Optische bundels en caviteiten

Hoofdstuk 3............................................................................................................................1
De bundelstructuur van de laser..................................................................................1
Inleiding ......................................................................................................................................... 1
A. Longitudinale modes.................................................................................................................... 1
B. De atomaire energiesprong.......................................................................................................... 4
a) De homogene (of "natuurlijke") lijnverbreding......................................................................................... 4
b) Inhomogene lijnverbreding ....................................................................................................................... 6
c) Opmerkingen ........................................................................................................................................... 11
C. De monochromatische laser ...................................................................................................... 13
a) Inleiding................................................................................................................................................... 13
b) Technieken voor monochromatische lasers............................................................................................. 13
c) Stabilisatie van de frequentie................................................................................................................... 15
D. Modekoppeling........................................................................................................................... 17
E. Spiegelsystemen voor lasers: stabiliteit en caviteitsstructuren............................................... 18
a) Inleiding................................................................................................................................................... 18
b) Stabiliteit van een spiegelsysteem ........................................................................................................... 18
F. De Gaussische bundel als eigenmode van de spiegelcaviteit................................................... 27
a) Afleiding en eigenschappen..................................................................................................................... 27
Wiskundige aanpak ........................................................................................................................ 31
Enkele simulaties:....................................................................................................................33
A. Zwevingen tussen 5 modes ..................................................................................................................... 33
B. Zwevingen tussen 9 modes ..................................................................................................................... 34
Appendix 3.B: Matrixvoorstelling van spiegel- en lenzensystemen ......................................36
3B.1 Equivalentie spiegel-lens........................................................................................................ 36
3B.2 Matrixtheorie voor de geometrische stralenoptiek ............................................................. 37
a) Eenvoudige lens....................................................................................................................................... 37
b) Een "lege ruimte" .................................................................................................................................... 38
c) Combinatie "lens + ruimte" ..................................................................................................................... 39
d) Eén rondgang door de caviteit: "lens1-ruimte-lens2-ruimte" .................................................................. 39
Hoofdstuk 3
De bundelstructuur van de laser
Inleiding
We beginnen dit hoofdstuk met een nadere kijk op het mechanisme van de
terugkoppeling in een laser en de veldverdeling, als een som van eenheidsveld–
verdelingen (modes), die in een optische (open) caviteit te verwachten is. Een
belangrijk onderscheid moet gemaakt worden tussen de longitudinale en
transversale modestructuren. Verderop zullen we dan deze veldverdelingen
detailleren.
A. Longitudinale modes
Uit de elektronica haalden we het idee om een versterker om te zetten in een
oscillator door positieve terugkoppeling. De zeer-hoogfrequenttechniek
(microgolven) brengt ons een tweede, interessante suggestie: het spiegelsysteem
dat het actief midden omgeeft, kan aangezien worden als een trilholte (caviteit),
zij het in ons geval met grote zijdelingse openingen.
Geheel algemeen is het aantal resonanties of eigenfrequenties van een trilholte
V
bij benadering gelijk aan 3 waarin V het volume is van die trilholte en λ de
λ
golflengte van de hoogste toegelaten frequentie. Voor een gewone He-Ne laser
met dwarsdoorsnede 1 mm2, lengte 50 cm en λ = 0,6 μm geeft dit als ordegrootte:
V
λ3
≈
500mm3
10
modes
3
−9
3 = 250.10
(0,6) .10 mm
(3-1)
De meeste van die modes hebben echter veldverdelingen waarvoor
weerkaatsingen nodig zijn op alle wanden van de caviteit. De langwerpige vorm
van de laserstructuur en het ontbreken van spiegelende zijwanden beperkt
drastisch het aantal modes dat over een redelijke kwaliteitsfactor beschikt. Ook
het zeer beperkte golflengtegebied waarin optische versterking mogelijk is en het
feit dat de diëlectrische spiegels zich maar in beperkt golflengtegebied als een
spiegel gedragen (zie vorig hoofdstuk) maakt dat er uiteindelijk zeer weinig
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 1
modes effectief zullen optreden.
Wij kunnen de modes, die geen zijdelingse terugkoppeling nodig hebben (en dus
ook geen spiegelende zijwanden), gemakkelijk vinden door de bedenking te
maken dat de terugkoppeling van het spiegelsysteem positief zal zijn telkens een
volledige rondgang tussen de spiegels een geheel aantal golflengten in beslag
neemt1. Beperken we ons hierbij even tot vlakke golven.
Noemen we L de lengte van de laser, meer bepaald de optische weglengte tussen
de twee spiegels2, dan treedt een resonantie op telkens
L = n.
λ0
2
(3-2)
Hierin is n een geheel getal [niet te verwarren met het symbool voor de
brekingsindex] en λ 0 is de golflengte van het licht in vacuüm.
Omdat de lichtsnelheid c = υ 0 . λ 0
geldt dus voor de toegelaten frequenties
υ n = n.
c
2L
(3-3)
De resonanties vormen een kamspectrum3 met frequentieafstand
Δυ =
c
2L
(3-4)
Dit zijn de zgn. "longitudinale" modes van de lasercaviteit.
Voorbeeld: Voor een spiegelafstand L = 1 m geeft deze formule : c/2L = 150 MHz.
Om de 150 MHz kan er dus een theoretisch een resonantiefrequentie gevonden
worden.
Zoals al herhaaldelijk gesteld, hangen de effectief optredende frequenties af van
1
2
3
Strict genomen geldt de voorwaarde slechts voor vlakke golven. We zullen ze later in
termen van een cumulatieve faseverschuiving moeten preciseren omdat echte
laserbundels vrij sterk afwijken van vlakke golven.
De optische weglengte, in tegenstelling tot de fysische weglengte, is bij definitie de
lengte in het vacuüm die door het licht doorlopen wordt in dezelfde tijd als de fysische
weglengte. Voor een midden met homogene brekingsindex n is de optische weglengte
gelijk aan n x (fysische weglengte).
De resonanties ("tanden van de kam") zijn echter niet oneindig smal; hun breedte wordt
bepaald door de optische kwaliteitsfactor (zie verder).
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 2
het samenspel tussen caviteitseigenschappen en versterking.
Bijvoorbeeld, indien de inversie van het atomaire systeem versterking produceert
over een brede frequentieband (relatief t.o.v. c/2L), dan kunnen een groot aantal
modes energie ontvangen.
Of ze ook gelijktijdig kunnen oscilleren, is een andere vraag!
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 3
B. De atomaire energiesprong
Theoretisch is een atomaire energiesprong oneindig scherp, althans voor een
geïsoleerd atoom - wat natuurlijk in een laser niet het geval is4. Lijn-verbreding
(5) kan te wijten zijn aan diverse oorzaken. Wij moeten onderscheid maken
tussen twee fundamenteel verschillende mechanismen: homogene en inhomogene
verbreding. In het eerste geval zal alleen die mode tot oscillatie komen, die het
dichtst bij het centrum van de lijn ligt. Bij inhomogene lijnverbreding echter,
kunnen een groot aantal modes gelijktijdig oscilleren.
a) De homogene (of "natuurlijke") lijnverbreding
We zullen de begrippen toelichten aan de hand van de He-Ne laser. Het neongas
wordt, door tussenkomst van geëxciteerde heliumatomen, tot inversie gebracht.
De leeftijd (= gemiddelde verblijftijd) van de neon-atomen in de bovenste
energietoestand is van de orde van 10-9 sec (6). Deze korte leeftijd impliceert dat
de beschouwde energiesprong een bandbreedte heeft van de orde van het inverse
van die tijd, dus zowat 100 MHz. Men noemt dit de "natuurlijke" lijnverbreding.
Onderstel dat we een zuiver monochromatische teststraal sturen door het
geëxciteerde neongas. In functie van de frequentie van het licht zetten we de
absorptie of – vermits het midden inversie vertoont– de versterking uit. Het
resultaat is een kromme, in dit geval een LORENTZ profiel (fig. 3.1) waarvan de
genormaliseerde vergelijking luidt :
1
1
g (υ)=
.
(3-5)
π.Δ υ 1+ [ υ − υ0 ]2
Δυ
4
5
6
Dit komt wel voor bij atoomklokken op basis van strontium, maar die dienen niet om
laserenergie op te wekken!
Het begrip lijnverbreding komt uit de spectroscopie: een spectrum uit zich als een aantal
lijnen op een scherm (filmplaat, lineaire CCD camera). Dit is een gevolg van de
constructie van de spectroscoop, die aan zijn in- en uitgang een smalle spleet heeft.
