Meetkunde deel 1

1. Meetkunde deel 1
Meetkunde kan opgevat worden als een wiskundetheorie. Eerst worden er een aantal
begrippen waarvan er geen definitie wordt gegeven, aangenomen. Deze noemen we
grondbegrippen. Bij de begrippen horen meestal notaties en voorstellingen. De
grondbegrippen zijn onderworpen aan regels die niet bewezen worden. Het zijn de axioma's
of grondstellingen. Axioma's moeten voldoen aan eisen. De axioma's van een theorie mogen
bijvoorbeeld niet strijdig zijn. Het kan immers niet dat een uitspraak en haar negatie beide
waar zouden zijn. Het is ook wenselijk dat de axioma's onderling onafhankelijk zijn. Er
kunnen axioma's worden toegevoegd om de theorie te verfijnen. "Nieuwe begrippen kunnen
gedefinieerd worden door ze equivalent te verklaren met goed omschreven uitspraken met
behulp van vorige begrippen. Nieuwe eigenschappen of stellingen moeten bewezen worden
door te steunen op voorafgaande stellingen. In wat volgt wordt de vlakke meetkunde op die
manier opgebouwd. In een bewijs mogen enkel de voorgaande elementen uit de theorie
voorkomen. Deze opbouw krijgt de naam "synthetische meetkunde". Bij het leren van
meetkunde wordt de logische opbouw van de meetkunde soms doorbroken omdat menig
gebruiker geen boodschap heeft aan de theoretische benadering van meetkunde. Een
zuivere logisch-deductieve opbouw zorgt voor een zeer logge theorie. Ook in deze cursus
zullen een aantal begrippen op een intuïtieve wijze worden aangenomen. In de praktijk
primeert toepassing op theorie.
Dat meetkunde enkel een theorie zou zijn, doet afbreuk aan het nut van de meetkunde.
Meetkunde wordt in het dagelijks leven toegepast en daarin wordt meetkunde geassocieerd
met meten. Meten van een grootheid is deze vergelijken met een gelijksoortige grootheid.
Daarvoor zijn er standaard eenheden in het leven geroepen. Uiteraard zijn er getallen nodig
om de maatgetallen aan te geven. Naast het decimaal systeem werkt men ook nog met een
zestigdelig syteem voor de hoekmaten. De getallenstructuren worden gebruikt om te
rekenen met de maatgetallen.
Meetkunde betekent ook schetsen, tekenen en construeren. Een tekening zegt soms zoveel
meer dan woorden, bewijzen en berekeningen. Een plannetje maakt zoveel duidelijk.
Tekenen krijgt dan ook voldoende aandacht in een meetkundecursus. Toch kan een tekening
ook misleidend werken. Ook daar wordt aandacht aan besteed.
1.1.
Inleidende begrippen
1.1.1. Grondbegrippen.
De grondbegrippen van de vlakke meetkunde zijn: vlak, punt, rechte. De meetkunde wordt
opgebouwd door relaties tussen deze grondbegrippen te beschrijven. Hiervoor maken we
gebruik van "ligt op" en "gaat door". Uiteraard speelt de logica mee en zullen de negaties
van deze uitdrukkingen handig worden gebruikt. Het vlak wordt voorgesteld door een blad
papier of door een beeldscherm. Een punt wordt voorgesteld door een stip en een rechte
wordt voorgesteld door een lijn getekend met een lineaal. Een punt wordt genoteerd met
een grote letter en een rechte met een kleine letter.
1.1.2. Axioma’s
Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten.
Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling van het vlak.
Axioma 3: Een rechte is bepaald door twee verschillende punten van het vlak.
Axioma 4: Er bestaan minstens vier punten waarvan er geen drie op een zelfde rechte liggen.
Merken we op dat de uitdrukkingen "een punt P ligt op een rechte a" en "een rechte a gaat
door een punt P" in elkaar overgaan als we "punt" vervangen door "rechte" en als we "gaat
door" vervangen door "ligt op". "Punt" en "rechte" zijn duale begrippen. Ook "ligt op" en
"gaat door" zijn duale begrippen in de vlakke meetkunde.
Drie punten die op een zelfde rechte liggen noemen we collineaire punten. Drie rechten die
door hetzelfde punt gaan noemen we concurrente rechten. Collineair en concurrent zijn
eveneens duale begrippen.
Om de onderlinge ligging van punten en rechten in het vlak te bestuderen zijn we
geïnteresseerd in de gemeenschappelijke elementen van verzamelingen.
Snijdende rechten zijn rechten met juist één gemeenschappelijk punt. Rechten die niet
snijdend zijn, noemen we parallelle of evenwijdige rechten.
Het vijfde axioma speelt hierin een cruciale rol.
Axioma 5: Door een punt gaat juist één rechte die evenwijdig is met een gegeven rechte. Dit
is het zogenaamde "parallellenpostulaat van Euclides".
1.1.3. Halfrechte, lijnstuk en afstand
Wat is een halfrechte?
