Transformaties van het vlak en gelijkvormigheden

pla
ar
Mark De Feyter
Filip Geeurickx
Jan Thoelen
Roger Van Nieuwenhuyze
Eric Willockx
bewerkt voor het GO!
onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door
Wendy Luyckx
Pr
oe
fex
em
Els Sas
Cartoons
Dave Vanroye
Leerwerkboek
Transformaties van het vlak
en gelijkvormigheden
3
pla
ar
2
voorw oord
2
Dit boek bestaat uit
3 grote delen. Elk deel is
onderverdeeld in kleinere
paragrafen.
De volgende handige pictogrammen gebruiken we in
het leerwerkboek:
leerboek:
Elk hoofdstuk eindigt met
een samenvatting waarin
duidelijk wordt gemaakt wat
je moet kennen en kunnen,
zodat je de oefeningen en
de volgende hoofdstukken
probleemloos kunt
aanpakken.
1
3
Dit is leerstof die je én goed
in je hoofd moet prenten
én moet onthouden. Alle
definities vind je op een rode
achtergrond, eigenschappen
en stellingen op een groene.
Bij het lampje vind je de
herkomst van wiskundige
woorden of symbolen.
fex
em
90 8661
179 7
9
ISBN: 978 904
860 930
0147/2006/118
Kon. Bib.: D/2011/0147/184
0000
Bestelnr.: 94 303 0103
NUR: 126
Copyright by die Keure Brugge
Verantwoordelijke uitgever: N.V. die Keure,
Oude Gentweg
108 - 8000
Brugge
- België
- Kleine
Pathoekeweg
3 - 8000
Brugge
- België
H.R. Brugge 12.225
Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of
openbaar gemaakt worden door middel van druk,
fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder
voorafgaande schriftelijke toestemming van de
uitgever.
No part of this book may be reproduced in any form
by print, photoprint, microfilm or any other means
Pr
oe
without written permission from the publisher.
Te onthouden
Deze leerstof moet
je goed kennen en
begrijpen vooraleer je
verder kunt.
Samenvatting
De belangrijkste
eigenschappen,
begrippen en
regels van een
leerstofonderdeel.
Betekenis
Waar komen al
die wiskundige
begrippen vandaan?
pla
ar
3
6
Na wiskunde
De
ieder leerstofonderdeel
die we vandaag
kennen
vind
je een
is het
reeks
resultaat
oefeningen.
van
een eeuwenlang groeiproces.iets
Om
Onder
gemakkelijk
de wereldbol
terug
vind
je meer
te
vinden,
informatie
kun je terecht
over bein
langrijke
het
trefwoordenregister
historische figuren
en staan ook
achteraan
in het
leuke
boek.
anekdoDeze
tes vermeld.
woorden
staan ook in de
marge afgedrukt, op de
plaats waar ze het eerst
5
Het grafische
gebruikt
worden.
rekentoestel is
een onmisbaar hulpmiddel
geworden.
De
schrijvers
Telkens
van ditdit
boek
toestel hulp
wensen
je veel
kanplezier
bieden,
met
vind
je dit
het
vak
icoontje
wiskunde.
in de kantlijn.
Veel meer over het gebruik
van het grafische rekentoestel vind je in het speciale
‘ICT practicumboek 5
TI-83(Plus)’.
Geen wiskunde zonder
computer. Als computerprogramma’s kunnen
helpen,
Na ieder leerstofonderdeel
vind je een reeks oefeningen. De moeilijkste zijn in
het blauw gedrukt.
zie je dit pictogram. Veel
meer over het gebruik
van ICT vind je in het ‘ICT
practicumboek 5 Computer’ .
Om iets gemakkelijk terug
te vinden kun je terecht in
het trefwoordenregister
achteraan in het boek. Deze
woorden staan ook voor de
kantlijn afgedrukt, op de
plaats waar ze het eerst
gebruikt worden.
fex
em
4
Pr
oe
Achteraan in het boek staat
een trefwoordenlijst. Om
het gemakkelijker te maken
zijn deze woorden cursief in
de kantlijn gedrukt, telkens
zij voor het eerst gebruikt
worden.
Geschiedenis
Een wiskundige
terugblik in
de tijd. Leuke
wetenswaardigheden
over hoe het vroeger
was.
REKENMACHINE
Hier wordt uitgelegd
hoe je rekenmachine
je kan helpen.
De schrijvers van dit boek
wensen je veel plezier met
het vak wiskunde op je
nieuwe school.
