239947 2e fase rekenboek H1.indd

239947 2e fase rekenboek H1.indd 2
14-10-10 08:59
Getal&
Ruimte
REKENBOEK
tweEde FASE
tiende editie,
auteurs
L.A. Reichard
J.H. Dijkhuis
C.J. Admiraal
G.J. te Vaarwerk
J.A. Verbeek
G. de Jong
H.J. Houwing
J.D. Kuis
F. ten Klooster
S.K.A. de Waal
J. van Braak
H. Liesting
M. Wieringa
M.L.M. van Maarseveen
239947 2e fase rekenboek H1.indd 1
03-12-12 16:32
Voorwoord
Rekenboek Tweede fase
In het rekenboek Tweede Fase hebben de bevindingen van de Commissie
Meijerink betreffende het ‘referentiekader rekenen’ een invulling gekregen
die past bij de Tweede Fase havo/vwo. Als uitgangspunt is gekozen voor het
in het rapport aangeduide fundamentele niveau 3F. Dit niveau kenmerkt zich
door het rekenen in alledaagse situaties. Daarnaast is er voortdurend aandacht
voor het meer abstracte en theoretische streefniveau 3S. Het gevolg is dat kale
rekenopgaven en contextrijke opgaven elkaar steeds afwisselen.
Het rekenboek heeft de vorm van een werkboek. Dat houdt in dat de leerlingen
de uitwerkingen in het boek kunnen schrijven en geen aparte werkbladen voor
figuren nodig hebben. In de docentenkit staan de antwoorden.
Opbouw
In het rapport Meijerink is sprake van de vier domeinen Getallen, Verhoudingen,
Verbanden en Meten en Meetkunde. Aan elk van deze domeinen is een apart
hoofdstuk gewijd met uitzondering van het domein Meten en Meetkunde dat
in verband met de omvang gesplitst is in de hoofdstukken 4 (Meten) en 5
(Meetkunde). Elk hoofdstuk is opgebouwd uit paragrafen. Elke paragraaf beslaat
twee pagina’s en is in principe in een les (50 minuten) door te werken.
De linkerpagina begint met theorie en daarna volgen de opgaven.
Elk hoofdstuk wordt afgesloten met een of meer herhalingsparagrafen waarin de
aangeboden onderwerpen door elkaar aan de orde komen.
Achter in het boek staat een verzameling gemengde opgaven. Deze geven een
goede voorbereiding op de ‘rekentoets’.
Differentiatie
Bij elke paragraaf is door middel van ‘wiskunde: A/C B geen’ vermeld voor
welke doelgroep de paragraaf bestemd is. Zo is met ‘wiskunde: A/C geen’
aangegeven dat leerlingen die wiskunde B volgen het hoofdstuk Meetkunde
kunnen overslaan en met ‘wiskunde: B geen’ dat leerlingen met wiskunde A/C
grote delen van het hoofdstuk Verhoudingen kunnen overslaan. Wel is het gewenst
dat alle leerlingen de herhalingsparagrafen doornemen. Bij problemen kunnen ze
dan de betreffende paragraaf nog eens bekijken.
Rekenmachine
In principe moeten de opgaven zonder rekenmachine gemaakt worden.
Bij het ontwikkelen van rekenvaardigheden en het aanleren van rekenstrategieën
is het immers ongewenst de rekenmachine bij de hand te hebben. Bij allerlei
toepassingen daarentegen zoals bij procentopgaven en bij het berekenen van de
inhoud van een cilinder zou een verbod op het gebruik van de rekenmachine
geforceerd overkomen. Vandaar dat bij dergelijke opgaven expliciet staat vermeld
dat de rekenmachine is toegestaan.
Zoals gebruikelijk stellen we opmerkingen van gebruikers zeer op prijs.
Zomer 2010
239947 2e fase rekenboek H1.indd 2
14-10-10 08:59
Inhoud
1 Getallen
1.1 Bewerkingen
1.2 Handig rekenen
1.3 Volgorde bewerkingen
1.4 Onder elkaar
1.5 Schattend rekenen
1.6 Delers en veelvouden
1.7 Algebra
1.8 Machten
1.9 Toepassingen
1.10 Breuken
1.11 Rekenen met breuken
1.12 Breuken delen
1.13 Decimale getallen
1.14 Rekenen met decimale getallen
1.15 Toepassingen
1.16 Herhaling getallen 1
1.17 Herhaling getallen 2
4
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
38
38
40
42
44
46
Procenten en verhoudingen
Procenten en breuken
Rekenen met procenten
Procentberekeningen 1
Procentberekeningen 2
Verhoudingen
Herhaling procenten en
verhoudingen
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
Verbanden
Diagrammen
Diagrammen combineren
Grafieken
Formule, tabel en grafiek
Formules en letters
Groei
Exponentiële groei
Evenredig en omgekeerd
evenredig
3.9 Herhaling verbanden 1
3.10 Herhaling verbanden 2
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Meten
Lengte en schaal
Oppervlakte
Inhoud
Cirkel, cilinder en kegel
Vergroten
Andere eenheden
Herhaling meten 70
70
72
74
76
78
80
82
5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
Meetkunde
Lijnen, hoeken en driehoeken
Kijken
Ruimtelijke situaties
Symmetrie
Rechthoekige driehoeken
Goniometrie
Herhaling meetkunde 1
Herhaling meetkunde 2
84
84
86
88
90
92
94
96
98
Gemengde opgaven
100
48
50
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
3
239947 2e fase rekenboek H1.indd 3
14-10-10 08:59
1 Getallen
1.1 Bewerkingen
Wiskunde: A/C B geen
Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen zijn voorbeelden
van bewerkingen.
Optellingen die je uit het hoofd maakt zijn 18 + 7 = 25, 33 + 9 = 42
en 121 + 8 = 129.
De aftrekking 79 - 11 = 68 kun je controleren met de optelling
68 + 11 = 79.
Uit het hoofd doe je 23 - 5 = 18, 73 - 7 = 66 en 187 - 5 = 182.
Bij de vermenigvuldiging 3 × 7 hoort de optelling 7 + 7 + 7.
En zo is 5 × 8 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8.
De tafels van 1 tot en met 10 moet je uit het hoofd kennen.
Bijvoorbeeld 4 × 8 = 32, 7 × 9 = 63 en 3 × 6 = 18.
Ken de tafels van 1 tot
en met 10 uit het hoofd.
De deling 72 : 8 = 9 kun je controleren met de vermenigvuldiging
9 × 8 = 72.
De deling 32 : 6 komt niet mooi uit.
Je krijgt 32 : 6 = 5 rest 2, want 5 × 6 = 30. Je houdt 2 over.
En 66 : 7 = 9 rest 3, want 9 × 7 = 63. Je houdt 3 over.
Voorbeeld
9 + 4 = 13
900 + 400 = 1300
900 + 40 = 940
27 : 3 = 9
2700 : 300 = 9
2700 : 30 = 90
9-4=5
900 - 400 = 500
900 - 40 = 860
9 × 4 = 36
900 × 400 = 360 000
900 × 40 = 36 000
18 - 7 + 5 = 16
1800 - 700 + 500 = 1600
1800 - 700 + 50 = 1100 + 50 = 1150
Bij vermenigvuldigen
nullen tellen.
Toepassingen
• Op een klassenavond zijn 5 dozen chips opgegeten. In elke doos
zitten 8 zakjes chips.
In totaal zijn er 5 × 8 = 40 zakjes chips opgegeten.
• Trees doet 1600 gram thee in 8 zakjes. In elk zakje komt evenveel
thee.
Elk zakje bevat 1600 : 8 = 200 gram thee.
16 : 8 = 2,
dus 1600 : 8 = 200
4 Hoofdstuk 1
239947 2e fase rekenboek H1.indd 4
© EPN
14-10-10 08:59
Opgaven
1
2
3
4
5
6
Bereken.
a 19 + 6 = d 900 + 600 = g 72 + 9 + 4 = b 23 + 4 = e 1500 + 88 = h 6 + 53 + 8 = c 159 + 9 = f 12 + 58 = i 15 + 19 + 85 = a 19 - 5 = d 23 - 8 - 7 = g 139 - 8 - 11 = b 16 - 3 = e 1800 - 900 = h 98 - 40 - 9 = c 91 - 8 = f 2700 - 40 = i 17 - 9 - 8 = a 9 × 5 = e 9 × 9 = i 500 × 700 = b 7 × 4 = f 5 × 4 = j 30 × 800 = c 6 × 8 = g 8 × 3 = k 600 × 500 = d 4 × 6 = h 9 × 2 = l 8000 × 20 = Bereken.
Bereken.
Bereken. Als de deling niet opgaat vermeld je ook de rest.
a 72 : 8 = d 2800 : 70 = g 45 : 5 = b 53 : 6 = e 750 : 80 = h 23 : 4 = c 31 : 4 = f 1600 : 50 = i 6000 : 80 = Bereken. Als de deling niet opgaat vermeld je ook de rest.
a 60 × 300 = d 43 : 6 = g 50 × 800 = b 300 : 60 = e 2500 : 70 = h 1100 : 200 = c 700 × 40 = f 11 × 90 = i 590 : 90 = a Een kast in een winkel heeft 8 planken. Op elke plank staan 60 pakken melk.
Bereken het totale aantal pakken melk.
b In een benzinetank zit nog 40 liter benzine. Per liter kan de auto 12 km afleggen.
Hoeveel km kan de auto nog afleggen?
c Frits verdient met vakkenvullen 6 euro per uur. In een maand heeft hij 240 euro verdiend.
Hoeveel uur heeft hij die maand gewerkt?
© EPN
239947 2e fase rekenboek H1.indd 5
Getallen 5
14-10-10 08:59
1.2 Handig rekenen
Wiskunde: A/C B geen
Optellen
73 + 59 + 27 = 100 + 59 = 159
547 + 37 + 363 = 574 + 400 = 947
67 + 28 = 67 + 3 + 25 = 70 + 25 = 95
Eerst 73 en 27 samennemen.
Eerst 37 en 363 samennemen.
Aftrekken
632 - 95 = 632 - 100 + 5 = 532 + 5 = 537
72 - 19 = 72 - 20 + 1 = 52 + 1 = 53
95 eraf is hetzelfde als 100 eraf en 5 erbij.
19 eraf is hetzelfde als 20 eraf en 1 erbij.
Optellen en aftrekken
532 - 9 + 68 = 532 + 68 - 9 = 600 - 9 = 591
Bij het wisselen van - 9 en + 68 moet je het
minteken en het plusteken meenemen.
Vermenigvuldigen
4 × 13 × 25 = 13 × 100 = 1300
125 × 27 × 8 = 1000 × 27 = 27 000
16 × 35 = 8 × 70 = 560
Eerst 4 × 25 berekenen.
Eerst 125 × 8 berekenen.
Deel 16 door 2 en vermenigvuldig 35 met 2.
Delen
72 : 18 = 36 : 9 = 4
Deel zowel 72 als 18 eerst door 2.
Opgaven
1
2
3
Bereken uit het hoofd.
a 58 + 24 = d 629 + 71 = g 891 + 109 = b 17 + 63 = e 1821 + 179 = h 888 + 12 = c 12 + 18 = f 1821 + 79 = i 9983 + 17 = a 183 - 83 = d 409 - 9 = g 197 - 27 = b 275 - 25 = e 820 - 7 = h 808 - 6 = c 1000 - 11 = f 1005 - 6 = i 1309 - 109 = a 4 × 25 = e 8 × 125 = i 5 × 200 = b 8 × 25 = f 80 × 125 = j 50 × 20 = c 12 × 25 = g 8 × 12 500 = k 100 × 18 = d 40 × 25 = h 8 × 250 = l 900 × 60 = Bereken uit het hoofd.
Bereken uit het hoofd.
