Hoofdstuk 2: Warmte en Arbeid - Cad

Hoofdstuk 2: Warmte en Arbeid
2.1 DEFINITIES
De thermodynamica houdt zich niet bezig met de atomaire of microscopische details, maar
met macroscopische, direct meetbare grootheden zoals druk p, volume V, temperatuur T,
chemische samenstelling van de stof...
We definiëren:
o
o
o
EEN SYSTEEM: Dit is een bepaalde materieaggregatie, een deel van de ruimte met duidelijke fysische grenzen waar we onze aandacht op vestigen (figuur 2.1).
OMGEVING: Is de buitenwereld van het systeem, dus alles wat buiten de grenzen van
het systeem ligt.
Een thermodynamisch systeem kan op twee verschillende wijzen met de omgeving
energie uitwisselen:
ƒ toevoer of afvoer van een warmtehoeveelheid ΔQ [Joule]
ƒ toevoer of afvoer van uitwendige arbeid ΔW [Joule], onder mechanische, elektrische,
magnetische, chemische ... vorm.
Figuur 2.1:Systeem
o
Figuur 2.2: Tekenafspraak
Een thermodynamisch systeem is open of gesloten. Bij de GESLOTEN systemen wordt
met de omgeving geen massa uitgewisseld.
Voorbeeld: een gas opgesloten in een cilinder afgesloten door een beweegbare zuiger. De
systeemgrens kan gevormd worden door zuiger en cilinderwanden (zie streeplijn figuur
2.3).
Als de zuiger naar links of naar rechts bewogen wordt beweegt de systeemgrens. Er kan
warmte doorheen de (metalen) wand stromen, en er kan arbeid geleverd worden via de
zuigerstang.
Figuur 2.3: Gesloten systeem
Bij een OPEN systeem wordt wel massa uitgewisseld met de omgeving. Praktisch is dit
het geval in de meeste mechanische toepassingen van de thermodynamica.
Voorbeeld: een warmtewisselaar, een pomp, compressor, turbine... (figuur 2.4).
___________________________________________________________________________
Hoofdstuk 2: Warmte en arbeid
1
Figuur 2.4: Open systeem
o
EVENWICHT: We bestuderen steeds een evenwichtstoestand van een systeem, het zogenaamde thermodynamische evenwicht. Dit houdt voor ons in: een mechanisch en een
thermisch evenwicht. Mechanisch evenwicht betekent praktisch voor ons dat de statische druk p in alle delen van het systeem dezelfde waarde bezit. Bij thermisch evenwicht
is er geen warmtetransport meer doordat de temperatuur op alle plaatsen gelijk geworden is. Is het systeem niet in evenwicht dan is het niet mogelijk één druk p of één temperatuur T voor het systeem aan te geven. De studie van dergelijke niet-evenwichtige
systemen vergt meer ingewikkelde beschrijvingen dan degene waar we ons hier mee bezighouden (zie bvb. warmteoverdracht en gasdynamica theorieën).
o
TOESTAND VAN EEN SYSTEEM: we nemen aan dat elk thermodynamisch systeem in
evenwicht kan beschreven worden door een aantal (macroscopische) fysische parameters, zoals het volume V, de temperatuur T, de druk p, het soortelijk volume v, de massa
m, de viscositeit, de warmte geleidbaarheid..... De TOESTAND van een systeem wordt
bepaald door het geheel van de huidige waarden der meetbare grootheden van de stof.
Deze variabelen waarvan de waarden alleen afhangen van de toestand van het systeem
noemen we TOESTANDSGROOTHEDEN.
vb: Toestand A: ( p A ,V A ,TA ,ν A , λA ) en toestand B: ( pB ,VB ,TB ,ν B , λB )
o
We onderscheiden:
INTENSIEVE TOESTANDSGROOTHEDEN:
Deze zijn onafhankelijk van de grootte, de hoeveelheid, van het systeem. Voorbeelden
zijn: druk p, temperatuur T, soortelijk volume v, soortelijke massa r, viscositeitcoëfficiënt n ...
EXTENSIEVE TOESTANDSGROOTHEDEN:
Deze zijn rechtevenredig met de hoeveelheid materie in het systeem; verdubbelt men
de massa van een systeem dan wijzigt ook de grootheid. Voorbeelden: het volume V,
de massa m ....
