11111 111111

11111�111111
Voor het redactioneel, klik hier:
http://users. belgacom.net/uitwiskelinglredactioneel. html
Goniometrische functies: een meerwaarde door ICT?
Rik Van Eecke
Om in het hoofdstuk ''algemene sinusfuncties' de betekenis van de parameters
vorm f(x)
=a·
sin(b(x- c)) + d
a,
b, c en d in de
uit te leggen (vervormingen en verschuivingen t.o.v. de
sinusfunctie) trok ik dit jaar met drie klassen van het vijfde jaar naar de computerklas. Een
ervanng.
Goniometrie Histo1y X
Het toeval wi I dat ik vanaf "den beginne - 10 jaar geleden - zowat elk jaar 'goniometrie en
goniometrische functies heb gegeven in het vijfde jaar, in verschillende onderwijsstructuren en
studierichtingen.
Een periodiek verschijnsel zowaar.
Samen met de inhoud zijn ook de
didactische aanpak en de gebruikte werkvormen in dit decennium nogal geëvolueerd. Het is niet
mijn bedoeling een rigoureuze studie te maken van deze evolutie. Ik wil gewoon vanuit de
ervaring in de computerklas even terugblikken. Een "history X" dus.
Ik herinner me levendig dat ik 'de eerste keer' met nogal veel beginnersenthousiasme bij het
aanbrengen van ' georiënteerde hoek' uitvoerig tijd investeerde in de beteken is van "wegens de
groepsstructuur van de verplaatsingen voor de samenstelling is de relatie 'bepaalt dezelfde hoek
als
een equivalentierelatie'
(sic). De aandacht van de leerlingen daalde exponentieel en
aangezien ze van de "opwindfunctie' niet opgewonden raakten, ging de les over de elementaire
goniometrische functies de mist in. Vanuit een tabel met functiewaarden tekende ik de
elementaire functies op bord en de leerlingen namen dit zo goed mogelijk over (bij tangens viel
dat nogal tegen), en dat was het. De algemene sinusfunctie stond niet op het programma, het
volgende onderwerp was goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden en daarvoor restte al
niet meer zoveel tijd ... Hetzelfde beginjaar in een andere school en een andere richting nam ik
als interimaris een (handgeschreven) cursus over met werkbladen (met mm-papier).
Dat
verhoogde de kwaliteit van de grafieken bij de leerlingen.
Het volgende jaar hanteerde ik met succes zelfgemaakte werkbladen, maar voor de algemene
sinusfunctie was het alweer prullen op het bord en in het schrift.
Een jaar later deed het vliegtuig (en een speelgoedmodel van het zoontje van een collega
wiskunde) zijn intrede. En werkbladen (uit "Wiskunde vanuit toepassingen') met allerlei
schroeven (langere, snellere, andere, hogere). Voor de rest bleef het knoeien.
2
het spinnenweb
Alweer een jaar later maakte de school - waar ik nu nog altijd
'actief' ben - een ware
technologische revolutie door: er was één draagbare overheadprojector ter beschikking. Deze
•
wiskundemachine" (standaardantwoord op de vraag van nieuwsgierige collega's:
'Waarmee
sleur jij altijd?") was de motor van menige didactische sprong voorwaarts. Alhoewel voor
goniometrische functies was het "reculer pour sauter' . Transparanten en projectie van de
schroeven op de muur gaven geen meerwaarde. Pas het volgende jaar kwamen de parameters tot
leven dankzij een transparant van een assenstelsel en heel veel kleine transparantjes van allerlei
algemene sinusfuncties. (Een gigantische voorraad: sin x; 2,5·sin x- sin(2.x); sin(x - 0,5);
sin x+ I, 75 en vele andere ...) Door die op elkaar te leggen konden de leerlingen constateren of
er vervorming was of niet en konden verschuivingen 'live ' geanimeerd worden.
Samen met de structuurverandering was ook het leerboek veranderd en daarin werd de
"techniek van het kader
(een kader dat verdeeld wordt in 4 stroken en 8 rechthoeken waarmee
één periode wordt getekend) geïntroduceerd. Voor het eerst hadden de leerlingen een middel om
zelf zorgvuldige grafieken op gewoon papier te kunnen tekenen en de betekenis van de
parameters te verankeren aan de grootte en de ligging van het kader.
Het vliegtuigje voor de sinusfunctie, het werkblad met grafieken op mm-papier (als taak vooraf)
voor een les met slideshow en de oefeningen met de kadertechniek bleven jaren de pijlers van
een bevredigende aanpak. Eén minpunt was nog moeilijkheid om de aandacht vast te houden
tijdens de slideshow. Meestal lukte dit wel maar louter kijken verstoorde soms de concentratie.
Als de leerlingen dit zelf zouden kunnen uitvoeren...
De technologische vooruitgang is ondertussen niet (helemaal) aan onze school voorbijgegaan en
we beschikken tegenwoordig over een heuse informaticaklas met 12 computers in netwerk met
internetverbinding. In sommige klassen had ik vorige jaren (als extra) al eens een aantal applets
(van ies.co.jp) laten uitvoeren. Klaar dus voor een volgende stap in de evolutie.
Welcome to the Machine
Mens en machine. Het is een problematiek die mij niet alleen vanuit wiskunde maar vanuit de
werking van media in het algemeen interesseert. Machines gaan steeds meer op mensen lijken
en, naarmate de wereld virtueler wordt, ook mensen op machines. De atl1ankelijkheid van
technologie wordt steeds groter en sommige ervaringen bestaan alleen nog maar door
tussenkomst van machines. Wie af en toe in cyberspace ver1oeft ontdekt voortdurend bijzonder
knappe applets en animaties van wiskundige begrippen, maar is er nog iets te zien (en dus in-te­
zien) als de computer wordt uitgeschakeld? Wat is de werkelijkheidswaarde van zo'n ervaring?
Zeker voor leerlingen geldt "The medium is the message". Eenmaal in de computerklas heb je
als leerkracht niets meer (klassikaal) te vertellen. De leerlingen worden opgeslorpt door het
medium computer en de vraag is: wat' dragen' leerlingen mee uit het toepassen van een applet
en hoe kan dit verbonden worden met de begrippen die ze kennen vanuit de lessen gegeven met
de --gewone ' media? Het is tijdverlies om alles de volgende les nog eens over te doen (in de zin
van ·'Vorige les heb je gezien dat. .. '). Volgens mij is dit even zinloos als bijvoorbeeld het
navertellen van een film. Je kunt van woorden niet verwachten dat ze hetzelfde oproepen als
beelden. Het zijn nu eenmaal verschillende media. Maar misschien is het letterlijk en figuurlijk
een kwestie van· de drager . Vandaar het werken met een antwoordblad..
3
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
Mission Jmpossible
Een woordje uitleg bij de lesopdracht De gebruikte webpagina's staan op de harde schijf van de
computer, zodat geen internetverbinding nodig is en het netwerk de pret niet kan bederven. Via
de eenvoudige html-pagina wordt de opdracht uitgelegd en een hyperlink voorzien om de
toepassingen te starten (de url's vind je achteraan dit artikel). Streefdoel is dat de les volledig
zelfsturend is en in de computerklas geen klassikale uitleg moet worden gegeven. Als leerkracht
heb je dan de mogelijkheid om, indien nodig, technische ondersteuning te geven en/of
leerlingen individueel te wijzen op wat er (in)gezien kan worden. De leerlingen krijgen het
antwoordblad met schermafdrukken van de toepassingen en geven dit ingevuld af op het einde
van de les. Onderaan het antwoordblad staan de adressen van de webpagina s zodat wie vóór
het einde van de les klaar is, de sites ook "echt" kan verkennen.
Brave New World
Een korte evaluatie van wat zich in de computerklas afspeelde. In de eerste klas ( 18 leerlingen,
4-uursrichting) verliep de les prima; de leerlingen waren enthousiast; sommigen waren na 20
minuten klaar, de meesten hielden I 0 minuten over om vrij te surfen (naar de opgegeven sites).
De antwoordbladen werden goed ingevuld. Het viel op dat de vertrouwdheid met het medium en
computers in het algemeen sterk verschilt bij de leerlingen onderling. Twee leerlingen hadden
problemen met maximaliseren, scrollen en vensters afsluiten.In de tweede klas (22 leerlingen, 6uursrichting) kende de les een noodlottig verloop: een computer die tweemaal vastliep en I 0
min uten voor tijd brandalarm en een evacuatieoefening. Logisch dat niet iedereen alles heeft
kunnen doen. Het lesverloop in de derde klas (24 leerlingen, 4-uursrichting) was goed, de
leerlingen waren enthousiast de vragen interessant en vele leerlingen werkten het volledige
lesuur aan de opdracht.
Het antwoordblad is een handig instrument om iedereen bij de les te houden en in de volgende
les iets te doen met het inzicht dat dit nieuwe medium heeft bijgebracht. In de volgende les werd
op het antwoordblad telkens "het kader" getekend en dat was dan de overgang naar de
gebruikelijke
oefeningen.
Daarna
werden
toepassingen
(lucht-
en
bloedstroomsnelheid)
gemaakt, wat de betekenis van amplitude en periode vanuit context verrijkte.
The End
De ervaring was positief: de betrokkenheid van de leerlingen was groot en de les sloot goed aan
bij de andere lessen. Omdat er niet ambachtelijk met mm-papier werd gewerkt, was er tijdwinst
en bijgevolg meer tijd voor contextrijke toepassingen. De leerlingen bleken op de overhoring en
examens het minstens even goed te doen (alhoewel je dat niet echt kunt meten natuurlijk).
De
11
erkbladen
Hieronder vind je de tekst van het werkblad dat de leerlingen op de computer aangeboden
I
1j te klikken konden ze de juiste applet activeren. Tot slot geven
kregen. Door op de knop STAR
we ook een kopie van het antwoordblad dat de leerlingen moesten invullen.
4
het spinnenweb
Goniometrische functies met Java-applets
Op het Internet wordt heel wat leerrijke informatie aangeboden over wiskunde en
wiskundige begrippen. Het java-script" biedt bovendien de mogelijkheid om binnen
een Internetpagina een animatie uit te voeren, interactief met de gebruiker. Dit zijn de
fameuze applets".
Hieronder vind je een aantal opdrachten met links naar applets die (vanaf de harde
schijf) in een nieuw venster worden geopend. Je kunt dus telkens van de opdracht en
de instructies naar de toepassing en terug. Als je de applet in al zijn mogelijkheden
hebt geëxploreerd, geef je een neerslag hiervan op het antwoordblad. Hou een oog op
de klok, de voorziene tijd is één lesuur. Ben je klaar met een toepassing dan sluit je
die af. De gebruikte I inks vind je op je antwoordblad.
Definitie 1 an sinus:
De "Sine function box' illustreert de definitie van sinus van een getal. Voer in de box
een aantal waarden (in graden) in en bereken de sinus ervan.
Klik op START.
I.
Bereken met de "Sine function box' de sinus van 125°.
De sinusfunctie
Door op de + knop te drukken kun je de sinus van oplopende waarden uitzetten. Je
verkrijgt de grafiek van de sinusfunctie (in graden) in één periode.
Klik op START.
Vul de grafiek van de sinusfunctie aan.
Transformatie
Aan de hand van de 'transfarm '-knop kun je de rol van
transformatie van y = sin x naar J =a sin(b(x- c)).
a,
b en
c
nagaan
111
de
5
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
Klik op START.
2.
Teken de grafiek van y = 2,5 sin 2(x- 30°)
Algemene sinusfunctie
Aan de hand van de schuitbalken kun je de rol van
voorschriftj(x)
=a
sin b(x
+
c)
+
b,
a,
c
en d nagaan
m
het
d (in radialen).