6 Hoofdstuk 1
239947 2e fase rekenboek H1.indd 6
© EPN
14-10-10 08:59
4
5
6
7
8
Bereken handig.
a 287 + 57 + 13 = d 321 + 78 + 22 + 79 = b 1836 + 271 + 229 = e 1609 + 382 + 391 + 18 = c 163 + 37 + 800 = f 1232 - 79 + 768 = Bereken handig.
a 573 - 98 = d 1283 - 197 = b 73 - 18 = e 6830 - 1989 = c 4309 - 19 = f 574 + 87 - 64 = Bereken handig.
a 4 × 18 × 25 = d 18 × 45 = b 11 × 125 × 8 = e 14 × 55 = c 20 × 629 × 5 = f 28 × 15 = Bereken handig.
a 84 : 14 = d 2000 : 8 = b 120 : 24 = e 50 000 : 200 = c 1500 : 30 = f 1120 : 28 = Bereken handig.
a 928 + 179 + 72 + 121 = b 837 - 196 = c 3494 - 178 - 122 = d 8 × 5 × 20 × 125 = e 250 × 7 × 3 × 40 = f 55 × 16 = g 180 : 45 = 9
a In een ladekast zijn 16 laden. In elke lade zitten 125 spijkers.
Hoeveel spijkers zijn er in totaal? b In een kantoor zijn 25 kamers. In elke kamer zijn 18 lampen.
Hoeveel lampen zijn er in totaal? c In een supermarkt worden op pallets 4800 pakken melk afgeleverd.
Op elke pallet staan 160 pakken melk.
Hoeveel pallets worden afgeleverd? © EPN
239947 2e fase rekenboek H1.indd 7
Getallen 7
14-10-10 08:59
1.3 Volgorde bewerkingen
Wiskunde: A/C B geen
Frits werkt in een supermarkt. Hij ontvangt per week een basisloon
van 8 euro.
Per uur komt daar 5 euro bij.
In een week werkt hij 7 uur.
Hij ontvangt dan 8 + 5 × 7 = 8 + 35 = 43 euro.
Bij de berekening van 8 + 5 × 7 moet je eerst vermenigvuldigen want
vermenigvuldigen gaat voor optellen.
Een klas van 30 leerlingen gaat op excursie. Op een terras
krijgt elke leerling een ijsje van 3 euro en een frisdrank
van 2 euro. De mentor betaalt (3 + 2) × 30 = 5 × 30 = 150 euro.
Je moet hier eerst tussen haakjes rekenen.
In plaats van (3 + 2) × 30
schrijven we ook
(3 + 2) · 30.
Volgorde bewerkingen
1 Werk binnen de haakjes.
2 Vermenigvuldigen en delen van links naar
rechts.
3 Optellen en aftrekken van links naar rechts.
12 : 3 × (8 - 3)
12 : 3 × 5
4 × 5
20
14
- 6 + 15 =
- 6 + 15 =
- 6 + 15 =
- 6 + 15 =
+ 15 = 29
Namen bij bewerkingen
De som van 12 en 8 is 12 + 8 = 20.
In 12 + 8 heten 12 en 8 de termen.
Het verschil van 21 en 7 is 21 - 7 = 14.
Het product van 8 en 11 is 8 × 11 = 88.
In 8 × 11 heten 8 en 11 de factoren.
Het quotiënt van 63 en 9 is 63 : 9 = 7.
In de deling 63 : 9 = 7 heet
• 63 het deeltal
• 9 de deler
• 7 het quotiënt.
Som hoort bij optellen.
Verschil hoort bij aftrekken.
Product hoort bij
vermenigvuldigen.
Quotiënt hoort bij delen.
Voorbeeld
Het verschil van het quotiënt van 48 en 6 en de som van 3 en 5 is
(48 : 6) - (3 + 5) = 8 - 8 = 0.
verschil
8 Hoofdstuk 1
239947 2e fase rekenboek H1.indd 8
© EPN
14-10-10 08:59
Opgaven
1
2
3
4
Bereken.
a 16 + 8 × 5 = e 5 + 6 × 3 - 8 = b 58 - 12 : 6 = f 15 : 3 × 5 - 5 = c 56 + 14 - 6 = g 4 × 25 - 10 : 2 = d 11 × 5 - 20 = h 18 : 2 : 9 = Bereken.
a 80 : (12 - 2) - 2 =
d 100 - 8 × 3 : 2 - 40 =
b (16 + 14) : 15 + 12 : 2 =
e 72 : (18 : 2) × 10 =
c 48 : (12 × 4) + 7 × 2 =
f (46 + 2) : 6 - 5 + 3 × 2 =
In de volgende berekeningen zijn de haakjes vergeten. Zet ze erbij.
a 12 + 3 × 4 = 60
c 200 : 2 × 10 + 5 + 2 × 7 = 59
b 90 - 50 - 10 + 12 = 62
d 9 × 5 - 2 + 3 × 4 = 25
Bereken.
a De som van 21, 12 en 10 is b Het quotiënt van 500 en 5 is c De som van het product van 8 en 2 en het quotiënt van 9 en 1 is d Het product van het verschil van 12 en 5 en de som van 11 en 9 is 5
a Van een deling is het deeltal 50 en het quotiënt 2. Bereken de deler. b Van een deling is de deler 8 en het quotiënt 15. Bereken het deeltal. c Van een deling is de deler 15 en het deeltal 30. Bereken het quotiënt. 6
Een klusjesman doet een klus in 7 kwartier. Hij rekent 20 euro voorrijdkosten
vermeerderd met 15 euro voor elk kwartier.
Hoeveel euro ontvangt hij? © EPN
239947 2e fase rekenboek H1.indd 9
Getallen 9
14-10-10 08:59
1.4 Onder elkaar
Wiskunde: A/C B geen
Optellen onder elkaar
1
728
429+
1157
2 2 1
2893
725
8739
1080+
13437
Eerst 8 + 9 = 17.
7 opschrijven en
1 onthouden.
Je hoeft niet op
te schrijven wat je
moet onthouden.
Aftrekken onder elkaar
7 1 5121
82636
3814944487
82636
3814944487
6 - 9 kan niet, dus leen
1 van de tientallen.
Vermenigvuldigen onder elkaar
2 6
527
9×
4743
Eerst 9 × 7 = 63.
Noteer 3 en onthoud 6.
Dan 9 × 2 + 6 = 24.
Noteer 4 en onthoud 2.
Tenslotte 9 × 5 + 2 = 47.
738
39×
6642
22140+
28782
Eerst 9 × 738.
Dan 30 × 738.
Staartdelingen
9/8037\893
7283
8127
270
2 7 / 6 3 2 9 \ 2 3 4 rest 11
5492
81119
10811
Opgaven
1
2
Bereken.
a 6 9 3
1208+
b 4198
7043+
c 8 3 0 9
12093+
Bereken.
a 8 1 0 7
b 1 0 0 8 3
c 1 6 1 0 0
10 Hoofdstuk 1
239947 2e fase rekenboek H1.indd 10
939-
9295-
3998-
© EPN
14-10-10 08:59
3
Bereken.
a
827
3 ×
4
37185
119310
+
712
5 8 ×
+
b
8370
c
1926
b
6013
4 0 2 ×
-
80039
516
c
11930
8 7 0 ×
-
+
+
a 1 8 / 7 8 3 \
b 1 7 9 / 8 1 5 6 \
c 1 2 3 / 1 7 2 2 0 \
Bereken.
Zet de juiste getallen op de stippen.
a 7 /
8
7
3989
4 ×
Bereken.
a
6
c
Zet de juiste getallen op de stippen.
a
5
b 1 0 8 0 9 5
9 ×
\ 83 rest 5
b 18 /
\ 25 rest 7
c 118 /
\ 71 rest 100
Zet de juiste getallen in de hokjes.
a 8 3 2
b 8 c 1 7
9 5
7 ×
3 0 +
1 3 3 3 3
7 6 1
×
2 5 6
9
© EPN
239947 2e fase rekenboek H1.indd 11
Getallen 11
14-10-10 08:59
1.5 Schattend rekenen Wiskunde: A/C B geen
Mevrouw Meijer koopt bij de bakker twee volkorenbroden van
€ 1,89 per stuk, een krentenbrood van € 3,90 en vier gevulde koeken
van 49 cent per stuk.
Ze heeft 10 euro om te betalen. Ze wil weten of ze voldoende bij zich
heeft.
Daarom maakt ze de volgende ruwe schatting.
2 × 1,89 + 3,9 + 4 × 0,49 ≈ 2 × 2 + 4 + 4 × 0,5 = 4 + 4 + 2 = 10 euro.
≈ betekent is ongeveer.
Omdat ze alle prijzen omhoog heeft afgerond heeft ze genoeg geld bij
zich.
Niet altijd is het nodig om een precies antwoord te geven. Door de
getallen dan verstandig te vervangen door “mooie” getallen kun je je
veel rekenwerk besparen. Vaak kun je bij het schatten zien of de schatting
aan de hoge of aan de lage kant is.
Zo is 31,4 × 40,8 ruim 30 × 40 = 1200.
En 89,14 : 10,71 is iets minder dan 90 : 10 = 9.
Maar of 19,6 × 30,9 iets meer of iets minder is dan 20 × 30 = 600 kun je
alleen maar nagaan door precies te rekenen.
In de opgaven van deze paragraaf moet je schattend rekenen.
1
Geef een schatting. Zet erbij hoe je hebt geschat.
a 9,83 + 3 × 3,92 + 5 × 1,07 ≈ b 3 × 19,6 + 8 × 3,11 + 5 × 2,98 ≈ c 11,931 + 9,8139 + 18,123 - 29,98 ≈ d 893,8 - 102,16 + 593,8 + 901,18 ≈ 2
Geef een schatting. Zet erbij hoe je hebt geschat.
a 286,3 × 41,81 ≈ b 286,3 : 41,81 ≈ c 103,58 : 18,91 ≈ d 60,78 : 6,109 ≈ e 60,78 × 6,109 ≈ f 60,78 + 6,109 ≈ 12 Hoofdstuk 1
239947 2e fase rekenboek H1.indd 12
© EPN
14-10-10 08:59
3
Schat de volgende uitkomsten. Zet erbij hoe je hebt geschat.
a 51,86 × 40,93 : 19,98 ≈ b 51,86 × (40,93 : 19,98) ≈ c 483,76 : (6,09 × 7,983) ≈ d 483,76 : 6,09 × 7,983 ≈ 4
a Is 24,91 × 3,96 meer of minder dan 100? b Is 126,8 × 8,027 meer of minder dan 1000? c Is 1989 : 103 meer of minder dan 20? d Is 81,093 : 19,71 meer of minder dan 4? 5
6
Eén van de antwoorden is telkens goed. Omcirkel het juiste antwoord.
a 84,6 × 2,18
184,428
18,4428
1844,28
b 1321,61 : 28,3
4,67
46,7
467
c 129,94 : 3,65
3,56
356
35,6
a Pia heeft 90 euro bij zich. Ze koopt twee boeken van € 18,75 en drie
cd’s van € 9,95. Houdt ze meer of minder dan 20 euro over?
b Bij een collecte hebben 39 collectanten in totaal € 3172,65 opgehaald.
Hoeveel euro is dat ongeveer per collectant?
c Een lift heeft een maximaal laadvermogen van 425 kg.
In de lift staan vier personen van 83,7 kg, 97,6 kg, 101,9 kg en 64,5 kg.
Henk is 75 kg. Kan hij met de lift mee?
7
Tijdens een wielerwedstrijd moeten de renners 48 keer een ronde van
489 meter afleggen. De toeschouwers staan vier rijen dik langs het parcours.
Drie toeschouwers naast elkaar nemen een meter ruimte in beslag.
Schat het aantal toeschouwers.
© EPN
239947 2e fase rekenboek H1.indd 13
Getallen 13
14-10-10 08:59
1.6 Delers en veelvouden
Wiskunde: A/C B geen
Getallen
Voorbeelden van natuurlijkegetallen zijn 3, 18, 253 en 8307.