4
maken hebt. Wiskunde in de
realiteit dus.
pla
ar
Welkom (opnieuw) in de wakkere
wetenschappelijke wereld van de
wiskunde.
De boekenreeks ‘Van Basis tot
Limiet’ heeft als doel de wiskunde
niet voor te stellen als een saaie en
droge materie, maar wel als een
levende en boeiende wetenschap
waarmee je overal rondom je te
Zoals je kunt zien bij de tandwielen
op deze foto is elk onderdeeltje
noodzakelijk om tot een degelijk
resultaat te komen.
Pr
oe
fex
em
Zet de wiskundige machine maar in
werking !
inhoud
projectie en
de stelling van Thales
1.1 Evenwijdige projectie > 8
1.2 Stelling van Thales > 8
1.3 Samenvating > 9
1.4Oefeningen > 9
2
fex
em
1 Evenwijdige
Isometriën en Homothetieën
2.1 Isometrieën > 24
2.2Homothetieën > 24
3
pla
ar
5
Gelijkvormigheden
Pr
oe
3.1 Gelijkvormigheden, evenredigheden en schaal
> 60
3.2 Gelijkvormige driehoeken > 61
3.3 Gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken
> 62
pla
ar
fex
em
Pr
oe
6
pla
ar
7
Evenwijdige projectie
en de stelling
van Thales
Evenwijdige projecie > 9
fex
em
1.1
1.1.1
Inleiding > 9
1.1.2Beeld van een punt > 10
1.1.3Beeld van een lijnstuk > 10
1.1.4Beeld van een rechte > 10
1.1.5Beeld van een vlakke figuur > 10
1.1.6Behoud eigenschappen > 10
1.1.7
De loodrechte projectie > 10
1.1.8
Verband tussen de lengte van een lijnstuk en de lengte van de loodrchte
projectie van het lijnstuk > 11
1.2
Stelling van Thales > 12
Pr
oe
1.2.1
Instap > 12
1.2.2Omgekeerde stelling van Thales > 13
1.3.3
Toepassingen op de stelling van Thales > 15
1.2.3.1 Een gegeven lijnstuk in een gelijk aantal delen verdelen > 15
1.2.3.2 Een lijnstuk verdelen in 2 lijnstukken die evenredig zijn met
2 gegeven lijnstukken > 16
1.2.3.3 De vierde evenredige construeren > 15
1.2.3.4 De stelling van Thales en het behoud van de ijk > 15
1.2.3.5Bijzonder geval van de stelling van Thales
en het behoud van de ijk > 15
1.2.3.6 Thales in de ruimte > 15
1.3
Samenvatting > 17
1.4
Oefeningen > 18
1
1
Evenwijdige projectie en
de stelling van Thales
pla
ar
8
1.1) Evenwijdige projectie
1.1.1 Inleiding
transformaties
Je maakte reeds kennis met een aantal transformaties van het vlak. Bij een spiegeling, verschui-
ving, draaiing en puntspiegeling heeft elk element juist één beeld. Het zijn transformaties van het
vlak die bovendien de grootte van een hoek, de lengte, de oppervlakte en de vorm van een figuur
fex
em
behouden.
Pr
oe
Deze drie
voorbeelden
illustreren
hoe je van
een voorwerp
beeld
een beeld
kunt maken.
De voorwerpen worden geprojecteerd. Telkens heb je een aantal elementen nodig:
een voorwerp dat geprojecteerd wordt,
de richting volgens welke je projecteert en
het vlak waarop je projecteert.
Ook in de vlakke meetkunde kunnen we punten, rechten en vlakke figuren projecteren.
Deel 1
Evenwijdige projectie en de stelling van Thales
1.1.2 Beeld van een punt
pla
ar
9
b
Y
Voorbeeld:
X
Beschouwen we in het vlak twee rechten
a en b (a //\ b) en de punten X, Y en Z.
M
a
Z
We kunnen het beeld van een punt zoeken door dit punt te prjecteren, evenwijdig met b en op a.
Daarvoor tekenen we door dit punt X een evenwijdige met b tot deze rechte a snijdt in X'.
projectieas
projectierichting
fex
em
Het punt X' is het beeld van X door de projectie p. We noteren dit als volgt: pab (X) = X'
Hierbij noemen we a de projectieas of
b
drager en b de projectierichting.
Merk op dat elk punt van p juist één beeld
heeft, want:
Y
- door een punt kan je maar één
evenwijdige tekenen met een
X
gegeven rechte b;
- deze rechte heeft juist één snijpunt
met a, want b //\ a.