Een rechte a wordt door elk van zijn punten A verdeeld in twee halfrechten namelijk a1=[AB
en a2=[AC. A noemt men de oorsprong, de rechte BC is de drager.
Notatie: [AB
Voorstelling:
a2
a1
Wat is een lijnstuk?
Een lijnstuk is een deel van een rechte begrensd door twee punten.
Notatie: [AB]
Voorstelling:
[AB]
Een lijnstuk kunnen we meten.
De afstand van A tot B is de lengte van het lijnstuk, genoteerd als |AB|. Soms gebruikt men
de afstandsfunctie: d(A,B). Een afstand is een positief reëel getal.
Een lengte wordt gemeten met lengtematen. Bijvoorbeeld: |AB|= 4 cm
4 is het maatgetal, cm is de maat.
Twee lijnstukken met dezelfde lengte noemen we even lang.
Merk op dat een lijnstuk geen begin- en eindpunt heeft.
(Vergelijk met een georiënteerd lijnstuk, verder in de cursus)
1.1.4. Hoek
Wat is een hoek?
Een hoek is de vereniging van twee halfrechten met dezelfde oorsprong.
Notatie: Â of BÂC of ∠ A
Een hoek wordt dikwijls met een Griekse letter aangegeven.
Voorstelling:
[AB en [AC zijn de benen van de hoek. A is het hoekpunt.
We duiden de hoek aan met een boogje. Een hoek heeft geen beginbeen en geen eindbeen.
(Vergelijk met een georiënteerde hoek, verder in de cursus)
Hoeken kunnen we meten.
Om hoeken te meten gebruiken we radialen. Dit is de standaardeenheid voor hoekmaten.
De radiaal wordt in de volgende paragraaf behandeld.
Een andere hoekmaat is de zestigdelige graad.
Bekijk dit als volgt:
Teken twee halfrechten met zelfde grenspunt die samen één rechte vormen.
Deze twee halfrechten vormen een hoek. We noemen dit een gestrekte hoek. Een gestrekte
hoek meet 180°.
De helft van een gestrekte hoek meet 90°. Een hoek van 90° noemen we een rechte hoek.
We zeggen dat de benen van deze hoek loodrecht op elkaar staan.
Teken een rechte hoek.
Als twee rechten een hoek van 90° maken, dan is de ene rechte loodrecht op de andere.
Het snijpunt van de twee rechten heet het voetpunt van de loodlijn.
Twee hoeken met dezelfde grootte noemen we even groot.
1.1.5. Cirkel
Wat is een cirkel?
De cirkel met middelpunt M en straal r (r>0) is de verzameling van alle punten die op een
afstand r van M gelegen zijn.
Notatie: c(M,r)
Voorstelling:
De cirkel c met middelpunt M en straal r.
De straal r is een positief reëel getal.
In een cirkel definiëren we nieuwe begrippen:
Wat is een middelpuntshoek?
Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek die het middelpunt van de cirkel als
hoekpunt heeft.
Wat is een omtrekshoek?
Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt en
waarvan beide benen de cirkel snijden.
Wat is een middellijn?
Een middellijn is een rechte door het middelpunt van de cirkel.
Wat is een koorde?
Een koorde is een lijnstuk dat begrensd wordt door twee punten van de cirkel.
Wat is een boog?
Een boog is een deel van een cirkel.
De grootte van een boog kan op twee manieren worden uitgedrukt:
-
als middelpuntshoek
als lengte
Als van de beide uiteinden van de boog een lijn wordt getrokken naar het middelpunt van de
bijbehorende cirkel, is de hoek tussen deze twee lijnen de middelpuntshoek. De grootte van
de boog kan worden uitgedrukt in deze hoek (bijv. 60°).
Dit zegt niets over de werkelijke lengte. Als men de booglengte wil weten, vermenigvuldigt
men de straal r van de cirkel met de middelpuntshoek θ (uitgedrukt in rad).
vb. de booglengte op straal 1 cm over π radialen, is 1 cm × π
Deze formule in de hoekeenheid graad (°):
vb. de booglengte op straal 1 cm over 180°, is 2π × 1 cm × (180°/360°)
1
Wat is een straal?
Een straal is een lijnstuk met als grenspunten het middelpunt van de cirkel en een punt op
die cirkel.
Wat is de straal?
De straal van de cirkel is de afstand van het middelpunt van de cirkel tot een punt op de
cirkel.
1
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/Boog-en-middelpuntshoek-cirkel.png
Wat is een diameter?
Een diameter van een cirkel is een koorde van een cirkel die door het middelpunt van die
cirkel gaat.
Wat is de diameter?
De diameter van de cirkel is de afstand van de koorde van de cirkel die door het middelpunt
van de cirkel gaat.
Hoeveel is de omtrek van de cirkel met straal r?
Omtrek cirkel: 2πr
Het binnengebied van de cirkel noemen we de cirkelschijf.
De cirkelschijf heeft een oppervlakte. We spreken kortweg van de oppervlakte van de cirkel.
Hoeveel is de oppervlakte van de cirkel met straal r?
Oppervlakte cirkel: πr²