De getallen 0, 1, 2, 3, ... zijn de natuurlijke getallen.
Het natuurlijke getal 253 is opgebouwd uit de cijfers 2, 5 en 3.
De cijfers zijn 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9.
Merk op dat 8 een cijfer is, maar ook een natuurlijk getal.
253 betekent 2 × 100 + 5 × 10 + 3.
8307 betekent 8 × 1000 + 3 × 100 + 0 × 10 + 7.
8307 bestaat uit 8 duizendtallen, 3 honderdtallen en 7 eenheden.
Delers
Het getal 6 is een deler van 24 want het quotiënt 24 : 6 is een
natuurlijk getal.
Priemgetallen
Het getal 13 is een priemgetal, want 13 heeft precies twee delers,
namelijk 1 en 13.
De delers van 2 zijn 1 en 2, dus 2 is een priemgetal.
Het getal 1 is geen priemgetal, want alleen 1 is deler van 1.
Voor de natuurlijke
getallen a en b geldt:
b is een deler van a als
a : b een natuurlijk getal
is.
Elk natuurlijk getal kun
je ontbinden in
priemfactoren. Zo is
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3.
De grootste gemene deler (ggd)
De delers van 18 zijn 1, 2, 3, 6, 9 en 18.
De delers van 24 zijn 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 en 24.
De gemeenschappelijke delers van 18 en 24 zijn 1, 2, 3 en 6.
De grootste gemeenschappelijke deler van 18 en 24 is 6.
Notatie ggd(18, 24) = 6.
Veelvouden
18 = 2 × 3 × 3
24 = 2 × 2 × 2 × 3
ggd(18, 24) = 2 × 3 = 6
Neem de
gemeenschappelijke
priemfactoren.
De veelvouden van 8 zijn 8, 16, 24, ...
Zo is 88 een 8-voud.
Het kleinste gemene veelvoud
De veelvouden van 8 zijn 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...
De veelvouden van 12 zijn 12, 24, 36, 48, 60, ...
De gemeenschappelijke veelvouden van 8 en 12 zijn 24, 48, ...
Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van 8 en 12 is 24.
Notatie kgv(8, 12) = 24.
14 Hoofdstuk 1
239947 2e fase rekenboek H1.indd 14
8=2×2×2
12 = 2 × 2 × 3
kgv(8, 12) = 2 × 2 × 2 × 3
Neem de priemfactoren
van 8 en vul die aan met
de priemfactoren van 12
die je nog niet hebt
gehad.
© EPN
14-10-10 08:59
Opgaven
1
Schrijf alle delers op.
a 48
b 120
2
Schrijf alle priemgetallen op die kleiner dan 50 zijn.
3
Ontbind in priemfactoren.
4
5
6
a 36
b 350
c 19
Ontbinden in
priemfactoren
48
2
24
2
12
2
6
2
3
Dus 48 = 24 x 3.
Bereken.
a ggd(24, 40)
b ggd(80, 150)
c ggd(180, 192)
a kgv(16, 20)
b kgv(40, 75)
c kgv(96, 120)
Bereken.
a Een rechthoekige vloer van 360 bij 126 cm wordt
betegeld met even grote vierkante tegels.
Bereken de afmetingen van de grootste tegel
waarmee dat lukt.
Gebruik in opgave 6 de
ggd of het kgv.
b Een vuurtoren zendt om de 48 seconden een lichtflits uit. Een andere vuurtoren doet
dat om de 60 seconden. Fiona kijkt naar buiten en ziet tegelijk de flitsen van de twee
vuurtorens. Na hoeveel seconden gebeurt dat weer?
c Anton heeft een modelspoorbaan met een dubbelspoor. Hij laat op elk spoor een trein
vertrekken. De ene trein is na 80 seconden weer terug bij het startpunt, De andere trein
doet er 72 seconden over. Na hoeveel seconden zijn de treinen weer tegelijk bij het
startpunt?
© EPN
239947 2e fase rekenboek H1.indd 15
Getallen 15
14-10-10 08:59
1.7 Algebra
Wiskunde: A/C geen
Negatieve getallen optellen en aftrekken
2 - 5 = -3
-2 - 9 = -11
-8 + 3 = -5
–5
7 + -9 = 7 - 9 = -2
- 6 + -2 = - 6 - 2 = -8
-3 - -5 = -3 + 5 = 2
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
2 - 5 = -3
Neem vanuit 2 de pijl 5 naar links.
Negatieve getallen vermenigvuldigen en delen
8 ∙ -3 = -24
-5 ∙ -7 = 35
-17 ∙ 1 = -17
-8 ∙ 0 = 0
18 : -3 = - 6
-20 : -2 = 10
8 · −3 betekent 8 × −3.
Let op het verschil: -8 - 3 = -11, maar -8 ∙ -3 = 24.
Verder is 5 - 7 ∙ -2 = 5 - -14 = 5 + 14 = 19,
5 - 7 - 2 = -2 - 2 = - 4 en
(5 - 7) ∙ -2 = -2 ∙ -2 = 4.
Herleiden
5a betekent 5 ∙ a.
5a = a + a + a + a + a. En zo is 3a = a + a + a.
Dus 5a + 3a = a + a + a + a + a + a + a + a = 8a.
5a
3a
En zo is 12a - 3a = 9a, 8b + b = 9b, maar
3a + 2b kan niet korter.
Bij het vermenigvuldigen van 3a en 2b krijg je
3a ∙ 2b = 3 ∙ a ∙ 2 ∙ b = 6ab.
En zo is 7x ∙ -2y = -14xy en 3x ∙ 5x = 15x2.
Haakjes wegwerken
3(a + b) = 3a + 3b
(2a + 6) ∙ 7 = 14a + 42
5(2a + 3) + 7 = 10a + 15 + 7 = 10a + 22
x · x = x2
Spreek uit x kwadraat.
a(b + c) = ab + ac
7a + 2a = 9a
7a · 2a = 14a2
7a · 2b = 14ab
7a + 2b kan niet korter
Vergelijkingen
3x + 8 = 26 is een voorbeeld van een vergelijking.
De oplossing van deze vergelijking is x = 6.
Je kunt dit controleren door x = 6 in te vullen:
3 ∙ 6 + 8 = 18 + 8 = 26 klopt.
Hiernaast zie je hoe je de vergelijking
3x + 8 = 26 stap voor stap oplost.
Ongelijkheden
2x - 7 < 19 is een voorbeeld van een ongelijkheid.
Bij het oplossen van deze ongelijkheid krijg je x < 13.
Let erop dat je bij delen door een negatief getal het teken
< omklapt in > en > omklapt in <.
16 Hoofdstuk 1
239947 2e fase rekenboek H1.indd 16
3x + 8 = 26 Trek er 8 af.
3x = 18
Deel door 3.
x=6
2x − 7 < 19 Tel er 7 bij.
2x < 26
Deel door 2.
x < 13
−3x + 12 < 48 Trek er 12 af.
Deel door −3.
−3x < 36
x > −12
© EPN
14-10-10 08:59
Opgaven
1
2
3
4
5
6
Bereken.
a -8 - 3 = d -3 - -12 = g 3 - -8 - 7 = b 7 - 12 = e 5 - 11 = h -1 - 8 - 9 = c 5 - -9 = f 0 - 9 = i 3 - -7 - -9 = a -7 ∙ -2 = d -20 : 5 = g 18 : -3 ∙ - 6 = b -8 ∙ -11 = e 300 : - 60 = h 12 ∙ -2 ∙ -3 = c 7 ∙ -8 = f -125 ∙ -8 = i -8 ∙ -1 ∙ 0 = a 8 - 7 ∙ -3 =
d 21 : -3 - -7 =
g -5 - 7 ∙ -1 - 3 =
b -12 ∙ -5 - 18 =
e -8 - 2 ∙ -1 =
h -5 - 7 - 1 - 3 =
c (7 - 5) ∙ -3 - 1 =
f -12 : -2 : 3 =
i (-5 - 7) ∙ -1 - 3 =
a 3a + 7a = d 3a ∙ 5b = g 3a ∙ 7a = b 8a - 2a = e 5a ∙ -7b = h 3a - 7a = c -17a - 20a = f 8a - a = i -8a ∙ 2a = Bereken.
Bereken.
Herleid.
Werk de haakjes weg en herleid zo mogelijk.
a 3(2a + 6) = d 3(5x - 6) - 9 = b 7(2a - 9) = e 2(3a - b) + 2b = c (5a + 3) ∙ 2 = f -5(2x - 8) + 40 = Los op.
a 3x - 1 = 14
c 2x + 9 < 19
b 8 + x = -20
d 8 - 3x < 26
© EPN
239947 2e fase rekenboek H1.indd 17
Getallen 17
14-10-10 08:59
1.8 Machten
Wiskunde: A/C geen
Kwadraten
Het kwadraat van 8 is 8 × 8 = 64. Notatie 82 = 64.
Het kwadraat van 800 is 8002 = 640 000.
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
Eindigt een getal op twee
nullen, dan eindigt het
kwadraat op vier nullen.
Machten
152 = 225
202 = 400
252 = 625
In de macht 53 heet 5 het
grondtal en 3 de exponent.
De derde macht van 5 is 5 × 5 × 5 = 125. Notatie 53 = 125.
De vierde macht van 2 is 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Dus 24 = 16.
Omdat 24 = 16, is 204 = 160 000.
Verder is 103 = 1000, 104 = 10 000 en 105 = 100 000.
1 miljoen = 1 000 000 = 106
1 miljard = 1 000 000 000 = 109
Rekenen met machten
24 = 2 × 2 × 2 × 2 en 23 = 2 × 2 × 2, dus 24 × 23 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 27
24
23
En zo is 35 · 33 = 38 en 102 · 105 = 107.
312
28 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
=
= 23 . En zo is 4 = 38.
3
25
2×2×2×2×2
Bij berekeningen gaat machtsverheffen voor vermenigvuldigen.
Dus 3 × 23 = 3 × 8 = 24 en 5 + 18 : 32 = 5 + 18 : 9 = 5 + 2 = 7.
Maar eerst tussen haakjes rekenen.
4 × (8 − 5)3 = 4 × 33 = 4 × 27 = 108
Worteltrekken
64 = 8, want 82 = 64
6400 = 80, want 802 = 6400
16 = 4
160 000 = 400
De wetenschappelijke notatie
60 000 = 6 × 10 000 = 6 × 104
8 320 000 = 8,32 × 1 000 000 = 8,32 × 106
718 000 = 7,18 × 105
Komma 5 plaatsen verschuiven.
En zo is 8,31 × 104 = 83 100.
Verder is 8 × 106 × 9 × 107 = 72 × 1013 = 7,2 × 1014
8 × 1012
en
= 4 × 108.
4
2 × 10
18 Hoofdstuk 1
239947 2e fase rekenboek H1.indd 18
In de wetenschappelijke notatie
schrijf je een getal in de vorm
a × 10b met a tussen 1 en 10.
Bij grotere getallen gaat de
rekenmachine automatisch
over op de wetenschappelijke
notatie.
Zo lees je op de rekenmachine
af dat 240 ≈ 1,099511628 × 1012.
Sommige rekenmachines
noteren dat als
1.099511628E12.
© EPN
14-10-10 15:38
Opgaven
1
2
3
4
5
Bereken.
a 72 = d 52 = g 13002 = b 7002 = e 5002 = h 4002 = c 1402 = f 1502 = i 2002 = a 34 = d 105 = g 25 = b 304 = e 602 = h 26 = c 503 = f 18 = i 203 = a 35 ∙ 38 = d 5 ∙ 54 ∙ 52 = g a5 ∙ a3 = b 107 ∙ 104 = 39
c 6 = 3
e 82 ∙ 8 ∙ 87 = 2 6 ⋅ 212
f
=
24
h a6 ∙ a ∙ a8 = a8
i 2 = a
a 5 × 24 = c 10 × (8 - 3)4 = e 72 - (5 - 1)3 : 8 = b 40 - 2 × 32 = d 15 × 23 - 3 × 24 = f 250 : 53 : 2 = a 169 = d 10 000 = g 5 × 16 = b 625 = e 90 000 = h 8 + 3 × 4 = 1=
i ( 3 × 25 )2 = Bereken.
