Formules Statistiek I

Formules Statistiek I
blauw = staat op het formularium blad
ORGANIZATION
Opgesteld door: Yanah Franki
Formules Statistiek I
blauw = staat op het formularium blad
HOOFDSTUK 3: SAMENVATTEN VAN DATA
3.1. Centrummaten
 Steekproefgemiddelde:
𝑛
1
𝑥̅ = ∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 Gemiddelde op basis van frequentieverdeling:
𝑝
1
𝑥̅ = ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖𝑢
𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖𝑢 = unieke waarden van variabele x
𝑓𝑖 = absolute frequentie horende bij de waarde 𝑥𝑖𝑢
 Klassenmidden voor klasse ]𝑎, 𝑏]
𝑎+𝑏
2
 Gemiddelde op basis van gegroepeerde data:
𝑝
1
𝑎𝑖 + 𝑏𝑖
𝑥̅ = ∑ 𝑓𝑖
𝑛
2
𝑖=1
 Mediaan = 𝑚𝑑𝑥
 Mediaan voor gegroepeerde data:
𝑛
(2 − 𝑐) (𝑏 − 𝑎)
𝑚𝑑𝑥 = 𝑎 +
𝑑
𝑎: de ondergrens van de mediane klasse
𝑏: de bovengrens van de mediane klasse
𝑐: de cumulatieve absolute frequentie van de klasse
net kleiner dan de mediane klasse.
𝑑: de absolute frequentie van de mediane klasse
𝑛: de steekproefgrootte
 Modus = 𝑚𝑜
Formules Statistiek I |
3.2. Spreidingsmaten
1
 Variatiebreedte 𝑣𝑥 =
 de grootse min de kleinste waarde voor ongegroepeerde data
 de bovengrens van de laatste klasse min de ondergrens van de eerste klasse voor
gegroepeerde data
 Gemiddelde absolute afwijking 𝑔𝑎𝑥 :
𝑛
1
𝑔𝑎𝑥 = ∑|𝑥𝑖 − 𝑥̅ |
𝑛
𝑖=1
 Steekproefvariantie:
𝑛
1
2
𝑠𝑑𝑥 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2
𝑛
𝑖=1
𝑛
1
𝑠𝑥2 =
∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2
𝑛−1
𝑖=1
 Standaarddeviatie:
𝑠𝑑𝑥 = √𝑠𝑑𝑥2
𝑠𝑥 = √𝑠𝑥2
 Interkwartielafstand:
𝑄 = 𝑃75 − 𝑃25
 Spreidingsmaat d:
𝑓
1 − 𝑚𝑜
𝑛
𝑑=
1
1−𝑝
𝑓𝑚𝑜 : frequentie van de modus
𝑝: aantal waarden
3.3. Boxplot
 Bepalen van outliers:
𝑃25 − 1,5 × 𝑄
𝑃75 + 1,5 × 𝑄
HOOFDSTUK 4: SAMENHANG TUSSSEN TWEE VARIABELEN
4.4. maten van samenhang
 De covariantie (steekproef):
𝑛
1
𝑐𝑜𝑣𝑋𝑌 =
∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )(𝑦𝑖 − 𝑦̅)
𝑛−1
Formules Statistiek I |
𝑖=1
2
𝑐𝑜𝑣𝑋𝑌 > 0 bij een positieve samenhang
𝑐𝑜𝑣𝑋𝑌 < 0 bij een negatieve samenhang
𝑐𝑜𝑣𝑋𝑌 ≈ 0 indien er geen samenhang is (≈ = ongeveer)
 De correlatiecoëfficiënt (steekproef):
𝑐𝑜𝑣𝑋𝑌
𝑟𝑋𝑌 =
𝑠𝑋 𝑠𝑌
 Kendall’s 𝜏:
𝜏=
2(𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛 − 𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛)
𝑛(𝑛 − 1)
𝑦𝑗 −𝑦𝑖
𝑥𝑗 −𝑥𝑖
𝑦𝑗 −𝑦𝑖
> 0  concordant
𝑥𝑗 −𝑥𝑖
< 0  discordant