Klik op START.
3.
Teken de grafiek van) = 2 5 sin 2(x- pi/6)
+
I, 75 .
Besluit
In de animatie zie je hoe de sinusfunctie getransformeerd wordt in een algemene
sinusfunctie.
Klik op START.
4.
Geef
het
voorschrift
van
de
verkregen
functie
uit
de
animatie
en
achtereenvolgende vervormingen en verschuivingen.
Einde
Alle toepassingen afsluiten en het antwoordblad afgeven.
Goniometrische functies met Java-applets: antwoordblad
I.
Bereken met de "Sine function box
de sinus van 125°.
Antwoord:
2.
Vul de onderstaande grafiek aan.
180
Draw
3.
6
+
Teken de grafiek van y = 2,5 sin 2(x- 30°):
360
de
het spinnenweb
a
=
1
�
b
=
=
J
j
0
J
�
v·:•l
4.
�
1
�
c
J
Tr��mm
�
.,.,.�----,
-....",__ _
'
//
,r/
//360
/0
/
"'-.......__ _//
___
-._,_____
I
Teken de grafiek van y
=
2,5 sin(2(x(a)
7r ))
6
+ 1, 75.
� (b}
_J
f(x)
=
!J (c)
�(d)
-!J
_j
r·sin( rx+ r)+ r
(a)
(b)
( c)
(d)
7
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
5.
Geef
het
voorschrift
van
de
verkregen
functie
uit
de
animatie
achtereenvolgende vervormingen en verschuivingen.
y=
Betekenis
a :
Betekenis b :
Betekenis
c :
Betekenis d:
Gebruikte links:
Bij opdracht I: http://www.ies.co.jp/math/java/trig/sinBox/sinBox.html
Bij opdracht 2: http:// www.ies.co.jp/math/java/trig/graphSinX/graphSinX.html
Bij opdracht 3: http://www. ies.co. jp/math/java/trig/ ABCsinX/ ABCsinX.htm I
Bij opdracht 4: http://www.cegc.com/igs/TrigonometricSIN.html
Bij opdracht 5: http://users.pandora.be/bruno.van.eeckhout/5t l algsinfie.htm
8
en
de
lili\ililililili i!ilil lililil!l lil !l !l ,!l l l l!l l \l l ,l l l lililllll\1111\ll�lilil'l lil !l\i i\1\ili\,\!\ili\i\ilil !ilil il il i il l il!lil!lililil
Extremumproblemen
Inhoud
I.
2.
3.
4.
5.
6.
Inleiding
a.
Verschi Ilende oplossingsmethoden
b.
Voor- en naspel
Meetkundige aanpak
a.
Het standbeeld
b.
Niet op het gras lopen
Met het voorschrift van een functie
a.
Het standbeeld bis
b.
Een vierkant min een stuk cirkel
Grafisch-numeriek zonder voorschrift
a.
De droogparasol
b.
Het drinkrietje in het bolvormige kopje
Modelleren
a.
Het probleem van de I H6pital
b.
Het fileprobleem
Enkele knepen waar je indruk mee kunt maken
a.
Kortste afstand tussen twee punten
b.
Maximaal product van getallen met een constante som
c.
Steinerpaden
d.
Open dozen
1. Inleiding
In deze loep passeren gekende en minder gekende voorbeelden van extremumproblemen de
revue.
Extremumproblemen
tekenschema
van
een
worden meestal
afgeleide
functie).
geassocieerd
Nochtans
met afgeleiden
zijn
er
meer
(nulpunten en
manieren
' aarop
extremumproblemen (optimalisatieproblemen) opgelost worden, met of zonder gebruik te
maken van technologische hulpmiddelen (zie la). De voorbeelden
die in deze loep worden
uitgewerkt zijn niet bedoeld om samen in één hoofdstuk en in één jaar te worden behandeld.
We reiken enkele mogelijkheden aan waar je uit kunt kiezen afhankelijk van de klas en de eigen
smaak.
9
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
a.
Verschillende oplossingsmethoden
Meetkundige manieren om te optimaliseren
•
Bij isoperimetrische problemen zoek je onder alle figuren van een bepaalde soort die een
vaste omtrek hebben, de figuur met de grootste oppervlakte. We geven hier enkele
voorbeelden van omdat we ze zo tof vinden.
Neem b.v. de rechthoeken met een vaste omtrek Ue krijgt een touwtje waarmee je een
rechthoek moet maken .. . ). Je kunt meetkundig ontdekken dat het vierkant de grootste
oppervlakte heeft. Vergelijk immers het vierkant met een willekeurig rechthoek die
dezelfde omtrek heeft (figuur hieronder). Het vierkant bestaat uit het witte, gemeen­
schappelijke gebied plus de stukken boven- en onderaan; de rechthoek uit het witte gebied
plus de stukken links en rechts. Omdat de omtrek dezelfde is, zijn die vier stukjes even
breed! Maar de stukjes boven- en onderaan zijn langer dan de stukjes links en rechts. Dus
is de oppervlakte van het vierkant groter.
Zo kun je ook aantonen dat van alle ruiten met een vaste omtrek, eveneens het vierkant de
grootste oppervlakte heeft. Wat moeilijker te bewijzen is het feit dat van alle vierhoeken
met een vaste omtrek het vierkant de grootste oppervlakte heeft (zie b.v. [4], p. I 07).
Algemener geldt: van alle n-hoeken met een vaste omtrek heeft de regelmatige n-hoek de
grootste oppervlakte. En van alle vlakke figuren met een vaste omtrek heeft de cirkel de
grootste oppervlakte.
De
bovenstaande eigenschappen kun
je gebruiken om
andere problemen i.v.m. maximale oppervlakten mee op te
lossen. Hoe kun je b.v. met een scherm bestaande uit twee
gelijke panelen,
in een hoek van de kamer een stuk
afgrenzen met een maximale oppervlakte? De oplossing is
dat je één vierde van een regelmatige achthoek moet maken
(figuur hiernaast) .. .
Een laatste voorbeeld van een isoperimetrisch probleem. Stel dat je vier stokjes krijgt van
verschillende lengtes en je moet hiermee de vierhoek met de grootste oppervlakte maketl.
De oplossing is .. . een koordenvierhoek! Beschouw immers een koordenvierhoek in een
houten schijf. Zaag de koordenvierhoek er uit zodat je vier houten cirkelsegmenten
overhoudt (figuur hieronder links).
Maak hiermee nu een nieuwe vierhoek met de
cirkelsegmenten aan de buitenkant (figuur hieronder rechts). Het maakt niet uit of je de
cirkelsegmenten in dezelfde volgorde tegen elkaar zet of in een andere volgorde. De totale
figuur (de cirkelsegmenten plus het binnengebied van de vierhoek) heeft een vaste omtrek
en heeft dus de grootste oppervlakte als het een cirkelschijf is. Maar de oppervlakte van de
10
onder de loep
(houten) cirkelsegmenten varieert niet. Dus heeft van alle vierhoeken die je met die vier
vaste zijden kunt maken, de koordenvierhoek de grootste oppervlakte.
•
•
Een tweede soort meetkundige oplossingen voor extremumproblemen maakt gebruik van
het feit dat de kortste weg tussen twee punten de rechte weg is, eventueel in combinatie
met transformaties. Een gekend voorbeeld hiervan is de kortste afstand tussen twee punten
A en B via een rechter waarbij A en Baan dezelfde kant van r liggen. Daar zijn allerlei
verhaaltjes bij in omloop zoals b.v. Michelleke op het strand die van punt A naar punt B
wil lopen en onderweg een emmertje met zeewater wil vullen. De oplossing wordt
gevonden door één van de twee punten te spiegelen ten opzichte van de rechte r. Hier
bestaan allerlei varianten van, gaande van bi Ij artproblemen tot het probleem van Fagnano.
We verwijzen naar paragraaf 6.a en ook naar [1 0] hoofdstuk 7.
Er zijn ook optimaliseringsproblemen die meetkundig op te lossen zijn door gebruik te
maken van omtreks- en middelpuntshoeken van cirkels. Hiervoor verwijzen we naar
paragraaf 2.
Optimaliseren door extreme
11
aarden te zoeken van eenfunctie
Ook dit kan op verschillende manieren gebeuren.
•
de grootheid die je wilt maximaliseren of minimaliseren
schrijf je als een functie van één veranderlijke, je zoekt de nulpunten van de afgeleide
functie en je controleert aan de hand van het tekenschema van de afgeleide functie of je
wel het gewenste extremum te pakken hebt. Dit is nodig niet alleen om een maximum van
een minimum of een buigpunt met horizontale buigraaklijn te onderscheiden maar ook
omdat de uiterste waarde wel eens op de rand van het domein kan worden bereikt.
Analytisch met pen en papier:
Deze analytische methode kan enkel toegepast worden wanneer de te optimaliseren
grootheid van één veranderlijke atl1angt en wanneer bovendien de afgeleide functie
nulpunten heeft die relatief gemakkelijk te bepalen zijn. Heel veel voorbeelden van
dergelijke problemen zijn in de handboeken van de derde graad verzameld.
•
Ano �} lisch met compuleralgebra:
b.v. met Derive de exacte nulpunten bepalen van de
afgeleide functie. Dit kan enkel als de software het aankan om de exacte nulpunten te
vinden. Bij de meeste concrete problemen is een numerieke oplossing even interessant als
een exacte. Soms kan een eenvoudige exacte oplossing echter in de richting wijzen van een
11
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
mooie meetkundige verklaring (zo van "tiens, het is juist
.J3;
zit daar iets meer achter?").
Een andere meerwaarde van het analytisch oplossen is dat je soms een hele klasse van
problemen ineens kunt aanpakken (een functie met een of meer parameters).
•
Grafisch-numeriek met een functievoorschrift: je bepaalt een functievoorschrift (van de
grootheid die een extreme waarde moet aannemen) en je leest af van de grafiek of de tabel
wanneer de functie maximaal is (of minimaal).
•
Grafisch-nwneriek maar zonder dat je een functievoorschrift bepaalt. De grafiek of de
tabel ontstaat b.v. aan de hand van een simulatie in Cabri. We verwijzen hiervoor naar
paragraaf 4.
De methode aan de hand van afgeleiden blijft uiteraard een prachtig toepassingsgebied dat
bijdraagt tot het motiveren van het afgeleidebegrip. Maar anderzijds is 'optimaliseren' een te
rijk thema om het volledig onder te brengen binnen de toepassingen van afgeleiden. Sommige
meetkundige extremumproblemen kunnen reeds in de tweede graad aan bod komen. Het
grafisch bepalen van extrema van functies kan ook al ter sprake komen bij de studie van
verschillende soorten functies zonder afgeleiden en integralen. Wanneer de methode met de
nulpunten van de afgeleide functie dan aan bod komt, gaan leerlingen vaststellen dat zij (in
gevallen die algebraïsch eenvoudig genoeg zijn)
zelf voor grafische rekenmachine kunnen
spelen, zelf met pen en papier kunnen uitvoeren wat zij al een aantal keer door het toestel
hebben zien doen. Dit heeft ook wel iets ...
Andere optimaliseringsmethoden
Er zijn ten slotte nog specifieke types van problemen die we in deze loep niet behandelen. We
denken hierbij aan
combinatorische optimalisatieproblemen en ook aan lineaire program­
mering. We beperken ons tot verschillende oplossingsmethoden van problemen die doorgaans
met afgeleiden worden aangepakt.