Een evenwijdige projectie (parallelprojec-
tie) is dus een transformatie van het vlak.
Y’
X’
Merk op:
Punten van de rechte a waarop we projecteren hebben zichzelf als projectie.
Pr
oe
parallelprojectie
6X g a: p ba _Xi = X’ met X’ ! a en XX’ ' b _a ( bi
6X ! a: p ba _Xi = X
Z’
M
M’
Z
a
pla
ar
10
1.1.3 Beeld van een lijnstuk
We onderzoeken het beeld van een lijnstuk [AB] door een evenwijdige projectie pab.
Er zijn twee mogelijkheden:
AB //\ b
AB // b
b
b
B
B
A
fex
em
A
a
A’
B’
a
A’ = B’
pab ([AB]) = [A'B']
pab ([AB]) = A' = B'
In dit geval is het beeld van een lijnstuk
In dit geval is het beeld van een lijnstuk een
opnieuw een lijnstuk
punt.
Als je |AB| vergelijkt met |A'B'| dan merk je dat de evenwijdige projectie een transformatie is van
p die niet altijd de afstand bewaart. Dit in tegenstelling met andere transformaties zoals verschuivingen, spiegelingen, draaiingen en puntspiegelingen.
b
F
A
B
Pr
oe
A’
B’
C
C’
E
a
D’
E’
F’
E
We stellen vast dat
• |A'B'| Œ |AB|
• |C'D'| = |CD|
• |E'F'| Õ |EF|
Eigenschap:
Elke parallelprojectie bewaart de lengte van een lijnstuk als het lijnstuk evenwijdig is met de
rechte waarop men projecteert.
Evenwijdige projectie en de stelling van Thales
Deel 1
1.1.4 Beeld van een rechte
pla
ar
11
We onderzoeken het beeld van een rechte x door een evenwijdige projectie pab.
Ook hier zijn er twee mogelijkheden:
x //\ b
b
x // b
b
b
E
D
C
D
Z
A’
A’
A
a
B=
C’ D’ E’ E’
B = B’
C’B’ D’
A
X
X
Y
Y
x
x
fex
em
C
x
E
x
b
X’
a
U
Z
X’
a
a
U
pab (x) = a
pab (x) = X' met X' C a en X' C x
In dit geval is het beeld van een rechte de
In dit geval is het beeld het snijpunt van
projectieas.
x en a.
Algemeen:de projectie van een rechte die niet evenwijdig is met de projectierichting is opnieuw
een rechte.
1.1.5 Beeld van een vlakke figuur
Om een vlakke figuur te projecteren op een rechte, projecteer je eigenlijk elk punt van die figuur
op die rechte.
Voorbeelden:
b
A
Pr
oe
P
c
O
C
U
T
B
A’
Q
S
C’
R
S’
a
Q’
T’
U’
Besluit:Het beeld van elke bovenstaande figuur is een lijnstuk gelegen op de projectieas a.
1.1.6 Behoud eigenschappen
Stelling:
pla
ar
12
De evenwijdige projectie behoudt de gelijke grootte van evenwijdige lijnstukken.
Gegeven:AB // CD, |AB| = |CD|
p [AB] = [A'B']
pab [CD] = [C'D']
A
D’’
B’’
A’
B’
C’
fex
em
D
C
Te bewijzen: |A'B'| = |C'D'|
b
B
b
a
D’
a
Bewijs:Construeer de lijnstukken [A'B''] // [AB] en [C'D''] // [CD] zodat de
parallellogrammen ABB''A' en CDD"C' ontstaan.
In D A'B''B' en D C'D''D' geldt:
|Y
A’| = |Y
B’| (overeenkomstige hoeken bij A'B'' // C'D'' en snijlijn a)
4
|A'B''| = |C'D''| (|A'B''| = |AB| = |CD| = |C'D''|) ⇒ D A'B''B' ≅ D C'D''D'
overeenkomstige
Y | (overeenkomstige hoeken bij BB' // DD' en snijlijn a) B’| = |D’
|Y
in congruente
L zijden
driehoeken
|A'B''| = |C'D''|
Gevolg:
Als evenwijdige rechten aan een snijlijn lijstukken met dezelfde lengte afsnijden, dan snijden
ze ook lijnstukken met dezelfde lengte af van elke andere snijlijn.
