Het getal - science.uu.nl project csg
advertisement
Het getal π Frits Beukers Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 1 / 36 π-koe Inleiding Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 2 / 36 π-cologne Inleiding Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 3 / 36 De hoofdrolspeler 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974 94459230781640628620899862803482534211706798214808651328230 66470938446095505822317253594081284811174502841027019385211 05559644622948954930381964428810975665933446128475648233786 78316527120190914564856692346034861045432664821339360726024 91412737245870066063155881748815209209628292540917153643678 92590360011330530548820466521384146951941511609433057270365 75959195309218611738193261179310511854807446237996274956735 18857527248912279381830119491298336733624406566430860213949 46395224737190702179860943702770539217176293176752384674818 46766940513200056812714526356082778577134275778960917363717 87214684409012249534301465495853710507922796892589235420199 56112129021960864034418159813629774771309960518707211349999 99837297804995105973173281609631859502445945534690830264252 23082533446850352619311881710100031378387528865875332083814 20617177669147303598253490428755468731159562863882353787593 75195778185778053217122680661300192787661119590921642019... Inleiding Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 4 / 36 Definitie van π Inleiding Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 5 / 36 Volumes met π Cirkel met straal r Oppervlak = πr 2 Omtrek = 2πr Bol met straal r Oppervlak = 4πr 2 Inleiding Inhoud = 4πr 3 /3 Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 6 / 36 Da Vinci’s bewijs Inleiding Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 7 / 36 Archimedes, 278 - 212 v. Chr. Pi-berekening, deel I Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 8 / 36 Veelhoeken Pi-berekening, deel I Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 9 / 36 In- en omgeschreven veelhoek Pi-berekening, deel I Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 10 / 36 Archimedes’ relaties Recursies 1 1 = Q2N 2 Pi-berekening, deel I 1 1 + PN QN Het getal π P2N = p PN Q2N . Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 11 / 36 Archimedes’ relaties Recursies 1 1 = Q2N 2 1 1 + PN QN P2N = p PN Q2N . Formules QN = N tan Pi-berekening, deel I π N PN = N sin Het getal π π . N Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 11 / 36 Archimedes’ benadering N 6 12 24 48 96 PN 3.000000000... 3.105828541... 3.132628613... 3.139350203... 3.141031950... QN 3.464101615... 3.215390309... 3.159659942... 3.146086215... 3.142714599... π = 3.141592653 . . . Pi-berekening, deel I Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 12 / 36 Vervolg 3.0000000000000000... 3.1058285412302491... 3.1326286132812381... 3.1393502030468672... 3.1410319508905096... 3.1414524722854620... 3.1415576079118576... 3.1415838921483184... 3.1415904632280500... 3.1415921059992715... Pi-berekening, deel I 3.1415925166921574... 3.1415926193653839... 3.1415926450336908... 3.1415926514507676... 3.1415926530550368... 3.1415926534561041... 3.1415926535563709... 3.1415926535814376... 3.1415926535877043... 3.1415926535892710... Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 13 / 36 π-chronologie, deel I Ontdekker(s) Babyloniërs Egyptenaren Archimedes Tsu Ch’ung Chih Al-Kashi L.van Ceulen Pi-berekening, deel I Jaar Waarde 2000 B.C. 2000 B.C. 250 B.C. 480? 1429 1609 3 18 (16/9)2 3.141 . . . 355/113 Het getal π Decimalen correct 1 1 3 6 14 35 Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 14 / 36 Ludolph van Ceulen, 1540 - 1610 Pi-berekening, deel I Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 15 / 36 Van Ceulen’s grafsteen Pi-berekening, deel I Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 16 / 36 Snellius, 1580-1626 Pi-berekening, deel I Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 17 / 36 Snellius’ idee N 6 12 24 48 96 PN 3.000000000... 3.105828541... 3.132628613... 3.139350203... 3.141031950... QN 3.464101615... 3.215390309... 3.159659942... 3.146086215... 3.142714599... (2PN + QN )/3 3.154700538... 3.142349130... 3.141639056... 3.141595540... 3.141592833... π = 3.141592653 . . . Pi-berekening, deel I Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 18 / 36 Isaac Newton, 1643 - 1727 Pi-berekening, deel II Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 19 / 36 Isaac Newton, 1643 - 1727 I am ashamed to tell you how many figures I carried these computations, having no other business at the time Pi-berekening, deel II Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 19 / 36 Leonhard Euler, 1707-1783 Pi-berekening, deel II Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 20 / 36 Arctangens Gregory (1638-1675) arctan x = Pi-berekening, deel II x x3 x5 x7 x9 − + − + − ··· 1 3 5 7 9 Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 21 / 36 Arctangens Gregory (1638-1675) arctan x = x x3 x5 x7 x9 − + − + − ··· 1 3 5 7 9 Vul hier x = 1 in: Leibniz (1646 - 1716) π 1 1 1 1 1 = − + − + − ··· 4 1 3 5 7 9 Pi-berekening, deel II Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 21 / 36 Arctangens identiteiten Machin (1680-1752) π 1 1 = 4 arctan − arctan . 