Een didactische lijn
Dit zou een didactische lijn kunnen zijn:
•
eenvoudige
optimaliseringsproblemen
met
meetkundige
en/of
grafisch-numerieke
technieken (tweede graad, begin derde graad);
•
analytisch oplossen van algebraïsch eenvoudige optimaliseringsproblemen (als toepassing
van afgeleiden);
•
aanpakken van complexere en/of meer open problemen waarbij de klemtoon komt te
liggen op het modelleren en het mathematiseren en waarbij wat de oplossingstechniek
betreft 'alles toegelaten is'. Verschillende (groepen van) leerlingen zullen misschien
verschillende methoden gebruiken die bij het samenbrengen elk een ander licht op het
probleem werpen ...
12
onderdeloep
b.
Voor- en naspel
Welke oplossingsmethode ook gebruikt wordt, het lijkt ons altijd goed om de leerlingen
)
ooraf
de context wat te laten verkennen.
•
Je kunt hen b.v. laten
voorspellen wat de oplossing zal zijn. Dit neemt weinig tijd in beslag
en het verhoogt de motivatie voor het oplossen van het probleem ("zal ik met mijn
voorspelling gelijk krijgen?").
•
Je kunt hen ook de randwaarden en het globale verloop vooraf laten inschatten. Neem b.v.
het superklassieke doosje zonder deksel vervaardigd door vierkante 'hoekjes ' met zijde
weg te knippen van een vierkant stuk karton met zijde 18 en dan te vouwen. "Voor
x=
x
0 is
het volume nul, voor kleine x hebben we een heel platte doos, voor grotere x wordt de doos
hoger maar het grondvlak wordt tegelijkertijd kleiner, voor
doos een flinterdun draadje en voor
x =
x
in de buurt van 9 wordt de
9 is alles weggeknipt zodat het volume weer nul
wordt."
•
Je kunt sommige problemen visualiseren met tastbaar materiaal (het bovenvermelde doosje
echt maken in de klas, de kortste weg tussen twee punten via een rechte (vermeld in l .a)
aan de hand van een elastiek laten zien ... ).
•
Bij wat ingewikkeldere problemen die je de leerlingen analytisch wilt laten oplossen, kan
het misschien de moeite lonen om het probleem vooraf grafisch-numeriek op te lossen, b.v.
met een simulatie in Cabri.
Ook
nadien, wanneer het probleem opgelost is, kun je de leerlingen aanmoedigen om even stil
te staan bij de gevonden oplossing.
•
Ze kunnen het resultaat interpreteren: "Hoe ziet een literblik met minimale oppervlakte er
bijgevolg uit?", "Was mijn voorspelling juist?", "Had ik het kunnen weten?".
•
Ze kunnen varianten of veralgemeningen voorstellen. Bij het klassieke probleem van de
goot met maximale debiet kunnen ze zich b.v. afvragen: "Wat als er nog meer 'knikken'
toegelaten zijn? Wat als de metaalplaat ook krom mag worden gemaakt?" Bij het klassieke
probleem van de redder en de drenkeling (er zo snel mogelijk bij geraken door een
combinatie van rennen en zwemmen): "Bij welke beginposities bestaat de oplossing uit
enkel zwemmen?'
Of bij het literblik met minimale oppervlakte: "Kunnen we ook
rekening houden met het afvalmateriaal, met het materiaal dat nodig is voor het
aaneenlassen?'
Niet elke voorgestelde veralgemening moet daarom terstond worden
opgelost. Sommige veralgemeningen zijn trouwens tot op vandaag niet opgelost! We
geven een voorbeeld.
Een tamelijk klassiek probleem is de vraag naar
de lengte van de langste ladder die horizontaal
door een gegeven L-vormige gang geraakt. Voor
de
hand
liggende veralgemeningen zijn hier:
verschillende
breedtes
nemen
voor
de
twee
stukken gang, een rechthoekige piano in plaats
van een ladder . . . Maar ga je nog een stap verder
�
2m
13
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
en wil je zoeken naar de vlakke figuur (een willekeurige 'sofa' met kromme randen) met
de grootste oppervlakte die door die bocht geraakt, dan stoot je op een nog niet opgelost
probleem. De sofa van Gerver (figuur hieronder) is hoogstwaarschijnlijk de oplossing. Er
is al aangetoond dat die erdoor geraakt en dat zijn oppervlakte de grootste is onder een
bepaalde klasse van vlakke figuren, maar het bewijs is nog niet geleverd dat het de grootste
vlakke figuur tout court is die erdoor geraakt. We venvijzen naar [11], hoofdstuk 7.
r
�
2. Meetkundige aanpak
Hoewel er ook andere extremumproblemen bestaan die zuiver meetkundig kunnen \Vorden
opgelost (zie b.v. l .a en 6), beperken we ons in deze paragraaf tot twee varianten van een
probleem over een grootste 'kijkhoek'. Het oplossen gebeurt aan de hand van omtreks- en
middelpuntshoeken van cirkelbogen,
een meetkundig
ondenverp
dat
(althans in het
Vrij
Onderwijs ASO) recent is verschoven van het derde naar het vierde jaar). Het zijn mooie
toepassingen van deze leerstof (voor leerlingen met vijf uur wiskunde) en bovendien erg
geschikt om aan de hand van Cabri aangepakt te worden. We gaan er hier van uit dat de
leerlingen zelf
aan
de computer met Cabri werken en dat ze daar al een beetje mee vertrouwd
zijn. Dit is geen sciencefiction: in steeds meer scholen werken de leerlingen vanaf het tweede of
het derde jaar af en toe met Cabri. We veronderstellen ook dat de lezer vertrouwd is met Cabri·
we
14
leggen niet 'knop per knop' uit hoe de figuren gemaakt worden.
onder de loep
a. Het standbeeld
In UW 7/4 kwam het volgende (klassieke) vraagstuk al aan bod. Hetzelfde vraagstuk vinden we
ook heel mooi beschreven in [7]. Het standbeeld is daar de kop van Karl Marx in Chemnitz
(Duitsland). Afmetingen van het standbeeld en de sokkel zijn daar niet gegeven. Het gaat
immers om een constructievraagstuk en niet om een rekenvraagstuk. De afmetingen in de versie
hieronder dienen enkel om het probleem in een eerste fase wat concreter in te kleden. Het meten
in Cabri gebeut1 in cm of mm, vandaar de vermelding van een schaal in de werktekst hieronder.
Toerist en standbeeld
Een (Japanse?) toerist met ooghoogte I m50 wil een 2m hoog standbeeld, dat op een
3m hoge sokkel staat, zo groot mogelijk op de foto krijgen. Hij wil m.a.w. het
standbeeld (sokkel niet inbegrepen) onder een maximale hoek zien. Hoe ver moet hij
gaan staan?
I.
Maak een Cabrifiguur van de situatie op schaal I: I 00. Standbeeld, sokkel en
toerist mag je gerust herleiden tot sobere lijnstukken. Noem A het onderste punt
van het standbeeld (of het bovenste punt van de sokkel), B het bovenste punt van
het standbeeld en P het oog van de toerist (of het fototoestel). Zorg ervoor dat je
de toerist kunt verplaatsen (b.v. door aan zijn voeten te trekken). Meet (in Cabri)
de afstand van de toerist tot het standbeeld en de hoek waaronder hij het
standbeeld ziet.
2.
Bepaal hiermee zo nauwkeurig mogelijk de oplossing van het probleem.
(De leerlingen maken een figuur zoals hieronder. Door eens aan A, B of P te
trekken kan de leerkracht nakijken of de rechte hoeken goed gemaakt zijn (met
de knop 'loodlijn' en niet door te
mikken'). De leerkracht kijkt ook na dat
O\ erbodige lijnen 'verborgen' worden
B
2.0
cm
�
A
3.0
cm
.5
8.7
cm
cm
Hieraan
trekken
Zij stellen vast dat de hoek maximaal is als de toerist ongeveer 2,3 m van het
standbeeld\ ent ijderd is. Gaat hij nog dichterbij staan, dan wordt de hoek weer
kleiner.)
IS
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
B
2.0 cm
A
3.0 cm
2.3 cm Hieraan
trekken
3.
Verander nu eens de hoogte van de toerist (Nederlander in plaats van Japanner?)
of van het standbeeld of de sokkel. Je stelt vast dat je telkens opnieuw moet
bepalen waar de grootste kijkhoek bereikt wordt. Dit komt omdat je de oplossing
bij benadering bepaald hebt voor één welbepaalde beginsituatie (door de toerist
te verslepen en te zien wanneer de hoek de grootste is). In de opgaven 4 tot 6
word je op weg gezet naar een exacte constructie die juist blijft als je de gegeven
hoogtes wijzigt!
4.
Teken de omgeschreven cirkel van de driehoek ABP. Bekijk de hoek
P
als een
omtrekshoek in deze cirkel. Teken ook de bijbehorende middelpuntshoek
M.
Wat is ook weer het verband tussen deze twee hoeken?
I
B
/
/
"
\
I
\
\
\
r
J
f//
/
"
3.0 cm
-
-
I
J
-,-
-
-
-
-
-
-___...
.5 cm
4.3 cm
5.
De hoek
P moet maximaal zijn. Mag je dan even goed zeggen dat M
maximaal moet zijn? Wat wil dat zeggen voor de straal van de cirkel?
(Die straal moet zo klein mogelijk zijn. Dit komt niet zomaar neer op 'zo dicht
mogelijk bij het standbeeld' want op de cirkel moet (minstens) een punt op
hoogte 1,5 m liggen. De kleinst mogelijke cirkel is de cirkel die raakt aan de
horizontale lijn op (oog) hoogte 1, 5 m.)
16
onder de loep
---
-,
M
I
I
2.3 cm
6.
Kun je hieruit afleiden hoe je de ideale' puntenMen P kunt
construeren, enkel
steunend op de gegevens? Schrijf op hoe je dat zou doen. Verberg dan alles wat
veranderlijk is (de toerist, de cirkel, de omtrekshoek en de middelpuntshoek) en
construeer
dat ideale punt
M. Steun niet op de afmetingen maar werk
meetkundig.
(Het punt Mmoet op de (horizontale) middelloodlijn van [AB} liggen. De straal
van de kleinste cirkel is de afstand tussen die middelloodlijn en de horizontale
lijn op ooghoogte 1,5 m. De leerlingen passen deze afstand af vanuit A en vinden
het ideale punt M Het gezochte punt P is dan de loodrechte projectie van Mop
de lijn op ooghoogte.)
:�1
20c
.
3.0cm
-
l
---
-
-
-
__________ _
---------- -
P!
d
7.
Bereken nu de exacte waarde van de afstanddtot het standbeeld.
(Vermits IA.M] gelijk moet zijn aan 2, 5 m (de afstand tussen de
stippellijnen), is de gevraagde afstand gelijk aan
d=
8.
�2 52- 1
m=
J21
2
m
�
ht
ee horizontale
2,2913 m.)
Je constructie blijft juist voor andere hoogtes van toeristen, sokkels en
standbeelden. Kijk dit na door de cirkel erbij te tekenen en de gegeven hoogtes
te laten variëren. De oplossing voor
d hangt natuurlijk af van de gegeven
hoogtes.
17
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
9.
Noem
a de hoogte van het punt A boven de ooghoogte en b de hoogte van het
de ooghoogte. Doe de berekening van opgave 7 over maar nu met
punt B boven
letters in plaats van getallen. Vereenvoudig je resultaat.
(Ze vinden:
In een klassikale nabespreking kan dit resultaat eventueel in verband worden gebracht met
andere begrippen die de leerlingen in de tweede graad hebben bestudeerd.
•
De afstand
d is het meetkundig gemiddelde (of: de middelevenredige) van a en b. Dit
d ook anders hadden kunnen construeren, door één van de
brengt met zich mee dat we
klassieke constructies van de middelevenredige te gebruiken. Anderzijds kunnen we de
hier
uitgevoerde
constructie
bekijken
als
een
alternatieve
constructie
van
een
middelevenredige...