Figuur:
|AB| = |CD|
L
|A'B'| = |C'D'|
L
Pr
oe
|A''B''| = |C''D''|
A
A’
B
B’
C
C’
D
D’
A”
B”
C”
D”
Deel 1
Evenwijdige projectie en de stelling van Thales
1.1.7 De loodrechte projectie
De loodrechte projectie is de projectie waarbijde projectierichting loodrecht staat op de projectieas.
P
b
A
B
S
Q
F
G
R
B’
S’
a
Q’
F’
fex
em
A’
G’
C
We zeggen:de loodrechte van een punt X op de rechte a is het voetpunt X' van de loodlijn uit C op
a.
De orthogonale projectie is een bijzonder geval van de parallelprojectie.
Bijgevolg bewaart elke orthogonale projectie de lengte van een lijnstuk als dit lijnstuk evenwijdig
is met de rechte waarop we projecteren.
6X g a: pa_Xi = X’ met X’ ! a en XX’ = a
6X d a: pa_Xi = X’
Pr
oe
loodrechte projectie
pla
ar
13
pla
ar
14
1.1.8 Verband tussen de lengte van een lijnstuk en de lengte van de loodrechte projectie van het lijnstuk
Gegeven:
b //
\ a
[AB]cb
pa[AB] = [A'B']
b
B
A
α
A’
|A'B'| = |AB| · cos a
B’
fex
em
Te bewijzen:
B”
Bewijs:
• Construeer AB" // A'B', noem \
BAB"
a
• In D ABB" geldt:
AB"
cos a =
(definitie cos a in rechthoekige D ABB")
AB
A’B’
• cos a =
(|AB"| = |A'B'| want dit zijn overstaande zijden in de rechthoek AB"B'A')
AB
F cos a · |AB| = |A'B'| (beide leden vermenigvuldigen met |AB|)
Pr
oe
Deel 1
Evenwijdige projectie en de stelling van Thales
pla
ar
15
1.2) Stelling van Thales
1.2.1 Instap
C
6 cm
B
fex
em
A
3 cm
5,6 cm
2,8 cm
A’
B’
Op bovenstaande constructie merken we het volgende:
|AB| = 1|BC| en |A'B'| = 1|BC|
2
2
m.a.w.
AB A’B’ 1
=
=
BC B’C’ 2
We illusteren deze vaststelling met behulp van GeoGebra.
Pr
oe
C’
pla
ar
16
Stelling van Thales:
stelling van Thales
De evenwijdige projectie behoudt de verhouding van de lengtes van evenwijdige lijstukken.
a
b
B
A
B
A
C’
B’
a'b'c
L
AB
A’B’
=
BC
B’C’
b
C’
B’
fex
em
A’
Gegeven: AA' // BB' // CC'
AB
A’B’
=
Te bewijzen:
BC
B’C’
A”
Gegeven: B
B”
1
a
C
p
2
C”
A
A’
B’
C’
b
Construeer door B de rechte p die evenwijdig is met b.
Zo bekom je de punten A", B" en C".
W| = |C
W| (verwisselende binnenhoeken) HH
|a
4 ⇒ D A"BA a D C"BC
Z2| (overstaande hoeken)
|Z
B1| = |B
A"B
BA
A’B’ AB
P
=
=
⇒
C"B
BC
B’C’
BC
Thales van Milet
Pr
oe
A’
c
C
a
C
Thales van Milete leefde van ongeveer 624 tot 547 voor Christus aan de kust van Klein-Azië, wat
nu Turkije heet. Hij was bedreven handelaar die fortuin maakt met het verkopen van oliën. Door
dit beroep maakte hij vele reizen en maakte hij kennis met niet-Europese beschavingen zoals de
Egyptische farao's en de oosterse beschaving.
Op oudere leeftijd pas startte hij met zijn studie van de wetenschap en de filosofie. Thales bracht een
nieuwe manier van denken. Tot dan toe was wiskunde vooral van praktische aard, alleen het resultaat
telde. Thales gaf een verklaring!
Overstaande hoeken die gelijk zijn, gelijkbenige driehoeken die gelijke basishoeken hebben, een diameter die de cirkel in
twee gelijke delen verdeelt, het congruentiekenmerk HZH: het zijn allemaal voorbeelden van eigenschappen die aan hem
toegeschreven worden. Alleen over de "stelling van Thales" hebben geschiedkundigen geen zekerheid of die daadwerkelijk
van Thales afkomstig is.
Handig is de stelling wel, ze laat immers toe op de afstand tussen 2 schepen te vinden of de hoogte van een piramide…
Deel 1
Evenwijdige projectie en de stelling van Thales
Gevolg:
pla
ar
17
Evenwijdige rechten bepalen op 2 snijdende rechten evenredige lijnstukken.