Binnenin zit er een prisma of een raster dat het licht van verschillende golflengten ook
verschillende richtingen uit stuurt. Licht dat een zekere bandbreedte heeft, wordt
waargenomen als een streep met een zekere dikte. Bandbreedte en lijnbreedte zijn dus
synoniem. Indien men de nadruk wil leggen op het feit dat een lijn door een of andere
oorzaak niet oneindig fijn is, spreekt men van "lijnverbreding".
Deze leeftijd is voor de gebruikelijke drukwaarden (1 Torr) nagenoeg omgekeerd
evenredig met de druk van het gas.
Zie. P.W. Smith, "Mode selection in lasers", Proc. IEEE 60, 422 (April 1972).AANVULLE
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 4
1
2Δν
0
I
ν0
Fig. 3-1:
ν
De genormaliseerde versterking van een atomaire energieovergang
(Lorentzkurve)
Dit verloop is precies hetzelfde als bij de resonantiekromme van een
elektronische L-C trilkring met resonantiefrequentie νo en 3 db bandbreedte
gelijk aan 2 Δν.
De kromme van fig. 3.1 geeft de probabiliteit aan, dat een atoom zou
aangesproken worden door de straling. Voor een gegeven monochromatisch licht
is deze probabiliteit dezelfde voor alle atomen; vandaar de naam "homogene"
lijnverbreding.
Laten we even aannemen dat de zopas besproken "natuurlijke" lijn-verbreding de
enige is die tussenkomt. Dit vereist o.m. stilstaande atomen.
We gaan nu na of er al dan niet meerdere longitudinale modes gelijktijdig
kunnen oscilleren. Om dit te weten te komen, vergelijken we de verliezen van de
modes met de beschikbare versterking.
Het spectrum van de modes is discreet omwille van de caviteit: op afstanden c/2L
treffen we resonanties aan. Onderstel dat we L voldoende groot maken om
2.Δ υ
meerdere modes binnen één homogene lijn te krijgen. De relatieve breedte
υO
van de lijn is uiterst klein (100 MHz : 5 THz = 0,2. 10-6), zodat we mogen
aannemen dat alle modes die binnen de lijn vallen, dezelfde verliezen hebben. We
zetten deze verliezen uit in het diagram dat de versterking geeft in functie van de
frequentie (fig. 3-2).
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 5
Versterking
niveau van de
verliezen
c/2L
ν
νo
Fig. 3-2: Lorentz profiel voor verschillende waarden van de inversie. De
resonanties van de modes liggen op afstanden c/2L. Zodra de
verliezen van één mode gedekt zijn door de versterking, begint
ze te oscilleren.
Laten we nu de inversie geleidelijk opvoeren vanaf nul. De kromme van de
versterking stijgt. Haar LORENTZ karakter en haar bandbreedte blijven
behouden. Op een gegeven ogenblik zullen voor de mode, die het dichtst bij het
maximum van de lijn ligt, de verliezen gedekt worden door de versterking.
Oscillatie vangt aan op die frequentie (fig. 3-2). Deze oscillatie spreekt alle
atomen aan op dezelfde wijze.
Indien wij trachten de inversie nog verder op te voeren, zal de amplitude van de
oscillatie stijgen, bij zover dat de beschikbare atomen gestimuleerd worden hun
energie af te staan aan die ene oscillatie. De vorm van de kromme ligt vast. Een
van haar punten kan niet verder stijgen. Dus ligt de ganse kromme vast. Geen
enkele andere mode krijgt gelegenheid tot oscilleren. De laserwerking is
monochromatisch.
Tengevolge van de thermische agitatie (bewegende atomen) is dit echter een vrij
theoretische situatie (zie volgende paragraaf).
b) Inhomogene lijnverbreding
Het neongas wordt door de thermische agitatie voortdurend in beweging
gehouden en dit geeft aanleiding tot inhomogene lijnverbreding.
Immers, de snelheid van de atomen op microscopische schaal is van de orde van
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 6
1 km/s bij kamertemperatuur7. Wanneer een elektron in een bewegend atoom
een energiesprong maakt en een foton afgeeft, zal dit foton van het atoom een
zekere hoeveelheid van beweging (momentum ) meekrijgen, waardoor zijn
golflengte λ krachtens de wet van DE BROGLIE :
λ=
h
p
(3-6)
gewijzigd wordt. Men kan dit verschijnsel op zeer eenvoudige wijze verklaren
door het als een DOPPLER effect te beschouwen. Een stilstaande waarnemer zal
het uitgezonden foton observeren bij een frequentie υ O − Δυ
met
Δυ =
vz
.υ
c o
(3-7)
Hierin is vz de componente van de snelheid van het atoom in de richting z, weg
van de waarnemer.
Omgekeerd, een atoom dat beweegt in de z-richting met een snelheid vz (positief
of negatief), zal licht met frequentie ν dat zich in de positieve z-richting
voortplant, "waarnemen" alsof het een frequentie had gegeven door:
υ door atoom waargenomen = υ − Δ υ = υ −
vz
v
. υ = υ.(1− z )
c
c
(3-8)
Voor het mechanisme van de gestimuleerde emissie is dit verschijnsel zeer
belangrijk, want de atomen in de plasmabuis van een gaslaser bewegen zich in
allerlei richtingen. Sommige atomen gaan het licht tegemoet en zij nemen dit
licht waar alsof het een hogere frequentie had. Andere gaan met het licht mee en
"voelen" een verlaagde frequentie.
De frequenties waaraan een atoom zijn energie wil afstaan, worden door de
beweging niet gewijzigd: het atoom voert met zich de hogervermelde Lorentz
distributie mee en het laat zich volgens deze distributie aanspreken. Wij
bevinden ons echter niet in het referentieframe van het atoom. Als stilstaande
waarnemer zien wij de invloed van het DOPPLER effect.
7
G.François, "De Laser en zijn toepassingen", cursusnota's KULeuven, appendix p.60
(1994)
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 7
Lagere lichtfrequenties die ver beneden het Lorentz profiel liggen, worden door
atomen die met voldoende snelheid naar het licht toe gaan, waargenomen bij de
resonantiefrequentie υo van die atomen, zodat zij die atomen toch kunnen
stimuleren. Eveneens kunnen hogere frequenties atomen aanspreken, die
toevallig tegen de juiste snelheid met het licht mee bewegen.
De snelheidsverdeling van de atomen in één welbepaalde richting (bv. in de
richting van een lichtstraal die we door het actief midden laten schijnen) is
Gaussisch. Hieruit volgt dat ook de lijnverbreding te wijten aan het DOPPLER
effect een Gaussisch profiel krijgt :
g( υ )=
⎡ υ−υ0 ⎤ 2
⎥
Δυ ⎦
−⎢
1
.e ⎣
π .Δυ
waarbij
Δυ =
υ 0 2kT
m
c
(3-9)
(3-10)
en
k = de constante van Boltzmann
= 1,38 x 10-23 J/K
T = absolute temperatuur in K
m = massa van een bewegend atoom (kg)
Het centrum van de Doppler-verbrede lijn valt samen met de eigenfrequentie van
het atoom. De breedte van de lijn, gedefinieerd als de frequentieafwijking waarbij
haar waarde nog slechts de helft bedraagt van deze in het centrum, is gegeven
door :
2( υ − υ 0 ) = 2 ln 2 .Δυ
(3-11)
of
2( υ − υ 0 ) = 2 ln 2
υ0 2kT
c
m
Voor de He-Ne laser (bv. het isotoop Ne20) met λ = 0,6 μm geeft dit bij
(3-12)
kamertemperatuur :
2( υ − υ 0 ) = 2 ln 2
5.1014
3.108
2. 1,38.10 -23 . 300
20 .1,67.10 -27
= 2.( 700 MHz)
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 8
Bij de normale bedrijfstemperatuur is de lijnbreedte iets groter, nl. 1700 MHz.
De DOPPLER lijnverbreding, in tegenstelling tot de natuurlijke lijnbreedte, is
inhomogeen. Dit volgt uit het mechanisme dat aan haar basis ligt: een bepaalde,
monochromatische lichtstraal spreekt alleen die atomen aan, waarvan de
snelheid toevallig binnen bepaalde nauwe grenzen ligt. De andere atomen blijven
onaangeroerd, wat meteen betekent dat zij hun energie aan andere
lichtfrequenties, dus voor andere modes (als die er zijn) kunnen afstaan.