Schrijf als macht.
Bereken.
Bereken.
c
6
7
8
3600 = f
Schrijf in de wetenschappelijke notatie.
a 712 800 = c 6 800 000 = e 16 miljoen = b 3120 = d 68 = f 7,3 miljard = a 3,2 × 107 = c 1,02 × 103 = e 3,216 × 103 = b 1,8 × 103 = d 5 × 105 = f 5,1 × 10 = Schrijf in de gewone notatie.
Schrijf de getallen in de wetenschappelijke notatie.
a Er zijn 950 000 insectensoorten op aarde. b De zon heeft een diameter van 1 400 000 km. c Men schat dat de oerknal zich zo’n 15 000 miljoen jaar geleden voordeed. © EPN
239947 2e fase rekenboek H1.indd 19
Getallen 19
14-10-10 08:59
1.9 Toepassingen
Wiskunde: A/C B geen
Opgaven
1
Anton gaat op zijn verjaardag met 14 klasgenoten naar een
partycentrum. Ze huren 4 uur de zaal af en er komt 2 uur een
goochelaar optreden. Na het eten gaan ze twee uur bowlen.
Ze spelen in vijftallen op de bowlingbaan.
Bereken de totale kosten.
2
Appels zijn verpakt in dozen van 24 stuks.
a Een groenteman bestelt 768 appels. Hoeveel dozen zijn dat?
zaalhuur
goochelaar
eten/drinken
bowlen per
baan
€ 8 per uur
€ 18 per uur
€ 5 pp
€ 4 per uur
b De volgende week heeft hij 1828 appels nodig. Hoeveel dozen bestelt hij?
Hoeveel appels houdt hij over?
3
3
Wanja bezoekt elke week haar oma. Eerst loopt ze 2 km naar de bushalte, dan gaat ze
12 km met de bus en ten slotte nog 32 km met de trein.
a Hoeveel km reist Wanja in een jaar naar oma en
Neem 1 jaar = 52 weken.
weer terug?
b Haar eerste bezoek aan oma is op 2 januari.
In welke maand heeft ze 1000 km gereisd?
4
a Hans koopt 25 petunia’s. Hoe duur is dat?
b Anita koopt 40 petunia’s. Hoeveel betaalt ze?
5
Wie verdient het beste?
20 Hoofdstuk 1
239947 2e fase rekenboek H1.indd 20
Rob
€ 1028 in 13 weken
Tuincentrum
Petunia’s
2 euro per stuk
Maar 6 voor 10 euro.
Ton
€ 748 in 9 weken
Piet
€ 824 in 10 weken
© EPN
14-10-10 08:59
6
Een camcorder kost 285 euro. Maar je kunt hem op afbetaling kopen: een aanbetaling van
60 euro en 12 maandelijkse termijnen van 21 euro.
Hoeveel euro is contant betalen goedkoper?
7
Een doe-het-zelfzaak verkoopt tegels in pakken van 12, 18, 30 of 34 stuks.
a Berend heeft 400 tegels nodig. Hij wil graag 8 tegels overhouden voor het geval er tegels
breken. Wat weet je van het aantal pakken tegels dat hij koopt?
b Fons heeft 114 tegels. Hij koopt twee soorten pakken
Hoeveel pakken van elke soort koopt hij als het aantal tegels precies klopt?
8
a Hoeveel natuurlijke getallen liggen tussen 17 en 28?
En tussen 48 en 217?
Tussen 17 en 28, dan
doen 17 en 28 niet mee!
b De zijkant van een tuin is 64 meter lang. Meneer Pluim plaatst een hekwerk langs de
zijkant. Hij zet om de 4 meter een paaltje. Hoeveel paaltjes zijn nodig?
c Een weiland is 120 bij 48 meter. Om het weiland komt een omheining. Daarbij worden
om de 4 meter paaltjes geplaatst. Hoeveel paaltjes zijn nodig?
9
Wim zet in 2008 een bedrag van 180 euro op zijn spaarrekening. In 2009 stort hij er 216
euro bij. Daarna stort hij elk jaar 36 euro meer op zijn rekening dan het jaar ervoor. Hij
gaat daarmee door tot hij in totaal 1260 euro heeft gestort. Vanaf dat moment stort hij elk
jaar telkens 18 euro minder dan het jaar ervoor.
a In welk jaar heeft hij in totaal 1260 euro gestort?
b In welk jaar stort hij 270 euro?
c In welk jaar heeft hij in totaal 2610 euro gestort?
10
Op 2 januari was de maximum temperatuur -2 °C. Op 3 januari was de maximum
temperatuur drie keer zo laag, waarna het op 4 januari nog eens acht graden kouder werd.
Op 5 januari was het zes graden warmer dan op 4 januari.
Hoeveel graden verschillen de maximum temperaturen op 2 januari en 5 januari?
© EPN
239947 2e fase rekenboek H1.indd 21
Getallen 21
14-10-10 08:59
1.10 Breuken
Wiskunde: A/C B geen
Breuken vereenvoudigen
Hiernaast is een pizza in acht gelijke stukken verdeeld.
Elk stuk is één achtste van de hele pizza.
Dus elk deel is 81 van de hele pizza.
Vijf stukken van de pizza is 85
teller
van de hele pizza.
breuk =
noemer
5
is een breuk.
8
5
8
1
8
5
8
teller
noemer
De breuk 82 is te vereenvoudigen tot 14 .
En zo is 12
= 23 .
Deel teller en noemer door 6.
18
2
8
=
1
4
Je mag teller en noemer van een breuk door hetzelfde getal
delen of met hetzelfde getal vermenigvuldigen.
3
3
11
=1+ =1
8
8
8
Voorbeeld
:2
:2
:2
:3
72 36 18 9 3
=
=
=
=
120 60 30 15 5
72 3
=
120 5
Vereenvoudig stap voor stap.
Deel direct door 24. Merk op ggd(72, 120) = 24
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
ggd(72, 120) = 2 × 2 × 2 × 3 = 24
: 24
Helen eruit halen
Hierboven zie je 118 = 1 83 . Hierbij zijn de helen eruit gehaald.
En zo is 134 = 3 14 ,
26
14
Omgekeerd is 5 27 =
= 137 = 1 67 en 153 = 5.
37
7
.
Afspraak bij breuken
Zo ver mogelijk
vereenvoudigen en helen
eruit halen.
5×7+2
Hiermee is 5 27 als breuk geschreven.
Breuken ordenen
Om de breuken 25 , 14 en 83 op volgorde van klein naar groot
te zetten, zorg je er eerst voor dat de breuken gelijke noemers
hebben. Neem als gelijke noemer kgv(5, 4, 8) = 40.
2
= 16
, 1 = 10
en 83 = 15
, dus de volgorde is 14 , 83 , 25 .
40
40
5
40 4
2
3
3
4
= 128  2
 <
= 129  3
22 Hoofdstuk 1
239947 2e fase rekenboek H1.indd 22
3
4
< betekent “is kleiner dan”
> betekent “is groter dan”
5=5
4=2×2
8=2×2×2
kgv(5, 4, 8) =
2 × 2 × 2 × 5 = 40
© EPN
14-10-10 08:59
Opgaven
1
2
3
Vereenvoudig. Haal zo mogelijk de helen eruit.
a
24
30
b
25
175
c
78
16
d
180
75
=
=
e
432
264
=
=
f
450
72
=
Schrijf als breuk.
a 3 17 = c 7 45 = b 8 23 = d 5 87 = Zet de volgende breuken telkens op volgorde van klein naar groot.
a 65 ,
4
=
8
9
,
7
8
,
b
11
12
7
10
,
2
3
,
3
4
,
c 43 ,
9
13
11
16
, 87 ,
21
32
Vul in < of >.
a
5
11
c
6
13
19
23
b
7
9
d
8
11
22
27
3
19
2
11
5
Welke breuk hoort bij het gekleurde deel?
6
Zet de volgende breuken op de juiste plaats op de getallenlijn.
2 61 , 3 13 , 1 12 ,
0
© EPN
239947 2e fase rekenboek H1.indd 23
3
4
,
1
12
1
, 3 125
2
3
4
Getallen 23
03-12-12 16:32
1.11 Rekenen met breuken
Wiskunde: A/C B geen
Optellen en aftrekken
+ 73 =
2
7
5
7
Bij gelijknamige breuken neem je de
tellers samen. De noemer verandert niet.
3
5
+
Om de ongelijknamige breuken en op te tellen maak je ze
eerst gelijknamig. Als nieuwe noemer neem je 5 × 6 = 30.
1
6
3
5
+ 61 =
+ 305 =
23
30
2
3
3
7
− 14 = 12
− 287 =
28
5
28
15
1 12 − 53 = 23 − 53 = 10
− 106 = 109
18
30
+ 75 = 14
+ 15
=
21
21
29
21
2
7
+
=
3
7
=
5
7
= 1 218
Bij 157 + 103 hoef je niet als nieuwe noemer 15 × 10 = 150 te nemen.
Met de noemer 30 lukt het ook.
Merk op kgv(15, 10) = 30.
15 = 3 × 5
kgv = 2 × 3 × 5 = 30
10 = 2 × 5
}
7
15
+ 103 =
14
30
+ 309 =
23
30
2 13 − 65 = 73 − 65 = 146 − 65 = 69 = 23 = 1 12
Breuken optellen en
aftrekken
Eerst gelijknamig maken.
Neem als nieuwe noemer
het kgv van de noemers
van de gegeven breuken.
Vermenigvuldigen
3
5
× 27 =
1 14 × 2 12 = 45 × 25 =
25
8
= 3 81
2 13 × 27 = 73 × 27 = 14
=
21
3 × 27 =
breuk × breuk =
teller × teller
noemer × noemer
6
35
2
3
6
7
3 × 72 = 13 × 72 =
6
7
3× = 5
5
3
noemer × breuk = teller
8×
5
8
=5
Handig wegstrepen bij vermenigvuldigen
8
15
25
× 32
=
1
8
3 15
×
12 × 65 = 2 12 ×
5
25
4 32
5
16
= 125
Hierbij zijn 8 en 32 door 8 gedeeld en 15 en 25 door 5.
= 10
Voorbeeld
Van een school komt 85 deel van de leerlingen met de fiets naar school.
Van hen woont 23 deel verder dan 10 km van school.
Welk deel van de leerlingen fiets meer dan 10 km naar school?
•
2
3
van 85 deel is
24 Hoofdstuk 1
239947 2e fase rekenboek H1.indd 24
1
2
3
× 85 = 125 deel van de leerlingen fiets meer dan 10 km naar school.
4
© EPN
14-10-10 08:59
Opgaven
1
Bereken.
a 23 + 19 = c 5 − 83 = e
d 1 83 + 2 12 = f 6 15 − 2 151 = a 45 × 23 = c 8 × 1 83 = e
× 67 = d 7 × 2 17 = f 6 13 × 2 193 = b
2
4
− 14 = 5
12
d 1 13 × 60 − 2 12 × 8 = b 87 × 800 = e
c 3 17 × 140 = f 2 14 × 32 + 3 25 × 50 = 1
30
× 600 − 15 × 10 = Bereken.
7
11
c 2 13 × 215 × 158 = 33
× 35
× 10
=
21
d 1 12 × 2 12 × 154 = Bereken. Let op de volgorde.
a 23 + 3 × 14 =
b 15 12 − 8 × 1 12 =
c 1 87 × 2 25 − 3 23 =
d 25 × ( 23 − 14 ) + 12 =
Bereken.