We zullen in de loop van de cursus hier nog een aantal nieuwe grootheden aan toevoegen.
Het is gebruikelijk intensieve grootheden voor te stellen met kleine letters, extensieve
met grote letters. We zullen ons daar dan ook in de regel aan houden zij het dat er enkele uitzonderingen zijn:
ƒ T voor de Kelvintemperatuur (t voor tijd of Celsiustemperatuur)
ƒ M voor molaire massa (m voor massa)
o Lang niet al deze parameters zijn noodzakelijk om de TOESTAND van een Systeem éénduidig vast te leggen. Zo bijvoorbeeld wordt de toestand van een gas bepaald door twee
van de drie grootheden p, T en v omdat we over de (ideale) gaswet beschikken die het verband tussen deze drie vastlegt. Zulke relatie tussen de toestandsgrootheden noemen we
TOESTANDSFUNCTIE. Zulke toestandsfunctie van een systeem geeft aan hoe de toestandsgrootheden veranderen als het evenwicht van het systeem verandert. Wanneer het
evenwicht van het systeem wordt verstoord door bvb. een uitwendige kracht zal er zich na
verloop van tijd een nieuw evenwicht instellen, waarbij de toestandsgrootheden een ande-
___________________________________________________________________________
Hoofdstuk 2: Warmte en arbeid
2
re waarde hebben gekregen. Een dergelijke verandering van de ene naar de andere evenwichtstoestand heet een TOESTANDSVERANDERING.
o Een toestandsFUNCTIE kan onder analytische vorm gegeven worden zoals de ideale gaswet. In zulk geval spreekt men ook over een TOESTANDSVERGELIJKING. Een andere
mogelijkheid bestaat erin de functie weer te geven onder grafiek of onder tabelvorm (figuur
2.5).
Figuur 2.5: Toestandsfunctie
Men kan aantonen dat het aantal onafhankelijke parameters dat nodig is om een
systeem te beschrijven gelijk is aan het aantal vormen waarop het mogelijk is aan
het systeem energie toe te voeren: deze zijn warmte, mechanische arbeid, elektrische
veldenergie, magnetische inductie-energie, radioactieve energie, chemische energie
e.d. In onze cursus beperken we ons tot mechanische arbeid en warmte, zodoende
werken we steeds met twee onafhankelijke parameters.
o EVENWICHTIGE TOESTANDSVERANDERINGEN
Wanneer een systeem S uit de toestand A ten gevolge van een toestandsverandering in
een toestand B terechtkomt, noemt men A de BEGINTOESTAND en B de EINDTOESTAND.
Voorbeeld 1: Beschouwen we een bekerglas (figuur 2.6.) dat een zekere hoeveelheid
vloeistof bevat bij constante temperatuur T1 (op atmosferische druk). Plaatst men dit bekerglas op een verwarmde plaat op constante temperatuur T2, lager dan de verdampingstemperatuur van de vloeistof bij de voornoemde druk, dan zal de temperatuur van
die vloeistof tot de waarde T2 stijgen. Tijdens deze toestandsverandering echter is de
temperatuur ( en ook andere eigenschappen) van de vloeistof op ieder ogenblik in al de
punten niet dezelfde. Deze toestandsverandering is onevenwichtig. Maar de vloeistof kan
voorgaande toestandsverandering 1J2 beschrijven via een hele reeks evenwichtstoestanden, namelijk wanneer men het bekerglas achtereenvolgens op verwarmde platen
plaatst waarvan de (constante) temperaturen zijn:
T + DT, T + 2.DT ....T - DT, T
Tussen de begin- en eindtoestand passeert de vloeistof langs een aantal evenwichtstoestanden die des te groter is naarmate voornoemde DT kleiner is. Wanneer DT tot nul nadert, neemt het aantal tussenliggende evenwichtstoestanden onbepaald toe, en wordt de
toestandsverandering 1J2 evenwichtig.