Onderstel nu dat we opnieuw de versterkingscurve van het gas als functie van de
frequentie willen opnemen ditmaal rekening houdend met de Doppler
verbreding. De schaal van de frequenties is nu verschillend – steeds in het geval
van de He-Ne laser – vermits de Doppler kurve zowat 15 maal breder uitvalt dan
de Lorentz kurve. Het blijft wel waar dat alle modes nagenoeg gelijke verliezen
ondergaan. We verhogen geleidelijk opnieuw de inversie. De mode die het dichtst
bij het midden van de Dopplerkurve ligt, begint op een gegeven ogenblik te
oscilleren. Zij put haar energie uit de atomen die in de z-richting nagenoeg
stilstaan. Haar oscillatie spreekt de andere atomen, die in de positieve of de
negatieve z-richting bewegen, niet aan. We verhogen nog de inversie. De
bevolking van stilstaande atomen kan niet toenemen. De oscillatie belet dit ('gain
saturation'). De bewegende atomen nemen echter wel in aantal toe. Naburige
modes zien hun oscillatiedrempel overschreden worden en gaan op hun beurt de
verdere groei van de Doppler kurve lokaal beletten.
Uiteindelijk komen we tot een toestand waarin zowat alle modes die binnen de
Doppler curve liggen, tegelijkertijd oscilleren. Elke mode houdt de versterking bij
haar oscillatiefrequentie vast op het niveau van de verliezen.
Indien we nu met een uitwendige lichtbron de versterking van het actief midden
zouden opmeten in functie van de frequentie (zoals hoger bij de homogene
lijnverbreding), dan zouden we het Gaussisch profiel van de Doppler verbreding
niet meer terugvinden. In de plaats daarvan komt de kromme van fig. 3-3.
Men zegt dat er in het Doppler profiel "gaten gebrand werden" door de oscillaties.
De breedte en het verloop van elk "gat" stemt overeen met die van het Lorentz
profiel van de natuurlijke (homogene) verbreding.
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 9
Versterking
g (ν)
1700 MHz
niveau van de
verliezen
c/2L
c/2L
c/2L
c/2L
Fig. 3-3: Dopplerprofiel van de versterking van neongas waarin
laserwerking met vier longitudinale modes optreedt. Er zijn
8 gaten in "gebrand" .
Zoals de figuur aantoont, worden er door elke mode in feite twee gaten gebrand.
Deze liggen symmetrisch t.o.v. het midden van de Doppler lijn. Dit is een gevolg
van het "dubbel gebruik" van het actief midden door de laserstraal: de laserstraal
doorkruist het midden tweemaal : éénmaal van links naar rechts en éénmaal van
rechts naar links. De Doppler kromme is bij definitie het verloop van de
versterking die we meten wanneer we een monochromatische lichtstraal in één
richting (bv. van links naar rechts) door het actief midden sturen.
Onderstel dat de oscillatiefrequentie van de laser beneden het centrum van de
Doppler lijn ligt. Dan zal het laserlicht alleen die atomen aanspreken, die het
licht met verhoogde frequentie waarnemen, d.w.z. alleen atomen die het
laserlicht met een zekere snelheid tegemoet komen zullen gestimuleerd worden.
Er zijn echter twee groepen atomen waarvoor dit geldt: zij die voldoend snel naar
links toe gaan worden aangestoten door het laserlicht dat naar rechts gaat, en –
dit is belangrijk – ook de atomen die voldoend snel naar rechts gaan worden
aangesproken, ditmaal door het laserlicht dat terugkeert.
De monochromatische straal waarmee we de Doppler curve aftasten, zal het
ontbreken van de eerste groep atomen waarnemen als een "gat" dat gebrand
werd aan de zijde van de lage frequenties. De tweede groep atomen die ontbreekt,
zal met de teststraal meevliegen en dit wordt waargenomen als een "gat" aan de
zijde van de hoge frequenties, symmetrisch gelegen t.o.v. het eerste gat.
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 10
Kort samengevat: door het feit dat het laserlicht de caviteit in de beide richtingen
doorloopt, brandt elke lasermode niet één maar twee gaten in het Doppler profiel.
Ze put dus energie uit twee categorieën bewegende atomen.
c) Opmerkingen
1) Inhomogeen vs homogeen
De scheiding tussen homogene en inhomogene verbreding is niet zo scherp te
bepalen als men zou kunnen vermoeden uit wat vooraf gaat: atomen zitten niet
voor eeuwig vast in het vakje vz, vz + d vz. Door botsingen in het gas worden zij
weggeslagen naar andere "vakjes". De gemiddelde tijd tussen twee
opeenvolgende botsingen bepaalt de snelheid van de uitwisseling van energie
tussen de verschillende delen van de Doppler kurve. Indien deze uitwisseling
zeer snel plaats grijpt (veel botsingen) maakt zij de lijn homogeen!
Het criterium waarmee de tijd tussen twee botsingen moet beoordeeld worden, is
de verblijftijd van de atomen in het bovenste laserniveau. Indien de oscillatie de
atomen aanspreekt zodra ze beschikbaar gesteld worden, en nog voor ze de tijd
vinden een botsing te maken, dan is het midden inhomogeen verbreed en
meerdere oscillaties worden gelijktijdig gevoed. Ondergaan de atomen echter veel
botsingen vooraleer ze gestimuleerd worden om af te dalen (langere verblijfstijd
in het hoogste niveau), dan wordt de Gaussische snelheidsdistributie van de
atomen voortdurend hersteld en de lijn zal zich voordoen als homogeen
verbreed.
Voor de He-Ne laser geldt dit laatste niet8: de inhomogene lijnverbreding is de
belangrijkste en verschillende longitudinale modes zullen gelijktijdig optreden.
De totale lijnbreedte, tweemaal 850 MHz, laat toe dat, zelfs in kleine lasers
(minder dan 1 m lang) meerdere longitudinale modes gelijktijdig oscilleren.
Voorbeeld: in een He-Ne laser met lengte 70 cm komen zowat 6 à 7 modes
gelijktijdig op gang. (c/2L = 215 MHz).
8
Daarom namen wij deze laser als voorbeeld bij de uitleg van de inhomogene
lijnverbreding.
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 11
2) De LAMB dip
Korte tijd na de ontdekking van de HeNe laser toonde Willis E. Lamb Jr. (9) aan
dat in het midden van de Dopplerkurve van de versterking, bij een inhomogeen
verbrede laserlijn, een kleine "lokale inzinking" te verwachten was. Zonder op
alle details in te willen gaan, kunnen we toch aantonen waarom dit zo is.
Zoals hoger aangegeven put een lasermode energie uit twee categorieën van
bewegende atomen (één groep met snelheid v en één groep met snelheid -v).
Voor stilstaande atomen is er echter maar één groep met snelheid nul (de "gaten"
overlappen elkaar) en de oscillatie doet tweemaal beroep op dezelfde atomen. Ook
al zijn die stilstaande atomen het talrijkst, het resultaat is een lokaal minimum
in het verloop van het laservermogen in functie van de frequentie. M.a.w., het
vermogen van een laserlijn precies in het centrum van de Dopplercurve is lager
dan dat van een lijn die iets uit het midden oscilleert. Dit fenomeen noemt men
gewoonlijk de LAMB DIP.
1
Lamb
dip
0
Fig. 3-4:
9
De LAMB dip in de versterkingskurve van een Doppler
verbrede laserlijn
W.E.Lamb Jr., R. A. McFarlane and W. R. Bennett Jr., "Single Mode Tuning Dip in the
Power Output of an He-Ne Optical Maser," Appl. Phys. Lett. 2, 189-190 (1963).
W.E.Lamb Jr., "Theory of Optical Masers", Physical Review, 134, p. A1429-A1450, June
1964 [Reprinted in "Laser Theory", edited by F. S. Barnes (IEEE Press, New York, 1972),
pp. 219-240].
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 12
C. De monochromatische laser
a) Inleiding
De meervoudige oscillaties die we hoger gevonden hebben, doet afbreuk aan de
populaire voorstelling van de laser als de ideale monochromatische lichtbron.
Bovendien liggen opeenvolgende longitudinale modes in feite relatief dicht bij
elkaar, zodat zij twee per twee zwevingen met frequentie c/2L, 2c/2L, enz...
