Samenvatting

Samenvatting
Dit proefschrift bestaat uit een verzameling studies over niet-conservatieve systemen van gekoppelde oscillatoren. In dit geval bevatten deze systemen een parametrisch aangedreven oscillator. De nadruk ligt zowel op bifurcaties van eenvoudige
oplossingen (zoals vaste punten en periodieke oplossingen), als op het identificeren
van complexere dynamica, zoals chaotische oplossingen.
In hoofdstuk 1 wordt een autoparametrisch systeem bestudeerd, bestaande uit
een oscillator die op niet-lineaire wijze aan een aangedreven subsysteem is gekoppeld.
Deze koppeling is zodanig, dat de oscillator in rust kan zijn terwijl het aangedreven
subsysteem beweegt. Deze oplossing wordt aangeduid als de semi-triviale oplossing. Wanneer de semi-triviale oplossing instabiel wordt kan dit aanleiding geven
tot het ontstaan van niet-triviale oplossingen. We zullen hier de situatie beschouwen
waarin de oscillator en het subsysteem in 1 : 1 resonantie verkeren. Bovendien is
het aangedreven subsysteem in parametrische 1 : 2 resonantie met de externe aandrijving. Met behulp van de middelingsmethode en numerieke bifurcatie continuatie
wordt de dynamica van het systeem bestudeerd, in het bijzonder de stabiliteit van
de semi-triviale oplossing. Er treden diverse soorten bifurcaties van de semi-triviale
oplossing op die leiden tot niet-triviale periodieke, of quasi-periodieke oplossingen.
Numerieke onderzoekingen wijzen op het bestaan van series periodeverdubbelingen
die leiden tot chaotische oplossingen. Tot slot merken we op dat in het gemiddelde
systeem een codimensie twee bifurcaties optreedt.
In hoofdstuk 2 worden locale en globale aspecten van de dynamica van het systeem uit hoofdstuk 1 verder bestudeerd. Als eerste wordt centrumvariëteit analyse
toegepast, waarmee de vergelijkingen van een codimensie twee bifurcatie worden
afgeleid. De resulaten van de analyse van deze bifurcatievergelijking worden daarna
in verband gebracht met locale dynamica in het volledige systeem. Als tweede methode wordt een globale perturbatie techniek toegepast die ontwikkeld is door Kovac̃ic̃
en Wiggins. Met behulp van deze methode kan het bestaan van een heterocliene
oplossing van het Šilnikov type worden aangetoond. Het is bekend dat zo’n oplossing gepaard gaat met complexe dynamica, waaronder chaotische oplossingen. Ten
slotte worden deze resultaten gecombineerd, leidend tot conclusies die geldig zijn
voor het volledige systeem.
Hoofdstuk 3 is een studie van gekoppelde oscillator systemen met zelf-excitatie.
Deze zelf-excitatie wordt gegenereerd door stromings geı̈nduceerde trillingen. In
toepassingen zou dit model bijvoorbeeld de stroming rond bepaalde structuren kunnen beschrijven, die destructieve trillingen tot gevolg kan hebben. Dit onderwerp is
99
100
de laatste jaren steeds relevanter geworden, aangezien ontwerpers materialen steeds
meer tot hun limiet belasten, wat er toe leidt dat strucuren steeds lichter en flexibeler
worden.
Het onderdrukken van stroming geı̈nduceerde trillingen met behulp van een conventioneel massa-veer systeem is veel onderzocht en ook toegepast in de praktijk.
Ook is bekend dat diverse typen demping de zelf-geëxiteerde trillingen kunnen onderdrukken. Er is echter nog weinig aandacht besteed aan het onderdrukken van
trillingen door middel van interacties van verschillende typen excitatie. In Tondl’s
verhandeling leidden synchronisatie fenomenen, met behulp van parametrische resonantie, tot het idee parametrische excitatie te gebruiken om zelf-geı̈nduceerde trillingen te onderdrukken. Ook zijn hier de voorwaarden voor volledige onderdrukking
van trillingen (ook wel ’quenching) geformuleerd.
Hoofdstuk 3 behandelt de mogelijkheid zelf-geëcxiteerde trillingen in mechanische systemen te onderdrukken met behulp van parametrische excitatie met twee
vrijheidsgraden. We beschouwen een systeem bestaande uit twee componenten. De
belangrijkste component wordt aangedreven door een kracht die geleverd wordt door
stromingsgeı̈nduceerde zelfexcitatie. Een oscillerende component, die in staat is tot
dynamische absorptie, is aan de hoofdcomponent bevestigd. Het periodiek variëren
van de elasticiteit van de verbinding tussen de hoofdcomponent en de absorbtieoscillator vertegenwoordigt een parametrische excitatie. Het blijkt dat voor bepaalde
frequenties van de aandrijving de vibraties elkaar volledig kunnen opheffen. Met behulp van de middelingsmethode wordt het volledige niet-lineaire systeem bestudeerd,
met als niet triviale oplossingen zowel stabiele periodieke oplossingen als tori. In het
geval van een kleine absorptiemassa moet er een tweede orde berekening uitgevoerd
worden.
In de appendix worden open vraagstukken over modellen met drie vrijheidsgraden geformuleerd. Deze modellen bevatten ook interactie tussen zelfexcitatie en
parametrische excitatie. Er is een elementaire stabiliteits analyse voor een bepaald
lineair geval, hoewel zelfs dit geval verre van eenvoudig is. De analyse van het
niet-lineaire geval is nog een open probleem. Net als in het geval van systemen
met twee vrijheidsgraden, verwachten we dat het resultaat van een nadere analyse
veel interessante fenomenen zal opleveren, zoals het optreden van tori of chaotisch
gedrag.