Afgeleiden

Formularium voor afgeleiden
1. Definitie en betekenis van de afgeleide :
f (a + h) − f (a )
f’(a) = lim
h→0
h
f ( x) − f (a)
= lim
x→a
x−a
= de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de functie
y = f(x) in het punt P(a,f(a))
= tan α , waarbij α de hoek is tussen de x-as en de raaklijn
 df 
Notaties. f’(a) , D(f)x=a en  
 dx  x = a
df
∆y
= lim
.
x
∆
→
0
dx
∆x
De vergelijking van de raaklijn in het punt P(a,f(a)) aan de grafiek van de
functie y = f(x) : y – f(a) = f’(a) (x-a).
De afgeleide functie : f’(x) = Df(x) =
2. Rekenregels
Dc = 0 (c is een constante functie)
Dx = 1
D(ax+b) = a
D xn = n.xn-1 , n є q
1
1
D( ) = −
x
x²
1
D( x ) =
2 x
D(f+g) = Df + Dg
D(c.f) = c.Df (c is een constante)
Lineariteit : D(k.f + l.g) = k.Df + l.Dg (k en l constanten)
D(f.g) = Df.g + f.Dg en D(f.g.h) = Df.g.h + f.Dg.h + f.g.Dh
f
g .Df − f .Dg
D( ) =
g
g²
1
− Df
D( ) =
f
f²
Kettingregel : [g(f(x))]’ = g’(f(x)).f ’(x)
Andere vormen :
D(f◦u) = D(f(u)).D(u(x)) met u = u(x)
d ( f o u ) df du
=
.
dx
du dx
Du
Toepassingen . D(un) = n.un-1.Du en D( u ) =
2 u
Formularium voor afgeleiden – dr. Luc Gheysens – blz. 1
Afgeleide van de inverse functie : D[f -1(y)] =
Andere vorm :
1
met y = f(x) .
D[ f ( x)]
dy
1
=
dx
dx
dy
1
D(sin x) = cos x
D(Bgsin x) = D(arcsin x) =
D(cos x) = − sin x
D(Bgcos x) = D(arccos x) = −
1
= sec² x
cos ² x
1
D(cot x) = −
= − cosec² x
sin ² x
1
1 + x²
1
D(Bgcot x) = D(arccot x) = −
1 + x²
D(tan x) =
D(ln x) =
D(Bgtan x) = D(arctan x) =
1
x
D(loga x) =
1
x. ln a
D(ex) = ex
D(ax) = ax.ln a
D(sinh x) = cosh x
D(cosh x) = sinh x
1
D(tanh x) =
cosh ² x
Logaritmisch afleiden
D(uv) = u v .( Dv. ln u + v.
Du
)
u
3. Toepassing uit de fysica
s(t) = de afgelegde weg s in functie van de tijd t
v(t) = de snelheid v in functie van de tijd t
a(t) = de versnelling a in functie van de tijd t
Formules : v(t ) =
ds
dv d ² s
=
en a (t ) =
.
dt
dt dt ²
Formularium voor afgeleiden – dr. Luc Gheysens – blz. 2
1 − x²
1
1 − x²