•
d
2
=
ab is de macht van het punt van de sokkel op ooghoogte ten opzichte van de cirkel
door A en Brakend aan de ooghoogtelijn! Als we dit meteen hadden gezien, hadden we de
berekening uit opgave 9 niet moeten maken. Dat zijn zo van die dingen die je meestal
achteraf vaststelt. ..
b. Niet op het gras lopen
Deze opgave bouwt verder op de vorige. Het gaat weer om een kijkhoek die moet worden
gemaximaliseerd. In de vorige opgave stond het standbeeld verticaal en verplaatste de camera
van de toerist zich op een horizontale lijn. In de opgave hieronder beweegt het punt van waaruit
je kijkt niet meer loodrecht op het lijnstuk waarnaar je kijkt.
moeilijkheid vormen bij het
Dit zal een bijkomende
construeren van het punt met de maximale kijkhoek.
Niet op het gras lopen
Het 'Chäteau de La Chaize' in de streek van de Beaujolais (ten zuiden van de
Bourgogne, ten noorden van Lyon) is heel bekend voor zijn lekkere wijn. Het kasteel
is gebouwd in de 17de eeuw door François de La Chaize d' Aix, broer van de bekende
'Père La Chaize' (biechtvader van Louis XIV en naar wie het bekendste kerkhof van
Parijs is genoemd). De symmetrische Franse tuin is aangelegd door Len6tre, die ook
tekende voor de tuinen van het kasteel van Versailles.
18
onder de loep
In deze opgave veronderstellen we dat je het kasteel onder een zo groot mogelijke
hoek wilt zien, maar dat om een of andere reden de centrale paden naar het kasteel
ontoegankelijk zijn (of dat je niet kiest voor zo
n
symmetrische foto ... ). Je zoekt dus
de grootst mogelijke hoek vanuit een punt van één van de twee schuine paden, b.v.
het rechtse schuine pad.
1.
Je
krijgt
een
Cabrifiguur
van
het
bovenaanzicht
van
deze
tuin,
lichtjes
vereenvoudigd (de paden zijn b.v. lijnstukken geworden en zijn hun breedte
kwijt ... ). Teken een punt P op het pad [RSJ, verbind P met A en metBen meet
de hoek APB . Verplaats P en zoek op die manier vanuit welk punt P je het
kasteel onder de grootste hoek ziet.
(Dit is de CabrUiguur die de leerlingen krijgen en die te vinden is op de website
van Uitwiskeling.
A .,....
....,. B
,.......
..
_____
.,
_____
s
En zo vinden ze het gevraagde punt P met de maximale kijkhoek.)
----
19
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
Net als in de opgave van het standbeeld, is dit ideale punt P op deze manier niet
geconstrueerd. Je kunt de Cabrifiguur wijzigen door aan de 'dikke' (rode) punten te
trekken; we moeten het punt P zo construeren dat het dan nog juist bi ij ft.
2.
Vat de kijkhoek weer op als een omtrekshoek in een cirkel. Teken die cirkel
erbij. Opdat de kijkhoek maximaal moet zijn moet de cirkel aan de volgende
voorwaarden voldoen:
•
de cirkel moet door het punt A gaan;
•
het middelpunt M moet op de middelloodlijn m van [AB] liggen;
•
de cirkel moet raken aan RS.
Leg uit waarom.
1m
I
YM
:
A�----------���----------� 8
0
3.
Kijk eens terug naar de opgave van het standbeeld. Ook daar moest een cirkel
geconstrueerd worden die voldoet aan drie gelijkaardige voorwaarden. Wat
maakt dat je hier niet zomaar de constructie van die opgave kunt ovememen?
(De rechte RS waar de cirkel aan moet raken, is nu niet meer evenwijdig met de
rechte 11 aar het middelpunt van de cirkel op moet liggen.)
20
onder de loep
4.
Verwijder nu het punt P zodat je weer de gegeven figuur krijgt. Laat nu de eerste
voorwaarde weg. Anders gezegd: construeer een cirkel die voldoet aan de
tweede en de derde voorwaarde. Door die cirkel dan te laten variëren (zonder de
gegeven figuur te veranderen), ga je misschien een verband zien tussen alle
cirkels die voldoen aan de twee voorwaarden die je hebt overgehouden. Dit kan
je op een idee brengen om de cirkel te construeren die aan alle drie de
voorwaarden voldoet.
(De leerlingen construeren een cirkel met middelpunt op de middelloodlijn van
[AB] en rakend aan RS: een punt Pop RS kiezen; de loodlijn in Pop RS snijdt m
in M; de cirkel met middelpunt M door Ptekenen.
l
I
m
Nu kunnen ze ervoor zorgen dat de cirkel een spoor achterlaat en aan P
trekken.)
---
--
21
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
(De leerlingen zien dat al deze cirkels beelden zijn van een cirkel door
homolhelieën mei als centrum het snijpunt T van RS en m. Hiermee kan de cirkel
die aan de drie voorwaarden voldoet, 1-11orden geconstrueerd. Merk op dal er
maar één oplossing is omdat [RS} niet 'doorloopt'.
Merk op: het probleem kan ook 1-1 orden opgelost door in plaats van de eerste, de
tweede of de derde voorwaarde tijdelijk weg te laten. Voor leerlingen van het
vierde jaar ·wordt hel dan echter Ie moeilijk. Dit hoet
f jou, lezer daarom nog niet
te weerhouden om het eens te proberen. Een tipje van de sluier: laat je de
tweede voorwaarde weg, dan ga je het punt M,nw: vinden als snijpunt van een
parabool en een rechte. Laat je de derde voorwaarde weg, dan kun je best
gebruik maken \an de macht van een punt ten opzichte van een cirkel en van een
constructie \oor een middelevenredige .. .)
3. Met het voorschrift van een functie
In het vierde
jaar
bij
de tweedegraadsfuncties
en vooral
in de derde graad worden
extremumproblemen opgelost aan de hand van functies van één reële veranderlijke.
De
aanwezigheid
de
van
grafische rekenmachines op
de
banken
van de leerlingen
biedt
mogelijkheid om afl1ankelijk van de complexiteit van het probleem te kiezen tussen het grafisch
en het analytisch bepalen van een oplossing, of het combineren van beide werkwijzen. Wat je
doet en wat je laat, kun je laten afuangen van het niveau van de klas.
22
onder de loep
a. Het standbeeld bis
In de derde graad kan het probleem van het standbeeld (paragraaf 2.a) hernomen worden als
toepassing op de cyclometrische functies en hun afgeleiden.
B
2m
A
Jm
xm
Je geeft indien nodig aan de leerlingen de tip dat de kijkhoek
<p = APB het verschil is van twee
hoeken in rechthoekige driehoeken. Dit geeft dan:
35
1,5
x
x
<p = bgtan- - bgtan- .
Met een grafische rekenmachine kunnen de leerlingen dan de afstand vinden waarop de toerist
het standbeeld onder de grootste hoek ziet.
)(
Ze vinden (net zoals in 2.a gelukkig maar) dat de grootste kijkhoek bereikt wordt op 2 2913 m
van het standbeeld. De maximale hoek is 0,4115 rad of 23°34 41 ".
In 2. a werd het probleem ook veralgemeend: als de hoogte van punt A boven de kijkhoogte
en de hoogte van
a
is
B boven de kijkhoogte b dan bleek de grootste kijkhoek bereikt te worden op
afstand x= �.Om dit terug te vinden met de functie
b
a
q:> (x) = bgtan- - bgtanx
x
moeten de leerlingen een beroep doen op de afgeleide functie.
<p'(x) = 0
----- 23
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
-- (·
1
+
b ) _
-
b2
_ _
x2
x2
-1
+
b
--x2
+ b2
+
a2
_ _
x2
a
x2
+
a2
·
(-
=0
a
)
-
x2
=
O
.
Of, na vereenvoudiging
x= Jai)
hetzelfde resultaat als in 2.a.
b. Een vierkant min een stuk cirkel
Als t\\ eede voorbeeld nemen we een vraagstukje dat we vonden op de applet
http://www.ies.co.jp/math/java!calc/bib_square/bib_square.html.
Een vierkant min een stuk cirkel
Op de figuur is een kwartcirkel met straal
IOAI = IOBI
=
1
getekend en een vierkant PQRS met P op de kwartcirkel en
Q
en
R op
OA.
Het
stuk van
het vierkant buiten de
kwartcirkel is grijs gekleurd (groen in de applet). Het punt P
kan variëren op de kwartcirkel.
1.
Bepaal
de oppervlakte van het gnJze gebied als P
samenvalt
AOP
=
�
met
B.
En
als
AOP
=
�
rad.
En
-----=-0-�"-----__J�
als
rad. En als P samenvalt met A. (Tip: werk met som en verschil van
oppervlakten die eenvoudig te berekenen zijn.)
2.
Gebruik de applet
http :1/ww\Y. ies.co.jp/math/java/calc/bib_square/bib_ square .htn1l.
Eerst kun je ge\ oon P bewegen en zien hoe het groene gebied verandert. Druk
je op 'nexf, dan krijg je telkens de 'differentie' van de groene oppervlakte te
zien. Kun je hiennee bij benadering bepalen \Vaar P moet liggen opdat de groene
oppervlakte ma-ximaal zou zijn? Leg kort uit.
(Daar waar er evenveel oppervlakte bijkomt· als 'weggaat· .. . )
24
onderdeloep
t=
57 deg.
Llt=
10 deg.
Press
[Next] butto
l:� m�1I�l
�J:�;�fi·{:l � � �{�F[[:�I
-trtftt�
••••
••••
:-:-:-:-. -:·:·:-:-:-:.:
(c> 1001-aooo !Es
Press [<]
r [>] button to
observe Ll
co nee rned w i th Ll t
Express an approximat ion of
wit h t , si t and cos t .
3.
�tS
Schrijf de oppervlakte G van het grijze gebied als een functie van de hoek t
AOP (uitgedrukt in radialen). (Tip: zelfde werkv ijze als in opgave
1
=
maar nu
1net een 'variabele hoek.)
(Antwoord:
+
G
4.
=
- 2
Sin
t
1
+
I
)
- sm. I cos t - -1r
2
Bereken met de afgeleide voor welke
2tr
I de oppervlakte
G maximaal is.
(Een mogelijke oplossing:
dG
dt
=
0
1
1
1 · 2
.
2 sin t cos 1 + - cos2 t - - sm t - 2
2
2
2 sin t cos t- sin2 t
sin t
(2 cos t - sin t)
=
2
�
0
0
=
0
Vermits sin t duidelijk niet nul moet zijn, geet
f dit: tan t
bgtan
=
2. De hoek t moet dus
1,1 071 rad zijn. Een tekenschema lijkt ons hier overbodig: de
=
----- 25
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
leerlingen hebben het probleem genoeg op voorhand verkend om te weten dat er
in de eerste kvvadrant een maximum wordt bereikt.)
In een sterke
\
iskundeklas kan nu meetkundig verklaard worden waarom de oppervlakte van
het grijze (groene) stuk maximaal moet zijn bij
t
=
bgtan 2. We verwachten niet dat de
leerlingen dit zelf vinden maar het bereidt v·.rel goed voor op een
infinitesimale
manier van
denken die onder meer in de fysica vaak terugkomt.
