Samenvatting week 8 • Begrippen: • rotatie: vector notatie richting: draaiingsas hoeksnelheid: omega, rad/s • koppel (torque) – vector product r F geeft hoekversnelling. • Traagheidsmoment (moment of inertia) gedefinieerd t.o.v. een as traagheid voor draaiing I 2 I I Mh • parallelle assen stelling CM 1 1 • kinetische energie K mvcm2 I 2 2 dr. H.J. Bulten 2 Mechanica najaar 2007 1 kinetische energie • Wereldrecord hoogspringen: Sotomayor 2.45m (1993) gymnasten: tot 4m hoog patterson humphrey dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007 2 Voorbeeld: uitgebreid systeem • vrije staaf, kracht op 1 punt F draaien, bewegen hoe beweegt dit systeem na een kleine stoot F t • eenvoudiger voorbeeld: 2 puntmassa’s met een dunne staaf of een dun touw ertussen • kracht, kinetische energie? • bekijk als 1 systeem en als 2 losse systemen. dr. H.J. Bulten L m m Mechanica najaar 2007 3 analyse in 1 en 2 systemen verschillende : F t gelijk, maar W K F x niet! 2 1 L I 2m mL2 2 2 F Fext F FL sin ext r F zˆ (zˆ uit scherm naar je toe) 2 F aCM 2m d ext F sin dt I mL F1 F F t F sin t , t zˆ 2m 2mL 1 F t 1 1 2 F sin t K 2m mL 2 2m 2 2 mL 2 F t K 4m 2 F t sin 2 2 4m 2 F2 m F// F 2 systemen: Korte tijd t: vCM L F m 1 F// 2 m 1 F// 2 F2 1 p1 F1t sin F tyˆ cos F txˆ 2 1 p2 cos F txˆ 2 1 F// 2 F t 1 sin 2 1 2 cos 2 2 K K1 K 2 sin 2 F t 2m 4 4m 2 deeltje 2m : pcm F t , dr. H.J. Bulten F t K Mechanica najaar 2007 4m 2 4 Voorbeeld: blokken • • • • katrol: traagheidsmoment I touw: slipt niet m1: wrijvingsloos Let op! spankracht in touw niet constant! T1 m1a m2 g T2 m2 a T2 R T1 R I a R Ia R2 m2 a m1a m2 g T2 T1 T2 T1 (m2 m1 )a Ia m2 g R2 m2 g a m2 m1 dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007 I R2 5 Impulsmoment (angular momentum) • Hoeveelheid draaibeweging: impulsmoment analoog aan impuls voor lineare beweging Lrp ook hoekversnelling analoog: r v L r p mr v mr ( r ) mr 2 r v L I dL d dp dr r p m v r r F dt dt dt dt dL I dt dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007 6 impulsmoment: definitie as • impulsmoment: loodrecht op r. Dus afhankelijk van keuze oorsprong. dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007 7 Systemen • Uitgebreide systemen: L weer afhankelijk van coordinaatkeuze. ext Lsys dLsys dt Lspin Lbaan Lbaan rCM pCM • baanimpulsmoment : orbital angular momentum • spin : om eigen as dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007 8 Assen • z-component koppel is z-component uitproduct: z r F rxy Fxy rx Fy ry Fx z dLz d I z z I z z dt dt dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007 9 Voorbeeld: impulsmoment • vindt de hoekversnelling en de lineaire versnellingen, gebruik makend van impulsmoment dL dt ext ext m1 m2 Rgzˆ Lz I m1vR m2vR m1 m2 Rg I m1 m2 Ra a m1 m2 1 M m1 m2 2 1 a MR 2 m1 m2 Ra 2 R g • opmerking: impulsmomenten 1 en 2 staan parallel, bij 2 is zowel v als R van richting omgekeerd • opmerking: op deze wijze hoef je K (t ) 1 (m m )(at ) 2 niet de tension T uit te rekenen. dr. H.J. Bulten 1 1 (m1 m2 ) 2 2 a MR t g 2t 2 1 2 1 4 2 m m M R 1 2 2 1 10 W (m1 m2 ) g h (m1 m2 ) g at 2 K (t ) Mechanica najaar 2007 2 2 2 tol, gyroscoop • stabilisatie vliegtuig satelliet dL dt rCM Mg ext ext L I s s dL dt MgDdt d prec dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007 dL MgDdt L L d MgD MgD dt L I s s 11 Hubble • 4 vliegwielen, 45kg, tot 3000 rpm • 0.005 boogseconden precisie een haardikte op 2 km afstand. baan om aarde: 0.005 boogseconden in 20 microseconde tijd dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007 12 Behoud van impulsmoment • fundamentele natuurwet dLsys dt ext ext 0 Lsys const atomen: schillenmodel b.v. pirouette • interne koppels heffen elkaar op: actie is reactie 1 2 F21 r1 F12 r2 F21 F12 1 2 F21 r1 r2 0 dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007 F 12 // r12 13 Roterende schijven • impulsmoment behouden L const ( I1 I 2 ) f I1i f I1 i I1 I 2 • mechanische energie niet behouden : inelastische botsing I 1 1 I12 2 K f I1 I 2 f i2 1 Ki 2 2 I1 I 2 I1 I 2 dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007 14 voorbeeld: tafel 1) 2) 3) 4) T staat parallel aan r T levert centripetale kracht L= constant: geen koppel arbeid: F.dl = -T.dr mv m r L r r T 0 vf dl dr dL 0 dt r0 v0 rf mv 2 L2 T 3 r mr Controle: L2 L2 1 1 r F dl r mr 3 dr 2m rf2 r02 0 0 rf rf dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007 L2 L2 L2 Kf , Ki 2 I 2mrf2 2mr02 L2 1 1 W K 2m rf2 r02 15 Voorbeeld: schijf om as • Geen wrijving, geen arbeid: kinetische energie behouden! anders dan bij vorig voorbeeld! L2 K 2I I I schijf Mr 2 L f L0 I 0 Mr02 I 0 Mrf2 Merk op: kracht grijpt niet centraal aan op as! dr. H.J. Bulten r Mechanica najaar 2007 16 Quantisatie • quantummechanica: L l (l 1) Lz mz l 0,1, 2,... m l , l 1,...., l 1 3 s s ( s 1) , s 0, ,1, ,... 2 2 • Atoom: elektronen bewegen in schillen met vast impulsmoment. • Standaardmodel: elementaire deeltjes: fermionen, spin ½ (Pauli principe) Electrozwak: leptonen: elektron, neutrino,... sterk+electrozwak: quarks spin 1/2 • interacties door uitwisseling bosonen (deeltjes met heeltallige spin): willen in zelfde golffunctie zitten 2 L2 K l (l 1) 2I 2I EM: foton spin 1 sterk: gluon spin 1 zwak : W,Z boson spin 1 gravitatie: graviton (?) spin 2 dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 2007 17