___________________________________________________________________________
Hoofdstuk 2: Warmte en arbeid
3
Figuur 2.6: Evenwichtige toestandsverandering
Voorbeeld 2: Beschouwen we een zekere hoeveelheid gas in een cilinder, afgesloten door
een zonder wrijving verplaatsbare zuiger. Deze laatste is, naast door de atmosferische
druk door een gewicht G belast. Is de zuiger in rust, en is de temperatuur van het glas
gelijk aan de (gelijkvormig veronderstelde) temperatuur van de omgeving, dan verkeert
het gas in een evenwichtstoestand 1. Wordt plotseling het gewicht G weggenomen dan
grijpt er in het gas een toestandsverandering plaats: daar de kracht door het gas uitgeoefend op de zuiger groter is dan deze uitgeoefend door de omgevende atmosfeer zal de zuiger opwaarts bewegen, omwille van de traagheid met een zekere snelheid zijn nieuwe
evenwichtstoestand voorbijgaan, terugkomen enz... Na enige schommelingen van de zuiger, en nadat een voldoend lange tijd is verlopen opdat de temperatuur van het gas weer
gelijk zij aan de temperatuur van de omgeving, treedt een nieuwe evenwichtstoestand 2
in (figuur 2.7). Door het optreden van turbulentie en golven in het systeem bij deze plotselinge expansie heeft de druk - maar ook de temperatuur - in het gehele systeem niet
overal de zelfde waarde.
Figuur 2.7: Onevenwichtige toestandsverandering
Tijdens deze beschreven toestandsverandering 1J2 verkeert het gas niet in een evenwichtstoestand vermits er zich voortdurend wijzigingen in voordoen. In een pV-diagram
is de toestandsverandering min of meer geschetst (figuur 2.8) d.m.v. een gebied, dat
symbolisch weergeeft dat druk en volume niet zeer goed gedefinieerd zijn.
Men kan nu echter van de toestand 1 naar de toestand 2 overgaan zodanig dat het gas
een hele reeks evenwichtstoestanden, waarbij de toestandsgrootheden voortdurend goed
gedefinieerde waarden bezitten, doorloopt: het gewicht G wordt dan namelijk onderverdeeld gedacht in een groot aantal kleine gewichtjes. Telkens men er n wegneemt, doet
zich het hoger beschreven verschijnsel voor, weliswaar op een veel kleinere schaal. Indien men na elke afname van een gewichtje gedurende voldoend lange tijd wacht zodat
telkens een nieuwe evenwichtstoestand is ingetreden, dan nadert de toestandsverandering 1J2 tot een evenwichtige toestandsverandering (figuur 2.9). Alleen bij zulke evenwichtige toestandsveranderingen is het mogelijk numerieke berekeningen uit te voeren.
___________________________________________________________________________
Hoofdstuk 2: Warmte en arbeid
4
In de praktijk zijn echter (gelukkig) vele toestandsveranderingen bij benadering evenwichtig. De arbeid welke door het systeem wordt verricht en de warmte die aan de omgeving wordt overgedragen bij een onevenwichtige toestandverandering zijn in het algemeen niet gelijk aan die bij het equivalente evenwichtig proces.
Figuur 2.8: Onevenwichtig
Figuur 2.9: Evenwichtig
2.2 INWENDIGE ENERGIE
Deze wordt gedefinieerd als de totale energie die nodig is om het systeem op te bouwen, bij
constant volume. Vertrekkende van T = OK zal men in het algemeen bij een (niet-ideaal) gas
energie moeten toevoeren om de moleculen kinetische energie (translatie, rotatie, vibratie) en
potentiële energie (cohesie-energie) te geven (zie vorig hoofdstuk).
In principe zou het mogelijk zijn om de inwendige energie op theoretische grond te voorspellen, vertrekkende van het microscopische gedrag, doch dan dient men over alle stoffen zeer
uitgebreide modellen te bezitten over alle mogelijke energie-stockagevormen. Dit is onbegonnen werk. Naar de praktijk toe maakt het niet uit hoe de inwendige energie van een stof gevonden wordt. Men zal zich daarom tevreden stellen deze eigenschap via labometingen eventueel gecombineerd met afgeleide berekeningen - te bepalen.
De inwendige energie van een systeem met massa m wordt voorgesteld door de letter U. Het
is een extensieve toestandsgrootheid. De eenheid is Joule.
