handouts

Hoeken in radialen
90◦
Zomercursus wiskunde B
120◦
Goniometrie
135◦
2π
3
3π
4
150◦
Jolien Oomens
60◦
π
2
45◦
π
3
π
4
[email protected]
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
180◦
0
π
2π
7π
6
210◦
11π
6
5π
4
4π
3
225◦
7 juli 2017
30◦
π
6
5π
6
3π
2
240◦
330◦
7π
4
5π
3
315◦
300◦
270◦
Jolien Oomens
Zomercursus wiskunde B
Jolien Oomens
Hoeken op de cirkel
Zomercursus wiskunde B
Cosinus en sinus
1
P
sin α = yP
π
6
0
α
cos α = xP
1
sin α = yP
0
√
1
2
1
2
3π
4
π
3
π
2
π
2 2
√
1
2 2
1
2
0
−1
1
0
π
2
2π
3
√
1
2
3
π
3
π
4
π
6
5π
6
α
cos α = xP
3
π
4
√
1
1
π
0
2π
7π
6
11π
6
5π
4
Jolien Oomens
Zomercursus wiskunde B
4π
3
3π
2
Jolien Oomens
5π
3
0◦
360◦
7π
4
Zomercursus wiskunde B
Rekenen met sinus en cosinus
Rekenen met sinus en cosinus
Bereken:
Bereken:
sin π = 0
π
sin 2π
3 = sin 3 =
cos(−π) = −1
cos 3π
2 =0
cos π6 =
1
2
√
cos 5π
4
11π
sin 6
3
3π
4
α
π
6
0
√
1
cos α 1
sin α
2
π
3
2 2
√
1
2 2
1
2
√
1
3
1
2
0
π
4
1
2
π
3
2π
0
π
2
3π
2
-1
4π
3
5π
3
3π
2
3π
4
π
2
√
1
2
0
π
3
π
2
1
2 2
√
1
2 2
1
2
0
√
3
1
2
√
3
π
π
2
π
0
2π
7π
6
7π
4
5π
3
+ k · 2π met k geheel.
− π2
π
π
2
0
2π
3π
2
π
4
3π
4
π
2
2π
3
π
3
π
4
π
6
5π
6
0
π
0
2π
2π
7π
6
11π
6
5π
3
5π
3
3π
2
y = cos x
-1
π
3π
Jolien Oomens
2
4π
3
2π
π
6
4π
3
11π
6
Zomercursus wiskunde B
Los op: cos(x) = 12 .
We vinden x = π3 + k · 2π of x =
−π
5π
6
5π
4
π
6
5π
4
1
3π
2
7π
4
Zomercursus wiskunde B
7π
6
11π
6
5π
4
4π
3
π
4
1
Jolien Oomens
y = sin x
π
3
π
3
Vergelijkingen met cosinus en sinus
-1
2π
3
1
2
π
2
2π
3
5π
6
π
4
Zomercursus wiskunde B
0
2π
√
= − 12 2
11π
6
1
π
0
cos α 1
sin α
π
6
1
Grafieken van de cosinus en sinus
y = cos x
α
0
5π
4
1
3
π
− cos 7π
4 = − cos 4
− sin π6 = − 12
3π
4
π
6
7π
6
Jolien Oomens
=
√
π
4
π
0
3
2π
3
5π
6
π
2
√
π
2
=
1
2
3π
2
Jolien Oomens
5π
3
7π
4
Zomercursus wiskunde B
5π
2
3π
7π
4
Vergelijkingen met cosinus en sinus
Goniometrische formules
Gegeven 1 oplossing x0 voor cos x = u, hoe vinden we de rest?
We zien dat −x0 ook een oplossing is. Alle oplossingen:
x = x0 + k · 2π
x = −x0 + k · 2π,
of
Belangrijk om te weten:
1
sin x
tan x =
cos x
1 = sin2 x + cos2 x
k geheel.
Nu sin x = u, met 1 oplossing x0 :
x = x0 + k · 2π
sin 2x = 2 sin x cos x
x = π − x0 + k · 2π,
of
cos 2x = 2 cos2 x − 1
k geheel.
√
Voorbeeld: sin x = 12 3.
√
Met de tabel of sin−1 12 3 op
oplossing x0 = π3 . Dit geeft
x=
π
3
+ k · 2π
de rekenmachine vinden we een
π
3
+ k · 2π =
2π
3
+ k · 2π,
sin α
0
√
3
1
2
0
π
3
π
2
1
2 2
√
1
2 2
1
2
0
√
1
2
3
1
π
2
2π
3
3
1
2
√1
3
π
2
1
2 2
√
1
2 2
1
2
0
√
1
√
1
2
√
3
3
1
sin x
1
x
−
cos x
Zomercursus wiskunde B
π
4
π
0
2π
7π
6
11π
6
3π
2
7π
5π 4
3
π
6
0
cos α 1
1
2
1
2
√
π
4
3
1
sin α 0
2
Dus x = kπ of x
met k geheel.
Zomercursus wiskunde B
π
2
2π
3π 3
4
α
2x = ± 31 π + k · 2π + 1
√
2 sin(x) = 0. Dit geeft
√
2 cos(x) sin(x) − 2 sin(x) = 0
√ sin(x) 2 cos(x) − 2 = 0
√
sin(x) = 0 of 2 cos(x) − 2 = 0
1√
sin(x) = 0 of cos(x) =
2
2
π
6
Dus 2x − 1 = ± 13 π + k · 2π
Jolien Oomens
π
3
5π
6
5π
4 4π
3
x = ± 16 π + k · π +
√
π
3
Los op: sin(2x) −
π
4
√
1
2
π
4
Ingewikkeldere opgaven
3π
4
1
2
1
1
cos x
Jolien Oomens
Los op: cos(2x − 1) = 12 .
cos α 1
cos α
π
6
Zomercursus wiskunde B
Ingewikkeldere opgaven
0
0
tan α 0
Jolien Oomens
α
α
sin α
met k geheel.
π
6
x
= cos2 x − sin2 x.
x =π−
of
P
sin x
√
π
3
1
1
2 2
2
√
√
1
1
2 2 2 3
= ± 14 π + k ·
π
6
π
0
2π
1
7π
2π met k 6geheel.
5π
Jolien Oomens
π
4
5π
6
π
2
0
π
3
11π
6
4
4π
Zomercursus wiskunde
B
3
3π
2
7π
5π 4
3
Opgaven en indeling
Opgaven
17.12, 17.14, 17.15, 17.31 ab, 17.32 ab, 17.33 bc en de eerste twee
opgaven van het stencil.
Antwoorden van de opgaven staan achterin, uitwerkingen van de
extra opgaven op http://www.bliggy.net/cursusB.html.
Groepen
De indeling is op basis van je achternaam:
A t/m D: zaal A1.14 (Gideon Jager)
E t/m Kuhl: zaal A1.30 (Jeroen Eijkens)
Kuhlhan t/m Seydel: zaal D1.114 (Sebastian Zur)
Simsir t/m Z: zaal D1.116 (Thijs Benjamins)
Jolien Oomens
Zomercursus wiskunde B