Proef-Toets Algebra 2

Proef-Toets Algebra 2
oktober 2013
Maak vijf van de opgaven 1 t/m 6. Indien U er meer maakt worden de vijf best gemaakte
geteld.
1) Laat R een ring met eenheidselement zijn. Verder zijn a ∈ R een eenheid en b ∈ R
een linkernuldeler. Bewijs dat ba een linkernuldeler is.
2) (Theorievraag) Zij R een commutatieve ring met eenheidselement en laat N ⊂ R de
verzameling van niet-eenheden zijn en N 6= ∅.
1) Bewijs: als N een ideaal is, dan is N een maximaal ideaal en ook het enige maximale
ideaal van R.
ii) Als R precies één maximaal ideaal M heeft dan geldt M = N .
3) Laat R de verzameling zijn gegeven door
R={
a
−b
b
∈ M2 (R), a, b ∈ R},
a
waarbij M2 (R) de ring van 2 × 2 matrices met reële coëfficiënten is. Bewijs de volgende
uitspraken:
i) R is een deelring van M2 (R).
ii) R is isomorf met het lichaam C van de complexe getallen.
4) Welke van de volgende idealen van Z[X] zijn priem en welke maximaal? Motiveer
het antwoord.
(13, X + 17),
(X 2 + X + 1),
(7, X 2 + X + 1),
(2, X 2 + X + 1).
5)
i) Zij K een lichaam. Als a, b ∈ K met a 6= b, laat zien dat er een polynoom f ∈ K[X]
bestaat zo dat f (a) = 0 en f (b) = 1.
ii) Bewijs dat er geen polynoom f ∈ (Z/10Z) X bestaat zo dat f (1̄) = 0̄ en f (6̄) = 1̄.
6) Laat ζ 6= 1 een derdemachtseenheidswortel zijn in C (dus ζ 3 = 1) en laat
Z[ζ] = {a + b ζ : a, b ∈ Z} ⊂ C.
i) Bewijs dat (2) een priemideaal is in Z[ζ].
ii) Hoeveel elementen heeft de ring Z[ζ]/(2)?
iii) Is Z[ζ]/(2) een lichaam? Motiveer het antwoord.