Noteren we de inwendige energie per massa-eenheid u:
U = m ⋅u
(2.1)
dan is u een intensieve grootheid en zijn eenheid is J/kg.
Men noemt u de specifieke (of soortelijke) inwendige energie en U de totale inwendige energie.
De inwendige energie u is een toestandsgrootheid aangezien zij afhankelijk is van de toestand (gekenmerkt door druk en temperatuur bvb.) waarin het systeem zich bevindt. Het
deel kinetische energie ervan is afhankelijk van de temperatuur T, het deel potentiële energie ervan is afhankelijk van de afstand tussen de moleculen, dus van het volume van het
beschouwde systeem. We kunnen dus stellen:
U = f (T ,V ) of u = f (T ,v )
(2.2)
___________________________________________________________________________
Hoofdstuk 2: Warmte en arbeid
5
2.3 DE EERSTE HOOFDWET
De eerste hoofdwet van de thermodynamica drukt het behoud van energie uit voor een systeem met massa m:
dU = δ Q + δW [Joule]
met:
dU : toename van inwendige energie
δ Q : toegevoerde warmtehoeveelheid
δW : uitwendige toegevoerde arbeid .
(2.3)
Merken we op dat U een toestandsgrootheid is, "W" en "Q" zijn dat niet. Inderdaad de geleverde of afgestane hoeveelheid arbeid δW en de geleverde of afgestane hoeveelheid warmte
δ Q hebben niets te maken met de toestand waarin het systeem verkeert, ze worden bepaald
door externe oorzaken. Daarom noteren we een kleine toename van een toestandsgrootheid
met de klassieke "d" van differentiaal, terwijl "kleine hoeveelheden" warmte of arbeid, ter onderscheid genoteerd worden met "d". Wij zullen echter deze notatie slechts tijdelijk aanhouden in dit werk. In sommige handwerken hanteert men de notatie “ d ” i.p.v. “ δ ”.
Indien we specifieke grootheden gebruiken:
δQ = m ⋅ δ q
dU = m ⋅ du
δW = m ⋅ δ w
(2.4)
du : toename van de specifieke inwendige energie
δ q : toegevoerde warmtehoeveelheid per kg
δ w : uitwendige toegevoerde arbeid per kg
du = δ q + δ w [Joule/kg]
(2.5)
Formule (2.5) kan natuurlijk geïntegreerd worden tussen twee toestanden 1 en 2:
2
2
2
1
1
1
∫ du = ∫ δ q + ∫ δ w
u2 − u1 = q12 + w12
(2.6)
Waarbij we afspreken te noteren q12 voor de specifieke warmtetoevoer gedurende de toestandsverandering 1J2. Analoog voor w12 .
Op dezelfde wijze kan formule (2.3) geïntegreerd worden.
U 2 − U 1 = Q12 + W12
(2.7)
Voor de thermodynamica is formule (2.3) de enige operationele definitie van inwendige energie. Dit betekent dan ook dat het enkel zin heeft verschillen in inwendige energie te beschouwen. De inwendige energie is dus slechts op een constante na bepaald.
Opmerking: Hoewel een vrije expansie geen evenwichtige toestandsverandering is zullen we
later aantonen dat afleiding 2.7 toch verantwoord is.
2.4 UITWENDIGE ARBEID
___________________________________________________________________________
Hoofdstuk 2: Warmte en arbeid
6
De uitwendige arbeid W12 kan zich voordoen onder verschillende vormen; wij beschouwen
enkel mechanische arbeid. In een bijzonder geval beschouwen we in figuur 2.10 een met gas
gevulde en met een zuiger afgesloten cilinder. Welke arbeid verricht het gas bij volumeverandering? Deze arbeid wordt COMPRESSIEARBEID (of VOLUMEVERANDERINGSARBEID)
genoemd, en genoteerd Wc .
Figuur 2.10: Uitwendige arbeid
Weze de druk in het gas p werkzaam op het zuigeroppervlak A en de geïnduceerde verplaatsing ervan dx, dan bedraagt de op de zuiger door het gas verrichte arbeid:
dWc = −F ⋅ dx = − p ⋅ A ⋅ dx
waarin F de kracht is die het gas uitoefent op de zuiger. Het minteken is in overeenstemming met de tekenconventie.