Samenhang hetzelfde bij de covariantie
4.5. De regressielijn
 Regressielijn:
𝑌 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑋
Regressiecoëfficiënt = helling van de rechte:
𝑦𝑗 − 𝑦𝑖
𝑏1 =
𝑥𝑗 − 𝑥𝑖
Snijpunt met de verticale as:
𝑏0 = 𝑦𝑖 − 𝑏1 𝑥𝑖
 Kleinste-kwadratenmethode:
𝑛
∑(𝑦𝑖 − (𝑏0 + 𝑏1 𝑥𝑖 )) 2
𝑖=1
𝑏1 = 𝑟𝑋𝑌
𝑠𝑌
𝑠𝑋
𝑏0 = 𝑦̅ − 𝑏1 𝑥̅
HOOFDSTUK 5: DE POPULATIE EN VERDELINGSFUNCTIES
5.1. Verdelingsfunctie discrete variabelen
 Relatieve frequentie van 𝑥𝑖 in de populatie:
𝑓𝑖
𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) = lim
𝑛→∞ 𝑛
5.2. Verdelingsfunctie continue variabelen
 Cumulatieve verdelingsfunctie:
𝐹𝑋 (𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)
 Eigenschappen dichtheidsfunctie:
𝑃(𝑥1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥2 ) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥2 ) − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥1 ) = 𝐹𝑋 (𝑥2 ) − 𝐹𝑋 (𝑥1 )
Formules Statistiek I |
𝑃(𝑋 > 𝑥) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)
3
𝑓𝑋 (𝑥) ≥ 𝑂
5.3. Populatieparameters
 Populatiegemiddelde:
𝑝
𝐸(𝑋) = 𝜇 = ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 )𝑥𝑖
𝑖=1
 Populatievariantie:
𝑝
2
2
𝑉(𝑋) = 𝜎 = ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) (𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋))
𝑖=1
 Standaarddeviatie (populatie):
𝜎𝑋 = √𝑉(𝑋)
5.4. Bivariate kansverdelingen
 Univariate verdeling van X wordt bekomen via:
𝑞
𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) = ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 𝑒𝑛 𝑌 = 𝑦𝑗 )
𝑗=1
 Statistische onafhankelijkheid (discreet):
𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 𝑒𝑛 𝑌 = 𝑦𝑗 ) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 )𝑃(𝑌 = 𝑦𝑗 )
 Covariantie (populatie):
𝑝
𝑞
𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌) = ∑ ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 𝑒𝑛 𝑌 = 𝑦𝑗 )(𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋)) (𝑦𝑗 − 𝐸(𝑌))
𝑖=1 𝑗=1
 Correlatiecoëfficiënt (populatie):
𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌)
𝜌𝑋𝑌 =
𝜎𝑋 𝜎𝑌
 Cumulatieve bivariate verdelingsfunctie:
𝐹𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥 𝑒𝑛 𝑌 ≤ 𝑦)
 Twee continue variabelen X en Y zijn onafhankelijk als geldt dat:
𝑃(𝑋 ≤ 𝑥 𝑒𝑛 𝑌 ≤ 𝑦) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)𝑃(𝑌 ≤ 𝑦)
Formules Statistiek I |