B
0
A
Q
In vraag 2 van paragraaf 3b hebben de leerlingen ontdekt dat de oppervlakte maximaal is daar
waar er evenveel oppervlakte bijkomt' als 'weggaat'. Stel dat
P
van A naar B beweegt, dan zien
we rechts de oppervlakte die weggaat en bovenaan de oppervlakte die erbij komt. Bij
benaderingen
(!1t
piepklein ... ) zijn de weggaande en bijkomende stukken rechthoeken met als
lengte de zijde van het vierkant (op dat moment). De (piepkleine) breedtes moeten dus gelijk
zijn. De breedte van de toenamerechthoek bovenaan is de aangroei van de zijde van het
vierkant. Deze aangroei is (we kijken nu in de horizontale richting) gelijk aan
IUPd
min de
breedte van de afnamerechthoek rechts. Dus als er evenveel moet bijkomen als weggaan, moet
IUPd
gelijk zijn aan twee keer
IUP2I-
Maar voor
11t
piepklein is
P1P2
bij benadering de raaklijn
en dus loodrecht op OP1 (of OP2 wat bij benadering hetzelfde is). Dus is de driehoek OP1Q (bij
benadering) gelijkvormig met
P2P1 U (HH)
waaruit volgt dat tan
t
=
2.
4. Grafisch-numeriek zonder voorschrift
Extremumproblemen die best grafisch en/of numeriek opgelost worden liggen vaak in een ander
toepassingsgebied dan de klassieke extremumproblemen. Voorlopig kun je ze niet zomaar
plukken uit de handboeken van ons secundair onderwijs. We leenden het probleem van de
droogmolen van onze noorderburen (zie [12]). Voor de behandeling van dit probleem hoef je
26
onder de loep
niet te wachten tot het hoofdstuk van afgeleiden in het vijfde jaar. Het hoort eerder thuis in het
vierde jaar als verlengstuk van het onderdeel ruimtemcctkunde. Op deze manier worden
extrcmumproblemen losgemaakt van hun vaste plaats in de opleiding en komen ze
spiraalsgewijs terug in verschillende jaren en op erschiliende niveaus. Het niet uitgewerkte
vraagstuk van het drinkrietje in het kopje komt van onze oostcrburen (zie l8 J). Het kan gekaderd
worden in de driehoeksmeting van de tweede graad.
a. De droogparasol
Als je een droogmolen opent merk je dat de uiteinden van de takken ooraleer ze omhoog gaan
eerst eventjes dalen. Baseer je op de droogparasol die hieronder afgebeeld is en bepaal de
minimale hoogte van de uiteinden van de droogarmen.
1
m
20
36�/·
1
m
80
Dit probleem vraagt enkele bijkomende aardigheden ten opzichte van het probleem met het
vierkant. De leerlingen moeten vooraf de driedimensionale bC\\ cging van een reëel
gebruiksvoorwerp omzetten in een vlak schema. Ze krijgen in de klas dus geen tekening, plan of
beschrijving voorgeschoteld maar wel een echte droogmolen. Ik vond er zelf eentje met een
stam [AC] van 1 80 m. vier droogam1en [BE] van 1.20 m. vier bo enste steunstangen [CD] van
24 cm en vier onderste steunstangen l BD] an 36 cm. Verder zijn er geen numerieke gegevens
te vermelden. Om een goede anal) se van de situatie te maken mogen de leerlingen de
droogparaplu nog enkele keren open en dicht schuiven. Zo zien ze op \Yclke manier de huls B
over de drager lAC] glijdt en hoc de schamierende annen lBEJ en I BFI bc\Yegen. Ze merken zo
ook door welke beperkingen de hoogste en de laagste positie van de huls bepaald worden.
Tenslotte zal het hen ook duidelijk zijn dat een dwarsdoorsnede van het metalen geraamte met
twee takken alle informatie draagt van het hele gebruiks oonYerp.
-------
27
Uitwiskeling
17/3 (mei 2001)
E
E
E
F
c
F
D
gegevens
D
B
B
afstand AC is
B
6
afstand CD is 0.8
afstand BD is 1.2
afstand BE is 4.0
afstand DE is 2.8
A
A
A
Leerlingen die gewoon zijn metCabri te werken zullen de simulatie van de droogmolen nu vlug
en behendig kunnen maken. Anderen moeten wellicht de volgende aanwijzingen krijgen.
I.
2.
Welke schaalfactor lijkt je geschikt?
(1/30
is 1oldoende klein)
Hoe bereken je de minimale hoogte van de huls B? (Zie tekening links. Je neemt
de lengte van de stam min de som van de lengten van de 111 ee stezmstangen:
6
3.
-
0,8
- I ,2
=
4)
Hoe bereken je de maximale hoogte van de huls? (Zie tekening rechts. In de
uiterste stand maken de stam en de bo1enste steunarm een rechte hoek. We
passen de stelling 1an Pythagoras toe: 6-
�I 22 -0 82
=
5 1055.. )
.
Verder moet nog duidelijk gemaakt worden dat de constructie moet starten met het vastleggen
van de vier getalgegevens (op schaal: 6·
2 en 4) in getallenvelden. Heel de tekening moet
opgebouwd worden vanuit deze gegevens. Zo mag je de getallen 4 en 5, I 055 . .. niet gewoon
0,8;
I
neerschrijven op het constructieblad ze moeten werkelijk berekend worden met de Cabri­
rekenmachine vanuit de begingegevens. Op deze manier zal de hele constructie zich aanpassen
wanneer je later de begingetallen wijzigt. Daarna teken je de verticale stam met een hoogte die
je overbrengt vanuit het getalgege en 6. Op deze stam komt een lijnstukje
anaf hoogte 4 tot
hoogte 5, I 055 ... . Hierop plaats je het verschuifbare punt B. De rest volgt vanzelf . . .
Niet-ingewijden bestempelen deze activiteit misschien als bezigheidstherapie. Ten onrechte.
Voor elke stap van de constructie van de droogmolen wordt een of andere wiskundige
vaardigheid gevraagd. Wil je bijvoorbeeld het punt D in de stangenconstructie vastleggen dan
moet je beseffen waarom een driehoek helemaal bepaald is door de lengten van de drie zijden.
Wil je alle posities van de punten Een F bepalen bij
ariërende posities
an het punt B dan
moet je beseffen dat je een meetkundige plaats zoekt. Na het toevoegen van de meetkundige
plaats en enkele bijkomende lengtematen ziet deCabrifiguur er als volgt uit:
28
onderdeloep
E
F
c
gegevens
7.888
4.510
cm
afstand AC is
6
afstand CD is
0.8
afstand BD is
1.2
afstand BE is
4.0
afstand DE is
2.800
cm
A
Net zoals in vorige oefening kunnen de leerlingen nu in een vooropgestelde benadering
uitzoeken welke de minimale hoogte is van de puntenE en F. Bij de bovenstaande droogmolen
wordt dit minimum bepaald door een hulshoogte van I meter 37 (4 551 x30 cm). Bij het
openschuiven van de paraplu zou je normaliter een kleine weerstand moeten ondervinden
wanneer de huls deze kritieke hoogte passeert en de puntenE en Fopnieuw beginnen te stijgen.
Zou je die in praktijk ook kunnen waarnemen?
.·
;
·. :
.
.. :. � . :: :" ·. .
·.
<: .
tN ZONDt;R
Vo::>Q5CHQ.J�T?
;I
----
29
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
Ten slotte kunnen we ons afvragen of de paraplu niet zo kan worden gecon tnteerd dat er geen
minimum is. Dit kan in de klas bijvoorbeeld uitgewerkt worden aan de hand
an de volgende
vragen.
1.
Onderzoek eens wat er gebeurt met de meetkundige plaats indien je de armen
van de paraplu verkort.
2.
Kun je ervoor zorgen dat de meetkundige plaats geen minimum meer heeft?
3.
Waarom zouden droogparaplu's niet zo gemaakt \ orden?
4.
Je kunt het minimum ook weg\ erken door de lengte van de steunstangen [CD]
en [BD] te wijzigen. Probeer dit ook eens.
5.
Welk nadeel heeft deze ingreep op de goede werking van de droogmolen?
Met deze laatste bedenkingen is de link gelegd naar de
algende paragraaf. Het uitzoeken van
invloeden van de begingege ens van een bepaald probleem op de eindresultaten is een
noodzakelijk onderdeel van het modelleren. Ook dit aspect verdient de nodige aandacht binnen
het wiskunde-onderwijs.
b. Het drinkrietje in het bolvormige kopje
Een glimmend, geglazuurd kopje heeft de vorm van een halve bol met een diameter van 1 2 cm.
Wanneer we een rietje van 15 cm meermaals in het kopje laten vallen, merken we dat het
telkens in dezelfde stand zal terugschui en, tenminste indien de binnenkant van het kopje glad
genoeg is. De hellingshoek y van het rietje (ten opzichte van de horizontale) zal in deze
evenwichtspositie niet al te klein of al te groot zijn. Bij een gematigde hellingshoek zal het
zwaartepunt van het rietje immers dieper liggen. Teken de hele situatie in Cabri en ga na welke
hellingshoek y aanleiding geeft tot een zo groot mogelijke zwaartpuntsdiepte) ten opzichte van
de rand van het kopje. Teken ook de meetkundige plaats van de zwaartepunten bij alle
mogelijke standen van het rietje.
y
zwaartepunt
-----
>
<-----beweeg dit punt
30
onder de loep
De snelste manier om deze vraag op te lossen is uiteraard die zonder functievoorschriften: je
meet de waarde van y gewoon op de dynamische tekening. Bij wijze van alternatief kan je de
waarde van y ook berekenen met een formule die door de leerlingen zelfwordt opgesteld:
y
=
(12 cos r- 7,5). sin r.
5. Modelleren
Het uitdenken van wiskundige modellen is een activiteit die vaak stiefmoederlijk behandeld
wordt in de wiskundeles. Het is immers duidelijk dat er méér problemen behandeld kunnen
worden wanneer de problemen op voorhand in een doeltreffend model gegoten zijn. Nochtans is
het leren opstellen en evalueren van modellen een zinvolle bezigheid waarvoor heel wat
probleemoplossende vaardigheden vereist zijn. In welke mate en opwelke manier beïnvloeden
de gegevens van een probleem het eindresultaat? Kunnen we de resultaten van het onderzoek
aan de realiteit toetsen? Welke uitbreidingen of toepassingen zijn er te verzinnen bij een bepaald
modelleerprobleem? Heeft de keuze van de variabele impact op de structuur van het model?
Welke gegevens moeten er in rekening gebrachtworden opdat het model realistisch genoeg zou
zijn en opdat het model nog manipuleerbaar zou zijn? ... Indien de leerkracht opteeti voor zulk
een grondige aanpak dan moet hij er zich wel mee kunnen verzoenen dat één oefening ruim een
uur in beslag kan nemen.
In deze paragraaf werken we twee modelleerproblemen uit: het probleem van de I'Hopital (zie
[13]) en het fileprobleem (zie [6] en [1]). Aangezien deze problemen in verschillende
moeilijkheidsgraden kunnen worden uitgediept kunnen we ze aanbevelen voor diverse
richtingen van het vijfde jaar.
a. Het probleem van de I' Höpital
In deze deelparagraaf behandelen we een proefopstelling uitgedacht door Guillaume François
Antoine Marquis de I'Hopital (1661-1704) en gepubliceerd in het boek Analyse des intiniment
petits' (1696).
Spijker t11 ee krammen bm enaan in een deur/ijst, 90 cm uit elkaar. Aan de linkerkram A hang je
een touwtje eindigend op een ringetje. De totale lengte
1
an het touwtje met de ring is 15 cm.
Aan de rechterkram B hang je een tow1 tje dat langer is dan 1 meter. Je trekt het tweede /uu-..t•
door het ringetje en \ erZlvaart het onderaan met een schietlood. Wanneer je het geheel laat
bengelen, merk je dat de e\ enH ichtsstand uiteraard niet symmetrisch is. Wat kan je aan de
proefopstelling \ eranderen opdat het schietlood toch midden tussen de t11 ee deurstijlen zou
blij\ en bengelen?