Opmerking:In de formulering van de stelling van Thales staat " evenwijdige lijnstukken".
Volgende tekening maakt je duidelijk waarom dit niet opgaat bij niet-evenwijdige
b
b
A
A’
B
B’
SA
SA’
=
SB
SB’
Q
Y
P
X
XY
X’Y’
!
PQ
P’Q’
want
en
XY
= 1 omdat |XY| = |PQ|
PQ
X’Y’
≠ 1 omdat |X'Y'| ≠ |P'Q'|
P’Q’
fex
em
S
a
lijnstukken.
d
c
X’
Y’
P’
Q’
a
1.2.2 Omgekeerde stelling van Thales
Als AA' // BB' en
AC
A’C’
=
dan is CC' // AA'.
CB
C’B’
Bewijs:
We bewijzen deze stelling in het geval dat C C [AB].
Gegeven: AA' // BB'
AC
A’C’
=
CB
C’B’
Te bewijzen: CC' // AA'
Bewijs:
Teken CD' // AA' (D' C [A'B'])
Pr
oe
a=c
b d
B
a = c
a+b c+d
We kunnen nu de stlling van Thales toepassen.
AC
A’C’
=
CB
D’B’
L
A’C’
A’D’
=
C’B’
D’B’
L
A’C’
A’D’
=
A’C’ + C’B’
A’D’ + D’B’
L
A’C’
A’D’
=
A’B’
A’B’
L
|A'C'| = |A'D'|
Dus:
Dus: C' = D' en bijgevolg valt CD' samen met CC'.
Vermits wd CD' evenwijdig getekend hebben met AA' geldt ook: CC' // AA'
pla
ar
18
1.2.3 Toepassing op de stelling van Thales
1.2.3.1 Een gegeven lijnstuk in een gelijk aantal delen verdelen
Voorbeeld:
Verdeel het lijnstuk [AB] in drie gelijke delen.
Werkwijze:
Constructie:
B
A
Construeer het lijnstuk [AB]
Teken een rechte door A die AB snijdt
R
en bepaal op deze rechte de punten
Q
P, Q en R zodat |AP| = |PQ| = |QR|.
P
Verbind R met B en construeer de
B
A
fex
em
Gebruik je passer.
evenwijdige met RB door Q en P.
De punten P' en Q' verdelen het
lijnstuk [AB] nu in drie gelijke delen.
Verklaring: PP' // QQ'
⇓
|AP'|
|P'Q'|
|AP|
|PQ|
= 1
P
⇓
=
R
A
|AP'| = |P'Q'|
B
Q'
P
P''
Op dezelfde wijze tonen we aan
dat |P'Q'| = |Q'B|
Bijgevolg: |AP'| = |P'Q'| = |Q'B|
1.2.3.2 Een lijnstuk verdelen in 2 lijnstukken die evenredig zijn met 2 gegeven lijnstukken
Voorbeeld:
Pr
oe
AX
PQ
Verdeel het lijnstuk [AB] in 2 lijnstukken zodat
=
.
XB
RS
B
A
P
R
Q
Werkwijze:
B
A
S
Constructie:
N
• Construeer [AB] en teken een rechte door A die AB snijdt.
•Bepaal op deze snijlijn de punten M en N zodat |AM| = |PQ| en |MN| (1)
Gebruik je passer!
• Verbind met B en teken de rechte m door M en evenwijdig met NB.
AB ∩ m = {X}
M
B
A
N
• Uit de stelling van Thales volgt nu dat
AM
AX (1) PQ
RS
P
=
=
MN
XB
RS
XB
M
B
A
X
m
Deel 1
Evenwijdige projectie en de stelling van Thales
pla
ar
19
1.2.3.3 De vierde venredige contstrueren
–3
De stelling van Thales blijft natuurlijk
–2
1
–1
Of:
C
a
3
a
3
b
0
0
gelden als 0 de abscis is van het snijpunt
van de rechten a en b.
2
–3
–1
–2
1
2
AB
A’B’
=
BC
B’C’
A
Er geldt ook:
||
AB
A’B’
A'
=
AB + BC
A’B’ + B’C’
B'
Of:
b
C'
AB
A’B’
=
AC
A’C’
fex
em
B
Besluit:Een evenwijdige aan een zijde van een driehoek bepaalt op de andere zijden
lijnstukken die evenredig zijn met die zijden.
