Pythagoras ±600

0
• Wiskunde kan helpen begrijpen hoe de
wereld in elkaar zit.
• Wiskunde schept orde in de chaos van de
wereld.
• Wiskunde heb je nodig voor het vinden van
grondbeginselen.
1
Pythagoras
±600-500 v Chr.
man met tulband, misschien Pythagoras. Sculptuur uit de 4e of 5e eeuw v. Chr.
2
3
• Hoe zit de wereld in elkaar?
• Welke eeuwige wetten liggen eraan ten
grondslag?
• Wat is de plaats van de mens in het heelal?
• Hoe moet je leven?
• Wat is de essentie van alles?
4
De volmaakte driehoek
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1+2+3+4 = 10 (driehoekig getal)
5
Vierkante getallen
•
•
4
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
9
•
•
•
•
(square numbers)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
16
6
De mooie getallen 16 en 18
4
4
Omtrek: 4+4+4+4 = 16
Oppervlakte: 4.4= 16
3
3
3
Omtrek: 3+3+3+3+3+3 = 18
Oppervlakte = 3.3.2 =
18
7
8
Procedure van de Pythagoreeërs om de grootste
gemeenschappelijke deler te vinden
•
•
•
•
•
•
Neem beide getallen.
Trek het kleinste getal af van het grootste getal
Ga verder met het antwoord en het kleinste
Trek weer het kleinste getal af van het grootste
ga net zo lang door tot je twee dezelfde getallen hebt.
Dat is de ggd
9
• Elk paar gehele getallen heeft een ggd
• 25 en 20
• 4 en 3
• 127 en 126
• Je kan dus altijd de ggd vinden van een paar
gehele getallen.
10
Conclusie
• Met gehele getallen en breuken hebben we
oneindig veel getallen op de positieve
getallenlijn
•
Daarmee hebben we alle positieve getallen
die er zijn.
toch?
11
12
Bij opdracht 4
|AB| en |BE|
(Zijden van ∆BEA)
De kleinste van de grootste aftrekken geeft: |BE| -|AB| = |BE|-|BC’|=|EC’|
We hebben dan nu als getallen:
Of (omdat |EC’| = |BD’|) :
Of (omdat ook |AB| = |BC’|):
|EC’| en |AB|
|BD’| en |AB|
|BD’| en |BC’|
(zijden van ∆ABD’)
Nog een keer de kleinste van de grootste aftrekken geeft:
|BC’|- |BD’| = |C’D’|
Dus we hebben nu als getallen |C’D’| en |BD’|
Of (omdat |BD’| = |B’D’|):
|C’D’| en |B’D’|
(zijden van ∆D’B’C’)
13
Hints bij opdracht 5
• Gebruik de gelijkvormigheid van de
driehoeken (∆BEA ~∆ABD’) en gebruik de
congruentie van driehoeken. Daardoor zijn
veel zijdes even lang.
• Kies bijvoorbeeld |AB| = 1 en |BE|=x en druk
andere zijden uit in x.
14