Polynomen

Lesbrief 3
Polynomen
1
Polynomen van één variabele
Elke functie van de vorm P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , (an 6= 0), heet
een polynoom of veelterm in de variabele x. Het getal n heet de graad van P (x),
de constante getallen an , an−1 , . . . , a0 heten de coëfficiënten.
Zijn P (x) en Q(x) polynomen van graad respectievelijk m en n dan is het mogelijk
P (x) door Q(x) te delen, d.w.z. men kan polynomen S(x) (quotiënt) en R(x) (rest)
bepalen zo, dat
P (x) = Q(x)S(x) + R(x)
(1)
waarbij de graad r van de rest R(x) kleiner is dan de graad m van Q(x) (als
m > n voldoen S(x) ≡ 0, P (x) = R(x)). Men kan S(x) en R(x) bepalen met een
staartdeling. Hebben we bijvoorbeeld P (x) = 2x3 − 3x2 + 5x + 5 en Q(x) = 3x2 − 2,
dan geldt
3x2 − 2 / 2x3 − 3x2 + 5x + 5 \ 23 x − 1 = S(x)
2x3
− 43 x
−3x2 +
−3x2
19
x
3
+2
19
x + 3 = R(x)
3
In dit geval geldt dus 2x3 − 3x2 + 5x + 5 = (3x2 − 2)( 23 x − 1) + ( 19
3 x + 3). De deling
eindigt altijd zodra de graad van de rest kleiner is dan de graad van de deler Q(x).
Opgave 1.1 Bepaal quotiënt en rest bij deling van
(a) 5x7 − 3x6 + x2 door 3x4 − 5.
(c) x10 − 1 door x − 1.
3
2
3
(b) 2x + 4x − x − 3 door x + x.
De coëfficiënten ai zijn in het algemeen reële getallen. Soms wordt ook gewerkt met
polynomen met uitsluitend gehele coëfficiënten. Het is van belang op te merken dat
als P (x) en Q(x) beide gehele coëfficiënten hebben en de coëfficiënt van de hoogste
macht ±1 is, het quotiënt en de rest bij deling van P (x) door Q(x) weer polynomen
met gehele coëfficiënten zijn. (Ga dit na.)
Beschouw weer in het algemeen vergelijking (1). Stel nu Q(x) = x − p. De rest is
dan een polynoom van graad nul, dus een constante:
P (x) = (x − p)S(x) + R .
Substitueer x = p, dan volgt R = P (p). De rest bij deling van P (x) door x − p is
dus P (p). Als in het bijzonder P (p) = 0, dan geldt P (x) = (x − p)S(x). Van P (x)
kan men dus een factor x − p afsplitsen. Is q 6= p een tweede nulpunt van P (x), dan
is 0 = P (q) = (q − p)S(q), dus ook S(q) = 0. Van S(x) is dus een factor x − q af te
splitsen. Als in het algemeen p1 , p2 , . . . , pk verschillende nulpunten van P (x) zijn,
dan geldt P (x) = (x − p1 )(x − p2 ) · · · (x − pk )P ∗ (x). We vinden dus:
1
Stelling 1.1 Elk polynoom van graad n, n > 0, heeft ten hoogste n nulpunten.
Er zijn polynomen zonder reële nulpunten, bijvoorbeeld P (x) = x2 + 1. Maar elk
polynoom van oneven graad heeft minstens één reëel nulpunt. Stel namelijk x 6= 0,
a0
dan geldt P (x) = an xn +an−1 xn−1 +· · ·+a0 = xn (an + an−1
x +· · ·+ xn ) (n oneven en
an−1
a0
an 6= 0). Als |x| voldoende groot is, is | x + · · · + xn | < |an |, dus als x voldoende
groot positief is, heeft P (x) hetzelfde teken als an , en als x voldoende groot negatief
is, heeft P (x) juist het tegengestelde teken. Omdat polynomen continue functies
zijn, moet er dan ook minstens één nulpunt zijn.
Stelling (1.1) kan men vaak op de volgende wijze gebruiken: weet men dat het
polynoom P (x) van graad kleiner dan of gelijk aan n is en meer dan n nulpunten
heeft, dan moet het van graad nul zijn. Maar een constante functie met een nulpunt
moet identiek nul zijn, dus P (x) ≡ 0. Alle coëfficiënten zijn dan ook nul.
Voorbeeld: Stel dat P (x) = a2 x2 + a1 x + a0 voldoet aan |P (x)| ≤ 1 voor alle
x ∈ [−1, 1]. Dan geldt |a2 | ≤ 2.