----
31
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
Het
minilnalisatieprobleem
had
in
de
zeventiende
eeu\\
al
een omslachtige meetkundig
oplossing (van Descartes en Fcn11at) die steunde op trucmatig geconstrueerde gelijkvom1Îgc
driehoeken in combinatie met algebraïsch rekenwerk. Marquis de I 'Hopital publiceerde dit
probleem als reclamecampagne voor de nog niet algemeen aanvaarde differentiaalrekening zich
afzettend
tegen
de
onhandige gangbare meetkundige
extremumtcchniekcn. Wanneer beide
methoden nuchter tegen elkaar zouden worden afgewogen blijkt de balans hier duidelijk over te
slaan in het voordeel van de differentiaalrekening. Ironisch genoeg zouden de argumenten van
de I Hopital in dit millennium weer kunnen omgebogen worden ten voordele van het grafisch­
numeriek oplossen van extremumproblemen.
A
B
c
D
De belangrijkste fase in het modelleren is de discussie met welke invloeden er rekening moet
worden gehouden om de even\Yichtsstand te bepalen. Leerlingen die sterk f) sisch onderlegd zijn
kunnen hier niet altijd voordeel uit halen. Misschien fixeren deze leerlingen zich te veel op de
trekspanningen
in
de
afzonderlijke draden,
misschien
willen
ze kost \\at kost krachten
ontbinden in verticale en horizontale componenten, misschien willen ze zich behelpen met de
wetenschap dat de som van alle krachten in\\ erkend op een voorwerp in mst nul moet zijn ...
Dit is niet de kern van de oplossing. Door onderdelen van de opgave weg te denken komen de
leerlingen misschien wél tot de essentie. Wat is de even\\ ichtsstand van een doodge'' oon
hangend touw
verzwaard door een schietlood? Wat is de evem\ ichtsstand van een niet
.
verzwaard tOU\\ opgehangen aan t\ ee spijkers? Wat is de evenwichtsstand van een schommel
een hangbrug
een springende valschermspringer, een slee op een helling . .. Precies, in ons
vertrou\\de zwaartekrachtveld streeft elk object naar een positie met een zo laag mogelijk
globaal zwaartepunt. Dit \Yas ook zo bij het rietje in paragraaf 4b. En deze positie zoeken wc nu.
Bij het modelleren is het duidelijk dat niet alle meetbare invloeden hocven meegerekend te
worden. Je vraagt de leerlingen bijgevolg welke onderdelen een rol spelen bij het berekenen van
het globale z\\a
' artepunt. Hopelijk vinden ze dat het gewicht van de touwen en het ringetje
verwaarloosbaar zijn. Het ge\Yicht van de deurkader is vrij groot maar speelt helemaal geen rol
32
onderdeloep
bij dit probleem. We fixeren ons dus enkel op het zwaartepunt van het loodje. Opmerkzame
leerlingen zullen er dadelijk de aandacht op vestigen dat ook het gewicht van het loodje
irrelevant is. Alleen de positie van het schietlood telt. Op deze manier kan de klas in een
leergesprek ontdekken dat het bouwen van een mechanisch model in deze situatie vervangen
kan worden door het bouwen van een meetkundig model.
Na deze klassikale overwegingen kunnen leerlingen die dit verkiezen aan de slag met Cabri.
Indien ze werken op schaal 1/15
nemen ze voor de lengte van het touw met het ringetje de
eenheid 1. De afstand tussen de punten
A
en B is dan gelijk aan
6.
De lengte van het touw met
het schietlood kan gelijk aan 8 gesteld worden.
E.\
A
I\ "}_
I "-_ -- c
d
----
B
lengte touwtje met ring
:
lengte touwtje met schietlood
cm
8
cm
lengte verticale touw :
2.6304
cm
variabele
0.6806
cm
3.3630
cm
x :
diepte schietlood D :
D
:
1
d
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0.783
0.7783
0. 7735
0.7687
0.7639
0.7590
0.7541
0.7491
0.7441
0.7390
0.7339
3.368
3.3686
3.3690
3.3694
3.3696
3.3698
3.3699
3.3699
3.3699
3.3697
3.3695
-
Bij het aanmaken van een tabel moet eerst beslist worden welke variabelen tegen elkaar uitgezet
zullen \\Orden. Voor de eerste variabele is er keuze tussen de lengte van het lijnstuk
[AE]
of de
EAC
(zie tekening). Voor de tweede variabele kunnen \ e kiezen tussen de lengte
van het lijnstuk
of de hoogte van het punt D boven de grond. Beide keuzen zijn goed.
draaihoek
rED]
Indien de leerlingen de na u\\ keurigheid instellen op 4 decimale cijfers lezen ze in de aan de
tekening gekoppelde tabel af dat het schietlood zo laag mogelijk hangt bij een x-waarde (lengte
van lijnstuk
[AE])
gelijk aan ongeveer 0 75. Weer omgerekend naar reële afmetingen is dit een
afstand van 11)5 cm. Jan van Maanen voerde de proef van de 1 Höpital uit in een zesde jaar
vwo in het Christelijk G) mnasium Utrecht. Aan zijn verslag (zie
[6])
voegde hij een detailfoto
toe van de proefopstelling. De gemeten x-waarde ' as ongeveer gelijk aan 11 7 cm. Volgens de
verslaggever kunnen er nau\\ keurigere resultaten geboekt worden door het ringetje te vervangen
door een lichtge\Yicht katrol.
Het is niet de bedoeling om de leerlingen bij het uitwerken van een model al te veel te
beïnvloeden of bepaalde strategieën aan te prijzen. Voelen de leerlingen zich meer aangetrokken
-------
33
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
door een oplossing via functievoorschriften dan mag deze vrijheid niet beknot worden. Ook
deze oplossingsstrategie werkt uitstekend. Tweemaal de stelling van Pythagoras toepassen
levert de volgende gelijkheid op:
d
=
J1- x2- J37-12x + 8
De afgeleide functie wordt gelijkgesteld aan nul:
-x
�
--===- +
6
J37-12x
=
0
Wegwerken van de noemers en kwadratering geeft een derdegraadsvergelijking:
12x3 -73x2 + 36 0
<=>(x- 6)(3x + 2)(4x- 3)
=
De nulpunten
6 en - 3_
3
=
0
zijn niet erg acceptabel, de waarde van x is immers fysisch beperkt tot
het interval [0, 1]. Het nulpunt
2_ is precies het gezochte nulpunt.
4
Eenmaal het extremumprobleem opgelost is voor een vaste lengte van het touw met de ring kan
deze beginwaarde veranderd worden. We noemen deze lengte a. Voorspellen wat er gebeurt met
de evenwichtsstand van het gewichtje indien de waarde van a stijgt, is niet eenvoudig. Zelf
dacht ik dat het schietloodje steeds centraal tussen de deurstijlen zou blijven hangen vanaf het
moment dat a een bepaalde kritieke waarde zou overschrijden, een overweging die ik meteen
moest intrekken toen ik met het Cabribestand begon te spelen. Hoe groter de waarde van a zo
blijkt, hoe meer de evenwiehtsstand van het schietlood naar rechts opschuift ... tot de grens van
de rechterdeurstijl bereikt wordt. Dit is de uiterste stand. Bovendien blijkt dat bij een waarde
voor a van ongeveer 3 5 de evenwichtscanfiguratie symmetrisch is. Wie echt zeker wil zijn van
deze uitspraak moet analytisch te werk gaan. In het algemene geval is de formule voor de diepte
van het schietlood:
d
=
�a2- x2-�c/- + 36- 12x + 8
Ook ditmaal wordt de afgeleide functie gelijk gesteld aan nul :
Wegwerken van de noemers en kwadratering geeft de volgende derdegraads ergelijking :
I
34
1
2x- -( 72 + tr1) x-1 + 3 6a -1
=
0
onder de loep
Eén van de oplossingen voor
x
moet het getal 3 zijn, de helft van de deurbreedte op schaal.
Hieruit volgt dat de gevraagde waarde voor
a
gelijk is aan
J12,
net iets minder dan de
voorspelde waarde 3 5.
Is het meetkundige model nu helemaal uitgebeend? Voor onze discipelen waarschijnlijk wel.
Voor ons leerkrachten blijft er steeds nog een brokje over om te herkauwen. Wanneer we de
hoeken berekenen tussen de drie touwen in het punt C voor
a
gelijk aan
J12
en
x
gelijk aan 3
dan vinden we driemaal 120°. Is dit toeval? Is hier een meetkundige verklaring voor? Is er een
verband met het zeepvliezenmodel? We laten het zoeken naar het antwoord op al deze vragen
over aan de lezers.
b. Het fileprobleem
Het fileprobleem is veelvuldig in wiskundehandboeken terug te vinden, meestal zonder
motivatie voor de gebruikte modellering. Via het vergelijken van modellen wint het probleem
echter aan aantrekkings- en overtuigingskracht. Deze en andere bedenkingen stimuleerden ons
bij het opstellen van twee werkteksten voor de berekening van de richtsnelheid van een
snelwegfile waarbij het de bedoeling is de wagendoorstroming te maximaliseren. De enige
beïnvloedende factoren waarmee de leerlingen in deze context rekening moeten houden zijn: de
gemiddelde wagenlengte, de remafstand van de voertuigen en de reactiesnelheid van de
bestuurders. Voor de eerste factor kunnen enkele leerlingen op voorhand een klassentabel
opstellen voor de lengte van de voertuigen op de schoolparkeerplaats. Voor de andere factoren
kan bij het
Belgisch instituut voor verkeersveiligheid' een informatieve folder aangevraagd
worden (zie[7]).
Het fileprobleem: model 1
Hoe snel moet een fi Ie (zonder vrachtvervoer) op weg naar de kust zich voortbewegen
opdat het wagendebiet D (het aantal wagens per minuut) zo groot mogelijk zou zijn?
Als je geen rekening houdt met de afstand tussen de wagens zou je denken: "zo snel
mogelijk'. Maar bij een hogere snelheid moet elke bestuurder een grotere afstand tot
zijn voorligger laten. De auto's rijden dan wel sneller maar ze hebben meer plaats
nodig. Om het fileprobleem op te lossen, moeten we eerst weten hoe groot de afstand
s
is tussen de voorbumpers van twee opeenvolgende wagens in de file. Deze
tussenruimte
s
tussenruimte
s2.
1.
wordt opgesplitst in de gemiddelde wagenlengte
en de veilige
Stel een klassentabel op met de lengten van de voertuigen (personenwagens,
bestelwagens
lengte
s1
bussen ...) op de schoolparkeerplaats. Bereken de gemiddelde
(in meter op 1/10 nauwkeurig).
(mogelijk antwoord:
2.
s1
In 'Uit
s1
=
4,5)
vonden we de volgende gegevens voor de remafstanden van twee
wagens op een droog wegdek.
-------
35
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
Testdata
3.
Testdata
UIT-test: 7/91
UIT-test: 6/91
Merk: Rover
Merk: MAZDA
Model: 414 Gsi
Model:121 1300
Kilometerstand: 8508
Kilometerstand: 6566
Datum: 15/05/91
Datum: 08/04/91
LX
Weer: wisselvallig
Weer: wisselvallig, winderig
Temperatuur 11 oe
Temperatuur 14°C
Wegdek: droog
Wegdek: droog
Remmen
Remmen
90-0 km/h : 36.1 m
90-0 km/h : 38.7 m
120-0 km/h : 72.2 m
120-0 km/h : 72.3 m
Rijscholen leren vaak de volgende vuistregel voor het schatten van de remweg
(in m): neem je snelheid (in km/u) en deel die door twee. De leerling-bestuurders
gebruiken dus het model s2=kv waarbij k= 0 5. Wijkt deze regel erg af van de
testwaarden uit 'Uit'?