8+4
− 1 13 = 5
5
4
b 6 12 −
−
=
4−3 5−2
a
7
35
× 66
=
a 53 × 20 = b
6
9
14
Bereken.
a 53 × 30
× 14
=
21
15
5
− 253 = Bereken.
b
3
19
24
11
20
5+ 2 2+ 3
−
+ 2 =
8 +1 4 −1
2
5+1
+
=
d 7 −
13 − 8 6 − 1
c
a Op een rol zit 12 meter band. Een klant koop 2 14 meter band en de volgende klant
koopt 4 83 meter. Hoeveel band is er nog over?
b Bij een verkeerscontrole reed 14 deel te hard. Van de hardrijders had 83 deel geen rijbewijs
bij zich. Welk deel reed te hard en had geen rijbewijs bij zich?
© EPN
239947 2e fase rekenboek H1.indd 25
Getallen 25
14-10-10 08:59
1.12
Breuken delen
Wiskunde: A/C B geen
Delen
In een zuivelfabriek wordt 800 liter room verdeeld over flesjes
van 14 liter. Met 1 liter zijn 4 flesjes te vullen, dus met 800 liter zijn
3200 flesjes te vullen.
Dus 800 : 14 = 3200.
Je weet 800 × 4 = 3200.
Dus delen door 14 komt op hetzelfde neer als vermenigvuldigen met 4.
Dit is een voorbeeld van de regel
Delendooreenbreukisvermenigvuldigenmethetomgekeerde
vandiebreuk.
3 5
21
: = 53 × 75 = 25
5 7
6
11
:3=
× =
6
11
=
6
33
1
3
Het omgekeerde van
2
11
3
5
5
is 3 .
1
15
1 12 : 1 25 = 23 : 75 = 23 × 75 = 14
= 1 141
Het omgekeerde van 2 2 =
5
2
2
is 5 .
1
Het omgekeerde van 5 is 5 .
Wegstrepen bij delen
18 : 27 = 9 18 ×
3 53 : 9 =
11
1 83 : 16
=
2
18
5
1
11
18
= 63
7
21
×
1
91
=
×
16 2
111
2
5
=2
Een deel van iets berekenen
Het 25 deel van 80 is
2
15
× 8016 = 32.
Het 75 deel van 9 is 75 × 9 =
45
7
= 6 73 .
Je weet een deel. Bereken het totaal
Het 87 deel is 420. Bereken het totaal.
7
Het deel is 420, dus deel is 420 : 7 = 60,
Het 8 deel is 420.
Het totaal is
dus het totaal is 8 × 60 = 480.
420
7
8
1
8
7
8
60
= 420 ×
8
7
= 480.
1
Voorbeeld
Tijdens de uitverkoop gaat van elk artikel 27 deel van de prijs af.
Een plasma tv wordt daardoor 240 euro goedkoper. Hoe duur was
de plasma tv aanvankelijk?
• Het 27 deel is 240, dus 17 deel is 240 : 2 = 120,
2
Het 7 deel is 240, dus
dus totaal is 7 × 120 = 840.
240 120
7
De prijs was aanvankelijk 840 euro.
totaal =
= 240 × 2 = 840.
2
7
26 Hoofdstuk 1
239947 2e fase rekenboek H1.indd 26
1
© EPN
14-10-10 08:59
Opgaven
1
2
3
4
Bereken.
a 1 13 : 23 = d 3 13 : 5 = b 1 13 : 2 29 = e 4 23 : 61 = c 4 12 : 43 = f 1 15 : 1 61 = Bereken.
a 23 : 43 : 12 = c 1 15 : 6 : 12 = b 23 : ( 43 : 12 ) = d 1 15 : (6 : 12 ) = Bereken.
a Het 23 deel van 36 is c Het 103 deel van 80 is b Het 89 deel van 900 is d Het 89 deel van 72 is a Het 53 deel is 36. Bereken het totaal.
b Het 89 deel is 72. Bereken het totaal.
c De helft van een derde deel is 80. Bereken het totaal.
5
6
Bereken.
a ( 2 12 − 1 13 ) : 1 59 = c 2 13 : 3 − 25 : 4 = b 2 89 : (1 23 + 12 ) = d 2 13 × 3 − ( 25 − 13 ) − 5 = a De huur van een kamer wordt met 36 euro verhoogd. Dat is een verhoging met 253 deel.
Hoeveel was de huur aanvankelijk?
b De familie Brouwer verkoopt hun huis met een winst van 80 000 euro. Dat is een winst
van 134 deel. Hoeveel ontvangt de familie voor het huis?
c Het salaris van Maaike gaat met 152 deel omhoog. Het nieuwe salaris is 3400 euro per
maand. Hoeveel gaat ze er per maand op vooruit?
© EPN
239947 2e fase rekenboek H1.indd 27
Getallen 27
14-10-10 08:59
1.13 Decimale getallen
Wiskunde: A/C B geen
Decimale getallen
Voor 103 schrijven we 0,3. Dus 103 = 0,3.
0,17 is een decimaal
getal. De cijfers achter de
komma heten decimalen.
0,17 heeft twee
decimalen.
17
17
Voor 100
schrijven we 0,17. Dus 100
= 0,17.
7
7
Voor 100
schrijven we 0,07. Dus 100
= 0,07.
3
Verder is 5 103 = 5,3 en 5 100
= 5,03.
Op de getallenlijn staan enkele decimale getallen aangegeven.
0,6
1,2
0
1
2
3
2,27
2
5,300 = 5,3 en
5,030 = 5,03
Achter een decimaal
getal mag je nullen zetten.
2,9
2,1
2,2
2,3
4
2,58
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
Van breuk naar decimaal getal
9
25
36
= 100
= 0,36
7
40
×4
175
= 1000
= 0,175
9
20
× 25
45
= 100
= 0,45
×5
Bij deze breuken ontstaat een decimaal getal met een eindig
3 / 1,0 \ 0,33...
aantal decimalen. Er zijn ook breuken waarbij een decimaal
9−
getal met oneindig veel decimalen hoort.
10
1
Zo is 3 = 0,333 ... Dat begrijp je als je de staartdeling maakt.
9−
Afgerond op twee decimalen is 13 ≈ 0,33.
10
Maak je bij 27 een staartdeling dan krijg je 27 = 0, 285714
285714
...
In het geval je oneindig veel decimalen krijgt,
gaan de decimalen repeteren.
Afgerond op twee decimalen is 27 ≈ 0,29.
3e decimaal is 5, dus 2e decimaal 1 omhoog.
Afgerond op vier decimalen is 27 ≈ 0,2857.
5e decimaal is 1, dus 4e decimaal blijft gelijk.
Van decimaal getal naar breuk
12
0,12 = 100
=
3
25
45
en 5,45 = 5 100
= 5 209 .
De wetenschappelijke notatie
Hiernaast zie je 10 = 0,001.
En zo is 10-5 = 0,000 01.
-3
Nullen tellen!
3 nullen, dus 0,001 = 10- 3.
Verder is 0,000 081 2 = 8,12 × 0,000 01 = 8,12 × 10-5.
Hiermee is 0,000 081 2 in de wetenschappelijkenotatie
geschreven.
Zo is 0,002 16 = 2,16 × 10-3 Het begint met 3 nullen, dus 10-3.
En 5,2 × 10- 6 = 0,000 005 2 10- 6, dus begin met 6 nullen.
623 × 10- 4 = 623 × 0,0001 = 0,0623 10- 4, dus komma 4 naar links.
28 Hoofdstuk 1
239947 2e fase rekenboek H1.indd 28
103 = 1000
102 = 100
101 = 10
100 = 1
10–1 = 0,1
10–2 = 0,01
10–3 = 0,001
...
© EPN
14-10-10 08:59
Opgaven
1
Schrijf als decimaal getal.
a
7
10
=
11
b 8 1000
=
2
3
4
7
8
9
=
e 1 14 = d
7
20
=
f 2 85 = a 0,4 = c 5,125 = e 0,002 = b 0,75 = d 7,85 = f 4,04 = a 5,27 × 1000 = c 85 : 100 = e 6,3 × 1000 = b 0,003 × 10 000 = d 0,023 : 100 = f 6,3 : 1000 = Bereken.
Rond af op twee decimalen.
6
7
= 0, 8571 ... ≈
b
22
6
= 3,6666 ... ≈
c
9
17
= 0,5294 ... ≈
Plaats de volgende getallen op de getallenlijn.
1,8, 1,05, 3,25, 0,15, 0,5, 3,95, 2,6
0
6
5
40
Schrijf als breuk.
a
5
c
1
2
3
4
Schrijf in de wetenschappelijke notatie.
a 0,003 86 = c 0,000 050 3 = e 0,7 = b 0,08 = d 0,000 17 = f 832 = a 8,9 × 10- 4 = c 5 × 10-1 = e 532 × 10-8 = b 7,31 × 10-5 = d 1,2 × 10-2 = f 803 × 10-5 = Schrijf als decimaal getal.
Schrijf in de wetenschappelijke notatie.
a 8 × 10-7 × 3 × 10-2 = c 7 × 5 × 10-8 = b 8 × 200 × 10-7 = d 0,38 × 10-2 = Schrijf de getallen in de wetenschappelijke notatie.
a Een menselijke eicel heeft een diameter van 0,000 89 meter.
b Voor het afleggen van één meter heeft het licht 0,000 000 003 3 seconde nodig.
© EPN
239947 2e fase rekenboek H1.indd 29
Getallen 29
14-10-10 08:59
1.14 Rekenen met decimale getallen
Wiskunde: A/C B geen
Optellen
Hiernaast zie je 6,325 + 0,18 + 11,198 + 7,83 = 25,533.
Je zet de getallen zo onder elkaar, dat de komma’s recht
onder elkaar staan.
1 2 1
6, 3 2 5
0, 1 8
1 1, 1 9 8
7, 8 3
+
2 5, 5 3 3
Aftrekken
Hiernaast zie je 18,3 - 2,695 = 15,605.
Zet extra nullen achter 18,3.
Controleer je berekening met 15,605 + 2,695 = 18,300.
7 12 9 10
1 8, 3 0 0
2, 6 9 5
–
1 5, 6 0 5
Vermenigvuldigen
Hiernaast zie je 6,18 × 3,7 = 22,866. Bedenk:
6,18 heeft 2 decimalen 
 6,18 × 3,7 heeft 2 + 1 = 3 decimalen.
3,7 heeft 1 decimaal 
6,1 8
3,7
×
4326
18540
+
2 2,8 6 6
Delen
Om 32,656 : 5,2 te berekenen, vermenigvuldig je eerst 32,656
en 5,2 met 10.
Je maakt daarna de staartdeling 326,56 : 52.
Zodra je het eerste cijfer achter de komma aanhaalt, zet je een
komma in het antwoord.
Je ziet 32,656 : 5,2 = 6,28.
52 / 326,56 \ 6,28
312 –
145
104 –
416
416 –
0
Kwadraten en wortels
82 = 64, dus 0,82 = 0,64 en 0,082 = 0,0064.
En zo is 0,122 = 0,0144 en 0,0022 = 0,000 004.
36 = 6, dus 0,36 = 0,6 en 0,0036 = 0,06.
En zo is 0,0121 = 0,11 en 0,0009 = 0,03.
30 Hoofdstuk 1
239947 2e fase rekenboek H1.indd 30
Getal 3 cijfers achter de
komma, dan kwadraat 6
cijfers achter de komma.
Getal 6 cijfers achter de
komma, dan wortel 3
cijfers achter de komma.
© EPN
14-10-10 08:59
Opgaven
1
Bereken.
a 8,327 + 2,18 + 18,1
2
b 5,631 - 1,985
c 12,901 - 4,983
Zet op de stippen de juiste getallen.
a 7,3 + 0,25 =
c
b 9,5 +
d 6,3 - 0,12 =
f
a 6,02
c 2,136
e 12,98
0,013 ×
= 12,76
+ 0,361 = 4,9
e 8,6 -
= 5,165
- 0,12 = 8,4
3
Bereken.
