOUDIGE REGRESSIE
12
10
8
6
10
8
6
4
4
2
2
0
0
70
80
90
100
110
120
130
alcohol
175
12
Workshop Inductieve Statistiek
140
150
70
80
90
100
110
alcohol
120
130
140
150
ENKELVOUDIGE REGRESSIE
Wanneer is het model “nuttig”?
𝑅² =
𝑆𝑆𝑀
𝑆𝑆𝑇
𝑀𝑆𝑀
𝐹=
𝑀𝑆𝑅
176
SSM

Verschil
regressiepredictie
vs gemiddelde
van Y
Variantie model
Variantie fouten (residuen)
Workshop Inductieve Statistiek
SST
Verschil
geobserveerde
scores vs
gemiddelde van Y
ENKELVOUDIGE REGRESSIE
Wanneer is de predictor “nuttig”?
𝑌𝑖 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖
als 𝑏1 > 0
𝑏𝑜𝑏𝑠 − 𝑏𝑒𝑥𝑝
𝑡=
𝑆𝐸𝑏
177
Workshop Inductieve Statistiek
ENKELVOUDIGE REGRESSIE
Normaliteit van residuen?
178
Workshop Inductieve Statistiek
ENKELVOUDIGE REGRESSIE
Autocorrelatie van residuen?
Durbin-Watson toets:
0
179
1
Workshop Inductieve Statistiek
2
3
4
ENKELVOUDIGE REGRESSIE
Outliers?
180
Workshop Inductieve Statistiek
ENKELVOUDIGE REGRESSIE
Outliers?  2 technieken:
1. Cook’s Distance: case > 1  outlier
2. Gestandaardiseerde residuen: |z| > 3 
outlier
181
Workshop Inductieve Statistiek
MEERVOUDIGE REGRESSIE
Voorwaarden
• De criteriumvariabele (= afhankelijke variabele) is gemeten op
intervalniveau.
• De observaties van de criteriumvariabele zijn onafhankelijk
van elkaar.
• De predictor (= onafhankelijke variabele) is gemeten op
intervalniveau of het is een dichotome variabele.
• De fouten (of residuen) van de voorspelling die we maken zijn
normaal verdeeld met een gemiddelde van 0.
• De fouten (of residuen) van de voorspelling die we maken zijn
ongecorreleerd met elkaar.
• De predictoren zijn lineair onafhankelijk van elkaar: er is geen
multicollineariteit.
182
Workshop Inductieve Statistiek
MEERVOUDIGE REGRESSIE
Uitbreiding van enkelvoudige regressie:
𝑌𝑖 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑋𝑖1 + 𝑏2 𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑋𝑛 + 𝜀𝑖
Of
𝑓𝑢𝑖𝑓𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑒𝑖 = 𝑏0 + 𝑏1𝑖 ∗ 𝑎𝑙𝑐 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑝𝑡𝑖𝑒𝑠𝑖 +𝑏2𝑖 ∗ 𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑎𝑎𝑛𝑤𝑒𝑧𝑖𝑔𝑒𝑛𝑖 + 𝜀𝑖
183
Workshop Inductieve Statistiek
MEERVOUDIGE REGRESSIE
184
Workshop Inductieve Statistiek
MEERVOUDIGE REGRESSIE
Hiërarchisch
(enter)
Stapsgewijs
185
• Onderzoeker kiest
• Bekende predictoren eerst
• Computer kiest
• Stepwise, forward: stapsgewijs toevoegen;
grootste correlatie eerst
• Backward: stapsgewijs verwijderen
Workshop Inductieve Statistiek
MEERVOUDIGE REGRESSIE
Multicollineariteit
Lineaire relatie tussen 2 of meer predictoren
2 problemen:
− Onnodige uitbreiding model
− Onbetrouwbare schatting b’s  minder snel sign.
186
Workshop Inductieve Statistiek
MEERVOUDIGE REGRESSIE
Detectie multicollineariteit:
Tolerance:
0
.20 .40 .60 .80
1
VIF (Variance Inflation factor) = 1 / Tolerance
0
187
Workshop Inductieve Statistiek
…
4
5
…
MEERVOUDIGE REGRESSIE
Een meervoudige regressieanalyse werd uitgevoerd met de fuifsatisfactie als criterium en het aantal
alcoholische consumpties, het aantal aanwezigen en het aantal vrienden als predictoren (model 1). Dit
model bleek significant, met R² = .46, F = 16.11, p < .001. Zoals aangegeven in Tabel 1 was het aantal
aanwezigen geen significante predictor. Deze predictor werd daarom niet opgenomen in model 2, dat
ook significant bleek met R² = .44, F = 22.09, p < .001. Van de resterende predictoren blijkt het aantal
aanwezige vrienden het meeste invloed uit te oefenen op de fuifsatisfactie.
Tabel 1: Resultaten enkelvoudige regressie met fuifsatisfactie als criterium en aantal alcoholische
consumpties als predictor.
B
SE B
11.08
.66
aantal consumpties
-.15
aantal aanwezigen
aantal vrienden
model 1
constante
β
t
.05
-.30
16.69**
*
-3.04**
.01
.00
.17
1.66
.24
.05
.50
4.93***
11.63
.59
-.15
.05
-.30
19.89**
*
-3.03**
.26
.05
.55
5.43***
model 2
constante
aantal consumpties
aantal vrienden
**p < .01, ***p < .001
188
Workshop Inductieve Statistiek
STRATEGIE
1. Analyseer de opgave
−
−
−
−
−
−
−
onderzoekseenheden?
AV? OV?
meetniveaus?
populaties?
afhankelijke steekproeven?
(non)parametrisch?
één/tweezijdig?
2. Verken de data
3. Kies de juiste toets
4. Rapporteer (relevante getallen, conclusie in termen van
onderzoeksvraag)
Hoofdstuk 9: Variabelen met gelijk
meetniveau
OEFENINGEN
Handboek
H10: 2 & 3
H11: 8 & 9