Bewijs.Stel |a2 | > 2. Noem Q(x) =
2x2 − 1. Dan Q(±1) = 1, Q(0) =
−1. Noem P ∗ (x) = a22 P (x) dan geldt
|P ∗ (x)| < |P (x)| ≤ 1 op [−1, 1]. Nu is
R(x) = Q(x) − P ∗ (x) een eerstegraads
polynoom met R(−1) > 0, R(0) < 0
en R(1) > 0. R heeft dus minstens
twee nulpunten, dus R is identiek nul,
m.a.w. Q(x) ≡ P ∗ (x), in tegenspraak
met |P ∗ (x)| < 1 op [−1, 1]. De veronderstelling |a2 | > 2 was dus onjuist. 1
0.5
−1
−0.5
0
0.5
1
−0.5
−1
Figuur 1: de grafiek van Q(x).
Voorbeeld: Elk polynoom van positieve graad met gehele coëfficiënten geeft voor
gehele x-waarden ook gehele functiewaarden. Kunnen die waarden allemaal priemgetallen zijn? Het antwoord is nee. Stel namelijk P (x) = an xn + · · · + a0 en stel dat
voor een zekere gehele k P (k) = p met p priem. Beschouw voor een gehele waarde
van i P (k + ip) − P (k) = an ((k + ip)n − k n ) + · · · + a1 ((k + ip) − k). Voor iedere j
is aj − bj deelbaar door a − b, dus P (k + ip) − P (k) is deelbaar door k + ip − k = ip.
Voor elke gehele i is P (k + ip) dus deelbaar door p. Zouden al deze waarden priemgetallen zijn, dan zouden ze allemaal gelijk zijn aan p. Het polynoom P (x) − p zou
dan oneindig veel verschillende nulpunten hebben. Tegenspraak.
Er is al aangetoond dat van P (x) een factor x − a kan worden afgesplitst zodra
P (a) = 0: P (x) = (x − a)S(x). Geldt ook S(a) = 0, dan kan ook van S(x) een
factor x − a worden afgesplitst: P (x) = (x − a)2 T (x). Kan men zo doorgaande k
maal een factor x − a afsplitsen (P (x) = (x − a)k U (x)) en geldt U (a) 6= 0 (zodat er
niet nog meer factoren x − a afgesplitst kunnen worden) dan heet a een k-voudig
nulpunt van P (x). Het getal k heet de multipliciteit van het nulpunt a. Een kvoudig nulpunt kan men opvatten als k samenvallende nulpunten. Stelling (1.1) is
blijkbaar uit te breiden:
Stelling 1.2 Het aantal nulpunten, elk geteld met zijn multipliciteit, van een polynoom van graad n > 0 bedraagt ten hoogste n.
2
Uit de regels voor differentiëren volgt:
Stelling 1.3 Als a een k-voudig nulpunt van P (x) is (k > 1), dan is a een (k − 1)voudig nulpunt van P 0 (x). Als a een enkelvoudig nulpunt van P (x) is, dan geldt
P 0 (a) 6= 0.
Stel dat het polynoom P (x) = an xn + · · · + a0 (an 6= 0) precies n (niet noodzakelijk verschillende) nulpunten x1 , x2 , . . . , xn heeft. Dan is Q(x) = an (x − x1 )(x −
x2 ) · · · (x − xn ) een polynoom van dezelfde graad met ook x1 , x2 , . . . , xn als nulpunten. Het verschil is van graad kleiner dan n, heeft minstens n nulpunten, en is dus
identiek nul. Na uitwerken van de haakjes in de uitdrukking voor Q(x) moet daarom
de coëfficiënt van elke macht xk gelijk zijn aan ak . In het bijzonder is de constante
term a0 = (−1)n an · x1 x2 · · · xn , m.a.w. het product van alle nulpunten is (−1)n aan0 .
Vergelijken van de coëfficiënten van xn−1 geeft an−1 = −an (x1 + x2 + · · · + xn ),
m.a.w. de som van alle nulpunten is − an−1
an . Vergelijken van de coëfficiënten van de
andere machten geeft nog meer betrekkingen tussen de coëfficiënten en de nulpunten, maar de twee genoemde betrekkingen zijn de belangrijkste.
Opgave 1.2 Stel P (x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 voldoet aan |P (x)| ≤ 1 als
x ∈ [−1, 1]. Bewijs |a3 | ≤ 4. (Men kan in het algemeen bewijzen dat als een n-de
graads polynoom aan deze voorwaarde voldoet, dan |an | ≤ 2n−1 .)