(grootteorde 100 MHz en veelvouden) gaan voortbrengen. Indien we de uitgang
van een gewone He-Ne laser met een fotocel (kwadratische detector) opnemen
en het frequentiespectrum van het resulterend signaal onderzoeken, krijgen we
veeleer de indruk een bron van (nauwbandige) ruis te bestuderen dan een
lichtbron met hoge coherentie!
De proef met de interferometer van Michelson geeft een analoog resultaat: de
interferentiestrepen van een He-Ne laser vervagen zodra het weglengteverschil
10 cm overtreft.
Vele toepassingen van de laser, in het bijzonder deze in de metrologie, vereisen
een grote coherentielengte. Om dat te bereiken en een echte monochromatische
laser te bouwen, moeten we door een of ander middel beletten dat meerdere
longitudinale modes gelijktijdig tot oscillatie zouden komen.
b) Technieken voor monochromatische lasers
1) Korte caviteiten
De meest voor-de-hand liggende methode is het drastisch verkorten van de
lasercaviteit. Indien we de spiegel-afstand verkleinen tot 15 cm of minder,
wordt de modeafstand c/2L zo groot (> 109 Hz), dat er maar één mode meer
onder de Doppler kurve valt. Het resultaat is verbluffend: de coherentielengte
springt van ≈ 10 cm omhoog naar een waarde die tientallen, zoniet honderden
meter bedraagt.
De laser straalt nu echt monochromatisch10 licht uit en hij kan aanzien
worden als een elektromagnetische oscillator met één optische frequentie.
Voor deze prestatie betalen we echter een prijs: niet alleen heeft de
10
Het monochrome karakter wordt nog wel beperkt door de Lorentzverbreding en de
kwaliteitsfactor van de caviteit (zie verder).
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 13
monochromatische laser, als gevolg van zijn beperkte lengte, een zeer kleine
versterking (ongeveer 1% van spiegel tot spiegel), maar hij heeft ook een klein
uitgangsvermogen, typisch 0,1 mWatt.
Wanneer men dit vermogen vergelijkt met dat van gewone He-Ne lasers, stelt
men vast dat het niet meer in verhouding is tot de lengte van de laser. Het
valt merkelijk lager uit. Het verschil ligt hierin dat de ene mode die tot
oscillatie komt, slechts een zeer klein deel van de Doppler verspreide atomen
aanspreekt. Dit is een mooie bevestiging van het inhomogeen karakter van de
Doppler verbreding.
2) Interferentiefilter
Het gebruik van een korte laser is niet de enige techniek om
monochromatisch licht voort te brengen. Andere methodes gebruiken een
lange laser met een interferentiefilter in de caviteit. Dit filter is niets
anders dan een paar spiegels die samen weer een korte lasercaviteit vormen
(fig. 3-5). Alleen de modes die gemeenschappelijk zijn aan de lange en de
korte caviteit11, kunnen tot oscillatie komen.
Fig. 3-5: Monochromatische laser met één lange en één korte caviteit.
Net zoals bij de korte lasers blijft het nuttig vermogen van deze opstellingen
beneden dat van gewone lasers met dezelfde lengte.
11
Om n x c/2L en n' x c/2L' precies gelijk te maken moet de lengte van één van beide
caviteiten variabel en instelbaar gemaakt worden. Dit kan door één van de spiegels op
piëzo-elementen te monteren en een terugkoppelmechanisme in te bouwen.
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 14
3) Gebruik van frequentiemodulatie
Wenst men toch te beschikken over het volle laservermogen, dan moet men op
een of andere wijze energie overhevelen van de flanken van de Doppler curve
naar het centrum. Dit kan gebeuren door gebruik te maken van een
frequentiemodulatiesysteem (12). Hierop ingaan zou ons te ver leiden, temeer
daar de korte laser, omwille van zijn eenvoud, in commerciële uitvoeringen
algemeen de voorkeur krijgt boven de meer ingewikkelde schema's.
c) Stabilisatie van de frequentie
1) grofregeling
Indien we geen voorzorgen nemen zal de lengte van een laser in bedrijf
langzaam driften, als gevolg van de thermische uitzetting van het frame dat
de spiegels draagt. Voor een aluminium frame en een spiegelafstand van
10 cm stemt een verlenging met één golflengte overeen met een
temperatuurstoename van 1,5 °C. Door gebruik te maken van een frame uit
invar13 of kwarts kan dit effect verkleind worden.
Een andere techniek bestaat erin compenserend te werken.
Men kan narekenen dat per graad Celsius een staaf van 10 cm invar
evenveel uitzet als 0,5 cm koper. Monteert men de spiegels zoals in fig. 3-6
dan compenseert de uitzetting van het invar deze van het koper en blijft de
spiegelafstand gelijk bij veranderlijke temperatuur.
spiegel
Cu
invar
Fig. 3-6: Uitzettingscompensatie om de spiegelafstand gelijk te houden
bij temperatuurswisselingen.
Men kan ook de elementen die de spiegelafstand bepalen, in een thermostatisch gecontroleerde oven onderbrengen. Dit heeft dan weer het nadeel dat
de laser bij het in bedrijf nemen een redelijk lange opwarmtijd vraagt.
12
13
S.E.Harris & O.P.McDuff, "F.M.Laser Oscillation", Appl.Phys.Letters, 5, p. 205, Nov.
1964.
S.E.Harris & R.Targ, "F.M.Oscillation of the He-Ne Laser", Appl.Phys.Letters, 5, p. 202,
Nov. 1964.
"Invar is basically steel with 36% nickel, and other smaller amounts of other elements for
machinability (and because a pure mixture is hard to obtain!)"
http://asuwlink.uwyo.edu/~metal/invar.html
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 15
2) Fijnregeling
In elk geval moet er een servomechanisme voorzien worden dat toelaat één
van de modes – in principe om het even welke – te fixeren ten opzichte van
het midden van de Doppler lijn. Vermits het niet mogelijk is een mechanisme
te bedenken dat stabiliserend werkt in de onmiddellijke omgeving van een
maximum, stellen de meeste constructeurs hun monochromatische lasers in
op één van de flanken van de Doppler kromme. Stabilisatie kan dan
gebaseerd zijn op vasthouden van het laservermogen op een bepaald
percentage van het maximum vermogen.
Andere constructeurs houden het bij een stabilisatie op de flank van de
"Lamb dip" (zie hoger).
Een zeer nauwkeurige stabilisatie kan bereikt worden als men de
voortgebrachte laserlijn – althans een gedeelte ervan – door een selectief
absorberende stof stuurt en de verzwakking ervan maximaliseert door de
frequentie van de invallende golf te wijzigen. Uiteraard heeft men hiervoor
een materiaal nodig met een sterke nauwbandige absorptie en dit bij een
frequentie die onder de Dopplerkurve (en bij voorkeur dicht bij het
maximum) van de laser valt14.
Een andere techniek bestaat erin gebruik te maken van twee isotopen van
neon (Ne20 en Ne22): de natuurlijke frequentie van de laserovergang is dan
lichtjes verschillend. Men kan een laser bouwen die gelijke hoeveelheden gas
van beide isotopen bevat en daarom op de gemiddelde frequentie (die
nauwkeurig bekend is) zal gaan werken.
Bij een gedetailleerde studie van de He-Ne laser (hoofdstuk 5 dat wegens
tijdsgebrek niet kan behandeld worden) zouden we nog een andere oplossing
ontmoeten (de H.P. Interferometer) die gebruik maakt van het Zeeman
effect. Hiermee kunnen twee laserfrequenties opgewekt worden die altijd
precies symmetrisch liggen (bv. νo+700 kHz en νo-700 kHz) tegenover de
gekende top van de Dopplerkurve.
14
Bij 633 nm biedt een iodium absorptiecel de hoogste precisie. In een vergelijkende test
vond men max. 12 kHz afwijking (2.5 delen op 1011 ) tussen verschillende, onafhankelijk
van elkaar gestabiliseerde lasers. De frequentie bij de top van de Dopplerkurve bedraagt
473 612 436.5 MHz. Dit komt overeen met een golflengte in vacuüm van : 632,990577 nm
(zie aanvullende teksten bij dit vak via http://kuleuven.be/optische_communicatie)
Bij de 3,39 μm lijn van de HeNe laser wordt een methaanabsorptiecel gebruikt. Hiermee
wordt de IR laserlijn precies op 88 376 182 599 937 Hz (d.i. ongeveer 88 THz) afgeregeld.