5.5. Nuttige stellingen
4
 Stelling 1: Als X en Y onafhankelijke variabelen zijn dan geldt dat:
𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌) = 0
 Stelling 2: Voor een variabele Y = X + a geldt dat:
𝐸(𝑌) = 𝐸(𝑋) + 𝑎
Waarbij a een constante is
 Stelling 3: Voor een variabele Y = aX geldt dat:
𝐸(𝑋) = 𝑎𝐸(𝑋)
Waarbij a een constante is
 Stelling 4: Voor twee variabelen X en Y (die onafhankelijk of afhankelijk kunnen zijn) geldt
dat:
𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌),
𝑒𝑛
𝐸(𝑋 − 𝑌) + 𝐸(𝑋) − 𝐸(𝑌)
 Stelling 5: Voor twee onafhankelijke variabelen X en Y geldt dat:
𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌)
 Stelling 6: Voor een variabele Y = X + a geldt dat:
𝑉(𝑌) = 𝑉(𝑋)
Waarbij a een constante is
 Stelling 7: Voor een variabele Y = aX geldt dat:
𝑉(𝑌) = 𝑎2 𝑉(𝑋)
Waarbij a een constante is
 Stelling 8: Voor twee variabelen X en Y geldt dat:
𝑉(𝑋 + 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) + 2𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌)
Indien X en Y onafhankelijke variabelen zijn, dan volgt uit Stelling 1 en Stelling 8 dat:
𝑉(𝑋 + 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌)
 Stelling 9: Voor twee variabelen X en Y geldt dat:
𝑉(𝑋 − 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) − 2𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌)
Indien X en Y onafhankelijke variabelen zijn dan volgt uit Stelling 1 en Stelling 9 dat:
𝑉(𝑋 − 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌)
5.6. Bijzondere verdelingen
 Binominale kansverdeling:
𝑁!
𝑃(𝑋 = 𝑘) =
𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑁−𝑘
(𝑁
𝑘!
− 𝑘)!
Formules Statistiek I |
 Verwachtingswaarde van een binomiale variabele 𝑋~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚(𝑁, 𝑝):
𝐸(𝑋) = 𝑁𝑝
5
 Variantie van een binomiale variabele 𝑋~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚(𝑁, 𝑝):
𝑉(𝑋) = 𝑁𝑝(1 − 𝑝)
 Dichtheidsfunctie van een normaal verdeelde variabele:
−(𝑥−𝜇)2
1
(𝑥)
𝑓𝑋
=
𝑒 2𝜎2
𝜎√2𝜋
 Voor een standaardnormale verdeling geldt dat:
𝑃(𝑋 > 𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ −𝑥)
𝑃(𝑋 ≤ −𝑥) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)
 Stelling 10: Als X een normale verdeling heeft met gemiddelde 𝜇 en variantie 𝜎 2 , dus
𝑋−𝜇
𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ), dan heeft de variabele 𝑍 = 𝜎 , een standaardnormale verdeling, dus