1.2.3.4 De stelling van Thales en het behoud van de ijk
Van de hieronder afgebeelde piramide TABC wordt gevraagd om de onbekende hoogte x te berekenen.
T
Het probleem begrijpen:
Ik moet de hoogte berekenen. Hiervoor maak ik een vlakke voorstelling.
Ik herken Thales in de driehoek TNA.
3 cm
Oplossing:
B’
A’
• In het vlak TAN geldt:
x
M
AN ⊥ TN
A'M ⊥ TN
⇒ AN // A'M
C’
5 cm
4 cm
• Volgens de stelling van Thales bepalen de
B
Pr
oe
evenwijdige rechten AN en A'M op de snijlijnen
TA en TN evenredige lijnstukken.
N
A
naar vlakke
situatie
TA’
TM
=
Dus:
A’A
MN
B
3=x – 4
5
4
B
3 · 4 = 5 · (x – 4)
B
12 = 5x – 20
B
5x = 32
B
x = 32 = 6,4
5
Antwoord:
T
3 cm
C
x-4
A’
M
x
5 cm
• De hoogte van de piramide TABC is dus 6,4 cm.
Controle:
4 cm
6, 4 – 4
Klopt de evenredigheid? 3 =
5
4
A
N
1.3) Samenvatting
pla
ar
20
• Je kent de betekenis van een evenwijdige projectie p ba en weet wat bedoeld wordt met
projectierichting en projectieas.
b
•Y
p ba (X) = X' als X Ç a
p ba (X) = X' als X C a
•X
a is de projectieas
b is de projectierichting
•
Y'
•• M||
•
M'
•
X'
Z'
a
•Z
fex
em
• Je kunt het beeld bepalen van een lijnstuk, een rechte en een figuur door een evenwijdige
projectie.
• Je kent de betekenis van de loodrechte projectie op een rechte.
•Y
p ⊥a (X) = X' als X Ç a
p ⊥a (X) = X' als X C a
projectieas a en de projectierichting b
•X
staan loodrecht op elkaar.
Z'
Y'
• Je kent de stelling van Thales
De evenwijdige projectie behoudt de
verhouding van evenwijdige lijnstukken.
AB
A’B’
=
BC
B’C’
Pr
oe
• Je kent de omgekeerde stelling van Thales
AB
A’B’
=
Als AA' // BB' en
BC
B’C’
dan is CC' // AA'.
X'
b
•Z
C
B
A
A’
C’
• Je kan de stelling van Thales en de omgekeerde stelling van Thales toepassen.
B’
a
Deel 1
Hoeken
pla
ar
21
1.4) Oefeningen
1 Bepaal de beelden van de punten X, Y, Z, M en N door p ab en door p ab.
b
X
N
a
Y
fex
em
Z
M
2 Bepaal de beelden van de volgende figuren…
a … door p ba c … door p ba
a
b
A
D
E
D
G
G
a
F
B
b
H
Pr
oe
E
C
b … door p ba d … door p ba
A
b
a
a
B
O
D
C
b
pla
ar
22
3 Indien X' en Y' de projecties X en Y, teken dan de projectieas a en de projectierichting b in de
volgende gevallen.
a
X
X'
Y'
c
Y'
X
Y
fex
em
Y
X'
X'
b
d
Y
Y = Y'
X
Pr
oe
Z'
X
X' = Y'
Y"
Z"
4Gegeven: rechten a en b
p1 = pba p2 = pba
X' = p1(X)
Y' = X"
X'' = p2(X)
en
Y' = p1(Y) Y'' = p2(Y)
Z' = p1(Z) Z'' = p2(Z)
Gevraagd: Teken de driehoek XYZ.
X'
b
a
Deel 1
Hoeken
pla
ar
23
5Gegeven zijn een parallellogram ABCD en een rechte op a.
Bepaal een projectierichting b zodat de evenwijdige projectie de vier hoekpunten op a
a in vier verschillende punten b in drie verschillende
afbeeldt;
a
B
a
a
B
A
C
D
C
6 Gegeven:
zie figuur
pba ([XY]) = [X'Y']
Gevraagd: Teken een lijnstuk [XY] zodat:
|XY| = |X'Y'|
c
b
D
b
Y'
Pr
oe
X'
b
C
|XY| < |X'Y'|
a
B
A
fex
em
punten afbeeldt.