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 16
D. Modekoppeling
Het voorkomen van meerdere relatief dicht bij elkaar gelegen frequenties in een
laser kan effecten oproepen verwant aan het "aanzuigen" van elektronische
oscillatoren15. Dit fenomeen in lasers met meerdere longitudinale modes noemt
men modekoppeling.
De zwevingsfrequenties tussen naburige modes beantwoorden alle aan de
uitdrukking c/2L. De optische weglengte L verschilt echter (lichtjes) van mode tot
mode omdat het midden tussen de spiegels dispersief16 is. De brekingsindexen
van het gas en van de Brewster vensters hangen immers af van de golflengte.
Hoe weinig ze ook verlopen over de Doppler bandbreedte, toch volstaat dit om de
zwevingen tussen modes meerdere tientallen kHz uiteen te spreiden17.
Onder bepaalde omstandigheden kunnen de modes van de laser met elkaar
gekoppeld worden op zo'n wijze dat de opeenvolgende zwevingsfrequenties
onderling gelijk worden en in een vast faseverband staan. De samenstelling van
een aantal modes dat aan deze opgave voldoet, geeft, door interferentie, een
uitgangsignaal dat uit periodische pulsen bestaat18. De herhalingsfrequentie van
de pulsen is de (nu vaste) modeafstand c/2L. Alles doet zich voor alsof er binnen
de lasercaviteit een prop licht met een lengte (voor de He-Ne laser) van 20 cm
heen en weer kaatst. Telkens die prop aan de uitgangsspiegel verschijnt, komt er
uit de laser een lichtpuls. Hoe langer de laser, des te groter is de tijd tussen twee
pulsen. Hoe groter de lijnbreedte van de atomaire inversie, des te korter is de
puls. Op deze wijze worden bij kleurstof- en titanium-saffier lasers pulstijden
bekomen in het femtosecondengebied. Uit de Fourier-analyse weten we dat dit
soort korte pulsen zich dan in het frequentiedomein als een frequentiekam
voordoen waarin extreem hoge frequenties met een nog eindige energie-inhoud
kunnen gevonden worden. Met dergelijke kammen kan dan, door interferentie,
de (optische) frequentie van allerlei fysische verschijnselen gemeten worden,
zonder deze rechtstreeks te moeten tellen (wat nog steeds niet mogelijk is).19
15
16
17
18
19
Aanzuigen is de term die uitdrukt dat de normale frequentie van een oscillator door
externe omstandigheden gewijzigd wordt. In de elektronica uit zich dit door het feit dat
twee oscillatoren bij licht verschillende frequentie, die bv. uit eenzelfde voeding energie
krijgen, toch op dezelfde frequentie gaan oscilleren.
Dispersief betekent dat de brekingsindex varieert met de golflengte. In die zin zijn alle
bestaande materialen in meer of mindere mate dispersief.
Experimentele gegevens hierover vindt men in de practicumnota's over de Fabry Pérot
interferometer.
Dit is uitgewerkt in het appendix bij dit hoofdstuk.
Deze kam-meettechniek is het levenswerk van Th. Hänsch, Nobelprijswinnaar
Natuurkunde 2005. Op de webpagina's van zijn Max Planck instituut in Garching
(Duitsland) is hierover een schat aan informatie te vinden.
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 17
E. Spiegelsystemen voor lasers: stabiliteit en caviteitsstructuren
a) Inleiding
De voortdurende weerkaatsing van een lichtstraal tussen twee spiegelende
oppervlakken is een essentieel kenmerk van een laser vermits het de positieve
terugkoppeling veroorzaakt die nodig is om van de versterker een oscillator, en
dus van een optische versterker een laser, te maken.
Tot nu toe namen we aan dat we met vlakke spiegels de vereiste terugkoppeling
zouden kunnen realiseren. Nochtans is het duidelijk dat we deze spiegels slechts
een beperkte afmeting kunnen geven zodat we eigenlijk ook geen vlakke golven
(die oneindig uitgebreid zijn) kunnen verwachten.
De eerste lasers hadden wel degelijk vlakke spiegels. Maar het bleek snel dat
gekromde spiegels een veel beter alternatief vormden, voornamelijk omdat zij
minder verliezen (kunnen) vertonen ten gevolge van stralen die over de rand van
de spiegels verdwijnen. Het gebruik van gekromde spiegels kan dit verlies
immers sterk verminderen20.
Aan welke voorwaarden qua afstand en kromming de spiegels moeten voldoen
om een stabiele21 caviteit te bekomen, is de eerste belangrijke vraag die we
hierna zullen beantwoorden.
Daarna kunnen we de precieze veldverdelingen in een laser met gekromde
spiegelcaviteit onderzoeken en komen zo tot de Gaussische straal, die omwille
van zijn groot praktische belang in het volgende hoofdstuk verder toegelicht
wordt.
b) Stabiliteit van een spiegelsysteem
Een doorgedreven analyse van zo een spiegelsysteem werd al in 1961 uitgevoerd
20
21
Een van hun onderzoekstopics is het zoeken naar betere klokken. Zoals in hoofdstuk 1
aangegeven zijn de huidige klokken op cesium gebaseerd. In het Max Planck instituut
wordt onderzocht of men met eenvoudiger atomen (waterstof of helium) geen grotere
nauwkeurigheid en betere stabiliteit kan halen.
http://www.mpq.mpg.de/~haensch/comb/index.html
http://www.mpq.mpg.de/~haensch/
of vermeerderen bij onoordeelkundige keuze van afstanden en kromtestralen!
met stabiel is hier bedoeld is dat er een permanente golfverdeling mogelijk is in de
caviteit
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 18
door Goubau en Schwering22. Het basisartikel van Kogelnik23 uit 1966 geeft,
naast een overzicht van de te verwachten modepatronen, ook aan welke
verliesfactoren men bij de gekromde caviteiten mag verwachten ten gevolge van
straling die over de rand van de spiegels weglekt.
1) Analyse van Goubau en Schwering.
Inleiding
We trachten de stabiliteit van een gekromde caviteit te achterhalen door gebruik
te maken van geometrische- of stralenoptiek. We gaan na hoe een straal door de
beide spiegels omgeplooid wordt en onder welke voorwaarden deze straal in de
caviteit blijft, ook na herhaaldelijke weerkaatsingen.
Uit de natuurkunde zijn ons de wetten voor beeldvorming en straalbreking van
spiegels en lenzen bekend. Voor onze studie moeten we echter enkele
benaderingen invoeren en zullen we overgaan op de matrixvoorstelling van
optische systemen. De principes hiervan zijn in het appendix B bij dit hoofdstuk
uitgelegd.
Herhaalde heen-en-weer-doorgangen door de caviteit
In het appendix 3B is de optische matrixtheorie voor de lenzen en vrije ruimtes
uitgewerkt. We richten onze aandacht nu terug op de lasercaviteit.
Indien een lichtstraal m maal de rondgang door de caviteit maakt, dan geldt nog
steeds het basisprincipe: de resulterende matrix bekomt men uit het m-maal met
zichzelf vermenigvuldigen van de matrix voor één rondgang. Om deze
machtsverheffing uit te werken steunen we op het feit dat de m-de macht van
een matrix wordt bepaald met het theorema van
22
23
G.Goubau & F.Schwering, "On the guided propagation of electromagnetic wave beams",
IRE Transactions on Antennas and Propagation, 9, p. 248 e.s., May 1961.
Kogelnik H. & Li T., "Laser beams and resonators", Proc. IEEE, vol. 54, no 10, pp 13121329, 1966
Een kopie voor gebruik binnen K.U.Leuven is beschikbaar op
http://kuleuven.be/optische_communicatie
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 19
Sylvester24 De uitgewerktemachtsverheffing interesseert ons echter nu niet.
De belangrijkste wat we immers met onze stralenstudie willen bereiken, is dat de
straal niet uit de caviteit weg divergeert.
In wiskundige termen betekent dit dat de hoek θ die in de formule van de
machtsverheffing staat, effectief moet bestaan.
Omdat θ gelijk is aan de cosinus van helft van A+D moeten we dus eisen dat:
(A+D) /2 tussen -1 en +1 ligt.
