OPGAVEN BIJ ANALYSE 2015, CONTINUE FUNCTIES IN

OPGAVEN BIJ ANALYSE 2015, CONTINUE FUNCTIES IN
METRISCHE RUIMTEN (13)
Resultaten
∗
∗
Definitie. Zij (S, d) en (S , d ) metrische ruimtes en f : S → S ∗ een functie. We
noemen f continu in s0 ∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d(s, s0 ) < δ ⇒ d∗ f (s), f (s0 ) < .
Lemma. De projecties πj : Rk → R gegeven door πj (~x) = xj zijn continue afbeeldingen. Sommen, producten en quotiënten van continue afbeeldingen zijn continu.
Stelling. Zij (S, d) een metrische ruimte en f1 ,. . . , fk : S → R afbeeldingen. Definieer f : S → Rk door f (s) = f1 (s), . . . , fk (s) . Dan is f continu desda alle fj
dat zijn.
Definitie. Zij f : S → S ∗ een functie. Zij s0 ∈ S. We schrijven
lim f (s) = L
s→s0
voor zekere L ∈ S ∗ als voor elke > 0 er een δ > 0 bestaat zodat d f (s), L < geldt als d(s, s0 ) < δ.
Opgaven
Opgave 1. Zij (S1 , d1 ), (S2 , d2 ) en (S3 , d3 ) metrische ruimten en f : S1 → S2 ,
g : S2 → S3 continue afbeeldingen. Bewijs dat g ◦ f : S1 → S3 continu is.
Opgave 2. Zij f : Rm → Rn een lineaire afbeelding: f (~x) = A~x voor een zekere
matrix n × m-matrix A. Bewijs dat f continu is.
Opgave 3. Zij f : S → S ∗ een continue afbeelding van metrische ruimten en s0 ∈ S.
Bewijs dat de volgende uitspraken equivalent zijn:
(1) f is continu in s0 ,
(2) lims→s0 f (s) = f (s0 ),
(3) voor elke rij (sn ) met limn→∞ sn = s0 geldt limn→∞ f (sn ) = f (s0 ).
Opgave 4. Zij f : Rn → R. Stel dat lim~x→~0 f (~x) = L. Neem ~x0 ∈ Rn vast. Bewijs
dat voor t ∈ R geldt
lim f (t~x0 ) = L.
t→0
Opgave 5. Zij S een vectorruimte en k·k een norm op S. Definieer d(s, t) = ks−tk
voor s, t ∈ S. Bewijs dat d een metriek is.