3,9 ×
b 28 / 74,2 \
4
5
d 2,35 / 15,745 \
f 0,72 / 6,12 \
a 1,32 = d 0,072 = g 0,0252 = b 1,96 = e 0,0225 =
h 0,0001 = c 3 × 0,98 + 4 × 2,32 = f 21,83 - 5 × 1,92 = i 1,322 - 5 × 0,012 = Bereken.
Vul in.
a 0,67 :
6
1,9 ×
= 0,0067
b 2,7 :
= 0,027
c 0,06 ×
= 0,0006
a Vier volwassenen betalen in totaal 106,16 euro voor een treinreis.
Hoeveel betaalt elk? b Een auto kost € 12 389. Meneer Bom doet een aanbetaling van € 3029, gevolgd door
15 gelijke maandelijkse bedragen.
Hoeveel betaalt hij elke maand? © EPN
239947 2e fase rekenboek H1.indd 31
Getallen 31
14-10-10 08:59
1.15 Toepassingen Wiskunde: A/C B geen
Voorbeeld
a Floor doet er 7 12 uur over om haar vakantieadres te bereiken. Daarvan zit ze 2 14 uur in het
vliegtuig. Welk deel van de reis was dat?
• 2 14 van 7 12 geeft 2 14 : 7 12 = 49 : 152 = 49 × 152 = 18
= 103 , dus 103 deel.
60
b In een stad zijn 18 000 stemgerechtigden. Daarvan gaat 53 deel stemmen, waarvan 14 deel op
de stadspartij stemt. Hoeveel stemmen zijn dat?
• 14 van 53 van 18 000 is 14 × 53 × 18 000 = 5420000 = 2700 stemmen.
Opgaven
1
Hans besteedt de helft van zijn zakgeld aan cd’s en 83 deel aan boeken. Hij heeft nog 6 euro
over. Hoeveel zakgeld heeft Hans?
2
Marleen drinkt 61 fles melk per dag. Hoe lang doet ze over 5 flessen melk?
3
Hiernaast zie je informatie over het
aantal doelpunten dat een voetbalteam
in een competitie gemaakt heeft.
aantal doelpunten
0
1
2
3
4
aantal wedstrijden
4
6
8
5
1
a In welk deel van de wedstrijden werden 2 doelpunten gescoord?
b In welk deel van de wedstrijden werden minder dan 2 doelpunten gescoord?
4
Bij een controle is van 24 auto’s de verlichting niet in orde. Dat is 173 deel van alle
gecontroleerde auto’s. Hoeveel auto’s werden gecontroleerd?
5
Monique besteedt 15 deel van haar zakgeld aan tijdschriften, 83 deel aan uitgaan en 14 deel
aan een cadeau. Ze houdt nog € 5,60 over. Hoe duur was het cadeau?
32 Hoofdstuk 1
239947 2e fase rekenboek H1.indd 32
© EPN
14-10-10 08:59
6
In een bibliotheek staan 560 boeken, waarvan er 80 over sport gaan. Van de rest bestaat
5
deel uit romans. Van de sportboeken gaat 163 deel over tennis.
6
a Welk deel gaat over tennis?
b Hoeveel romans zijn er?
c Welk deel van de boeken gaat niet over sport en is geen roman?
7
a Op een veiling wordt 8000 kg appels verdeeld over zakken van 2 12 kg.
Hoeveel zakken worden gevuld?
b In een kantine wordt per week 240 liter frisdrank geschonken.
De frisdrank zit in flessen van1 12 liter. Hoeveel flessen zijn dat per week?
8
Willem neemt een maandabonnement op het Dagblad en
Fons een kwartaalabonnement.
Wie betaalt per jaar het meest? Hoeveel scheelt het?
9
Door een rivier stroomt per kwartier 18 000 m3 water.
Bij A splitst de rivier zich. In de linkertak komt 13 deel van
het water. De breuken geven aan hoe het water zich verdeelt
bij de splitsingen B en C.
a Bereken hoeveel m3 per kwartier bij D passeert.
Dagblad
maandabonnement
€ 27,65
kwartaalabonnement
€ 80,20
A
1
3
B
1
5
1
2
...
C
3
5
...
D
...
E
b Bereken hoeveel m3 per kwartier bij E passeert.
10
Thea koopt 8 schriften à € 0,49, 2 pennen à € 1,18, 5 potloden à € 0,42, 5 grote
schriften à € 1,49 en een passer van € 3,78. Ze betaalt met een 50-euro biljet.
Hoeveel krijgt ze terug?
11
Van de 120 4-havo leerlingen op een school is 11
deel ouder dan 15 jaar en
24
5
is 8 deel meisje.
a Hoeveel meisjes zitten in 4 havo?
b Hoeveel leerlingen zijn 15 jaar of jonger?
© EPN
239947 2e fase rekenboek H1.indd 33
Getallen 33
14-10-10 08:59
1.16 Herhaling getallen 1 Wiskunde: A/C B geen
Opgaven
1
2
3
Bereken handig.
a 120 × 25 = d 5326 - 998 = b 750 : 5 = e 24 × 45 = c 831 + 1593 + 169 = f 3000 : 125 = Bereken.
a 8 + 9 × 6 : 27 − 32 =
c 36 : (10 − 6 ) × 9 : 3 =
b 64 : 2 3 + 5 × 8 − 3 =
d 12 + 13 × 43 − 81 =
Bereken.
a 8 3 6 2
b 8 7 0 9
c 6 3 0 1
919
493-
d 2 4 / 1 5 3 6 \
720×
15302+
4
Zet de juiste getallen in de hokjes.
a 5 2 6
b 7 9
c 2 1
3 7
6 9 +
1 8
1 9 7
3 4 -
5
+
7
b kgv(72, 120)
239947 2e fase rekenboek H1.indd 34
\ 63 rest 2
5 ×
8
Bereken.
a ggd(72, 120)
34 Hoofdstuk 1
d 8 /
© EPN
14-10-10 08:59
6
7
8
9
Bereken.
a -8 - 3 ∙ -2 = c -8 - (3 - 2) = b -8 - 3 - 2 = d -8 ∙ (-3 - 2) = Herleid.
a 8p - 2p = d 3(2a - 6) + 18 = b 3a - 2p + 8a - p = e -5(a - 1) + 3(a + 2) = c 8 - 3a - 1 - 2a = f -8a ∙ a = Los op.
a 5 - 3x = 32
c 3 + 2x < 31
b 12 x + 2 = 18
d 5 - 2x < -19
Bereken.
a 23 + 43 = b 23 × 43 = c
2
3
: 43 = d 2 13 + 1 61 = e 6 12 : 2 14 = f
3
5
× 15
× 1 59 = 21
g 53 + 27 × 79 = h ( 53 )2 − ( 12 )2 = 10
a Henk besteedt 53 deel van zijn zakgeld aan een computerspel. Dat spel kost 27 euro.
Hoeveel zakgeld heeft Henk?
b Floris heeft 36 euro zakgeld. Daarvan besteedt hij 29 deel aan een cadeau en 61 deel aan een
kaartje voor een feestavond.
Hoeveel euro houdt hij over?
© EPN
239947 2e fase rekenboek H1.indd 35
Getallen 35
14-10-10 08:59
1.17 Herhaling getallen 2
Wiskunde: A/C B geen
Opgaven
1
Zet de volgende getallen op volgorde van klein naar groot.
2 116 , 2 127 , 2,65, 2 12 , 2,55, 2 158
2
Zet op de stippen de juiste getallen.
a 3,9 b
= 3,618
c 0,028 :
- 0,123 = 0,918
d 8-
= 140
= 6,97
3
Familie Jansen gaat twee weken naar het appartement.
Ze gaan met twee honden en vijf personen.
Hoeveel betalen ze, inclusief de borgsom en de
schoonmaak?
4
Triplex kost € 6,50 per m2. Voor het op maat zagen betaal je € 0,95 per stuk.
Arie heeft een stuk triplex van 1,2 bij 1,8 meter nodig dat in 6 stukken op maat moet
worden gezaagd. Hij betaalt met een 20-eurobiljet.
Hoeveel krijgt hij terug?
5
Wat is het goedkoopst?
6 kg voor € 14
36 Hoofdstuk 1
239947 2e fase rekenboek H1.indd 36
4 kg voor € 9,90
Appartement
• huurprijs per
week
€ 548
• borgsom
€ 75
• schoonmaak
€ 60
• dieren (per nacht) € 2,50
• toeristenbelasting
(pp per nacht)
€ 1,50
4,5 kg voor € 11,25
1,5 kg voor € 3,60
© EPN
14-10-10 09:00
6
Een groententeler gooit 400 kg aardappelen weg, omdat ze verrot zijn. Dat is 27 deel van de
totale hoeveelheid aardappelen.
Hoeveel kg aardappelen was goed?
7
Bij de bouw van een sportcentrum betaalt het rijk 83 deel, de provincie betaalt 15 deel
en de gemeente 207 deel. De rest, dat is een bedrag van 180 000 euro, wordt door de
sportvereniging zelf betaald.
Hoeveel betaalt de gemeente?
Piet huurt een zaaltje van 14:30 uur tot 20:00 uur. De zaalhuur is € 8,50 per uur.
Daar komt een vast bedrag van € 12 per keer bij.
Om 18:00 uur gaat Piet samen met zijn vier vrienden eten. Dat kost € 17,50 per persoon.
In een jaar huurt Piet de zaal 36 keer. Telkens eten ze om 18:00 uur.
Hoeveel betalen ze samen in een jaar?
8
9
Ga uit van 16 miljoen Nederlanders.
Op een avond kijkt 85 deel niet naar de televisie.
23
Van de tv-kijkers kijkt 14 deel naar Nederland 1, 81 deel naar Nederland 2 en 100
deel naar
RTL. Van de rest kijkt de helft naar SBS en de andere helft naar andere zenders.
a Hoeveel personen kijken naar RTL?
b Hoeveel personen kijken naar SBS?
© EPN
239947 2e fase rekenboek H1.indd 37
Getallen 37
14-10-10 09:00
2 Procenten en verhoudingen
2.1 Procenten en breuken
Wiskunde: A/C B geen
Procenten
In de figuur hiernaast zijn 23 van de 100 vierkantjes gekleurd.
23
Dus 100
deel is gekleurd. We zeggen 23% is gekleurd.
23
Dus 23% = 100
= 0,23.
23% = 0,23
En zo is
7% = 0,07
18
18% = 100
= 0,18
3
3% = 100
= 0,03
5, 2
5,2% = 100
= 0,052
92,9% = 92100,9 = 0,929.
Als 9 van 25 vierkantjes
gekleurd zijn, dan is
36
dat 259 = 100
= 36%.
7 van 25 is gelijk aan
7
25
=
28
100
= 28%.
Procentenenbreuken
1
4
25
= 100
= 25%,
1
8
125
= 1000
= 12100,5 = 12,5% en 13 =
33 13
100
= 33 13 %.
1
2
= 50%
1
4
= 25%
1
6
= 16 23 %
1
8
= 12 12 %
1
10
= 10%
1
40
= 2 12 %
1
3
= 33 13 %
1
5
= 20%
1
7
= 14 27 %
1
9
= 11 19 %
1
25
= 4%
1
100
= 1%
Uit deze bijzondere percentages volgt
3
= 3 × 12,5% = 37,5%, 409 = 9 × 2,5% = 22,5% en 253 = 3 × 4% = 12%.
8
Vangeheelnaardeel
12 12 % van 24 is 81 deel van 24, dus 81 × 24 = 3.
66 23 % van 36 is 23 deel van 36, dus 23 × 36 = 24.
Vandeelnaargeheel
Is12 12 % van het geheel gelijk aan 40, dan bereken je het geheel als volgt.
1
deel is 40, dus geheel = 8 × 40 = 320.