(Bij de testwaarden variëren de waarden voor k tussen 0 4 en 0,6. Gezien de
grote afwijkingen ten opzichte \ an het getal 0,5 mogen we stellen dat het
rijschoolmodel vrij ondoeltref
f end is.)
4.
Hoe groot is de tussenafstand s (in m) in functie van de snelheid v (in km/u)?
(s= 4,5 + 0,5·1)
5.
Hoe groot is de tussentijd t (in min) die opgemeten wordt tussen het passeren
van twee opeenvolgende wagens over een denkbeeldige dwarslijn op de weg.
( t=
6.
4,5 + 0,5 V)
·
] 6 6 ·)
Ga na hoe groot het wagendebiet D (aantal wagens per minuut) is voor t= 0 05
(min). Hoe omschrijf je algemeen het verband tussen Den 1?
(Voor t = 0,05 is D= 20. In het algemene geval kunnen we stellen dat 1 en D
omgekeerd e1 enredig zijn: I'D= 1.)
7.
Stel een formule op voor D(v) waarbij v wordt uitgedrukt in km/u en D in
wagens/min.
(D( 1 )=
8.
16 6 . V
)
4 5 + 0,5 · 1
Bereken de afgeleide van deze functie en zoek uit bij welke waarde van
wagendebiet D maximaal is.
1
het
(Omdat de afgeleide van D overal positief is, weten we dat D 01 eraf stijgt. De
beste Haarde 'cm v is bijgevolg de hoogst toegelaten waarde nl. 120 km/u. In dit
geval is de doorstroming D gelijk aan 31 11 agens per minuut. Mochten er geen
snelheidsbeperkingen gelden zou de maximale doorstroming gelijk zijn aan 33,2
36
onder de loep
wagens per minuut (limietberekening naar oneindig). Sneller rijden dan 120
km/u geeft dus slechts een schamele ·winst.)
Wat gebeurt er met het debiet wanneer deze ideale snelheid gehalveerd zou
9.
worden?
(Bij een richtsnelheid van 60 km/u zal het debiet D met twee ·wagens per minuut
afnemen. De wegveiligheid zal echter drastisch toenemen. In dit model blijkt de
snelheid 1 an 60 km/u 1 erdedigbaar te zijn als kruissnelheid voor het blokrijden.
De grafische betekenis 1 an het halveren van de filesnelheid wordt duidelijk
gemaakt op de 1 algende tekening.)
D
50
40
V
20
40
60
80
100
120
Het fileprobleem: model2
In dit nieuwe model zullen we de tussenafstand s tussen de voorbumpers van twee
opeenvolgende wagens opsplitsen in drie delen: de gemiddelde wagenlengte s1, de
échte remafstand s2 en de reactieafstand s3•
I 0.
Gebruik het overzicht uit Uit' of de brochure van het 'Belgisch instituut voor
verkeersveiligheid om een gepaste constante k te vinden in de formule s2
=
kv2.
(De Haarden 1 an k in het 01 erzicht van 'Uit' schommelen rond 0,005. Dezelfde
1vaarde vinden we in de brochure van het 'Belgisch instituut voor
verkeersveiligheid'. Dit instituut gaat bij het bepalen van k uit van een constante
snelheidsvertraging van 7,7 mls2• Leerlingen die vertrouwd zijn met de
integraalrekening kunnen, met de hulp van de leerkracht, eventueel berekenen
dat de afstand om tot stilstand te komen vanuit een snelheid v bij een constante
snelheids1 ertraging a gelijk is aan v 2/(2a).)
11.
Aandachtige bestuurders hebben volgens de bijgevoegde brochure (zie kader
onderaan p. 39) een gemiddelde reactietijd van 0,72 seconden. Bereken de
afstand s3 die ze ondertussen afleggen.
--
--
37
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
(s3
12.
0,2·'�
=
Stel een nieuwe formule op voor het wagendebiet D( v).
( D( V)
16 6 . \
=
., )
4,5 + 0 2 · V+ 0,005 \ ·
13.
Bij
welke snelheid is het wagendebiet maximaal? Stemt deze snelheid overeen
met die van het blokrijden?
(De ideale snelheid is 30 km/u. Deze snelheid is beduidend lager dan de snelheid
van
het blokrijden.
Er zijn
dil erse verklaringen
voor dit \erschil.
De
eenvoudigste is dat de bestuurders in realiteit de veilige tussenafstand s2
=
0,005·i niet respecteren. Volgens sommige modellen is het ook niet nodig s2 in
rekening te brengen.
Bij filerijden wordt de remweg \cm iedere
\t
agen
opge\angen door de remweg \cm de l om·ligger, tenminste indien de remconditie
van alle
\t
agens l ergelijkbaar is. Mocht de klas deze bedenking maken dan kan
er nog een derde model uitgewerkt
11
orden. Hierbij
11
ordt de
11t
eedegraadsterm
s2 ge·woon geschrapt.)
14.
Bij het blokrijden respecteert men wellicht niet de veilige tussenafstand s2
waarbij k
=
0,005. Welke risicovolle waarde
60 km/u kunnen brengen?
\i
aarde 0 00125 \oor k 'ero01·zaakt een richtsnelheid l cm 60 km/u.)
MIJN
lDfAL-t:-0
�N�LHI;ID
38
O
k-l
2
voor k zou de richtsnelheid in dit
filemodel op
(De
=
onderdeloep
15.
Hoeveel meter bedraagt de tussenruimte s tussen twee opeenvolgende wagens
bij de modellen uit vraag 12 en 13? Hoeveel bedraagt het wagendebiet D in
beide gevallen?
(Voor k = 0.005 \inden
11
e s= 15 en D = 33,2. Voor k = 0,00125 geldt s= 21 en
D = 4 7 ,4. De volgende grai
f eken van de debietfuncties \oor beide k-lt aarden
kunnen de berekeningen verduidelijken.)
D
?0
60
50
.k=0,00125
40
30
20
·
k=O ,005
u
20
60
40
De (precieze) berekening van
de stopafstand
80
100
120
De gemiddelde remweg
Dit is de afstand die je aflegt van het ogenblik af
De
gemiddelde
afstand
tijdens
de
waarop
reactietijd
de
auto
stilstaat.
In
ideale
omstandigheden (voertuig en banden in perfecte
Tussen het ogenblik waarop je beseft dat je moet
staat, droog en voldoende stroef wegdek) ziet de
remmen en het moment dat je werkelijk begint te
remweg er zo uit (snelheidsver1raging van 77
remmen, leg je een bepaalde afstand af. Als we
mJseconde 2) : met een snelheid van 30 kmJu
verondersteld reeds dat we te maken hebben met
(
een aandachtige bestuurder), bekomen we met
-'---------=--
I 72 seconde reactietijd nemen (dat
een snelheid van 30 km/u :
30 000m x 072s
------
3 600s
_
waarop je het rempedaal indrukt tot het moment
60 km/u: 6x2 m
=
12 m
=3x2m=6 m
30 000 m
36 000s
)
2
J 3
=
�
2x7'7
s-
60 km/u: 62/2 m=18
m =4 ' 5
m
m
90 km/u: 92/2 m = 40,5
120 km/u: J2x2 m=24 m
120 kmJu: 122/2 m=72
m
140 km/u: J4x2 111
140 km/u: 142/2 m = 98
m
28 m
2
m
90 kmJu: 9x2m= 18 m
=
2
uit [2].
------
39
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
6.
Enkele knepen waar je indruk mee kunt maken
Het heeft geen zin het te ontkennen. Het geeft ieder van ons ' el een beetje voldoening wanneer
we na een moeizaam extremumprobleem (met voor de leerlingen zware nulpuntsberekeningen
van de eerste afgeleide functie) tussen neus en lippen kunnen opmerken dat de oplossing ook
wel op zicht te vinden was. Met één nonchalante krijtlijn leggen we dan de waarheid bloot.
Uiteraard is het niet de bedoeling de leerlingen te ontmoedigen
dat we deze gevatte basisprincipes ook maar
we geven nadien ruiterlijk toe
geleend' hebben van lucide wiskundigen uit
voorbije tijden. In deze paragraaf proberen we enkele van deze onthullingen te classificeren. We
beperken ons tot vier standaard-extremumproblemcn die kmmen herkend worden in talrijke
vraagstukken. De basisprincipes van deze paragraaf zijn:
a.
de kortste afstand tussen twee punten is de rechte;
b.
het product van twee (of meer) getallen met een constante som is maximaal indien deze
getallen gelijk zijn;
c.
bij
het
ontwerp
van
een
\\ egennet
met
een
minimale
totale
lengte
kunnen
alleen
drieweegsc knlispunten voorkomen met vaste tussenhoeken van 120°;
d.
een open doosje met een maximale inhoud, geknipt uit een convex stuk karton gebruikt
evenveel karton voor de bodem als voor de zij,vanden.
a. Kortste afstand tussen twee punten
Dit basistype is makkelijk herkenbaar. Meestal is het basisprobleem enkel versluierd door een
spiegeling (denk maar aan het probleem van de biljarttafel) door een bijkomende verschuiving
of door een supplementaire rotatie. We werken één voorbeeld volledig uit.
Door een vierkant domein landbouHgrond met een zijde van 2 km loopt diagonaal een rivierue. In de he(ft van één
van de zijden staat een stal (A). op het
hoekpunt op deze(fde oever ligt een malse
weide (B). Een muildier ontHaak! 's morgens in de stal, gaal zijn dorst lessen bij
de rivier (P) en stapt daarna verder naar
de Heide. Door jarenlange ondervinding
'l-1'eet het muildier precies in welk wad van
de rivier hel zich zal moeten laven om via
de kortste Heg bij de weide aan te komen.
Hoe ver moet graznvtje elke morgen min­
stens slappen?
40
p
A
B
onderdeloep
Indien de leerlingen analytisch te werk
gaan,
moeten
x
variabele
ze
mogelijkheden
waadplaats
eerst
kiezen.
is
(P)
vierkant
stuk
gebouwd
is
de
tot
van
afstand
de
van
de
de zijde van het
grond
waarop
Op
(AB).
een geschikte
Eén
de
deze
stal
n1anier
A'
herleidt de probleemstelling zich tot het
minimaliseren van de functie met het
functievoorschrift
f(x)
Niet
=
�X2
+
(1- xr
evidente
+
�X2
+
(2- xr
berekeningen leiden tot
een minimum met een
x gelijk aanf
A
en
8
f(x) gelijk aan .J5.
Dit resultaat kan ook gevonden worden met minder inspanningen. De oven1achtingsstal in het
punt A wordt gesloopt en volgens plan weer opgebouwd in het spiegelbeeld A' van A ten
opzichte van de rivier. Vennits spiegelingen afstandsbehouders zijn, weten we dat de afstand
van het punt A over het variabele punt P naar de weide B gelijk is aan de afstand van A
over P
naar B. De reisweg van A' naar B moet bijgevolg geminimaliseerd worden. Dit kan via een
§IS
rechte. De stelling van Pythagoras verraadt nu onmiddellijk dat de minimale reiswe
km
bedraagt.
De essentie van deze oplossing schuilt in het wijzigen van één van de gegevens (de positie van
de stal). We gebruikten hiervoor een spiegeling.
oplossen aan de lezer overlaten
In de volgende opgave, waarvan we het
moet één van de gegevens (de positie van de
rivier)
gecorrigeerd ''orden door middel van een verschuiving.