Opgave 1.3 Bewijs stelling (1.3).
Opgave 1.4 a en n zijn gehele getallen. De vergelijking x3 − x2 + ax − 2n = 0 heeft
drie gehele wortels. Bepaal a en n. (NWO 1970)
Opgave 1.5 P (x) = (1 − 3x + 3x2 )84 (1 + 3x − 3x2 )184 wordt uitgewerkt tot P (x) =
an xn + · · · + a0 . Bepaal de som an + an−1 + · · · + a0 .
Opgave 1.6 P (x) = an xn + · · · + a0 voldoet aan P (x) = P (−x) voor alle x. Bewijs
dat ai = 0 voor alle oneven i. Bewijs ook: als P (x) = −P (−x) voor alle x, dan is
ai = 0 voor alle even i.
Opgave 1.7 Bewijs dat als men het product (1 − x + x2 − x3 + · · · + x100 )(1 + x +
x2 + x3 + · · · + x100 ) uitwerkt, een polynoom ontstaat dat slechts even machten van
x bevat.
Opgave 1.8 Bepaal de rest na deling van x + x3 + x9 + x27 + x81 + x243 door
(a) x − 1
(b) x2 − 1.
Opgave 1.9 Een onbekend polynoom geeft rest 2 na deling door x − 1 en rest 1 na
deling door x − 2. Wat is de rest na deling door (x − 1)(x − 2)?
Opgave 1.10 Uitwerken van (x2 − x + 1)n − (x2 − x + 2)n + (1 + x)n + (2 − x)n ,
n > 2, geeft a2n−2 x2n−2 + · · · + a1 x + a0 . Bewijs dat a2n−2 + a2n−3 + · · · + a2 = 0.
(NWO 1963)
Opgave 1.11 P (x) = x2 + ax + 1 en Q(x) = x2 + x + a. Bepaal alle waarden van
a waarvoor P en Q een gemeenschappelijk nulpunt bezitten.
Opgave 1.12 Bepaal alle mogelijke polynomen van de vorm P (x) = x(x − a)(x −
b)(x − c) + 1 met a, b en c positief geheel en onderling verschillend die geschreven
3
kunnen worden als product van twee polynomen van positieve graad met gehele
coëfficiënten.
Opgave 1.13 Bewijs dat een polynoom met gehele coëfficiënten de waarde 14 voor
geen enkele gehele waarde van de variabele kan aannemen als het de waarde 7 voor
vier gehele waarden van de variabele aanneemt.
Opgave 1.14 P (x) is een polynoom met gehele coëfficiënten en positieve graad n.
Er zijn precies k gehele getallen N waarvoor P (N )2 = 1. Bewijs dat k − n ≤ 2.
2
De interpolatieformule van Lagrange
Door elk tweetal punten (x0 , y0 ), (x1 , y1 ) met x0 < x1 kan men de grafiek van een
eerstegraads polynoom (een rechte lijn) trekken. Dit polynoom is te schrijven als
P (x) = y0
x − x1
x − x0
+ y1
.
x0 − x1
x1 − x0
Door elk drietal punten (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) met x0 < x1 < x2 kan men de
grafiek trekken van het tweedegraads polynoom
P (x) = y0
(x − x1 )(x − x2 )
(x − x0 )(x − x2 )
(x − x0 )(x − x1 )
+ y1
+ y2
.
(x0 − x1 )(x0 − x2 )
(x1 − x0 )(x1 − x2 )
(x2 − x0 )(x2 − x1 )
In het algemeen geldt:
Stelling 2.1 Stel gegeven x0 < x1 < · · · < xn en n + 1 getallen y0 , y1 , . . . , yn , dan
voldoet het polynoom
P (x) =
n
X
i=0
yi
(x − x0 ) · · · (x − xi−1 )(x − xi+1 ) · · · (x − xn )
(xi − x0 ) · · · (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) · · · (xi − xn )
aan P (xi ) = yi voor i = 0, 1, . . . , n. Het is ook het enige polynoom van graad hooguit
n met deze eigenschap.
Bewijs. Door invullen controleert men dat inderdaad P (xi ) = yi voor alle i. Zou
een tweede polynoom Q(x) van graad hooguit n dezelfde eigenschap hebben, dan
zou P (x) − Q(x) nul zijn in de n + 1 punten x0 , x1 , . . . , xn . Dit kan alleen als het
verschil identiek nul is, dus als P en Q gelijk zijn. Het bepalen van een functie die in voorgeschreven punten voorgeschreven waarden
aanneemt, heet interpoleren. De interpolatieformule uit bovenstaande stelling is
afkomstig van de franse wiskundige J.L. Lagrange(1736-1813).