8
Opgaven
1
Vul in.
a 29% =
b
38 Hoofdstuk 2
239947 2e fase rekenboek H2.indd 38
% = 0,17
c
% = 0,034
d 8,6% =
e 1,03% =
f
% = 0,002
© EPN
14-10-10 09:04
2
3
Welke breuk hoort erbij?
a 75% =
c 28 47 % =
e 16% =
b 40% =
d 12,5% =
f 100% =
Vul in.
a 83 =
b
4
7
20
=
7
7
9
=
%
% d 23 =
% f
5
6
=
%
100% =
100
100
=1
a =
% e 5 =
%
b 2 =
% f 0,023 =
%
180% = 1,8
3,5 = 350%
c 1 12 =
% g 73 =
%
1 4 = 100% + 25% = 125%
% h 4 14 =
%
d
6
% e
11
25
Vul in.
3
5
5
=
% c
11
40
=
1
Bereken.
a 12 12 % van 720
c 37 12 % van 1600
b 16 23 % van 600
d 22 29 % van 1800
Bereken het geheel.
a 33 13 % van het geheel is 300
c 7 12 % van het geheel is 1500
b 25% van het geheel is 1200
d 28 47 % van het geheel is 1200
a Ton krijgt een huurverhoging van12 12 %. Dat komt neer op 32 euro.
Hoeveel euro was de huur?
b Op een school zijn 1200 leerlingen, waarvan16 23 % ouder dan 16 jaar.
Hoeveel leerlingen zijn 16 jaar of jonger?
c Een computer wordt tegen een korting van14 27 % aangeboden. Dat scheelt 77 euro.
Hoe duur is de computer dan?
d In een klas zijn 16 van de 25 leerlingen ouder dan 16 jaar.
Hoeveel procent is dat?
e Op een school woont 55 59 % van de leerlingen minder dan 10 km van school.
Dat zijn er 800. Hoeveel leerlingen heeft de school?
© EPN
239947 2e fase rekenboek H2.indd 39
Procenten en verhoudingen 39
14-10-10 09:04
2.2 Rekenen met procenten
Wiskunde: B geen
In deze paragraaf mag je de rekenmachine gebruiken.
Percentagevanhoeveelheidberekenen
20% van 500 is 15 deel van 500, dus 100.
33 13 % van 600 is 13 deel van 600, dus 200.
Maar niet altijd zijn de getallen zo mooi.
Om 17% van 432 te berekenen bedenk je 17% = 0,17,
dus 17% van 432 is 0,17 × 432 = 73,44.
Hoeveelprocentis8van53?
8 van 53 is 538 × 100% ≈ 15,1%.
17
17 van 185 is 185
× 100% ≈ 9, 2%.
Afspraak
Rond procenten af op
één decimaal.
Vanpercentagenaargeheel
Weet je dat 27% van het geheel 48 is, dan bereken je het geheel als volgt.
27% van het geheel is 48, dus
0,27 × geheel = 48
Deel door 0,27.
48
geheel =
≈ 177, 8
0,27
Voorbeeld
a In een klas met 32 leerlingen komen 19 leerlingen met de fiets naar school.
Hoeveel procent is dat?
• 19 van 32 is 19
× 100% ≈ 59, 4%
Rond aantallen af
32
b Van de 131 havo- 4 leerlingen is 18% jonger dan 16 jaar.
op gehelen.
Hoeveel zijn dat er?
• 18% van 131 is 0,18 × 131 = 23,58, dus 24 leerlingen zijn jonger dan 16 jaar.
c Een computer wordt 21% in prijs verlaagd. Daardoor wordt de computer 75 euro
goedkoper.
Hoe duur was de computer oorspronkelijk?
• 21% van geheel is 175
0,21 × geheel is 175
Deel door 0,21.
175
geheel is
≈ 833, 33
0,21
De prijs was oorspronkelijk 833 euro.
Opgaven
1
Een cd-speler kost € 185 en een cd kost € 12. Een winkel geeft 15% korting op alle
artikelen.
a Hoeveel euro wordt de cd-speler goedkoper?
b Tom profiteert van de kortingsactie en koopt zes cd’s.
Hoeveel euro is hij goedkoper uit?
40 Hoofdstuk 2
239947 2e fase rekenboek H2.indd 40
© EPN
14-10-10 09:04
2
Anouk slaat bij tennissen 28% van haar services fout. Verder slaat zij bij 7,5% van haar
services een ace (= direct een punt). In een partij heeft Anouk 45 services.
a Hoeveel daarvan gaan fout?
b Hoeveel aces slaat ze?
3
Mevrouw De Bruin koopt een huis. Vijf jaar later verkoopt ze het met een winst van
€ 64 750. Dat is 35% van de oorspronkelijke prijs. Bereken de oorspronkelijke prijs.
4
Van 19 - 23 uur besteedt Laura 2 12 uur aan haar huiswerk, ze belt een kwartier met haar
vriendin en van de resterende tijd bekijkt ze 80% dvd.
a Hoeveel procent van haar tijd besteedt ze die avond aan haar huiswerk?
b Hoeveel minuten kijkt ze dvd?
5
Een auto kost nieuw € 12 800. Het eerste jaar neemt de auto 25% in waarde af. Het tweede
jaar neemt de waarde 20% af vergeleken met de waarde aan het eind van het eerste jaar.
a Hoeveel euro is de auto in het tweede jaar in waarde gedaald?
b Hoeveel procent is de auto in twee jaar in waarde gedaald?
c Een andere auto neemt in het eerste jaar 24% in waarde af. Dat is een
waardevermindering van € 3480. Bereken de nieuwwaarde van de auto.
6
Uit een onderzoek onder 850 vwo-leerlingen blijkt dat 275 leerlingen aan voetbal doen
en 58 aan tennis. Van de rest doet 68% aan geen enkele sport.
a Hoeveel procent van de leerlingen doet aan voetbal?
b Hoeveel leerlingen doen aan sport?
7
Een toets bestaat uit 75 vragen. Monica heeft er 57 goed. Paul heeft 9% minder vragen
goed dan Monica.
a Hoeveel procent van de vragen heeft Monica goed?
b Hoeveel vragen heeft Paul fout?
© EPN
239947 2e fase rekenboek H2.indd 41
Procenten en verhoudingen 41
03-12-12 16:34
2.3 Procentberekeningen 1
Wiskunde: B geen
In deze paragraaf mag je de rekenmachine gebruiken.
Procentueletoename
Vergeleken met het vorig jaar nam in het eerste kwartaal van 2010
de wereldwijde computerverkoop toe van 66 miljoen tot 84 miljoen.
Dat is een toename van 84 − 66 = 18 miljoen. De absolute
OUD → NIEUW
toename is 18 miljoen.
• absolute toename =
De procentueletoename is 18
× 100% ≈ 27,3%.
66
NIEUW – OUD
De procentuele toename heet ook relatievetoename.
• relatieve toename =
relatieve toename = toename in procenten
absolute toename = toename in aantallen
NIEUW – OUD
× 100%
OUD
Voorbeeld
In Nederland werden in het eerste kwartaal de volgende aantallen auto’s verkocht,
in 2008: 164 037, in 2009: 124 634 en in 2010: 145 535.
a Hoeveel procent is de toename van de autoverkoop in 2010 vergeleken met 2009?
NIEUW − OUD
145 535 − 124 634
•
× 100% =
× 100% ≈ 16, 8%
OUD
124 634
Dus een toename van 16,8%.
b Hoeveel procent is de afname van de autoverkoop in 2009 vergeleken met 2008?
•
NIEUW − OUD
124 634 − 164 037
× 100% =
× 100% ≈ − 24,00%
OUD
164 037
Dus een afname van 24,0%.
NIEUWberekenen
Een bedrijf had in 2009 een winst van 265 miljoen euro.
In 2010 was de winst toegenomen met 45%.
Neemt een hoeveelheid met 45% toe, dan krijg je
100% + 45% = 145% = 1,45. Dus NIEUW = 1,45 × OUD.
De winst in 2010 was dus 1,45 × 265 = 384,25 miljoen euro.
Neemt een hoeveelheid met 18% af, dan krijg je
100% − 18% = 82% = 0,82. Dus NIEUW = 0,82 × OUD.
5,8% erbij wordt
100% + 5,8% = 105,8%
dus × 1,058.
7,8% eraf wordt
100% - 7,8% = 92,2%,
dus × 0,922.
Toename van 8%, dan NIEUW = 1,08 × OUD.
Afname van 8%, dan NIEUW = 0,92 × OUD.
Is de prijs van een gemiddelde hotelkamer in Nederland 122 euro
en neemt die met 9,2% toe, dan wordt de nieuwe prijs 1,092 × 122 ≈ 133 euro.
Bij een afname van 6,5% zou de nieuwe prijs worden 0,935 × 122 ≈ 114 euro.
42 Hoofdstuk 2
239947 2e fase rekenboek H2.indd 42
© EPN
14-10-10 09:04
Opgaven
1
Bereken telkens de relatieve prijsverandering.
a blik erwtensoep van € 0,79 naar € 0,99
b volkoren biscuits van € 1,29 naar € 1,39
c appelsap van € 0,99 naar € 0,85
d shampoo van € 3,18 naar € 2,99
2
a Een game van € 34 wordt 42% goedkoper. Bereken de nieuwe prijs.
b Een internetabonnement van € 9,95 wordt 18% duurder. Bereken de nieuwe prijs.
c Een flesje gelspray van € 2,50 neemt maar liefst 67% in prijs toe.
Bereken de nieuwe prijs.
d KPN verhoogt de prijs van het goedkoopste abonnement met 8%. Dat is een verhoging
van € 1,20. Bereken de prijs na de verhoging.
e KPN verhoogt de maandelijkse kosten van Digitenne van € 7,50 naar € 8,50.
Hoeveel procent is de verhoging?
3
a Een tijdschrift van € 19,95 wordt 120% duurder.
Bereken de nieuwe prijs.
140% erbij wordt
100% + 140% = 240%
dus × 2,4.
b In 2009 waren de kosten van een parkeervergunning € 218,40. In 2010 nemen de kosten
met € 45 toe.
Hoeveel procent is de prijsverhoging?
c De winst van een bedrijf neemt met 85 miljoen euro toe. Dat is een toename van maar
liefst 250%. Hoeveel wordt de winst?
4
a Nokia maakte in het eerste kwartaal van 2009 een winst van 1,22 miljard euro. In het
eerste kwartaal van 2010 daalde de winst van dit Finse concern tot 122 miljoen euro.
Bereken de relatieve afname.
b In het tweede kwartaal van 2010 neemt de winst van Nokia met 125% toe vergeleken
met het eerste kwartaal. Bereken de winst in het tweede kwartaal.
© EPN
239947 2e fase rekenboek H2.indd 43
Procenten en verhoudingen 43
14-10-10 09:04
2.4 Procentberekeningen 2
Wiskunde: B geen
In deze paragraaf mag je de rekenmachine gebruiken.
Procentopprocent
Vergeleken met 2009 nam de winst van een bedrijf in 2010 met 30% toe.
Vergeleken met 2010 is in 2011 de toename 40%.
+30%
Eerst + 20% en dan
+ 50% geeft een
toename van 80%,
want 1,20 × 1,50 = 1,80.
+40%
2009 → 2010 → 2011
×1, 30
×1, 40
Omdat 1,30 × 1,40 = 1,82, is de totale procentuele toename 82%.
Voorbeeld
a Bereken de totale procentuele toename in het geval een hoeveelheid eerst met 8%,
vervolgens met 12% en ten slotte met 30% toeneemt.
• 1,08 × 1,12 × 1,30 = 1,57248, dus een toename van 57,2%.
b Bereken de totale procentuele afname in het geval een hoeveelheid eerst met 20% afneemt
en vervolgens met 40% afneemt.
• 0,80 × 0,60 = 0,48, dus een afname van 52%.
c Bereken de totale procentuele afname in het geval een hoeveelheid eerst met 50% afneemt
en vervolgens met 50% toeneemt.
• 0,50 × 1,50 = 0,75, dus een afname van 25%.
InclusiefBTW
× 1,19
Exclusief BTW kost een computercursus 150 euro.
