samenvatting wiskunde d

SAMENVATTING WISKUNDE D
HOOFDSTUK 1: LIJNEN EN CIRKELS
1.1-LIJN EN VLAK
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑
𝑥
𝑝
𝑦
𝑧
𝑞
𝑟
+ + =1
= vector
𝑎
𝑏
𝑐
snijdt assen in (p,0,0), (0,q,0) en (0,0,r)
1.2- AFSTAND TOT EEN LIJN OF VLAK
De afstand van punt P (x,y,z) tot een vlak met formule ax+by+cz+d=0 is
De afstand van punt P (x,y) tot een lijn met formule ax+by+c=0 is
|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑|
√𝑎2 +𝑏2 +𝑐 2
|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|
√𝑎2 +𝑏2
1.3 GELIJKE AFSTANDEN
Voor de middelloodlijnen van punt a en b geldt |𝑎| = |𝑏| dus a=b of a=-b
Voor de deellijnen van lijn l en m geldt dat ook.
In de ruimte spreekt men van een bissectricevlak en middelloodvlak
1.4 LOODRECHT
Voor lijnen l en m met vergelijkingen ax+by=c en px+qy=r geldt l 上 m als a*p+b*q=0
Voor l en k met vergelijking mx +n=y geldt m(l)*m(k)=-1 mits beide m’s geen nul zijn
1.5 CIRKEL EN BOL
De middelpuntsvergelijking van een cirkel met midden M(a,b) en straal r is (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2
Die van een bol met midden M(a,b,c) is (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + (𝑧 − 𝑐)2 = 𝑟 2
Om van een formule naar de standaard cirkel vergelijking te gaan moet men de kwadraten
afsplitsen
HOOFDSTUK 2: KEGELSNEDEN
2.1 VLAK EN KEGEL
Als een kegel met halve tophoek α door een vlak wordt gesneden ontstaat een
Ellips als de hoek met de as >α
Hyperbool als α > hoek met de as
Parabool als α = hoek met de as
2.2,3,4 PARABOOL, ELLIPS, HYPERBOOL
Naam
Vergelijking
Toppen
Brandpunten
Asymptoten of
richtlijnen
4𝑐𝑦 = 𝑥 2
T(0,0)
F(0,c)
y=-c
4𝑐(𝑦 − 𝑞) = (𝑥 − 𝑝)2
T(p,q)
F(p,q+c)
y=q-c
T(0,b), (0,-b),
(c,0), (-c,0)
F(-c,0) en
F(c,0)
Er geldt 𝑐 2 + 𝑏 2 = 𝑎2
T(p,q±b), (p±c,q)
F(p±c,q)
T (a,0), (-a,0)
F(-c,0) (c,0)
T(p+a,q), (p-a,q)
F(p±c,q)
Parabool
Verschoven
Ellips
𝑥 2 𝑦2
+
=1
𝑎2 𝑏 2
Verschoven
(𝑥 − 𝑝)2 (𝑦 − 𝑞)2
+
=1
𝑎2
𝑏2
Hyperbool
𝑥 2 𝑦2
−
=1
𝑎2 𝑏 2
Verschoven
(𝑥 − 𝑝)2 (𝑦 − 𝑞)2
−
=1
𝑎2
𝑏2
2.5 VERSCHUIVEN EN SPIEGELEN
Translatie met vector
𝑚
𝑛
x-m, y-n
Spiegelen lijn y=x, verwissel x en y
x wordt –x = spiegelen y-as
y wordt –y = spiegelen x-as
𝑏
𝑦=± 𝑥
𝑎
𝑏
(𝑦 − 𝑞) = ± (𝑥 − 𝑝)
𝑎