Opgave 2.1 Bepaal het polynoom P van graad hooguit 2 dat voldoet aan
(a) P (0) = 1, P (1) = 0 en P (2) = 0.
(b) P (0) = 0, P (1) = 1 en P (2) = 0.
(c) P (0) = 0, P (1) = 0 en P (2) = 1.
Opgave 2.2 Gebruik opgave (2) om een polynoom van graad hooguit 2 te vinden
dat voldoet aan P (0) = π, P (1) = e en P (2) = π · e.
4
Opgave 2.3 Noem Q(x) = (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ) en definieer voor
i = 0, 1, . . . , n
Li (x) =
Q(x)
als x 6= xi en Li (xi ) = 1 .
(x − xi )Q0 (xi )
Bewijs dat P (x) uit de stelling geschreven kan worden als
P (x) =
n
X
yi Li (x) .
i=0
3
Polynomen in meer variabelen
Elke eindige som van termen van de vorm c · xk11 xk22 · · · xknn waarin de ki nietnegatieve gehele exponenten zijn, heet een polynoom in de variabelen
x1 , x2 , . . . , xn . De getallen c heten de coëfficiënten van het polynoom. Neem aan
dat gelijksoortige termen, d.w.z. termen met hetzelfde stel exponenten k1 , k2 , . . . , kn
zijn samengenomen.
Voorbeeld voor n = 3: 2x21 x2 x53 +5x1 −x61 x2 x3 (In de tweede term geldt k2 = k3 = 0.)
Vult men voor n−1 van de variabelen vaste waarden in, dan ontstaat een polynoom
in de overblijvende variabele. De coëfficiënten van dit polynoom zijn zelf polynomen in de n − 1 andere variabelen. Als P1 (x1 ), P2 (x2 ), . . . , Pn (xn ) polynomen in
respectievelijk x1 , x2 , . . . , xn zijn, dan is het product
P1 (x1 )P2 (x2 ) · · · Pn (xn ) een polynoom in x1 , x2 , . . . , xn .
Een voorbeeld is (x21 + 2)(x2 − 5)(3x33 − 2x23 + 7x3 − 5).
Het is echter niet waar dat elk polynoom in n variabelen ook geschreven kan worden
als product van n polynomen in één variabele. Zo is het bijvoorbeeld duidelijk dat
er geen polynomen P1 (x1 ) en P2 (x2 ) bestaan met P1 (x1 )P2 (x2 ) = x21 + x22 . Een
polynoom in meer dan één variabele kan oneindig veel nulpunten hebben. Zo geldt
bijvoorbeeld x21 − x22 = 0 voor alle punten (x1 , x2 ) met x1 = ±x2 .
Stelling 3.1 Als het polynoom P (x1 , x2 , . . . , xn ) voor alle reële waarden van x1 , x2 ,
. . . , xn de waarde 0 aanneemt, dan zijn alle coëfficiënten van het polynoom nul.
Bewijs. We passen volledige inductie naar n toe. Voor n = 1 hebben we de stelling
al bewezen. Stel dat de stelling geldt voor elk polynoom van n variabelen en dat
P (x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 ) = 0 voor alle (x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 ).
P (x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 ) = A0 + A1 xn+1 + A2 x2n+1 + · · · + Ak xkn+1 , waarin de Ai
polynomen zijn in x1 , x2 , . . . , xn . Voor elk stel (x1 , x2 , . . . , xn ) is P een polynoom
in xn+1 dat identiek nul is. Dit betekent dat de coëfficiënten Ai allemaal nul zijn.
Elke Ai is dus nul voor elk stel waarden van de variabelen x1 , x2 , . . . , xn . Volgens
de inductieveronderstelling zijn dan alle coëfficiënten van elke Ai nul, m.a.w. alle
coëfficiënten van P zijn nul. Men gebruikt vaak polynomen in n variabelen waarbij de som k1 + k2 + · · · + kn
voor alle termen c · xk11 xk22 · · · xknn hetzelfde is. Zulke polynomen heten homogeen.
Voorbeelden voor n = 3: 7x31 x2 − x1 x2 x23 + 4x22 x23 + 2x42 , x51 + x41 x2 + x22 x33 en
(x1 + 2x2 − x3 )8 .