Dit geeft:
(A + D) / 2 = 1 2 [− L / f 1 + (1 − L / f 1 )(1 − L / f 2 ) + 1 − L / f 2 ]
⎡
L.L ⎤
= 1 2 −2L / f 1 + 2 − 2L / f 2 +
⎢⎣
f 1 . f 2 ⎥⎦
2.L. L
= 1− 2L / R1 − 2L / R2 +
R1 .R2
(3-13)
De voorwaarde kan herwerkt worden tot:
24
−1 ≤ 1− 2 L / R1 − 2L / R2 +
2. L. L
≤1
R1 .R2
−2 ≤ − 2L / R1 − 2L / R2 +
2.L.L
≤0
R1 . R2
−1 ≤ − L / R1 − L / R2 +
L. L
≤0
R1 .R2
0 ≤ 1 − L / R1 − L / R2 +
L.L
≤1
R1 . R2
Algemeen is dit:
m
⎡a b ⎤
1 ⎡a.sin nθ − sin(n − 1)θ
=
.
⎢⎣ c d ⎥⎦
sinθ ⎢⎣
c.sin nθ
(3-14)
b.sin nθ
⎤
d.sin nθ − sin(n − 1)θ ⎥⎦
waarbij
2.cosθ = a + d
Het theorema wordt in verschillende wiskundeboeken bewezen. Een kort bewijs door
inductie is ook gegeven in: Milonni & Eberly, "Lasers", ISBN 0-471-62731-3, ed. Wiley,
1988, pp. 476-477.
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 20
en leidt dan tot het criterium voor de stabiliteit van een caviteit:
0 ≤ (1−
L
L
).(1 − ) ≤ 1
R1
R2
(3-15)
We herhalen dat R1 en R2 de kromtestralen van de spiegels zijn en L de afstand
ertussen.
Als aan de voorwaarde hierboven niet voldaan is, worden de coëfficiënten van
de m-de macht van de matrix steeds groter (hyperbolische functies) en de
lichtstraal wandelt na enkele doorgangen weg uit de caviteit. Deze situatie (een
"onstabiele resonator ") heeft desondanks een aantal merkwaardige en nuttige
eigenschappen die echter slechts bij hoogvermogen pulslasers tot hun recht
kunnen komen.
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 21
2) Het diagramma van Kogelnik
De g-parameters en de grafische voorstelling
Deze dubbele ongelijkheid kan grafisch voorgesteld worden in een orthogonaal
assenstel met L/R1 en L/R2 als assen.
Indien we stellen:
1 - L/R1 = g1 en
1 - L/R2 = g2
dan zijn de twee vergelijkingen voor de randvoorwaarde respectievelijk:
g1.g2 = 1 (een hyperbool) en
g1.g2 = 0 (twee rechten)
Mits enig denkwerk kunnen tussen deze curven de toegelaten en verboden R1, R2
combinaties aangegeven worden. Het resultaat vormt het stabiliteitsdiagramma
van Kogelnik.
Omwille van hun praktisch belang worden g1 en g2 de g-parameters van een
caviteit genoemd. We ontmoeten ze later nog bij de studie van
frequentieverschuivingen in de laser.
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 22
Het diagramma van Kogelnik
Om de stabiliteit van de verschillende resonatortypes te kennen, gaan we even
wat dieper in op het stabiliteitsdiagramma (fig. 3-7).
L/R 2
1
L/R 1
0
1
Fig. 3-7: Het stabiliteitsdiagramma van Kogelnik.
L is de afstand tussen de twee caviteitsspiegels, R1 en R2 zijn
de kromtestralen van die spiegels. In het gearceerde gebied
liggen de onstabiele resonatoren.
Voorbeelden van resonatoren
In de figuren 3-8 en 3-9 zijn respectievelijk een aantal stabiele en onstabiele
resonatoren getekend. Dit kan gemakkelijk aangetoond worden door hun
karakteristieke punten op het diagramma van Kogelnik te tekenen.
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 23
Enkele bijzondere gevallen:
a) één vlakke spiegel
Als spiegel 1 een vlakke spiegel is, geldt R1 = ∞ en dus L/R1= 0.
R2 mag dan alle waarden aannemen tussen L en ∞.
b) planparallelle caviteit (R1 = R2 = ∞)
De caviteit is marginaal stabiel want het karakteristiek punt ligt in de
oorsprong.
c) symmetrische structuur (R1 = R2 )
Alle karakteristieke punten liggen op de bissectrice van het eerste
kwadrant. Stabiliteit vereist dat zowel R1 als R2 gelijk aan of groter
dan L/2 zijn.
•
Voor R1 = R2 = L/2 vindt men de sferische ("bolvormige")
•
caviteit.
Voor R1 = R2 = L geldt dat het kromtemiddelpunt van elke spiegel
op het oppervlak van de andere ligt. Dit impliceert dat de twee
brandpunten ("foci") samenvallen. Daarom heet deze caviteit een
confocale caviteit.
In fig 3-8 zijn enkele van deze types voorgesteld. De lezer kan hun
karakteristieke punten op het Kogelnik diagramma intekenen en zo hun
stabiliteit verifiëren.
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 24
Fig. 3-8: Stabiele lasercaviteiten (naar Milonni & Eberly, "Lasers")
Praktische lasercaviteiten
Zoals hoger vermeld kunnen ook onstabiele resonatoren voor (puls)lasers
ingezet worden maar daar zullen we hier niet verder op ingaan (toch enkele
voorbeelden in fig. 3-9).
Fig. 3-9: Enkele voorbeelden van onstabiele lasercaviteiten (naar
Milonni & Eberly, "Lasers")
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 25
Bij de stabiele resonatoren zijn zowel de hemisferische als de zgn. long radius
caviteit (R >> L) populair. De redenen hiervan hangen samen met hun
bundeleigenschappen (zie fig. 3-10) die we echter pas in het volgende hoofdstuk
zullen kunnen verklaren25.
Long radius caviteit
Fig. 3-10:
Hemisferische caviteit
Het door een laserstraal ingenomen volume bij de
lasercaviteit met de lange kromtestralen en bij de
hemisferische resonator.
Vuistregel
Tot slot geven we nog een vuistregel die toelaat stabiele en onstabiele caviteiten
zonder berekeningen uit elkaar te kennen26:
Een structuur is stabiel als de twee geometrische figuren, gevormd door de spiegels en
een paar stralen naar hun kromtecentrum, elkaar moeten doorkruisen.
De constructie moet wel mogelijk zijn voor alle afmetingen van beide spiegels.
Enkele voorbeelden zijn in de hiernavolgende figuur 3-11 gegeven.
stabiele
resonatoren
onstabiele
resonatoren
Fig. 3-11: Stabiele en onstabiele resonatoren gesorteerd met de vuistregel (zie tekst).
25
26
De hemisferische heeft aan de vlakke spiegel een kleine bundeldiameter waardoor
modeselectie mogelijk is. De "long radius" lijkt wat op een caviteit met vlakke spiegels en
de erin opgewekte bundel "vult" de caviteit goed op, vandaar een goed rendement voor de
laser. (zie figuur)
Naar G. François, "De Laser en zijn toepassingen", Leuven 1994, p. 74
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 26
F. De Gaussische bundel als eigenmode van de spiegelcaviteit
a) Afleiding en eigenschappen
De golven in een lasercaviteit met gekromde spiegels kunnen niet vlak zijn [27].
Toch mag men er vanuit gaan dat in de meeste praktische caviteiten de
kromming meestal beperkt is en dat de bundel zich grosso-modo volgens de
verbindingslijn tussen de twee spiegels zal voortplanten (paraxiale benadering).
Er zijn in de loop der jaren minstens vier manieren uitgewerkt om deze grondige
studie aan te pakken [28].
De hierna volgende uitwerking 29 is vrij wiskundig maar levert snel een volledige
beschrijving van de bundel.
Elke veldcomponent van een coherent (en dus monochromatisch) veld voldoet aan
de scalaire golfvergelijking:
2
2
∇ u+k u = 0
(3-16)
met k de golfconstante in het medium, d.i.
k = 2. π / λ
(3-17)
Vermits we verwachten dat de golf in de caviteit zich in de lengterichting ( zrichting) zal voortplanten, mogen we aannemen dat de oplossing van volgende
vorm zal zijn:
u = Ψ(x,y,z).e (− j kz)
27
28
29
(3-18)
Opdat een permanente toestand (staande golf) zou mogelijk zijn in een caviteit moet ter
plaatse van de spiegels het equifase oppervlak (d.i. het vlak van gelijke fase) samen vallen
met het gekromde oppervlak van de spiegels. Bovendien zouden echte vlakke golven
oneindig uitgebreid moeten zijn.
Ze zijn opgesomd in [Siegman "Lasers", Univ. Science Books, ISBN: 0935702113, p. 641].