De toename van volume noemen we dV, zodat: dx = dV/A en:
(2.8)
dWc = − p ⋅ dV
Hebben we te maken met slechts 1 kg gas dan wordt dit, in specifieke grootheden uitgedrukt:
dWc
dV
⎛V ⎞
dwc =
= −p ⋅
= − p ⋅ d ⎜ ⎟ = − p ⋅ dv
(2.9)
m
m
⎝m ⎠
Beschouwen we een eindige toestandsverandering 1J2 zoals in figuur 2.11 dan bedraagt de
specifieke uitwendige (mechanische) arbeid:
2
2
1
1
wc12 == ∫ dwc = ∫ − p ⋅ dv
(2.10)
Deze arbeid kan geïnterpreteerd worden als de oppervlakte onder de kromme 1J2 in het pvdiagram.
De eerste hoofdwet wordt dan, onder differentiaalvorm:
dU = dQ − p ⋅ dV
of
(2.11)
du = dq − p ⋅ dv
Onder integraalvorm:
2
U 2 − U 1 = Q12 − ∫ p ⋅ dV
1
2
of
u2 − u1 = q12 − ∫ p ⋅ dv
(2.12)
1
___________________________________________________________________________
Hoofdstuk 2: Warmte en arbeid
7
Figuur 2.11: pv-diagram, uitwendige arbeid
2.5 INWENDIGE ENERGIE: BESPREKING
2.5.1 IDEAAL GAS
In het algemeen geldt voor om het even welke stof (waarbij slechts twee energievormen worden aangewend):
(2.13)
U = f (T ,V )
Bij een ideaal gas beperken de energievormen van het gas zich tot kinetische energie van
translatie, vibratie en rotatie... Deze kinetische energie was recht evenredig met de temperatuur T van de stof. Wegens de grote onderlinge afstand der moleculen is de potentiële energie der moleculen te verwaarlozen. Zodat het functionele verband tussen U en het volume V
van het gas niet bestaat.
Voor een ideaal gas:
(2.14)
U = f (T )
Praktisch zal zich dit (bij benadering) voordoen bij vele reële gassen, met name in het geval
dat de intermoleculaire afstanden ( ten opzichte van de molecuulafmetingen) groot zijn zodat
de invloed van de intermoleculaire krachten verwaarloosbaar is. Dit is het geval bij voldoende verdunning van het gas, dus als de statische druk p van het gas gering is.
2.5.2 INWENDIGE ENERGIE VLOEI- EN VASTE STOFFEN
Bij vloeistoffen en vaste stoffen hebben de moleculen in het normale gebruiksgebied een
constante afstand tot elkaar. Bij toename van de temperatuur, noch bij verhoging van de
druk wijzigt het volume van de stof in significante mate. Men zegt dat vaste stoffen en vloeistoffen onsamendrukbaar zijn.
Dit kan men zien aan de uitzettingscofficiënten en de samendrukbaarheid bij drukstijging:
deze zijn gering in vergelijking met gassen. De verandering van de inwendige energie wordt
dan ook hoofdzakelijk bepaald door de verandering van de kinetische energie der moleculen.
Besluit : Hier ook
U = f(T).
___________________________________________________________________________
Hoofdstuk 2: Warmte en arbeid
8
2.5.3 TOEPASSING: VRIJE EXPANSIE
IDEAAL GAS
Beschouwen we in figuur 2.13 twee gelijke vaten A en B in een goed geïsoleerde ruimte geplaatst. Kamer A bevat een gas, kamer B is luchtledig gemaakt. Bij het openen van de verbinding stroomt een deel van het gas van A naar B.
