Functies van een veranderlijke (191512600)

Functies van één veranderlijke 191512600
Docent :
Anton Stoorvogel
E-mail: [email protected]
1/38
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Bekijken we de volgende vergelijking:
x 2 C Œf .x/2 D 25
We kunnen de raaklijn in .3; 4/ berekenen.
p
f .x/ D 25
0
f .x/ D p
25
0
f .3/ D
x2
x
x2
3
4
Raaklijn:
yD4
2/38
3
.x
4
3/
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Impliciete differentiatie
Bekijken we de volgende vergelijking:
x 2 C Œf .x/2 D 25
We kunnen dit direct differentiëren zonder eerst f .x/ als functie van
x uit te drukken.
We kunnen de raaklijn in .3; 4/ ook op deze manier berekenen.
3/38
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
x 2 C Œf .x/2 D 25
2x C 2f .x/f 0 .x/ D 0
In het punt .3; 4/ geldt x D 3 en y D f .x/ D 4:
6 C 8f 0 .3/ D 0
0
f .3/ D
3
4
Raaklijn:
yD4
4/38
3
.x
4
3/
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Impliciete differentiatie
Bekijken we de volgende vergelijking:
x 3 C Œf .x/3 D 6xf .x/
Dit beschrijft het folium van Descartes
5/38
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
6/38
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Impliciete differentiatie
We hebben de volgende vergelijking:
x 3 C Œf .x/3 D 6xf .x/
We kunnen dit direct differentiëren zonder eerst f .x/ als functie van
x uit te drukken.
We kunnen de raaklijn in .3; 3/ op deze manier berekenen.
7/38
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
x 3 C Œf .x/3 D 6xf .x/
3x 2 C 3 Œf .x/2 f 0 .x/ D 6f .x/ C 6xf 0 .x/
In het punt .3; 3/ geldt x D 3 en y D f .3/ D 3.
27 C 27f 0 .3/ D 18 C 18f 0 .3/
9 C 9f 0 .3/ D 0
De raaklijn:
y D 3 C f 0 .3/.x
yD6
8/38
3/
x
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
9/38
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Impliciete differentiatie
Bekijken we de volgende vergelijking:
sin.x C y/ D y 2 cos x
We kunnen de afgeleide weer direct bepalen.
10/38
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
sin.x C y/ D y 2 cos x
Differentiëren levert op:
cos.x C y/ C y 0 cos.x C y/ D 2yy 0 cos x
cos.x C y/ C y 2 sin x D y 0 Œ2y cos x
y 2 sin x
cos.x C y/
cos.x C y/ C y 2 sin x
y D
2y cos x cos.x C y/
0
11/38
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Hyperbolische functies
f1 .x/ D sinh.x/ D
ex
e
2
ex C e
f2 .x/ D cosh.x/ D
2
ex e
f3 .x/ D tanh.x/ D x
e Ce
x
x
x
x
f10 .x/ D cosh.x/
f20 .x/ D sinh.x/
f30 .x/
D1
1
2
tanh .x/ D
cosh2 .x/
We hebben:
cosh2 .x/
12/38
sinh2 .x/ D 1
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
sinh.x/
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-2
13/38
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
f1 .x/ D sinh.x/ D
ex
e
x
2
met domein A D R en bereik B D R.
Stijgende functie:
f10 .x/ D cosh.x/ > 0
Hieruit volgt dat de functie injectief is!
lim sinh.x/ D
x! 1
1
lim sinh.x/ D 1
x!1
Hieruit volgt (met de tussenwaardestelling) dat de functie surjectief
is.
14/38
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Tussenwaardestelling
Gegeven is een functie f die continu is op het gesloten interval
Œa; b. Zij N een getal tussen f .a/ en f .b/.
Er bestaat een c 2 .a; b/ zodanig dat f .c/ D N .
Het geval N D 0 wordt de stelling van Weierstrass genoemd.
15/38
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Ga na of voor de functie f W Œ0; 1 ! Œ1; e gedefinieerd door:
f .x/ D exp.3x 2
2x 3 /
de inverse functie bestaat.
16/38
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
f .x/ D exp.3x 2
f .0/ D 1;
2x 3 /
f .1/ D e
f 0 .x/ D .6x 6x 2 / exp.3x 2 2x 3 / D 6x.1 x/ exp.3x 2 2x 3 / > 0
17/38
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Stel y D sinh.x/ dan:
Definieer z D e x :
ex
e
ex
2
e
z
z
z2
18/38
x
Dy
x
1
2yz
D 2y
D 2y
1D0
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
zD
19/38
z2
p
2yz
1D0
q
4y 2 C 4
D y ˙ y2 C 1
2
q
ex D y C y 2 C 1
q
x D ln y C y 2 C 1
2y ˙
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
cosh.x/
4
3
2
1
0
-1
-2
-2
20/38
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
ex C e
f1 .x/ D cosh.x/ D
2
met domein A D Œ0; 1/ en bereik B D Œ1; 1/.
x
Stijgende functie:
f20 .x/ D sinh.x/ > 0
want x > 0
Hieruit volgt dat de functie injectief is!
cosh.0/ D 1
lim cosh.x/ D 1
x!1
Hieruit volgt (met de tussenwaardestelling) dat de functie surjectief
is.