Als in elke term k1 + k2 + · · · + kn = r, dan heet het polynoom homogeen van graad
r. De voorbeelden hierboven zijn homogeen van respectievelijk graad 4, graad 5 en
5
graad 8. Het is duidelijk dat als P homogeen van graad r is, voor iedere waarde
van t de gelijkheid
P (tx1 , tx2 , . . . , txn ) = tr P (x1 , x2 , . . . , xn )
(2)
geldt. Het omgekeerde is ook waar:
Stelling 3.2 Voldoet het polynoom P voor iedere t en elk stel (x1 , x2 , . . . , xn ) aan
(2), dan is P homogeen van graad r.
Bewijs. Kies een vast stel waarden (x1 , x2 , . . . , xn ); P (tx1 , tx2 , . . . , txn ) is dan een
polynoom in t: P (tx1 , tx2 , . . . , txn ) = A0 + A1 t + A2 t2 + · · · . Hierbij is Ai de som
van alle termen c · xk11 xk22 · · · xknn met k1 + k2 + · · · + kn = i. Het polynoom in t
P (tx1 , tx2 , . . . , txn )−tr P (x1 , x2 , . . . , xn ) = A0 +A1 t+A2 t2 +· · ·+Ar−1 tr−1 +(Ar −
P (x1 , x2 , . . . , xn ))tr + Ar+1 tr+1 + · · · is identiek nul, dus alle coëfficiënten zijn nul.
Er geldt dus Ai = 0 als i 6= r, en dit geldt voor elk stel waarden (x1 , x2 , . . . , xn ).
De coëfficiënten van alle polynomen Ai (x1 , x2 , . . . , xn ) met i 6= r zijn dus allemaal
nul, dus P is homogeen van graad r. Opgave 3.1 P (x1 , x2 , . . . , xn ) en Q(x1 , x2 , . . . , xn ) zijn homogene polynomen van
graad r respectievelijk s. Bewijs dat het product van P en Q homogeen van graad
r + s is. Wanneer is de som van P en Q ook homogeen?
Opgave 3.2 Voor welke waarden van k bestaat er een polynoom P (x, y, z) zo, dat
x3 + y 3 + z 3 + kxyz = (x + y + z)P (x, y, z) .
Opgave 3.3 Het polynoom P (x, y) voldoet aan P (x, x) = 0 voor alle x. Bewijs dat
er een polynoom Q(x, y) bestaat zo, dat P (x, y) = (x − y)Q(x, y).
Opgave 3.4 Vind alle polynomen P (x, y) die voldoen aan de volgende eigenschappen:
(1) er is een n ∈ N zo, dat voor alle x, y, t ∈ R geldt P (tx, ty) = tn P (x, y);
(2) voor alle a, b, c ∈ R geldt P (a + b, c) + P (b + c, a) + P (c + a, b) = 0;
(3) P (1, 0) = 1.
4
Gemengde opgaven
Opgave 4.1 P (x) = (x − a)(x − b) − k(x − c)(x − d) met a < c < b.
(a) Bewijs dat als k = 1, P voor elke waarde van d hooguit één nulpunt heeft.
(b) Bewijs dat als k < 1, P voor elke waarde van d precies twee nulpunten heeft.
(NWO 1e ronde, 1969)
Opgave 4.2 Bepaal alle polynomen P en Q zo, dat voor alle x
P (x)3 + Q(x)P (x)2 + (x4 + 1)P (x) + x3 + x = 0 .
6
Opgave 4.3 Bewijs dat 1 + x1111 + x2222 + · · · + x9999 deelbaar is door 1 + x + x2 +
· · · + x9 .
Opgave 4.4 Bepaal alle gehele getallen a zo, dat (x − a)(x − 10) + 1 geschreven
kan worden als (x − b)(x − c) met b en c geheel.
Opgave 4.5 P is een zevendegraads polynoom met gehele coëfficiënten en voor
zeven verschillende gehele waarden van de variabele x geldt P (x)2 = 1. Bewijs
dat P niet geschreven kan worden als product van twee polynomen met gehele
coëfficiënten en positieve graad.
Opgave 4.6 Een polynoom met gehele coëfficiënten neemt oneven gehele waarden
aan in 0 en in 1. Bewijs dat geen van zijn nulpunten geheel is.
Opgave 4.7 Bewijs dat alle rationale nulpunten van het polynoom met gehele
coëfficiënten xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + · · · + a0 (an = 1!) geheel zijn.
Opgave 4.8 a en b zijn reële getallen zo, dat de vergelijking x4 +ax3 +bx2 +ax+1 = 0
minstens één oplossing heeft. Bepaal de minimale waarde van a2 + b2 . (IWO 1973)
7