Stroming en Warmteoverdracht - Formularium

Stroming en Warmteoverdracht - Formularium
T
L2
∇2 T −
Inleiding
2
q = k T1 −T
d
conductie
q = h(T − T0 )
p
= − kd
convectief gekoelde plaat
∂
k ∂x
[d(x) ∂T
∂x ] = 2hT
(als dikte niet constant)
convectie
q = σT 4
straling
2
k ddxT2 − Cv dG
dt = −δ(x)δ(t)
q
1
G̃ = 2√skC
exp(− sCk v |x|)
v
q
Cv
2
v
G(x, t) = C1v 12 πkt
exp( −C
4kt x )
T (x, t) =
´t
´∞
−∞ −∞
Greense functie 1D
pG(x−x0 , t−t0 )dx0 dt0 (superpositie)
Conductie
q = −k∇T
wet van Fourier
∇·q =0
stationair, zonder warmtebron
2
∇ T =0
stationair, zonder warmtebron
∇·q =p
stationair, met warmtebron
Rth =
T1 −T2
Q
Rth =
L
k·S
thermische weerstand, warmtestroom Q
thermische weerstand, conductie
−k∇2 G(r|r0 ) = δ(r − r0 )
G(r|r0 ) =
T (r) =
1
4πk|r−r 0 |
˝
p(r 0 )
V 0 4πk|r−r 0 |
Greense functie
Greense functie, r’ bronpunt
dV 0
(superpositie)
Koelvinnen en substraten
∇2 T −
T
L2
=0
x
T = Aexp( −x
L ) + Bexp( L )
Rth,1 =
L
1
kbd tanh(a/2L)
equivalent π-netwerk
Rth,2 =
L
kbd sinh(a/L)
equivalent π-netwerk
Rth,1 =
L
1
kbd sinh(a/L)
equivalent T-netwerk
Rth,2 =
L
kbd tanh(a/2L)
equivalent T-netwerk
∇2 G(r|r0 ) −
G(r|r 0 )
L2
1
= − kd
δ(r − r0 )
Greense functie
G=
Greense functie 2D
Cv 2
1
4πkt exp(− 4kt r )
k∇2 G − Cv ∂G
∂t = −δ(r)δ(t)
√ sCv
exp(−
k r)
G̃ = A
r
Greense functie 3D
√
Cv 2
1
√ Cv
4πk 2 πkt3 exp(− 4kt r )
G(r) = AK0 ( Lr ) + BI0 ( Lr )
G(r) =
Thermische geleiding in sinusregime
|r−r 0 |
1
2πk K0 ( L )
K0 (z) ≈ −ln(z)
Rth =
Tbron
P
Besselse functie (kleine z)
thermische weerstand van bron
convectief gekoelde plaat
algemene oplossing
k∇2 G − Cv ∂G
∂t = −δ(x)δ(y)δ(t)
q
G̃ = AK0 (r sCk v )
k∇2 Tc −jωCv Tc = −pc warmtevergelijking sinusregime
T = Re[Tc ejωt ]
Zth =
fasornotatie
Tbron
P
thermische impedantie
Tijdsafhankelijke warmteoverdracht
2
x
x
T = Acosh( L
) + Bsinh( L
)
algemene oplossing
q
kd
L = 2h
karakteristieke lengte
q
L = kd
karakteristieke lengte, eenzijdige convectie
h
k∇2 T = Cv dT
dt − p
warmtevergelijking
erf c(x) = 1 − erf (x)
complementaire errorfunctie
q ´
x
errorfunctie
erf (x) = π2 0 exp(−x2 )dx
Greense functie 1D
k ∂∂xG2 − jωCv G = −δ(x − x0 )
q
0
v
G˜1D (x|x0 ) = √1jωCv exp(− jωC
k |x − x |)
T (x) =
´∞
−∞
2k
k
0
G(x|x )p(x0 )dx0
(superpositie)
k∇2 G−jωCv G = −δ(x−x0 )δ(y−y 0 ) Greense functie 2D
˜ · ṽ = 0
∇
G˜2D ∼ kelvinf uncties
˜ =
ṽ · ∇ṽ
dimensieloze vorm
q = σ(T 14 − T 24 )F12 S1
netto warmteoverdracht
˜
− ∇p̃
dimensieloze vorm
q ≈ hR (T 1 − T 2)F12 S1
als T 1 ≈ T 2
˜ T̃ ) = 0
˜ 2 T̃ − P e(ṽ · ∇
∇
dimensieloze vorm
hR = 4σT03
1 ˜2
Re ∇ ṽ
0
2
k∇ G − jωCv G = −δ(r − r )
Greense functie 3D
q
v
G˜3D = Ar exp(− jωC
k r)
q
jωCv
1
0
G˜3D = 4πk|r−r
0 | exp(−
k |r − r |)
Re =
ρLv0
µ
Pe =
Cv v0 L
k
Pr =
µCv
ρk
=
Lv0
ν
Reynolds getal
= Re · P r
Peclet getal
P
i
F1i = 1
F12 =
(inclusief oppervlak op oneindig)
S1 +S2 −S3
2S1
eigenschap driehoek
Prandtl getal
Warmtebronnen in de elektronica
k
πCv x2
f<
f0 >
2
h
2πCv k
goede thermische koppeling
−k∇2 T + Cv v∇T = 0
energievergelijking
convectie verwaarloosbaar
−k∇2 T + Cv v0 ∂T
∂x = 0
stroming in x-richting
T =
Convectie
+
∂vy
∂y
continuiteitsvergelijking
=0
2D
ρv · ∇v = µ∇2 v − ∇p
x
ρ(vx ∂v
∂x
∂v
ρ(vx ∂xy
Greense functie
+
x
vy ∂v
∂y )
+
∂v
vy ∂yy )
=
2
µ( ∂∂xv2x
=
∂2v
µ( ∂x2y
Navier-Stokes vergelijking
+
∂ 2 vx
∂y 2 )
+
∂ 2 vy
∂y 2 )
−
∂ρ
∂x
−
∂ρ
∂y
2D
2D
Straling
E(λ, t) =
−k∇2 T + Cv v · ∇T = 0
energievergelijking
h c
λ5 [exp( λkp T
B
q = σT
v · ∇v = − ρ1 ∇p
ν kinetische viscositeit
Wet van Planck
)−1]
λM T = 2897.6µmK
verschuivingswet Wien
4
wet Stefan-Boltzmann
I0 =
Lambertiaanse straler
σT 4
π
1
S1
´
S1
´
S2
1 d
dT
r dr (r dr
)
1 d
2 dT
r 2 dr (r dr
laplaciaan cylindrisch
)
∇2 T = 0 ⇔ T = C1 ln(r) + C2
σ = 5.67 · 10−8 W m−2 K −4
F12 =
µ
ρ
Extra
2πc2 hp
I = I0 cos(θ)
ν=
Elektrothermische analyse
−r
x
1
4πkr exp( L )exp( L )
cursus p.114
∇·v=0
∂vx
∂x
cursus p.107
cos(θ1 )cos(θ2 )
dS1 dS2
πR2
geometriefactor
q = σT 14 F12 S1
vermogen dat S1 naar S2 straalt
S1 F12 = S2 F21
reciprociteitsrelatie
Euler, volmaakt fluida
∇2 T = 0 ⇔ T = −C1 /r + C2
dT
dt
⇔ sT̃ − T (0+ )
dn
dt
= −∇J + G
laplaciaan sferisch
laplaciaan cylindrisch
laplaciaan sferisch
eigenschap laplace tf
algemene behoudswet