Na enige tijd heeft zich een nieuwe evenwichtstoestand ingesteld. Beschouwen we de buitenste lijnen van het apparaat als grens van het systeem, dan is de door het gas uitgeoefende uitwendige arbeid nul, zodoende: W12 = 0
Bovendien was het systeem geïsoleerd: Q12 = 0
Volgens (2.7): U 2 = U 1
Aangezien nu bij een ideaal gas U enkel functie is van de temperatuur kunnen we daaruit
besluiten dat: T2 = T1
Opmerking: We mogen hier niet werken met de formule 2.12. Inderdaad er is geen bewegende wand en dus heeft het begrip mechanische compressie-arbeid geen zin. Het is niet omdat
V1 ≠ V2 dat zou gelden: Wc12 ≠ 0
Figuur 2.12: Vrije expansie
NIET-IDEAAL GAS
Bij een niet-ideaal gas is de inwendige energie niet enkel temperatuursafhankelijk:
U = f (T ,V )
Wanneer U 1 = U 2 betekent dat dan ook niet automatisch dat T1 = T2 . De temperatuur van
een niet-ideaal gas zal bij een vrije expansie meestal dalen.
Merk op dat wanneer een gas steeds ideaal zou zijn, dit gas nooit vloeibaar zou kunnen gemaakt worden! Toch kent iedereen vloeibare stikstof.
___________________________________________________________________________
Hoofdstuk 2: Warmte en arbeid
9
2.6 SOORTELIJKE WARMTE
2.6.1 SOORTELIJKE WARMTE BIJ CONSTANT VOLUME
Wanneer we een warmtehoeveelheid DQ toevoegen aan een systeem zal vaak, doch niet
steeds de temperatuur van dat systeem toenemen. We definiëren de soortelijke warmte van
een stof dan ook als zijnde de warmtehoeveelheid die vereist is om de temperatuur van één
kg van die stof 1 Kelvin te doen stijgen.
In een eerste geval wordt de temperatuursstijging verwezenlijkt bij constant volume:
1 ⎛ dQ ⎞
⎛ dq ⎞
cv = ⎜
⋅⎜
⎟ =
⎟
dT
m
⎝
⎠v
⎝ dT ⎠v
(2.15)
cv stelt de soortelijke warmte bij constant volume voor en heeft de eenheden [J/kg.K].
De definitie van cv op deze manier lijkt erop dat zijn waarde enigszins zou afhangen van de
externe toevoer van warmte dq. We pogen nu cv te zien als een stofeigenschap als volgt:
Volgens de eerste hoofdwet:
du = dq − p ⋅ dv
zal bij constant volume:
(du )v = (dq )v
en volgens (2.15):
(du )v
= cv ⋅ dT
(2.16)
Anderzijds kan du ook geschreven worden voor specifieke grootheden als volgt:
⎛ ∂u ⎞
⎛ ∂u ⎞
du = ⎜
⎟ ⋅ dT + ⎜
⎟ ⋅ dv
⎝ ∂T ⎠v
⎝ ∂v ⎠T
Bij constant volume wordt dat:
⎛ ∂u ⎞
du = ⎜
⎟ ⋅ dT
⎝ ∂T ⎠v
(2.17)
Identificatie van (2.16) en (2.17):
⎛ ∂u ⎞
cv = ⎜
⎟
⎝ ∂T ⎠v
(2.18)
2.6.2 SOORTELIJKE WARMTE BIJ CONSTANTE DRUK
Deze wordt dan gedefinieerd als:
⎛ ∂q ⎞
cv = ⎜
⎟
⎝ ∂T ⎠ p
(2.19)
Ook hier kan c p uitgedrukt worden als afgeleide van een toestandsgrootheid, maar dat
zien we later in het hoofdstuk over die grootheid, de enthalpie.
___________________________________________________________________________
Hoofdstuk 2: Warmte en arbeid
10
2.6.3 INWENDIGE ENERGIE EN SOORTELIJKE WARMTE
Bij ideale gassen, vaste stoffen en vloeistoffen is de inwendige energie u enkel functie van de
temperatuur T: u = f(T).
Zodat:
du
⎛ ∂u ⎞
cv = ⎜
⎟ =
⎝ ∂T ⎠v dT
du = cv ⋅ dT
ideaal gas, vast, vloeibaar
(2.20)
In het geval van een isochore toestandsverandering:
⎛ ∂u ⎞
⎛ ∂u ⎞
du = ⎜
⎟ ⋅ dT + ⎜
⎟ ⋅ dv
∂
T
⎝
⎠v
⎝ ∂v ⎠T
⎛ ∂u ⎞
du = cv ⋅ dT + ⎜
⎟ ⋅ dv
⎝ ∂v ⎠T
Bij een isochoor is dv = 0, zodat:
du = cv ⋅ dT
isochoor
(2.21)
Onder integraalvorm:
2
2
1
1
∫ du = ∫ cv ⋅ dT
waaruit, indien we cv onafhankelijk van de temperatuur veronderstellen:
u2 − u1 = cv ⋅ (T2 − T1 )
(2.22)
Opmerking: Voorgaande heeft enkel zin bij warmtetoevoer waarbij de temperatuur van de
stof verandert. Opgelet dus bij verdamping of condensatie, daar wordt de toename van inwendige energie op een andere manier berekend (zie hoofdstuk 4).