Het BTW-tarief is 19%.
Inclusief BTW is de prijs 1,19 × 150 = 178,50 euro.
excl. BTW
incl. BTW
: 1,19
Weet je omgekeerd dat een managementcursus inclusief
BTW € 571,20 kost, dan bereken je als volgt de prijs exclusief BTW.
+19%
OUD
→
571,20 dus 1,19 × OUD = 571,20 en dit geeft OUD =
exclusief BTW ×1,19 inclusief BTW
571,20
= 480.
119
,
Dus de prijs exclusief BTW is € 480.
Voorbeeld
a Exclusief BTW kost een computer € 820. Het BTW-tarief is 19%.
• De prijs inclusief BTW is 1,19 × 820 = 975,80 euro.
b Inclusief BTW kost een boek € 57,24. Het BTW-tarief is 6%.
+6%
• prijs (excl.) → 57,24, dus prijs (excl.) × 1,06 = 57,24
57,24
×1,06
prijs (excl.) =
= 54
1,06
Dus de prijs exclusief BTW is € 54.
44 Hoofdstuk 2
239947 2e fase rekenboek H2.indd 44
Deel door 1,06.
© EPN
14-10-10 09:04
Opgaven
1
a De winst van een bedrijf neemt eerst met 18% toe en vervolgens met 32%.
Bereken de totale procentuele toename.
b In 2010 maakt een bedrijf 25% minder winst dan in 2009. In 2011 is de winst 40%
minder dan in 2010. Hoeveel procent is de winst afgenomen in de periode 2009-2011?
c Een artikel wordt eerst 12% goedkoper, daarna is er een prijsverhoging van 25%.
Hoeveel procent is het artikel in totaal duurder geworden?
2
Fiona zet 1500 euro op een spaarrekening. Elk jaar krijgt ze 4% rente.
a Hoeveel rente krijgt ze het tweede jaar? En het vierde jaar?
b Hoeveel euro staat er na 5 jaar op de spaarrekening?
3
Een reisbureau verkocht in een jaar 1800 reizen. Daarvan was 70% met het vliegtuig en
30% met de bus. Van de vliegreizen ging 25% naar Spanje en 20% naar Griekenland. Van
de busreizen ging 12% naar Spanje en 40% naar Duitsland.
a Hoeveel procent van de reizen was met het vliegtuig naar Spanje?
b Hoeveel procent van de reizen was met de bus naar Duitsland?
c Hoeveel procent van de reizen ging naar Spanje?
4
De VN verwacht dat de wereldbevolking in de periode 2010-2015 met 6,4% zal toenemen,
in de periode 2015-2020 met 5,5% en in de periode 2020-2025 met 4,2%.
Bereken de totale procentuele toename in de periode 2010-2025.
5
a Inclusief BTW kost een maatpak € 199. Het BTW-tarief is 19%.
Bereken de prijs exclusief BTW.
b Na een prijsverhoging van 25% kost een blouse € 55,50.
Hoeveel was de oorspronkelijke prijs?
c Na een prijsverlaging van 12% kost een computerprogramma € 74,80.
Hoeveel euro is het programma goedkoper geworden?
© EPN
239947 2e fase rekenboek H2.indd 45
Procenten en verhoudingen 45
14-10-10 09:04
2.5 Verhoudingen
Wiskunde: A/C B geen
Debetekenisvanverhoudingen
In een klas zitten 12 jongens en 18 meisjes.
De verhouding van het aantal jongens en meisjes is 12 : 18
ofwel 2 : 3. Spreek uit 2 staat tot 3.
De verhouding van het aantal jongens en het totale aantal
leerlingen is 12 : 30 = 2 : 5.
Je zegt ook: 2 op de 5 leerlingen is jongen.
12 van de 30
verhouding
= 12 : 30
=
verhouding
=
12
30
breuk
= 0,40
2
5
breuk
decimaal getal
Een verhouding moet je
zo ver mogelijk
vereenvoudigen.
12 : 18 = 2 : 3
10 : 25 = 2 : 5
1
1
22 : 72 = 1 : 3
= 40%
percentage
Voorbeeld
a In een etui zitten 6 pennen en 20 potloden.
• De verhouding van het aantal pennen en potloden is 6 : 20 = 3 : 10.
b Ans, Bert en Chris verdelen een bedrag van 80 euro in de verhouding 9 : 5 : 2.
Hoeveel krijgt elk?
• Verdeel 80 in 9 + 5 + 2 = 16 delen. Elk deel is 80 : 16 = 5.
Dus Ans krijgt 9 × 5 = 45 euro, Bert krijgt 5 × 5 = 25 euro en
Chris krijgt 2 × 5 = 10 euro.
Verhoudingstabel
8 sinaasappels kosten 3,60 euro. Hierbij hoort de volgende verhoudingstabel.
:2
aantal sinaasappels
prijs in euro’s
8
× 10
:4
4
1
10
15
3,60 1,80 0,45 4,50 6,75
× 15
Je ziet dat 15 sinaasappels € 6,75 kosten.
Dit bedrag kun je ook berekenen met kruiselingsvermenigvuldigen.
8
15
geeft 8 × x = 15 × 3,60, dus x =
15 × 3,60
= 6,75 .
8
3,60
x
Dus 15 sinaasappels kosten 6,75 euro.
In de situatie van de sinaasappels in de prijs evenredig met het aantal
sinaasappels.
5 8
7 a
7×8
geeft a =
.
5
Opgaven
1
a Op een school zijn 36 docenten en 675 leerlingen.
De verhouding van het aantal docenten en leerlingen is
46 Hoofdstuk 2
239947 2e fase rekenboek H2.indd 46
© EPN
14-10-10 09:04
b Een voetbalelftal maakt in een jaar 44 doelpunten en krijgt 28 tegendoelpunten.
De verhouding van de aantallen doelpunten en tegendoelpunten is c In een gereedschapskist zitten 136 moeren en 120 bouten.
De verhouding van de aantallen moeren en bouten is 2
Vul de tabel in.
verhouding
breuk
decimaal getal percentage
3 van de 8
16 23 %
0,75
2 12
3
4
Schrijf de verhouding op. Gebruik zo klein mogelijke natuurlijke getallen.
a 750 en 900
c 3 12 en1 12
b 2,4 en 4,2
d 1 15 en 65
a Verdeel een lijnstuk van 240 cm in de verhouding 5 : 4 : 3.
b Verdeel een bedrag van 225 euro in de verhouding 2 : 3 : 5.
c Een bedrag wordt verdeeld in de verhouding 5 : 7. Het kleinste deel is 320 euro.
Bereken het andere deel. d Een bedrag wordt verdeeld in de verhouding 2 : 4 : 5 : 7. Het grootste deel is 75 euro meer
dan het kleinste deel.
Bereken het totale bedrag. 5
a 40 artikelen kosten 245 euro. Hoeveel euro kosten 56 artikelen?
b 750 gram vlees kost € 12,60. Hoeveel kost 1250 gram?
c Een auto heeft 20 liter benzine nodig voor 205 km. Hoeveel liter is nodig voor 369 km?
d 9 meter tapijt kost 570 euro. Hoeveel kost 96 meter?
e Een weg is 55 km lang. Er zijn drie rotondes die de afstand in de verhouding 2 : 1 : 3 : 4
verdelen. Hoeveel km is er tussen de tweede en de derde rotonde?
6
In een boekenkast gaat 13 deel van de boeken over fotografie, 14 deel gaat over sport, 25 deel
over wiskunde en de rest over vakantie. Bereken de verhouding van de aantallen boeken
over fotografie, sport, wiskunde en vakantie.
© EPN
239947 2e fase rekenboek H2.indd 47
Procenten en verhoudingen 47
14-10-10 09:04
2.6 Herhaling procenten en verhoudingen
Wiskunde: A/C B geen
1
a Peter koopt een sweater van 56 euro. Hij krijgt12 12 % korting.
Hoeveel betaalt hij? b 3 op de 4 leerlingen zijn tegen het verplaatsen van de pauze.
Hoeveel procent is dat? c Joanne is het afgelopen jaar 8 cm langer geworden. Dat is 5% van haar oorspronkelijke
lengte.
Hoe lang was Joanne oorspronkelijk? d Van de 30 leerlingen in een klas hadden er 18 een voldoende voor Engels.
Hoeveel procent had een onvoldoende? 2
a Hoeveel procent is 18 van 90?
b De prijs van een huis is toegenomen van 120 000 euro tot 140 000 euro.
Hoeveel procent is de toename? c De winst van een bedrijf is in 2010 met12 12 % toegenomen vergeleken met 2009. Dat
komt overeen met 24 miljoen euro. Hoeveel was de winst in 2010?
d In 2009 waren de online consumentenbestedingen 5,6 miljard euro. In 2010 nam dat met
14 27 % toe. Bereken de online bestedingen in 2010.
3
a Het aantal eerstejaars studenten op de PABO nam af van 500 tot 465.
Hoeveel is de absolute afname? Hoeveel is de relatieve afname? b Het aantal doublanten op een school nam met12 12 % toe tot 225.
Hoeveel was het aantal doublanten oorspronkelijk? c De winst van een bedrijf nam in de periode 2000-2005 met 20% toe en in de periode
2005-2010 met 50%. Bereken de procentuele toename in de periode 2000-2010.
d De winst van een bedrijf nam in de periode 2000-2005 met 20% af en in de periode
2005-2010 met 50%. Bereken de procentuele afname in de periode 2000-2010.
e Op een school zit 40% van de leerlingen op het havo. Op het havo is 60% van de
leerlingen een meisje. Hoeveel procent van de leerlingen op school is een meisje
op het havo?
48 Hoofdstuk 2
239947 2e fase rekenboek H2.indd 48
© EPN
14-10-10 09:04
4
a Een land heeft een BTW-tarief van 20%. Inclusief BTW kost een bankstel 3600 euro.
Hoeveel is het BTW-bedrag? b Annet besteedt op een avond 1 uur en 48 minuten aan haar huiswerk. De tijden die ze
aan Engels, wiskunde en Frans besteedt verhouden zich als 3 : 2 : 7.
Hoeveel tijd besteedt ze aan wiskunde? c Welke breuk hoort bij 37 12 %? En welk decimaal getal?
d 7 eieren kosten € 1,96. Hoeveel kosten 12 eieren?
e Karel legt tijdens het wandelen 60 meter af in 50 seconden.
Hoeveel meter legt hij af in 225 seconden?
5
Voor het maken van 12 cakes heb je nodig 800 gram meel, 600 gram boter en 3 eieren.
a Marloes maakt 30 cakes. Hoeveel meel heeft ze nodig?
b Bij het maken van cakes gebruikt Lianne 8 eieren. Hoeveel gram boter heeft ze nodig?
c Bij het maken van cakes gebruikt Patrick 4,8 kg meel. Hoeveel eieren heeft hij nodig?
6
a In een tuin staan 320 struiken. Door de strenge winter sterft 35%.
Hoeveel struiken gaan er dood? b In 2009 waren er 10 300 vacatures in de detailhandel. Dat is een daling van 28%
vergeleken met het jaar ervoor. Bereken het aantal vacatures in 2008.
c In 2009 waren er bij de overheid 28 000 vacatures minder dan in 2008. Dat is een afname
van 37%. Hoeveel vacatures waren er in 2009?
d In 2000 waren er in Nederland 800 internetbedrijven. In 2009 waren dat er maar liefst
5950. Hoeveel procent is de toename?
e Alle Nederlanders hebben in 2007 samen 185,2 miljard kilometer afgelegd.
Daarvan werd 138,9 miljard km met de auto afgelegd. Hoeveel procent is dat?
f Vergeleken met 1995 is in 2007 het totale aantal afgelegde km met 12% toegenomen tot
185,2 miljard. Hoeveel km werden in totaal in 1995 afgelegd?
© EPN
239947 2e fase rekenboek H2.indd 49
Procenten en verhoudingen 49
14-10-10 09:04