𝑍~𝑁(0,1)
Deze stelling impliceert de volgende vergelijking: als 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) dan geldt dat:
𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 𝑃 (
𝑋−𝜇 𝑥−𝜇
𝑥−𝜇
≤
) = 𝑃 (𝑍 ≤
)
𝜎
𝜎
𝜎
= standaardiseren
 De 𝑋𝑘2 -verdeling is de verdeling van de variabele:
𝑌 = 𝑋12 + 𝑋22 + ⋯ + 𝑋𝑘2
 Verwachtingswaarde van een variabele in een 𝑋𝑘2 -verdeling:
𝐸(𝑌) = 𝑘
 Variantie van een variabele in een 𝑋𝑘2 -verdeling:
𝑉(𝑌) = 2𝑘
 𝑡𝑘 -verdeling is de verdeling van de variabele:
𝑋
𝑇=
√1 𝑌
𝑘
 Als 𝑇~𝑡𝑘 dan geldt dat:
𝐸(𝑇) = 0
𝑘
𝑉(𝑇) =
, 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑘 > 2
𝑘−2
HOOFDSTUK 6: DE STEEKPROEVENVERDELING
6.2. Steekproevenverdeling van het gemiddelde
 Gemiddelde (steekproef algemeen)
𝑛
1
𝑋̅ = ∑ 𝑋𝑖
𝑛
Formules Statistiek I |
𝑖=1
6
 Stelling 11: De verwachtingswaarde van het steekproefgemiddelde 𝑋̅ is gelijk aan het
populatiegemiddelde van de variabele X :
𝐸(𝑋̅) = 𝜇𝑋
Bewijs. Door gebruik te maken van Stelling 3 volgt dat:
1
1
𝐸(𝑋̅) = 𝐸 (𝑛 (𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑛 )) = 𝑛 𝐸(𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑛 )
Stelling 4 impliceert dat:
𝐸(𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑛 ) = 𝐸(𝑋1 ) + ⋯ + 𝐸(𝑋𝑛 )
Omdat 𝐸(𝑋1 ) = 𝜇𝑋 volgt dat:
Zodat:
𝐸(𝑋1 ) + ⋯ + 𝐸(𝑋𝑛 ) = 𝜇𝑋 + ⋯ + 𝜇𝑋 = 𝑛𝜇𝑋
1
𝑛𝜇
𝐸(𝑋̅) = 𝑛 𝐸(𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑛 ) = 𝑛𝑋 = 𝜇𝑋
 Stelling 12: De variantie van het steekproefgemiddelde is gelijk aan de populatievariantie
van de variabele gedeeld door de steekproefgrootte:
𝑉(𝑋̅) =
𝜎𝑋2
𝑛
Bewijs. Door gebruik te maken van Stelling 7 volgt dat:
1
1
𝑉(𝑋̅) = 𝑉 (𝑛 (𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑛 )) = 𝑛2 𝑉(𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑛 )
Omdat 𝑋1 , … , 𝑋𝑛 onafhankelijk zijn, volgt uit formule 5.15 dat:
𝑉(𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑛 ) = 𝑉(𝑋1 ) + ⋯ + 𝑉(𝑋𝑛 )
Omdat 𝑉(𝑋𝑖 ) = 𝜎𝑋2 volgt dat:
𝑉(𝑋1 ) + ⋯ + 𝑉(𝑋𝑛 ) = 𝜎𝑋2 + ⋯ + 𝜎𝑋2 = 𝑛𝜎𝑋2
Zodat:
2
2
1
𝑛𝜎
𝜎
𝑉(𝑋̅) = 𝑛2 𝑉(𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑛 ) = 𝑛2𝑋 = 𝑛𝑋
 Stelling 13: Stel dat 𝑋1 , … , 𝑋𝑛 n onafhankelijke lukrake trekkingen zijn uit een populatie met
een normale verdeling 𝑁(𝜇𝑋 , 𝜎𝑋2 ), dan zal 𝑋̅ook normaal verdeeld zijn:
𝜎2
𝑋̅~𝑁 (𝜇𝑋 , 𝑋)