2.6.4 DE FORMULE VAN MAYER
Deze geeft een verband tussen de soortelijke warmten bij constant volume en constante
druk voor een ideaal gas.
De eerste hoofdwet kunnen we dan schrijven als:
dq = du + p ⋅ dv
dq = cv ⋅ dT + p ⋅ dv
Bij constante druk:
(dq ) p
= cv ⋅ dT + ( p ⋅ dv ) p
(2.23)
We rekenen nu de term ( p ⋅ dv ) p uit als volgt.
We vertrekken van de ideale gaswet:
p ⋅v =
R ⋅T
M
___________________________________________________________________________
Hoofdstuk 2: Warmte en arbeid
11
v=
R ⋅T
M ⋅p
waaruit:
dv =
R
R ⋅T
⋅ dT −
⋅ dp
M ⋅p
M ⋅ p2
of nog:
p ⋅ dv =
R
R ⋅T
⋅ dT −
⋅ dp
M
M ⋅p
met in het geval dat dp = 0:
( p ⋅ dv ) p
=
(2.24)
R
⋅ dT
M
Substitutie van (2.34) in (2.23) geeft:
(dq ) p
= cv ⋅ dT +
R
⋅ dT
M
Volgens de definitie van c p wordt dit:
c p = cv +
R
M
(2.25)
Deze zeer belangrijke formule heet de formule van Mayer. Ze is enkel geldig voor ideale gassen! Pas ze dus niet toe op vaste stoffen of vloeistoffen.
2.6.5 VASTE STOFFEN EN VLOEISTOFFEN
T(K)
50
100
150
200
250
300
500
800
1200
cp
[J/kg.K)
98,4
253,4
322,6
358,8
377,7
385,5
406,0
435,9
475,2
cv
[J/kg.K)
98,2
251,8
319,5
352,5
369,8
374,5
385,5
399,7
407,6
Figuur 2.13: Soortelijke warmte koper
Bij vaste stoffen en vloeistoffen zal bij temperatuursstijging het volume van de stof weinig
veranderen, tenminste in vergelijking met gassen. Verwarming bij constante druk is dan
meteen ook verwarming onder constant volume. Het hoeft ons dan ook niet te verwonderen
dat de waarden van c p en cv bij dergelijke stoffen weinig van elkaar verschillen.
Vaak noteert men gewoonweg c als soortelijke warmte voor die stoffen, zonder verdere specificatie van het constant zijn van volume of druk (figuur 2.13).
Opgave: bereken de soortelijke warmten van koper in de eenheid [J/mol.K]
2.6.6 INVLOED VAN DE TEMPERATUUR
De soortelijke warmte van een stof is temperatuursafhankelijk. Dat wordt geïllustreerd door
figuur 2.13 voor een vaste stof en figuur 2.14 voor lucht.
___________________________________________________________________________
Hoofdstuk 2: Warmte en arbeid
12
Wanneer men werkt binnen een beperkt temperatuursgebied kan men de waarde voor de
soortelijke warmte als constant veronderstellen. In het tegenovergestelde geval dient men
gemiddelden te berekenen. Hiertoe bestaan er in de literatuur voor bepaalde veelvoorkomende gassen aangepaste tabellen.
