Week 1: introductie

Samenvatting week 8
• Begrippen:
• rotatie: vector notatie
 richting: draaiingsas
 hoeksnelheid: omega, rad/s
• koppel (torque) – vector product
r F
 geeft hoekversnelling.
• Traagheidsmoment (moment of inertia)
 gedefinieerd t.o.v. een as
 traagheid voor draaiing
  I
2
I

I

Mh
• parallelle assen stelling
CM
1
1
• kinetische energie K  mvcm2  I  2
2
dr. H.J. Bulten
2
Mechanica najaar 2007
1
kinetische energie
• Wereldrecord hoogspringen: Sotomayor 2.45m (1993)
 gymnasten: tot 4m hoog
 patterson
 humphrey
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
2
Voorbeeld: uitgebreid systeem
• vrije staaf, kracht op 1
punt
F 
 draaien, bewegen
 hoe beweegt dit systeem
na een kleine stoot F t
• eenvoudiger voorbeeld:
2 puntmassa’s met een
dunne staaf of een dun
touw ertussen
• kracht, kinetische
energie?
• bekijk als 1 systeem en
als 2 losse systemen.
dr. H.J. Bulten
L
m
m
Mechanica najaar 2007
3
analyse in 1 en 2 systemen
verschillende  : F t gelijk, maar W  K  F x niet!
2
1
L
I  2m    mL2
2
2
F 
Fext  F
FL sin 
 ext  r  F 
zˆ (zˆ uit scherm naar je toe)
2
F
aCM 
2m
d   ext F sin 



dt
I
mL
F1  F 
F t
F sin t

,    t 
zˆ
2m
2mL
1
 F t  1 1 2  F sin t 
K  2m 
mL 
 

2
 2m  2 2
 mL 
2
 F t 
K
4m
2
 F t sin  

2
2
4m
2
F2 
m
F//
F
2 systemen:
Korte tijd t:
vCM
L
F
m
1
F//
2

m
1
F//
2
F2 
1
p1  F1t  sin  F tyˆ  cos  F txˆ
2
1
p2  cos  F txˆ
2
1
F//
2
 F t  1  sin 2 
1  2
cos 2  
2
K  K1  K 2 
sin


2

  F t  
2m 
4 
4m
2
deeltje 2m : pcm   F t  ,
dr. H.J. Bulten
 F t 
K
Mechanica najaar 2007
4m


2
4
Voorbeeld: blokken
•
•
•
•
katrol: traagheidsmoment I
touw: slipt niet
m1: wrijvingsloos
Let op! spankracht in touw niet
constant!
T1  m1a
m2 g  T2  m2 a
T2 R  T1 R  I 

a
R
Ia
R2
m2 a  m1a  m2 g  T2  T1
T2  T1  
(m2  m1 )a 
Ia
 m2 g
R2
m2 g
a
m2  m1 
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
I
R2
5
Impulsmoment (angular momentum)
• Hoeveelheid draaibeweging:
impulsmoment
 analoog aan impuls voor lineare
beweging
Lrp
 ook hoekversnelling analoog:
r v
L  r  p  mr  v  mr  (  r )  mr 2
r v
L  I
dL d
dp
 dr

 r  p  m v   r 
 r F
dt dt
dt
 dt

dL
   I
dt
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
6
impulsmoment: definitie as
• impulsmoment: loodrecht op r. Dus afhankelijk van
keuze oorsprong.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
7
Systemen
• Uitgebreide systemen:
L weer afhankelijk van
coordinaatkeuze.
 ext 
Lsys
dLsys
dt
 Lspin  Lbaan
Lbaan  rCM  pCM
• baanimpulsmoment :
orbital angular
momentum
• spin : om eigen as
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
8
Assen
• z-component koppel is z-component uitproduct:
 z   r  F   rxy  Fxy   rx Fy  ry Fx 
z
dLz d
 I z  z  I z z
dt
dt
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
9
Voorbeeld: impulsmoment
• vindt de hoekversnelling en de lineaire versnellingen, gebruik
makend van impulsmoment
dL
dt