𝑛
 Stelling 14: (Centrale limietstelling), Stel dat 𝑋1 , … , 𝑋𝑛 n onafhankelijke lukrake trekkingen
zijn uit een populatie met gemiddelde 𝜇𝑋 en variantie 𝜎𝑋2 , dan wordt de verdeling van het
steekproefgemiddelde 𝑋̅naarmate n groter wordt, steeds beter benaderd door de normale
verdeling met gemiddelde 𝜇𝑋 en variantie
 Standaardiseren steekproefgemiddelde:
𝑥 − 𝜇𝑋
𝑃(𝑋̅ ≤ 𝑥) = 𝑃 (𝑍 ≤
),
√𝜎𝑋2 ⁄𝑛
2
𝜎𝑋
𝑛
𝑍~𝑁(0,1)
Formules Statistiek I |
6.3. Steekproevenverdeling van de variantie
7
 Steekproefvariantie:
𝑛
1
2
𝑆𝐷𝑥 = ∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑆𝑥2
1
=
∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2
𝑛−1
𝑖=1
 Verwachtingswaarde van de steekproefvariantie:
𝐸(𝑆𝐷𝑋2 ) =
𝑛−1 2
𝜎𝑋
𝑛
𝐸(𝑆𝑋2 ) = 𝜎𝑋2
 Stelling 15: Stel dat 𝑋1 , … , 𝑋𝑛 n onafhankelijke lukrake trekkingen zijn uit een populatie met
normale verdeling 𝑁(𝜇𝑋 , 𝜎𝑋2 ), dan geldt:
(𝑛 − 1)𝑆𝑋2
2
~ 𝑋𝑛−1
𝜎𝑋2
Hoofdstuk 7: Betrouwbaarheidsintervallen en statistische toetsen voor
het populatiegemiddelde
7.1 Schatters
 De verwachtingswaarde van de schatter is gelijk aan de populatieparameter
E(𝜃̂) = 
7.2.1 X normaal verdeeld en gekende populatievariantie
 We duiden met 𝑍𝛼 de waarde van de standaardnormale verdeling aan zodat de oppervlakte
onder de curve rechts van de waarde gelijk is aan 
𝑃(𝑍 > 𝑍𝛼 ) = 
 De standaardnormale verdeling is symmetrisch rond 0
𝑃 (−𝑍𝛼 ≤ 𝑍 ≤ 𝑍𝛼 ) = 1 − 𝛼
2
 We kunnen Z vervangen
𝑋̅−𝜇
𝜎/√𝑛
𝑃 (−𝑍𝛼 ≤
Formules Statistiek I |
2
8
2
𝑋̅ − 𝜇
𝜎/√𝑛
≤ 𝑍𝛼 ) = 1 − 𝛼
2
 De kans dat het populatiegemiddelde in het interval ligt is gelijk aan 1 - 
𝑋̅ − 𝑍𝛼
2
𝜎
√𝑛
≤ 𝜇 ≤ 𝑋̅ + 𝑍𝛼
2
𝜎
√𝑛
= 1− 𝛼
7.2.2 X normaal verdeeld en ongekende populatievariantie
 De t n−1verdeling is symmetrisch rond 0
𝑃 ( −𝑡𝑛−1;𝛼 ≤ 𝑇 ≤ 𝑡𝑛−1;𝛼 ) = 1 − 𝛼
2
2
𝑋̅−𝜇
𝑥 / √𝑛
 We kunnen T vervangen door 𝑆
̅ −𝜇
𝑋
~𝑡𝑛−1
𝑆𝑥 / √𝑛
𝑃 ( −𝑡𝑛−1;𝛼 ≤
2
𝑋̅ − 𝜇
𝑆𝑥 / √𝑛
≤ 𝑡𝑛−1;𝛼 ) = 1 − 𝛼
2
 De kans dat het populatiegemiddelde in het interval ligt is gelijk aan 1 - 
𝑃(𝑋̅ − 𝑡𝑛−1;𝛼
2
𝑆𝑥
√𝑛
≤ 𝜇 ≤ 𝑋̅ + 𝑡𝑛−1;𝛼
2
𝑆𝑥
√𝑛
=1− 𝛼
Betrouwbaarheidsintervallen
 Betrouwbaarheidsintervallen
𝜎
, 𝑋̅
√
2 𝑛
[𝑋̅ − 𝑍𝛼
𝜎
√
2 𝑛
+ 𝑍𝛼
𝑆𝑥
√
2 𝑛
] [𝑋̅ − 𝑡𝑛−1;𝛼
𝑆𝑥
√
2 𝑛
, 𝑋̅ + 𝑡𝑛−1;𝛼
]
7.3.1 Toetsingsgrootheid
 De toetsingsgrootheid G
𝐺=
𝑋̅ − 𝜇0
𝑆𝑥 /√𝑛
Formules Statistiek I |
7.3.3 Type I en Type II fout
9
 Type I fout
 Type II fout
𝑃(𝑣𝑒𝑟𝑤𝑒𝑟𝑝 𝐻0 /𝜇 = 𝜇0 ) = 𝛼
𝑃(𝑎𝑎𝑛𝑣𝑎𝑎𝑟𝑑𝑒𝑛 𝐻0 /𝜇 ≠ 𝜇0 ) = 𝛽