HUISWERKOPGAVEN GETALTHEORIE DEEL 3 Inleverdatum 29 april

HUISWERKOPGAVEN GETALTHEORIE DEEL 3
Inleverdatum 29 april
Opmerking. Wanneer een rationaal getal p/q gegeven is nemen we impliciet aan
dat p, q ∈ Z, q > 0 en ggd(p, q) = 1.
13.
Zij li(x) =
li(x) =
Rx
dt
.
2 log t
Bewijs dat
x
x
x
x
x
+
+ 2! 3 + · · · + (n − 1)! n + O
2
n+1
log x log x
log x
log x
log
x
als x → ∞.
14.a) Bewijs dat kgv(1, 2, . . . , n) ≤ e4n Q
voor n ≥ 1.
Hint: Schrijf kgv(1, 2, , . . . , n) = p≤n pbp . Schat elke priemmacht pbp naar boven
af.
b) Bewijs dat er een constante C > 1 bestaat zodat kgv(1, 2, . . . , n) ≥ C n voor n ≥ 2.
15.
Bewijs dat er constanten c1 > 0 en c2 > 0 bestaan zodat
X log2 p
c1 log x ≤
≤ c2 log2 x voor x ≥ 2.
p
2
p≤x
16.
Zij a ∈ N en α =
1
2
a+
√
a2 + 4 .
a) Bepaal de kettingbreukontwikkeling van α. Bewijs dat de convergenten van α
∞
worden gegeven door {uk+1 /uk }∞
k=1 , waarbij de rij {uk }k=0 is gedefinieerd door
u0 = 0, u1 = 1,
uk = auk−1 + uk−2 voor k ≥ 2.
b) Bewijs dat er voor elke ε > 0 maar eindig veel rationale getallen p/q bestaan zodat
1
p
|α − | < √
.
2
q
( a + 4 + ε)q 2
c) Bewijs dat er voor elke ε > 0 oneindig veel rationale getallen p/q bestaan zodat
p
1
.
|α − | < √
2
q
( a + 4 − ε)q 2
√
17.a) Schrijf α = [1, 2, 3] in de vorm a + b d waarbij a, b ∈ Q en d ∈ N.
b) Bepaal een rationaal getal p/q zodat |qα − p| < 10−2 .
18.a) Bepaal alle gehele getallen a met |a| ≤ 4 waarvoor x2 − 22y 2 = a oplosbaar is in
gehele getallen x, y.
b) Parametriseer alle oplossingen in gehele getallen van x2 − 22y 2 = 3.
1
HOMEWORK EXERCISES NUMBER THEORY PART 3
Date of delivery April 29
Remark. If a rational number p/q is given, we implicity assume that p, q ∈ Z,
q > 0 and gcd(p, q) = 1.
13.
Let li(x) =
li(x) =
Rx
dt
.
2 log t
Prove that
x
x
x
x
x
+
+ 2! 3 + · · · + (n − 1)! n + O
2
n+1
log x log x
log x
log x
log
x
as x → ∞.
14.a) Prove that lcm(1, 2, . . . , n) ≤ e4n for
Q n ≥ 1.
Hint: Write lcm(1, 2, , . . . , n) = p≤n pbp and estimate from above each prime
power pbp .
b) Prove that there exists a constant C > 1 such that lcm(1, 2, . . . , n) ≥ C n for n ≥ 2.
15.
Prove that there are constants c1 > 0 en c2 > 0 such that
c1 log2 x ≤
X log2 p
≤ c2 log2 x for x ≥ 2.
p
p≤x
16.
Let a ∈ N en α =
1
2
a+
√
a2 + 4 .
a) Compute the continued fraction expansion of α. Prove that the convergents of α
∞
are given by {uk+1 /uk }∞
k=1 , where the sequence {uk }k=0 is defined by
u0 = 0, u1 = 1,
uk = auk−1 + uk−2 for k ≥ 2.
b) Prove that for every ε > 0 there are only finitely many rational numbers p/q such
that
1
p
|α − | < √
.
2
q
( a + 4 + ε)q 2
c) Prove that for every ε > 0 there are infinitely many rational numbers p/q such that
p
1
|α − | < √
.
2
q
( a + 4 − ε)q 2
√
17.a) Write α = [1, 2, 3] in the form a + b d with a, b ∈ Q en d ∈ N.
b) Determine a rational number p/q such that |qα − p| < 10−2 .
18.a) Determine all integers a with |a| ≤ 4 such that x2 − 22y 2 = a is solvable in integers
x, y.
b) Parametrize all solutions in integers of x2 − 22y 2 = 3.
2