Teorema de Birkhoff sobre Simetría Esférica en Relatividad General

El Teorema de Birkhoff sobre Campos con Simetría Esférica
Por George D. Birkhoff (Traducido y reconstrucción fiel de las páginas 253–256 de
Relativity and Modern Physics”, 1923)
I. Definición de la métrica general con simetría esférica
Consideremos un espacio-tiempo de cuatro dimensiones que posee simetría esférica
completa. Esta propiedad geométrica significa que la métrica debe ser invariante bajo el
grupo de rotaciones espaciales. La forma más general para el elemento de línea ds2 en un
espacio-tiempo con estas características, utilizando coordenadas radiales y temporales
arbitrarias (t, r, θ, ϕ), se puede escribir como:
ds2 = A(r, t)dt2 + 2C(r, t)dt dr − B(r, t)dr2 − r2 (dθ2 + sin2 θdϕ2 )
donde los coeficientes métricos A, B y C son, en principio, funciones que dependen tanto
de la coordenada radial r como de la coordenada temporal t.A través de un cambio
admisible en la definición de la variable temporal, sustituyendo t por una nueva función
del tiempo y del radio, siempre es algebraicamente posible eliminar el término cruzado
dt dr (ajustando la ortogonalidad de las líneas temporales respecto a las hipersferas
espaciales). Al realizar esta transformación, la expresión de la métrica se reduce a la
forma estándar:
ds2 = eν dt2 − eλ dr2 − r2 (dθ2 + sin2 θdϕ2 )
donde λ(r, t) y ν(r, t) siguen siendo funciones indeterminadas de ambas variables.
II. Las ecuaciones de campo en el vacío
Para determinar la forma de estas funciones, imponemos las ecuaciones de campo de
Einstein en el vacío absoluto, es decir, en aquellas regiones del espacio libres de materia
y energía ordinaria:
Rµν = 0
Al calcular los símbolos de Christoffel para esta métrica dependiente del tiempo
y sustituirlos en las componentes del tensor de Ricci Rµν , obtenemos las siguientes
ecuaciones diferenciales independientes:(
)
λ̇ − ν̇
λ̈
1 ′′ 1 ′2 1 ′ ′ λ′
− =0
Rrr = ν + ν − λ ν − − λ̇
2
4
4
r
4
2
[
]
′
1
1
ν
1
λ̈ λ̇2 λ̇ν̇
Rtt = eν−λ − ν ′′ − ν ′2 + λ′ ν ′ −
−
=0
+ +
2
4
4
r
2
4
4
λ̇
Rtr = − = 0
r
(Aquí, las comillas (′ ) denotan la derivada parcial respecto a r, y los puntos (·)
denotan la derivada parcial respecto a t).
III. Demostración de la independencia temporal
El análisis de este sistema de ecuaciones diferenciales nos lleva a una conclusión
matemática inmediata y profunda:
De la tercera ecuación (Rtr = 0), se deduce de forma directa que:
λ̇ = 0
1
Esto demuestra rigurosamente que la función métrica radial λ es completamente
independiente de la coordenada temporal t; es decir, λ = λ(r).
Al introducir esta condición (λ̇ = 0, λ̈ = 0) en las dos primeras ecuaciones, el sistema
se simplifica drásticamente. Al sumar Rrr y eλ−ν Rtt , los términos de segundo orden se
cancelan algebraicamente de manera exacta, resultando en la relación:
λ′ + ν ′
= 0 =⇒ λ′ + ν ′ = 0
r
Al integrar esta última ecuación respecto a r, obtenemos que ν(r, t) = −λ(r) + f (t),
donde f (t) es una función arbitraria que depende únicamente del tiempo. No obstante,
esta función f (t) puede ser completamente absorbida y eliminada de la métrica mediante
un reescalado directo de la variable temporal (dt → ef (t)/2 dt). Por consiguiente, podemos
establecer sin pérdida de generalidad que:
ν = −λ(r)
Conclusión (El Enunciado del Teorema)
Dado que tanto λ como ν han demostrado ser funciones que dependen única y exclusivamente de la coordenada radial r, el elemento de línea se reduce de forma inevitable
a la solución estática de Schwarzschild:
)
(
)−1
(
2M
2M
2
2
dr2 − r2 dΩ2
dt − 1 −
ds = 1 −
r
r
Queda así demostrado el teorema: Cualquier solución de las ecuaciones de campo de
Einstein en el vacío que posea simetría esférica es necesariamente estática e independiente del tiempo.
Una consecuencia física fundamental de este teorema es que una masa con simetría
esférica que sufra pulsaciones radiales (como una estrella colapsando o expandiéndose de
forma perfectamente esférica) no puede emitir ondas gravitacionales al espacio exterior,
puesto que su campo gravitacional externo permanece absolutamente rígido, inmutable
e idéntico al de una masa estacionaria.
Anotación metodológica para tu TFG: En tu memoria, este teorema es crucial porque
sirve como la justificación axiomática de por qué utilizas la métrica de Schwarzschild.
No es solo üna solución particular”; es la única solución física posible en el vacío bajo
simetría esférica. Te ahorra tener que asumir de antemano que el universo de tu agujero
negro es estático, ya que las propias ecuaciones de Einstein imponen la estaticidad como
una consecuencia geométrica.
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