In G. François, "De Laser en zijn toepassingen", p. 85 ev., is een methode uitgewerkt
gebaseerd op de ontbinding van een golf in vlakke golven en de daarmee samenhangende
Fouriertransformatie.
Naar Kogelnik & Li (cf. supra); ook bij Siegman, op.cit., p. 626
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 27
d.w.z. ongeveer een vlakke golf (alle afwijkingen zijn in Ψ samengebracht).
Het invoeren van de functie (3-18) in (3-16) levert:
∂ 2Ψ ∂ 2Ψ
∂Ψ
=0
2 +
2 − 2 jk
∂x
∂y
∂z
(3-19)
Hierbij is er van uitgegaan dat de tweede afgeleide naar z (de
voortplantingsrichting) mag weggelaten worden. De voorwaarde hiertoe is:
∂ 2Ψ
∂Ψ
∂ 2Ψ
∂ 2Ψ
∂ 2Ψ
∂ 2Ψ
<< 2k
en ook
<<
en
<<
∂z 2
∂z
∂z 2
∂ x2
∂ z2
∂ y2
(3-20)
Hieraan is meestal wel voldaan [30].
Vermits de vergelijking (3-19) analoog is aan de Schrödinger vergelijking kan een
analoge oplossing bedacht worden. Omdat de bundel omwille van de symmetrie
van de caviteit ook axiaal symmetrisch zal zijn, kunnen we postuleren dat voor Ψ
een exponentiële van de volgende vorm kan gebruikt worden:
− j( P +
Ψ=e
k 2
r )
2q
(3-21)
waarbij r2 = x2 + y2 en P en q voorlopig als onbekende (en dus nog te bepalen)
parameters aanzien worden.
Door het invullen van (3-21) in (3-19) kan men de voorwaarden vastleggen
waaraan P en q moeten voldoen. Dit geeft
q' = 1
(3-22)
P'= - j / q
(3-23)
en
waarbij de accenten differentiëring naar z aangeven.
30
Uitzonderingen zijn zeer sterk convergente bundels (bv. in de focus van een lens met korte
brandpuntsafstand). Voor een meer kwantitatieve bespreking verwijzen we naar
[Siegman, op. cit., p. 630] en Marcatili E. & Someda C., "Gaussian Beams are
fundamentally different from Free-Space Modes", IEEE J. Quantum Electronics, QE-23,
No. 2, pp. 164-167, 1987.
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 28
Tot hiertoe zijn P en q nog steeds louter mathematische begrippen.
Omdat we er kunnen van uit gaan dat zowel fase als amplitude in de
dwarsrichting zullen afhangen van r is het logisch aan te nemen dat q op zijn
beurt een complex getal moet zijn.
Het complexe deel van q levert dan, samen met de voorafgaande j- factor, een
reëel getal en houdt dus verband met amplitudewijziging, het reële deel van q
wijst, omwille van de voorafgaande j- factor, op faseverschuivingen.
Een relatief eenvoudige bestudering van de bundel is mogelijk door de opsplitsing
van q in reëel en imaginair deel als volgt door te voeren:
1
λ
1
=
− j
q
R
π w2
(3-24)
Het invullen van (3-24) in (3-21) geeft immers in de exponent een term:
− jk
r2
2R
(3-25)
die precies het faseverschil tussen een sferische golf (met straal R) en een vlakke
golf weergeeft [31].
Vandaar dat R de lokale kromtestraal van de bundel voorstelt.
We vinden als reële term:
r2
− 2
w
(3-26)
die het dwarsverloop van de amplitude aangeeft. We hebben dus te doen met een
31
De afstand tussen A en A' (voor punten dicht
bij de x-as) kan eenvoudig berekend worden.
De vergelijking van de cirkel met straal R is:
(x - R)2 + r2 = R2
Oplossing naar x (met verwaarlozing van x2 )
geeft:
- 2 xR = - r2
en dus:
r2
x = -2R
Optische communicatie v2008
r
A
A'
Jan Engelen
R
x
3- 29
gaussisch verloop van de amplitude in de x en y richting.
De factor w wordt de bundeldiameter [32] genoemd. Het is evident dat R noch w
constant zullen zijn naar z !!
Gebruik makend van (3-22) en (3-23) kunnen hun formules bepaald worden.
Men vindt voor w(z):
w2(z) = wo2 [ 1 + (z / b)2 ]
(3-27)
(wo is de integratieconstante: het is de diameter als z = 0. Gezien de tweede term
van (3-27) altijd positief is, is wo ook de minimumdiameter. )
Voor R(z) vindt men:
2
R(z) = z [ 1 + (b/z) ]
(3-28)
In de beide formules is de confocale parameter b= kowo2/2 ingevoerd
waarvan de fysische betekenis later toegelicht wordt.
Om de bundelbeschrijving af te ronden, moeten we nog de juiste waarde van P
uitwerken.
Omdat we hoger al het verband tussen P en q zagen, kan (3-23) nu opgelost
worden. Het resultaat is een extra z-afhankelijke faseverschuiving tussen de
gaussische bundel en een vlakke bundel, terwijl P ook de intensiteitsvariatie op
de as in de richting van de lichtvoortplanting levert.
Het globale resultaat van onze berekeningen, bv. voor de veldsterkte in een
gaussische bundel is dan:
r
1
U(x,y,z)
=
U •
0
1+(z/b)
-----------w
---------
2
2
0
• e
2
[1+(z/b) ]
z
-jk z + jbgtg (z/b)- j 0
b
r
2
•-----------w
2
0
2 2
(1+ z /b )
• e
2
(3-29)
Op deze manier hebben we nu, eindelijk, de formule bij de hand die op een zeer
nauwkeurige wijze het veld in een lasercaviteit beschrijft. In het volgende
hoofdstuk wordt dit resultaat verder geanalyseerd en uitgewerkt.
32
De betekenis van w is: die afstand r tot de z-as waarbij de exponentiële als exponent - 1
-2
heeft. Dit betekent dat op die plaats de intensiteit een waarde heeft gelijk aan e (d.i.
13% ) van de maximumwaarde (= 1) op de as.
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 30
Appendix 3.A: Modekoppeling
Wiskundige aanpak
Bestuderen we wiskundig het effect van het samenstellen van een reeks
modes met een vaste frequentieafstand. We doen dit voor het benaderend
geval waarin alle modes dezelfde amplitude Eo zouden hebben.
Het totale elektrische veld is dan:
+N
∑E e [ ω
E(t) =
j (
0
0
+ l.Δω ).t ]
l=−N
met
ω 0 = centrale frekwentie
en
Δ ω = zwevingsfrekwentie
= π .c / L (bij een laser omdat Δ υ = c / 2L)
Deze sommatie geeft (via een berekening gebaseerd op de som van een
meetkundige reeks33):
E(t) = A(t).e j[ω 0 t ]
met
[
E 0 sin 12 (2N + 1)Δω .t
A(t ) =
sin 12 Δω .t
[
]
]
2
De intensiteit A(t) vertoont een gepiekt verloop in de tijd
en bereikt een maximum als de noemer nul wordt.
Dit is indien:
[
]
sin 1 2 Δω .t = 0 en dus als 1 2 Δ ω .t = nπ
2L
waaruit volgt:tn = 2n. π / Δ ω of t n = n. ⎡ ⎤
⎣ c ⎦
De grootte van dit maximum blijkt eindig te zijn (aan te tonen via een
limietberekening) en gelijk aan:
E02 (2 N + 1) 2
33
Zie bv. formule 420.3 in H. Dwight, "Tables of Integrals and other Mathematical Data",
MacMillan Company, 1961, 335 pp. Of nog op de website van Mathematica:
http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/23/01/
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 31
Dit kon eigenlijk wel verwacht worden: de maximum amplitude is de som
van de amplitudes van de componenten.
De lengte van de gevormde pulsen kan bepaald worden als volgt.
Bekijken we de eerste puls (met maximum in de oorsprong) en zoeken we
het eerste nulpunt van de amplitudefunctie A(t).
Dan vinden we:
[
]
sin 1 2 (2N + 1)Δ ω .t = π
π
π
1
en dus t 0 = 1
=1
=
2 (2N + 1)Δ ω
2 (2N + 1).2π .Δ υ B
met B = de totale bandbreedte van de pulsen.
We mogen stellen dat de pulsduur (gemeten op halve hoogte van de puls)
ongeveer gelijk is aan t0.