Figuur 2.14: c p van lucht in kJ/kg.K
druk
bar
1
5
10
50
100
150
200
250
300
350
400
-150
1,028
1,133
1,292
-100
1,011
1,043
1,085
1,565
2,373
2,202
1,985
1,849
1,761
1,704
1,664
-50
1,007
1,023
1,044
1,212
1,430
1,575
1,623
1,622
1,604
1,580
1,557
temperatuur °C
0
25
1,005 1,007
1,015 1,014
1,026 1,022
1,112 1,089
1,216 1,169
1,302 1,237
1,631 1,287
1,394 1,320
1,409 1,339
1,412 1,348
1,411 1,353
50
1,008
1,013
1,02
1,072
1,133
1,187
1,229
1,26
1,282
1,295
1,304
100
1,012
1,015
1,020
1,055
1,096
1,132
1,161
1,186
1,204
1,220
1,203
200
1,026
1,028
1,030
1,049
1,072
1,092
1,108
1,123
1,135
1,145
1,154
300
1,046
1,047
1,049
1,061
1,075
1,088
1,099
1,109
1,117
1,125
1,130
Men kan ook empirische formules opstellen voor het verband tussen de soortelijke warmte
en de temperatuur. Enkele voorbeelden daarvan worden hier opgegeven. De temperaturen
worden opgegeven in Kelvin.
De algemene betrekking wordt gegeven door:
c p = a + b ⋅ T + c ⋅ T ±2
waarin a, b en c experimentele waarden zijn.
CH4
CO
CO2
H2
H 2S
N2
NH3
O2
SO2
H 2O
C 3H 8
C 2H 4
cp (kJ/kg.K)
1,394 + 0,0030 ⋅T
0,987 + 0,000018 ⋅T
18592
0,984 + 0,00026 ⋅ T −
T2
13,75 + 0,00168 ⋅T
0,88 + 0,00044 ⋅T
0,971 + 0,00015 ⋅T
1,647 + 0,00155 ⋅T
24551
1,082 + 0,0003 ⋅ T −
T2
0,503 + 0,00035 ⋅ T −
5, 48 ⋅ 108
T2
1,653 + 0,000614 ⋅T
0,521 + 0,00403 ⋅T
0, 422 + 0,00426 ⋅ T − 1,3 ⋅ 106 ⋅ T 2
OPDRACHT 1:
1. Bepaal de formule voor c p van CO2 in de eenheid [J/kmol.K)
2. Bepaal de waarde van c p voor lucht bij 300K
___________________________________________________________________________
Hoofdstuk 2: Warmte en arbeid
13
2.6.7 ISENTROPISCHE EXPONENT
De isentropische exponent g, ook adiabatenexponent genoemd, wordt gedefinieerd als:
γ ≡
cp
(2.26)
cv
Deze grootheid is dimensieloos. Hij wordt enkel gebruikt voor gassen en volgens (2.25) is hij
dan steeds groter dan 1.
Soms kent men g en dient men hieruit de soortelijke warmten te berekenen. Dit kan als
volgt:
Na deling door c p van:
c p = cv +
1=
R
M
(2.25)
cv
R
+
cp M ⋅cp
Rekening gehouden met:
cv 1
=
cp γ
(2.26)
bekomt men dan:
cp =
R
γ
⋅
M γ −1
(2.27)
Vermenigvuldig nu (2.27) met (2.26):
cv =
R
1
⋅
M γ −1
(2.28)
Aangezien de soortelijke warmten temperatuursafhankelijk zijn is dit tevens het geval voor
de isentropische exponent g (zie figuur 2.15 voor lucht).
Figuur 2.15: Isentropische exponent van lucht.
druk
bar
1
5
10
20
50
100
150
200
100
1,433
1,596
150
1,411
1,452
1,508
1,654
3,044
3,168
2,466
2,205
200
1,406
1,423
1,447
1,499
1,692
2,072
2,249
2,200
temperatuur °C
250
300
1,403 1,402
1,414 1,408
1,423 1,417
1,456 1,435
1,549 1,492
1,701 1,579
1,818 1,648
1,883 1,696
350
1,400
1,404
1,410
1,423
1,462
1,522
1,569
1,604
400
1,400
1,399
1,404
1,413
1,442
1,486
1,523
1,549
450
1,391
1,395
1,397
1,405
1,427
1,462
1,491
1,500
OPDRACHT 2:
Bepaal c p voor lucht bij 5 bar en 250°C a.d.h.v. de tabellen 13 en 15.
___________________________________________________________________________
Hoofdstuk 2: Warmte en arbeid
14