4 5 239 Pi-berekening, deel II Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 22 / 36 Arctangens identiteiten Machin (1680-1752) π 1 1 = 4 arctan − arctan . 4 5 239 Euler 1 3 π = 5 arctan + 2 arctan . 4 7 79 Pi-berekening, deel II Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 22 / 36 Arctangens identiteiten Machin (1680-1752) π 1 1 = 4 arctan − arctan . 4 5 239 Euler 1 3 π = 5 arctan + 2 arctan . 4 7 79 Euler π 1 1 = arctan + arctan . 4 2 3 Pi-berekening, deel II Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 22 / 36 π-chronologie, deel II Ontdekker(s) Newton Machin W.Shanks Rietweisner et al (ENIAC) Guilloud D.Shanks, Wrench Guilloud, Dichampt Pi-berekening, deel II Jaar 1665 1706 1874 1949 1959 1961 1967 Het getal π Decimalen correct 16 100 527(707) 2 037 16 167 100 265 500 000 Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 23 / 36 Carl Friedrich Gauss, 1777-1855 Pi-berekening, deel III Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 24 / 36 AGM a0 = a a1 = (a0 + b0 )/2 a2 = (a1 + b1 )/2 ··· an+1 = (an + bn )/2 ··· Pi-berekening, deel III Het getal π b0 √ =b b1 = √a0 b0 b2 = a1 b1 · · ·√ bn+1 = an bn ··· Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 25 / 36 AGM-voorbeeld n 0 1 2 3 4 an 1.414213562373095048... 1.207106781186547524... 1.198156948094634295... 1.198140234793877209... 1.198140234735592207... Pi-berekening, deel III bn 1.000000000000000000... 1.189207115002721066... 1.198123521493120122... 1.198140234677307205... 1.198140234735592207... Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 26 / 36 AGM-voorbeeld n 0 1 2 3 4 an 1.414213562373095048... 1.207106781186547524... 1.198156948094634295... 1.198140234793877209... 1.198140234735592207... bn 1.000000000000000000... 1.189207115002721066... 1.198123521493120122... 1.198140234677307205... 1.198140234735592207... Limiet: 1 2 lim = n→∞ an π Pi-berekening, deel III Z 1 0 Het getal π √ dx 1 − x4 Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 26 / 36 Gauss-Salamin-Brent (1976) Start: a0 = √ 2, b0 = 1, c0 = 1, d0 = 1 Recursie voor n ≥ 0: an+1 = (an + bn )/2 p bn+1 = an bn cn+1 = cn2 /2n+3 dn+1 = dn − cn Pi-berekening, deel III Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 27 / 36 Gauss-Salamin-Brent (1976) Start: a0 = √ 2, b0 = 1, c0 = 1, d0 = 1 Recursie voor n ≥ 0: an+1 = (an + bn )/2 p bn+1 = an bn cn+1 = cn2 /2n+3 dn+1 = dn − cn Dan geldt: 2an2 = π. n→∞ dn lim Pi-berekening, deel III Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 27 / 36 Srinivasa Ramanujan, 1887-1920 Pi-berekening, deel III Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 28 / 36 De gebroeders Chudnovsky Pi-berekening, deel III Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 29 / 36 Ramanujan-Chudnovsky formule √ ∞ 1 8 X (4n)! 1103 + 26390n = 2 . π 99 (n!)4 3964n n=0 Pi-berekening, deel III Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 30 / 36 π-chronologie, deel III Ontdekker(s) Guilloud, Bouyer Gosper Kanada, Tamura D & G. Chudnovsky D & G. Chudnovsky Kanada, Takahashi Kanada, Takahashi Kanada, Ushiro, Kuroda Pi-berekening, deel III Jaar 1973 1985 1988 1989 1994 1997 1999 2002 Het getal π Decimalen correct 1 001 250 17 526 200 201 326 551 1 011 196 691 4 044 000 000 51 539 600 000 206 158 430 000 1 241 100 000 000 Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 31 / 36 π-feiten Lambert, 1768 π is irrationaal Conclusies Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 32 / 36 π-feiten Lambert, 1768 π is irrationaal Lindemann, 1882 π is transcendent Conclusies Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 32 / 36 π-feiten Lambert, 1768 π is irrationaal Lindemann, 1882 π is transcendent Gevolg: Kwadratuur van de cirkel is opgelost Conclusies Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 32 / 36 π-vragen Vragen Komt elk rijtje cijfers in de decimale ontwikkeling van π voor? Is π normaal? Is e + π irrationaal, of eπ? Conclusies Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 33 / 36 π-ezelsbruggen How I need a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics Conclusies Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 34 / 36 π-ezelsbruggen How I need a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics Eva o lief, o zoete hartedief, uw blauwe oogen zijn wreed bedrogen Conclusies Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 34 / 36 Pihenge Conclusies Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 35 / 36 Einde! Conclusies Het getal π Kaleidoscoop, 19 Okt 2009 36 / 36