a
A
D
c in twee verschillende
punten afbeeldt; |XY| > |X'Y'|
b
X'
Y'
d
★
a
X'
Y'
|XY| = |X'Y'| en [XY] //\ [X'Y']
b
a
a
X'
Y'
7 Gegeven:
pla
ar
24
D ABC
Gevraagd: Bepaal het beeld van D ABC
a door pAABC A
b door pBACC
A
C
C
B
fex
em
B
8Gegeven:
Δ ABC
Gevraagd:
Bepaal pAB (C), pAC (B) en pBC (A). ⊥
⊥
⊥
A
B
C
9Vul volgende tabellen aan.
a AA'//BB'//cC'
b
AA'//CC'
★
B
Pr
oe
A
A’
|AC|
C’
B=B’
C
C’
|A'B'| |B'C'| |A'C'|
|BC|
3
4
2
2
6
4
3
3
2
A
A’
B’
|AB|
1
C
|AB|
|BC|
3
4
2
2
6
4
3
3
1
5
5
|AC| |A'B'| |B'C'| |A'C'|
2
5
5
Deel 1
Evenwijdige projectie en de stelling van Thales
10 Gegeven:A, B en C zijn collineair
A’, B’ en C’ zijn collineair
AA’ // BB’ // CC’
pla
ar
25
Gevraagd: Maak telkens een passende tekening voor de volgende situaties:
a |AB| = 3 cm
|AC| = 4 cm
|A'B'| = 2 cm
fex
em
b |BC| = 6 cm
|A'B'| = 4 cm
|B'C'| = 5 cm
Pr
oe
c |BC| = 2 cm
|AC| = 1,5 cm
|A'C'| = 5 cm
11Gegeven: trapezium ABCD
Gevraagd: |AP|
D
4
A
pla
ar
26
P
7
B
5
C
fex
em
12 In een trapezium ABCD (AB//CD) wordt een rechte getekend die [BC] snijdt in Q en [AD] in P.
In welke gevallen is PQ //AB?
A
D
C
Pr
oe
22Gegeven: |AP|
|PD|
|BQ|
|QC|
a
3
4
4,5
6
b
9
6
10
7
c
2
3
4
5
2
12
5
B
A
1,9
E
trapezium ABCD, EF // AB
Gevraagd:Bereken |DS|, |AS| en |BF|.
7,6
D
B
2,5
F
S
5,8
4,8
C
Deel 1
Evenwijdige projectie en de stelling van Thales
14 Gegeven: |AB| = 2,2 cm
|BC| = 1,3 cm
|CD| = 4,5 cm
|A'B'| = 2,8 cm
AA' // BB' // CC' // DD'
Gevraagd:Bepaal |B'C'| en |C'D'|
B
A
D
C
fex
em
A'
pla
ar
27
B'
C'
D'
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
15Teken een lijnstuk [AB] van 12 cm. Bepaal P op [AB] zodat
Pr
oe
AP 5
= .
PB 3
pla
ar
28
B
16Het lijnstuk [AB] is gegeven
met |AB| = 9 cm.
Bepaal het punt X op de rechte AB zodat
XA
=5
2
XB
A
Bereken |XA| en |XB|.
Zijn er meerdere oplossingen?
fex
em
17Het lijnstuk [AB] is gegeven. Bepaal op AB de punten M, N en P zodat
a
AB 3
= BM 4
b
AB 3
= AN 4
c
BP 3
=
AP 4
Pr
oe
A
B
Deel 1
Evenwijdige projectie en de stelling van Thales
pla
ar
29
18 Als het snijpunt van 2 geijkte rechten a en b abscis 0 heeft voor beide rechten, dan zal elke
rechte die twee punten met een zelfde abscis verbindt, evenwijdig zijn met de rechte door de
punten met abscis 1.
Maak een duidelijke tekening die deze uitspraak staaft.
fex
em
A
19 a
6,8
7,4
Q
P
x
2,3
B
Pr
oe
C
A
b
x
P
5
Q
x+ 2
8
C
B
pla
ar
30
20 aVerdeel een lijnstuk [AB] van 8 cm in drie even lange delen.
bVerdeel een lijnstuk [AB] van 13 cm in zeven even lange delen.
fex
em
Pr
oe
21 aTeken een reële getallenas. Plaats daarop een ijk.
b Plaats op deze getallenas de punten met abscis 1, –1, 7, –13, 8 . 0
3 4 6 5 3
Deel 1
Evenwijdige projectie en de stelling van Thales
22Gegeven zijn drie lijnstukken:
B
|AB| = a cm A
C
|CD| = b cm
F
E
|EF| = c cm
pla
ar
31
a Construeer een lijnstuk [XY] met
D
b Construeer een lijnstuk [ZU] met
|ZU| = z cm waarbij z de derde
evenredige is tot a, b en c.
evenredige is tot a en c.
fex
em
|XY| = x cm en waarbij x de vierde
23 De hiernaast afgebeelde
figuur is een afgeknotte
piramide. Bereken de
onbekende hoogte
x = |PQ|.
T
4 cm
C’
D’
P
A’
D
8 cm
B’
x
C
Pr
oe
6 cm
Q
A
B
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
pla
ar
32
24De vloer van de hiernaast afgebeelde zolder is
een vierkant met zijde 4 m. De hoogte van de zolder is 2 3 m. Om een zolderkamertje te
maken brengt men een plafond aan op een
hoogte h van 3 3 m. Bereken de oppervlakte
2
van het plafond.
h
4m
Pr
oe
fex
em
Deel 1
Evenwijdige projectie en de stelling van Thales
pla
ar
33
B
25 In een parallellogram ABCD verbindt men een hoekpunt
B met een punt E op de zijde [AD] zo dat AE = 1 AD . 4
Het lijnstuk [BE] snijdt de diagonaal [AC] in een punt F.
AF
is dan
De verhouding
AC
F
A
a 1
8
b 1
6
c 1
5
(JWO 2003, 1ste ronde, oefening 19, © Junior Wiskunde Olymiade vzw.)
C
D
E
d 1
4
e
1
2 2
__________________________________________________________________________
A
fex
em
26 In een driehoek ABC is W
B = 90°, |AB| = 15 cm en |BC| = 30 cm. In deze driehoek wordt een vierkant
ingeschreven zoals in de figuur.
Hoe lang is de zijde van dit vierkant?
C
B
a 8 cm
b 9 cm
c 10 cm
(JWO 2003, 2de ronde, oefening 7, © Junior Wiskunde Olymiade vzw.)
d 11 cm
e 12 cm
__________________________________________________________________________
C
27 Driehoek ABC is rechthoekig in B en zijde [AB] heeft
Q
lengte 3. Door een punt P op de zijde [AB] trekt men een rechte evenwijdig aan BC die [AC] snijdt in Q.
Als de oppervlakte van het trapezium PBCQ tweemaal
S
zo groot is als die van de driehoek PQA, hoe lang is dan [AP]?
2S
A
c
3 a 1
(JWO 2002, 2de ronde, oefening 11, © Junior Wiskunde Olymiade vzw.)
Pr
oe
b
2 d 2 B
P
e
5
__________________________________________________________________________
28 In een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 4 en 6,
construeert men een halve cirkel met middelpunt op de schuine zijde en raken aan de rechthoekszijden.
Wat is de straal van deze cirkel?
a 2
d 3
b 2,4
2
e
3 13
c 2,5
(JWO 2003, 2de ronde, oefening 12, © Junior Wiskunde Olymiade vzw.)
_________________________________________________
_________________________________________________
28Onderzoeksopdracht
pla
ar
34
Onderzoek met bestaande wiskundesoftware of de volgende uitspraken waar zijn.
a Gegeven:
a, b en c zijn rechten die door O gaan.
A, A' C a
C, C' C c
Gevraagd:Als AB // A'B' en BC // B'C', dan is AC // A'C'.
B, B' C b
(Dit is een bijzonder geval van de stelling van Desurgues)
bDoor het hoekpunt A van driehoek ABC trekt men de rechte a die doorhet midden M van de
fex
em
zwaartelijn BE gaat en BC snijdt in D.
Dan is |BC| = 1|DC|.
2
cTrekt men in een convexe vierhoek de diagonalen, dan zijn de zwaartepunten van de 4 driehoeken die zo ontstaan de hoekpunten van een parallellogram.
dTeken de driehoek ABC en noem Mhet midden van [AC], N het midden van [BM] n X het snijpunt van AN en BC.
Teken door M de rechte a evenwijdig met AN en noem Y het snijpunt van a en BC.
[BC] wordt nu door X en Y in drie even lange delen verdeeld.
eDe deellijn van een hoek van een driehoek verdeelt de overstaande zijde in stukken, die
evenredig zijn met de aangrenzende zijden van de driehoek.
fABCD is een parallellogram.
E is het midden van [AB] en F is het midden van [CD].
Wat kan je besluiten over de stukken waarin [BD] door EC en AF verdeeld wordt?
gDe middens van de zijden van een willekeurige vierhoek zijn de punten van een parallellogram.
Pr
oe