ext


ext
  m1  m2  Rgzˆ
Lz  I   m1vR  m2vR
 m1  m2  Rg  I   m1  m2  Ra 
a
m1  m2
1
M  m1  m2
2
1
a
MR 2   m1  m2  Ra
2
R
g
• opmerking: impulsmomenten 1 en 2
staan parallel, bij 2 is zowel v als R
van richting omgekeerd
• opmerking: op deze wijze hoef je K (t )  1 (m  m )(at )
2
niet de tension T uit te rekenen.
dr. H.J. Bulten
1
1 (m1  m2 ) 2
2 a 

MR
t

g 2t 2
1
2


1
4
2 m m  M
R 
1
2
2
1
10
W  (m1  m2 ) g h  (m1  m2 ) g at 2  K (t )
Mechanica najaar 2007
2
2
2
tol, gyroscoop
• stabilisatie
 vliegtuig
 satelliet
dL
dt
 rCM  Mg
 ext 
 ext
L  I s s
dL   dt  MgDdt
d 
 prec
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
dL MgDdt

L
L
d MgD MgD



dt
L
I s s
11
Hubble
• 4 vliegwielen, 45kg, tot 3000
rpm
• 0.005 boogseconden precisie
 een haardikte op 2 km afstand.
 baan om aarde: 0.005
boogseconden in 20
microseconde tijd
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
12
Behoud van impulsmoment
• fundamentele natuurwet
dLsys
dt
  ext
 ext  0  Lsys  const
 atomen: schillenmodel
 b.v. pirouette
• interne koppels heffen elkaar op:
actie is reactie
 1   2  F21  r1  F12  r2
F21   F12
 1   2  F21   r1  r2   0
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
F
12
// r12

13
Roterende schijven
• impulsmoment behouden
L  const
( I1  I 2 ) f  I1i
f 
I1
i
I1  I 2
• mechanische energie
niet behouden :
inelastische botsing
I
1
1 I12
2
K f   I1  I 2   f 
i2  1 Ki
2
2 I1  I 2
I1  I 2
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
14
voorbeeld: tafel
1)
2)
3)
4)
T staat parallel aan r
T levert centripetale kracht
L= constant: geen koppel
arbeid: F.dl = -T.dr
mv  m r 
L
r
r T  0 
vf 
dl  dr
dL
0
dt
r0
v0
rf
mv 2
L2
T
 3
r
mr
Controle:
L2
L2  1 1 
r F dl  r  mr 3 dr  2m  rf2  r02 


0
0
rf
rf
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
L2
L2
L2
Kf 

, Ki 
2 I 2mrf2
2mr02
L2  1 1 
W  K 
  
2m  rf2 r02 
15
Voorbeeld: schijf om as
• Geen wrijving, geen arbeid:
 kinetische energie behouden!
 anders dan bij vorig voorbeeld!
L2
K
2I
I  I schijf  Mr 2
L f  L0
I 0  Mr02
I 0  Mrf2
 Merk op: kracht grijpt
niet centraal aan op as!
dr. H.J. Bulten
r
Mechanica najaar 2007
16
Quantisatie
• quantummechanica: L  l (l  1)
Lz  mz
l  0,1, 2,...
m  l , l  1,...., l
1 3
s  s ( s  1) , s  0, ,1, ,...
2 2
• Atoom: elektronen bewegen in schillen
met vast impulsmoment.
• Standaardmodel: elementaire deeltjes:
fermionen, spin ½ (Pauli principe)
 Electrozwak: leptonen: elektron, neutrino,...
 sterk+electrozwak: quarks spin 1/2
• interacties door uitwisseling bosonen
(deeltjes met heeltallige spin): willen in
zelfde golffunctie zitten




2
L2
K
 l (l  1)
2I 2I
EM: foton spin 1
sterk: gluon spin 1
zwak : W,Z boson spin 1
gravitatie: graviton (?) spin 2
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
17