21/38
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Stel y D cosh.x/ dan:
ex C e
2
ex C e
Definieer z D e x :
zCz
z2
22/38
x
Dy
x
1
D 2y
D 2y
2yz C 1 D 0
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
z 2 2yz C 1 D 0
p
q
2y ˙ 4y 2 4
zD
D y ˙ y2
2
q
ex D y C y 2 1
q
x D ln y C y 2 1
23/38
1
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
tanh.x/
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
24/38
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
ex e x
f1 .x/ D tanh.x/ D x
e Ce x
met domein A D . 1; 1/ en bereik B D . 1; 1/.
Stijgende functie:
f20 .x/
D
1
2
cosh .x/
>0
Hieruit volgt dat de functie injectief is!
lim tanh.x/ D
x! 1
1
lim tanh.x/ D 1
x!1
Hieruit volgt (met de tussenwaardestelling) dat de functie surjectief
is.
25/38
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Stel y D tanh.x/ dan:
Definieer z D e x :
ex e
ex C e
x
x
Dy
ex
e
x
D y.e x C e
z
z
1
D y.z C z
z 2 .1
x
1
/
/
y/ D 1 C y
1Cy
z D
1 y
2
1Cy
e D
1 y
1Cy
1
x D ln
2
1 y
2x
26/38
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Inverse hyberbolische functies
p
f1 .x/ D arcsinh.x/ D ln x C 1 C x 2
f10 .x/
f20 .x/ D p
p
f2 .x/ D arccosh.x/ D ln x C x 2 1
1Cx
1
f3 .x/ D arctanh.x/ D 2 ln
1 x
27/38
Dp
1
x2 C 1
1
x2 1
1
0
f3 .x/ D
1 x2
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
We hebben:
arcsinh.sinh x/ D x
en dus:
arcsinh0 .sinh x/ cosh x D 1
arcsinh0 .y/ cosh x D 1
p
met y D sinh x. Maar dan cosh x D 1 C y 2
q
arcsinh0 .y/ 1 C y 2 D 1
0
arcsinh .y/ D p
28/38
1
1 C y2
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
We hebben:
arccosh.cosh x/ D x
en dus:
arccosh0 .cosh x/ sinh x D 1
arccosh0 .y/ sinh x D 1
p
met y D cosh x. Maar dan sinh x D y 2 1 want x 2 Œ0; 1/
q
arccosh0 .y/ y 2 1 D 1
0
arccosh .y/ D p
29/38
1
y2
1
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
We hebben:
arctanh.tanh x/ D x
en dus:
arctanh0 .tanh x/.1
arctanh0 .y/.1
tanh2 x/ D 1
y 2/ D 1
met y D tanh x.
1
0
arctanh .y/ D
30/38
1
y2
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Notatie die in het boek gebruikt wordt:
1
csc D
;
sin 1
sec D
;
cos 1
cot D
tan Vergelijk met de inverse functie:
arcsin x D sin
31/38
1
x;
arccos x D cos
1
x;
arctan x D tan
1
x:
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
φ
32/38
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
33/38
Quadrant 2
Quadrant 1
cos φ < 0
cos φ > 0
sin φ > 0
sin φ > 0
Quadrant 3
Quadrant 4
cos φ < 0
cos φ > 0
sin φ < 0
sin φ < 0
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
sin.2x/ D 2 sin x cos x
cos.2x/ D 2 cos2 x
tan.2x/ D
1D1
2 sin2 x D cos2 x
sin2 x
2 tan x
1 tan2 x
sin.x C y/ D sin x cos y C cos x sin y
cos.x C y/ D cos x cos y
tan.x C y/ D
34/38
sin x sin y
tan xCtan y
1 tan x tan y
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
sin. x/ D
sin x
cos. x/ D cos x
tan. x/ D
sin.x C
35/38
2/
tan x
D cos x
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Hogere orde afgeleide
We kunnnen natuurlijk ook weer kijken of de afgeleide zelf weer
differentieerbaar is. Dit wordt dan de tweede afgeleide genoemd.
Op deze manier kunnen we de k-de afgeleide definiëren. We
gebruiken als notatie:
k
d
f
.k/
f .x/ D
.x/
k
dx
36/38
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Voorbeeld
We hebben:
f .x/ D x cos x
Dan geldt:
f 0 .x/ D cos x
f 00 .x/ D
37/38
2 sin x
x sin x
x cos x
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
5
y
y′
y′′
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-4
38/38
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI