Basisvaardigheden Wiskunde Onderwerp: “priemgetallen en

Basisvaardigheden Wiskunde
Onderwerp: “priemgetallen en ontbinden in priemfactoren”
Begrip:Factor en factoren van een product
De elementen aan beide kanten van een keerteken bij een product worden factoren genoemd. Bij het product
(m . n) zijn de variabelen m en n de factoren van de vermenigvuldiging. Op dezelfde manier zijn bij de
vermenigvuldiging a(m + n) de variabelen a en de uitkomst uit (m + n) de factoren van het product.
De vermenigvuldiging 6 * 2 * 4 * 11 bestaat uit 4 factoren: de eerste factor is de 6, de tweede is de 2
...enzovoorts. Een factor geeft dus aan, hoeveel van iets er is.
Begrip: Veelvouden
Met de veelvouden van 5 bedoelen we de rij natuurlijke getallen: 5, 10, 15, 20, 25,...........
We kunnen dus zeggen dat 5 een factor van alle veelvouden van 5 is.
Begrip: Deler van een getal
35 is deelbaar door 5, want de rest bij de deling van 35 door 5 is nul. We noemen 5 een deler van 35. Ook in
dit geval kunnen we zeggen dat 5 een factor van 35 is, want 35 = 5*k.
De volgende uitspraken komen dus op hetzelfde neer (als er één klopt, dan kloppen de andere ook):
- 35 is deelbaar door 5;
- 5 is een deler van 35;
- 35 is een veelvoud van 5;
- 35 bevat een factor 5;
- De rest bij de deling van 35 door 5 is nul;
- 35 kan geschreven worden in de vorm 5*k.
Begrip: Echte deler(s) van een getal
Elke willekeurige getal is deelbaar door 1 en zichzelf. Maar bijvoorbeeld 35 is deelbaar door 5 en door 7.
Dus, de verzameling van de delers van het getal 35 ziet er zo uit: {1, 5, 7, 35}. De echte delers van 35 zijn
alle delers van het getal behalve het getal 1 en het getal zelf. De verzameling van de echte delers van 35
wordt dus: {5, 7}.
Begrip: Ontbinden in factoren
Beschouw eens de volgende product: 100 = 2 * 50.
100 schrijven als 2 * 50 noemen we: 100 ontbinden in twee factoren van 2 en 50.
verder beschouw eens de volgende producten: 50 = 2 * 25 en 25 = 5 * 5.
50 schrijven als 2 * 25 noemen we: 50 ontbinden in twee factoren van 2 en 25.
25 schrijven als 5 * 5 noemen we: 25 ontbinden in twee factoren van 5 en 5.
We kunnen ook 100 als 2 * 2 * 5 * 5 (= 22 * 52) schrijven.
100 schrijven als 22 * 52 noemen we: 100 ontbinden in 4 factoren van 2, 2, 5 en 5.
Bij 52 noemen we 5 het grondtal en 2 de exponent. De exponent geeft aan hoeveel factoren van het grondtal
er zijn. De getallen 2 en 5 kunnen niet in kleinere factoren worden ontbonden: een aantal van 2 of van 5
stenen kan alleen op één rijtje of op één stapeltje worden gelegd.
1
Basisvaardigheden Wiskunde
Soms is het mogelijk om een optelling als een product te schrijven. Met andere woorden een optelling
ontbinden in factoren. Bijvoorbeeld, beschouw eens de volgende optelling: 8+12. Deze optelling bestaat uit
twee termen. Het is hier mogelijk om beide termen als producten met een gemeenschappelijke factor van 2 te
schrijven. Zo 8 = 2 * 4 en 12 = 2 * 6. Als we nu bovenstaande optelling zo als een product te schrijven
zeggen we dat we de optelling ontbonden hebben in factoren. Zie hieronder:
8 + 12 = 2*4 + 2*6 = 2(4+6).
2(4+6) is een vermenigvuldiging bestaande uit factor 2 en factor (4 + 6). Zoals je ziet is de tweede factor
een optelling bestaande uit twee termen 4 en 6.
Factoren zijn de bouwstenen van de natuurlijke getallen. Elk getal kan maar op één manier in factoren
worden ontbonden. Getallen zijn dus gelijk, als ze dezelfde factoren bevatten.
Begrip: Priemgetallen
Priemgetallen zijn natuurlijke getallen die alleen door zichzelf en door 1 deelbaar zijn. Deze getallen
hebben dus geen echter delers en niet in factoren ontbonden kunnen worden.
De eerste tien priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Zoals je ziet, zijn deze getallen alleen
deelbaar door zichzelf en door het getal 1. Het is verstandig dat je deze getallen uit je hoofd weet.
Wat de priemgetallen interessant maakt is het volgende. Elk natuurlijk getal is een priemgetal of kan op
unieke manier worden geschreven als product van priemgetallen. Dit laatste heet ontbinden van een niet
priem zijnde getal in zijn priemfactoren.
Werkwijze: Het getal 60 is een niet priem zijnde natuurlijke getal. Dit getal kan dus als product van twee of
meer priemgetallen opgeschreven worden. Hieronder gaan we dit getal "ontbinden in zijn priemfactoren".
Twee is het eerste priemgetal. De rest uit de deling van 60 door 2 is nul. Dus 2 is een deler of een factor
van 60. Dus 60 : 2 = 30. (quotiënt uit de deling is 30 en de rest is nul).
We kijken of het getal 60 nog andere factoren heeft. Hiervoor kijken we naar het quotiënt uit de eerste stap.
Het eerste priemgetal is weer een deler van het quotiënt 30. Want de rest uit de deling van 30 door 2 is nul.
Dus 2 is een deler of een factor van 30 (en dus ook van 60). Dus 30 : 2 = 15. (quotiënt uit de deling is 15 en
rest is nul).
Het eerste priemgetal is nu geen deler van het quotiënt 15. Want de rest uit de deling van 15 door 2 is een
en geen nul.
We kijken of de volgende priemgetal (3) een deler van 15 is. De rest uit de deling van 15 door 3 is nul. Dus 3
is een deler of een factor van 15. Zo 15 : 3 = 5. (quotiënt uit de deling is 5 en rest is nul).
Het quotiënt uit bovenstaande is niet meer deelbaar door 3 maar wel door het derde priemgetal; 5. De rest
uit de deling van 5 door 5 is 1 en de rest is nul. Het bovenstaande in berekeningvorm ziet er zo uit:
60 : 2 = 30
30 : 2 = 15
15 : 3 = 5
5:5=1
Dus het getal 60 = 2 * 2 * 3 * 5. Deze factoren zijn allemaal priemgetallen en zo is het getal 60 ontbonden
in zijn priemfactoren.
2
Basisvaardigheden Wiskunde
Algemeen: om een getal te ontbinden in zijn priemfactoren, begin met het laagste priemgetal en zoek
systematisch naar steeds grotere priemdelers. Het zou mogelijk zijn dat een niet priem zijnde natuurlijke
getal meerdere malen één priemgetal als factor heeft.
Toepassingen: Ontbinden van natuurlijke getallen in priemfactoren is een handige techniek met grote
efficiëntie. Je kunt er gebruik van maken voornamelijk bij het vereenvoudigen van breuken en wortels.
3