Het is dus duidelijk dat een korte pulsduur bekomen wordt als vele modes,
over een grote bandbreedte gespreid, met elkaar gekoppeld worden.
We illustreren dit met een paar simulatievoorbeelden.
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 32
Enkele simulaties:
A. Zwevingen tussen 5 modes
De eerste figuur hieronder geeft het resultaat van:
y= sin(t*π*0.9)+sin(t*π*0.95)+sin(t*π*1)+sin(t*π*1.05)+sin(t*π*1.1)
d.i.
2
∑ sin[(3,14(1 + l.0,05).t ]
l = −2
In termen van de wiskundige uitwerking hierboven is dit:
ω 0 = 3,14 s−1
en
Δ ω = 0,05* 3,14 = 0,157 s
−1
De herhalingsfrekwentie van de pulsen is dus:
t = 2. π / Δ ω = 2.3,14 / 0,157 = 40 s
en de pulsduur:
Δt =
π
1
2
(2N + 1).Δω
=
π
1
2
(2.2 + 1).0,157
=
20
=8s
2,5
5
0
-5
0
Fig. 3A-1:
50
Zwevingen tussen 5 modes (zie tekst)
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 33
B. Zwevingen tussen 9 modes
In het tweede voorbeeld zijn er meer modes (en dus een grotere totale
bandbreedte) aangenomen.
y = sin(t*π*0.8)+sin(t*π*0.85)+sin(t*π*0.9)+sin(t*π*1)+sin(t*π*1.1)
+sin(t*π*0.95)+sin(t*π∗1.05)+sin(t*π*1.15)+sin(t*π*1.2)
Dit is:
4
∑ sin[(3,14(1+ l.0,05).t ]
l = −4
De herhalingsfrequentie van de modegelockte pulsen blijft dezelfde, maar
de pulsduur wordt nu:
Δt =
π
1
2
(2N + 1).Δω
=
π
1
2
(2.4 + 1).0,157
=
20
= 4,4 s
4,5
9
-9
0
50
Fig. 3A-2: Het verloop van de somfunctie voor 9 modes (zie tekst)
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 34
100
0
0
50
Fig. 3A-3: Verloop van de intensiteit van de omhullende (A(t))2
Voor een HeNe laser kunnen er longitudinale modes voorkomen over de
Dopplerbandbreedte van 1700 MHz. Bij modekoppeling bekomt men dan
een pulsduur van de ordegrootte
to = 1/B = 1/1,7.109 Hz = 0,6 ns.
De lichtprop die hiermee overeenkomt, heeft een lengte van:
c.to = 3.108. 0,6. 10-9 m = 0,2 m.
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 35
Appendix 3.B: Matrixvoorstelling van spiegel- en lenzensystemen
3B.1 Equivalentie spiegel-lens
Figuur 3B-1 illustreert de werking van een spiegel: invallende lichtstralen
worden teruggekaatst in een richting die symmetrisch ligt met de invalsrichting
ten opzichte van de normale op het spiegeloppervlak. Deze normale vormt dus de
bissectrice van invallende en gebroken straal. Een concave, gekromde spiegel met
kromtestraal R heeft een brandpunt F gelegen op een afstand f = R/2 van de top.
O
R
α
F
F
F
f
f
Fig. 3B-1:
β
Equivalent gedrag van een spiegel en een lens met dezelfde
brandpuntsafstand.
Nemen we nu een positieve lens met dezelfde brandpuntsafstand dan leren ons
de lenswetten dat de straal die onder dezelfde hoek invalt als bij de spiegel
(hoek α), onder dezelfde hoek (hoek β met β = α) weerkaatst wordt, zij het in de
tegenovergestelde richting.
Fig. 3B-2:
Geometrie van een eenvoudige caviteit met twee gekromde
spiegels.
Een lasercaviteit wordt gewoonlijk gevormd door twee gekromde spiegels. Een
straal zal volgens de spiegelwetten tussen deze twee oppervlakken weerkaatsen.
Omdat het tekenen van de stralengang vrij snel tot een onoverzichtelijke warboel
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 36
leidt, is het aangewezen de twee spiegels door een oneindige rij lenzen met
gelijke brandpuntsafstanden te vervangen.
Daarna hebben we nog een techniek nodig om het effect van de herhaalde
brekingen in die lenzenrij te kunnen berekenen. Deze techniek vindt men in de
matrixtheorie.
3B.2 Matrixtheorie voor de geometrische stralenoptiek
Een straal in een optisch systeem kunnen we kenmerken door op een bepaalde
plaats zijn afstand tot de as te bepalen alsmede de richtingscoëfficiënt (= hoek)
t.o.v. die as. We noemen deze grootheden resp. rin en r'in (Het accent verwijst
naar het feit dat de richtingscoëfficiënt in feite een afgeleide naar de plaats is,
dus:
r'in = dr/dz).
We willen nu het effect op rin en r'in kennen voor verschillende optische
componenten.
a) Eenvoudige lens
Stellen we dat het vlak waar de straal toekomt, onmiddellijk links van een lens
met brandpuntsafstand f is, dan kunnen we het effect van den lens zien als:
rlens = rin
r'lens = r'in- ( rin / f )
(3B-1)
Dit is zo omdat volgens de lenswet (zie figuur 3B-3) geldt:
1/a + 1/b = -1/f
met a en b de afstanden (tot de lens) van de snijpunten van de straal met de as.
Hier is nu r'in = rin / a en
r'lens = rin / b waaruit de formule voor r'lens kan gedistilleerd worden.
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 37
r'in
f
f
F
r'
F
a
lens
-b
Fig. 3B-3: Hoekverandering veroorzaakt door een lens
De tweede formule is slechts geldig in paraxiale benadering, dit wil zeggen voor
kleine hellingen r'in waarbij het verschil tussen de hoek gevormd door de
lichtstraal en de as van het lenzensysteem en de tangens van die hoek voldoende
klein zijn om te mogen stellen:
α = tang α
Men kan deze formule in een matrixvorm schrijven als:
ruit
r' uit
=
1
−1/ f
0 rin
.
1 r' in
(3B-2)
b) Een "lege ruimte"
Een tweede optisch element waarvan we de matrixvoorstelling moeten kennen, is
de "lege ruimte".
Indien een straal, met haar weg door een stukje lege ruimte met lengte L aflegt
(Fig. 3B-4) , dan geldt tussen ingangsvlak (index 2) en uitgangsvlak (index 3):
r' 3
r'
r
2
r
3
2
L
Fig. 3B-4: Bepaling van de matrixcomponenten van een stuk "lege
ruimte"
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 38
r3
r'3
of opnieuw in matrixvorm:
= r2 + L.r'2
=
r'2
r3
1 L r2
=
.
r' 3 0 1 r' 2
(3B-3)
c) Combinatie "lens + ruimte"
Men kan ook narekenen wat de combinatie één lens/één vrije ruimte oplevert.
Men vindt een resultaat dat de algemene matrixwet voor optische systemen
bevestigt, n.l. de matrix van een gecombineerd systeem bestaat uit het product
van de deelmatrices, maar genomen in omgekeerde volgorde.
In het geval lens/ruimte moeten we dus het matrixproduct maken van de vrijeruimte-matrix en de lens-matrix. Dit levert:
1
r3
=
r' 3 0
L 1
.
1 −1/ f
0 r1
.
1 r' 1
=
1 − L/ f
−1/ f
L r1
1 r' 1
(3B-4)
d) Eén rondgang door de caviteit: "lens1-ruimte-lens2-ruimte"
De caviteit bestaat uit twee, over het algemeen, verschillende spiegels. Een
volledige "rondgang" van een straal door de caviteit, kan dus beschreven worden
als:
spiegelbreking_1 – vrije_ruimte – spiegelbreking_2 – vrije ruimte.
Het effect van deze elementaire rondgang vindt men dan door vier matrices te
vermenigvuldigen. De resulterende matrix is :
⎡− L / f1 + (1 − L / f1 )(1− L / f2 ) L(2 − L / f2 ) ⎤ ⎡ A B ⎤
⎢⎣ −1/ f − 1/ f + L / f f
⎥⎦ = ⎢⎣C D⎥⎦
1
−
L
/
f
1
2
1 2
2
(3B-5)
De zgn. ABCD matrix voldoet aan de voorwaarde A.D - B.C = 1. Deze eigenschap
vindt haar oorsprong in de reciprociteit van de stralendoorgang.
Optische communicatie v2008
Jan Engelen
3- 39