Twee steden
(A en B) liggen op
A
verschillende oevers van een kaars­
rechte rivier.
De afstand tussen de
twee steden gemeten in de richting
evenv\ ijdig met de rivier is 6 km. De
steden liggen 3 en l ,5 km verwijderd
van de rivierkaden. De stadsbesturen
vatten het plan op een verbindings­
weg
aan
te
leggen
tussen
beide
3
steden. Het hele traject zou bestaan
uit twee rechte wegen en een brug
van 0 5 km haaks op de oevers. Waar
moet
deze
brug
gebouwd
worden
opdat de totale lengte van het verbin­
8
6
dingstraject minimaal zou zijn?
----
41
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
b. Maximaal product van getallen met een constante som
De
eenvoudigste
toepassing
op
het
18
maximale product van twee getallen
met
een
constante
som
is
het
afspannen van een kippenren (al of
niet tegen een muur geplaatst) met een
beperkte hoeveelheid draad. Naast dit
vraagstuk zijn er nog vele andere die
(zonder
afgeleiden)
worden
door
maximale
een
het
product
constante
kunnen
principe
van
som.
opgelost
van
het
getallen
met
Ter
18
illustratie
geven we één uitgewerkt voorbeeld.
Uit een vierkant stuk karton van 18
cm x 18 cm
u
orden de vier hoekjes
weggeknipt om er een doo.sje zonder
deksel
van
moeten
de
te
vouwen.
weggeknipte
Hoe
groot
vierkantjes
-
x
zijn opdat de inhoud van de doos
maximaal zou zijn?
Voor de onbekende
x nemen we de zijde van de weggeknipte vierkantjes. Het opstellen van de
inhoudsfunctie die moet gemaximaliseerd worden, is eenvoudig:
J(x)=x·(18-2x)2.
Het maximaliseren van
l(x) is equivalent met het maximaliseren van het viervoud van l(x):
4 ·l (x) =(4x)· (18-2x)· (18-2x).
Op het eerste gezicht lijkt dit een duistere en onbegrijpelijke omweg. Toch kunnen we meer
sympathie voelen voor de fom1ule
4-I(x) dan voor de formule l(x). De som S van de drie
factoren van 4· l(x) is namelijk constant d.\\ .z. onafhankelijk van x:
S = (4x)
+
(18- 2x)
+
(18- 2x) = 36.
Dit is de sleutel tot een accurate oplossing: het product van drie getallen met een constante som
l
is maximaal \Yanneer deze drie getallen gelijk zijn.
4x=12
18-2x=12
18- 2x= 12
42
<=>
l
x=3
x=3
x=3
onderdeloep
Zonder afgeleiden te berekenen kunnen we nu besluiten dat de ma-ximale inhoud van het open
doosje gelijk is aan 3 cm
altijd
van
een
x
leien
12 cm
dakje
x
12 cm. Ziezo, een verbluffende techniek die echter niet
loopt.
Vaak
is
het
niet
zo
eenvoudig
de
correcte
vermenigvuldigingsfactor te bepalen (zó dat de som van de factoren constant is en dat
bovendien het resulterende stelsel niet strijdig is). Dit blijkt uit het volgende voorbeeld.
Uit
een
vierkant stuk karton
van
5 dm x8 dm worden de vier hoeken
[
weggeknipt om er een doos zonder
dek. ·el
van te
moeten
vouwen.
Hoe groot
de weggeknipte
vierkanten
5
zUn opdat de inhoud van de doos
maximaal zou zUn?
[
Deze oefening is bestemd voor de
lezer
die
maximale
de
techniek
producten
met
de
wantrou\\t.
8
Bereken de gevraagde x-waarde eerst
met afgeleiden. Daan1a vermenigvuldig je de inhoudsformule met 1/18, op te splitsen in l/6 en
1/3. Welke factor vcrmenigvuldig je met 1/3? Welke met 1/6? Hoe groot is de constante som
van de drie factoren nu? \Vanneer is het product van deze factoren ma-ximaal? Bij welke x­
waarde gebeurt dit?
c.
Steinerpaden
Nct\Yerkcn
aanleggen
met
een
minimale
totale lengte is een klassieker. Je kunt deze
problemen
zowel
inkleden
met
minimale
spoorlijnen als met minimale kopergeleiders
of met minimale zeepvliezen. Telkens komt
de
minimalisatie
knooppunten
erop neer dat er slechts
kunnen
ontstaan
waarin
drie
wegen elkaar kunnen ontmoeten onder een
hoek van 120°. Een bewijs hiervan vind je in
I lOJ.
Wc beperken ons
ook hier tot één
uitge\\erkt voorbeeld.
Een gelUkbenige driehoek heefi een basis met
lengte 2
Verbind
·
..fi en twee benen met lengte 2 J7.
·
de
drie
hoekpunten
van
deze
2*sqrt(3)
driehoek met een minimaal wegennet. Waar
ligt het knooppunt?
------
43
Uitwiskeling
17/3
(mei 2001)
Zonder één enkele berekening uit te voeren zie je dat de beste x-waarde gelijk is aan l . Alleen
op deze manier verkrijg je hoeken van 30°
60° en 120°. De lengte van de benen van de
gelijkbenige driehoek heeft in dit vraagstuk niet het minste belang zolang deze lengte maar
groter is dan 2. Mochten de benen van de driehoek korter dan 2 zijn en de tophoek bijgevolg
groter dan 120° dan ligt het minimale wegennet op de rand van de driehoek. We hebben hier te
maken met een 'extremum op de rand'.
Soms kan er meer dan één minimaal netwerk gevonden worden. Wat denk je van de volgende
vraag? ...
Zes opslagplaatsen liggen op de hoekpunten van een regelmatige zeshoek met als zijde 2 km.
Hoe kunnen deze opslagplaatsen verbonden 'rvorden met asfaltbanen met een minimale totale
lengte?
d. Open dozen
Het vervaardigen van open
kartonnen doosjes
kwam al eerder aan bod in deze loep. Ditmaal
accentueren we een wetmatigheid
bewezen
door
S.
King
(zie
[9]).
ontdekt en
Van
elk
gekhoekig (maar convex) stuk karton kan je een
open doosje maken '' aarvan de zijden van het
grondvlak evenwijdig zijn met de zijden van het
stuk karton. In het geval van een doosje met
maximale inhoud is er evenveel karton nodig
voor de zijwanden als voor de bodem. Méér nog.
Er kan zelfs bewezen worden dat er precies één
negende van het karton (de hoekjes dus) in de afvalemmer verdwijnt als de knutselaar zijn
doosje ontwerpt vanuit een regelmatige veelhoek of vanuit een willekeurige driehoek. Overtuig
jezelf van deze regelmaat door de oefeningen uit b opnieuw na te rekenen. Tot slot nog een
probleem\\ aarvan je de oplossing kan vinden zonder ook maar één berekening te maken.
Van een regelmatig tienhoekig stuk karton,
ingeschreven in een cirkel met een straal van
15 cm, worden de hoekfes verwijderd om een
open bonbondoosje te vervaardigen. Bepaal de
hoogte x van het tienhoekig doosje waarbij de
inhoud maximaal is.
Wanneer je de overbodige tipjes bij elkaar legt
·
vormen ze een tienhoek waarvan de oppervlakte
één negende moet zijn van de oppervlakte van de
grote tienhoek. Dit kan slechts wanneer de stralen
zich verhouden als één tot drie. De hoogte van het
optimale doosje is bijgevolg 5 cm.
44
onderdeloep
Bibliografie
[I]
(2]
R. A erts, Het.ftleprobleem anders bekeken, Uitwiskeling
8/2 ( 1992), 6-1 I.
Belgisch instituut voor verkeersveiligheid v. z. w., Hardrijders' ernielen meer dan hun eigen Ie\ en
informatieve folder te bevragen per adres: Haachtsesteenweg 1405
[3]
J. Costello, Same proofs b)
Uitwiskeling
[4 ]
[5]
[6]
[7]
continu i!), The mathematica! gazette
482, 163-166 bespreking tn
14/1 (1997) 34-36.
R. Danckwerts, D. Vogel Ana/; sisfiir den Leistungskurs, Metzier (Stuttgati),
M. Doorman e.a.
1986.
D{[ferentiaal- en integraalrekening deel 3. Optimaliseren, Wiskunde voor de
tweede fase profiel N&G en N&T Freudenthalinstituut (Utrecht), tty-outversie
D. De Bock, D. Janssens
M.
Roelens en J.
Roels
1996.
Afgeleiden en integralen, Acco (Leuven­
Amersfoort)
1994, 55-64.
A. Goddijn
W. Reuter, Voortgezette meetkunde deel !IA. Denken in cirkels en lijnen Wiskunde
voor de tweede fase profiel N&T Freudenthalinstituut (Utrecht)
[8]
- I130 Brussel.
H. Humenberger
1997.
Model/bilden und Optimieren bei einer Aufgabe iiber einer Strohlwlm in einer
Tasse, Didaktik der Matbematik
23/2 (1995), 151-162, bespreking in Uitwiskeling 12/3 (1996),
35-36.
[9]
S.
King, Maximizing a polygonal box, The mathematica! gazette
Uitwiskeling
490, 96-99, bespreking in
14/1 (1997) 36-38.
[I0] M. Roelens e.a. Toestellen' oor
ll
iskundelessen, Uitwiskeling (Leuven)
1994.
[11] I. Steward, Visions géométriques Pour la science (Paris) 1994.
[I2] H. van Lint, J. Breeman, Wiskunde-onden� ijs in Nederland, Wiskunde & Onderwijs I 02 (2000),
I35-I52.
[13] J.A. van Maanen, Een geH ichtig probleem' an I'Hópital, Nieuwe Wiskrant I 0/3 (1991 ), 6-9.
[14]
http://www. ies.co.jp/math/java/calc/bib_square/bib_square.html
Mi eh el en Luc
-------
45
1 1 1 1 1 '1'1 1 1 1 1l l l l l l l l il l l l l l l l l,!l!l!l l!l ,!l l l l llllllllllll l l l l l l l l lil,!lil!lil !l!l 'l l !l l l l l l l l l,l l:l !lil l l l
Goffree, M. van Hoorn, B. Zwaneveld (red.), Honderd jaar
wiskundeonderwijs. Een jubileumboek
F.
Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren (Leusden), 2000,
ISBN 90-01-65958-6
Naar aanleiding van de
75stc
verjaardag van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren
wou het bestuur ''iets leuks doen: een boekje maken dat terugblikt op de jaren die voorbij zijn en
vooruitkijkt op wat in het verschiet ligt . Dat 'boekje' is wat uit de hand gelopen. Een turf van
440
pagina's ligt hier op de tafel, speciaal voor de gelegenheid bijeengeschreven door een
dertigtal bevoorrechte getuigen van het Nederlandse wiskundeonderwijs prachtig uitgegeven op
luxueus papier en met harde kaft. De jongste auteur is geboren in
1981 en de oudste in 1894(!).
Alle bijdragen uit dit boek bespreken is onbegonnen werk. Ik pik er een vijftal hoofdstukken uit.
In het tweede hoofdstuk blikt Dirk Struik terug op zijn schooltijd en
wat daarna kwam: Schoolwiskunde vóór de Eerste Wereldoorlog.
Professor Dirk 1. Struik die je waarschijnlijk kent als auteur van
Geschiedenis van de
Wiskunde
[1 J
\:Vas al
104
toen hij werd
aangeschreven met de vraag om een bijdrage te leveren
aan
dit
lustrumboek. Je begrijpt dan ook dat de redactieploeg een kick kreeg
wanneer zijn handgeschreven inzending uit Amerika arriveerde.
Struik woonde sinds 1926 in Amerika, maar was steeds contact
blijven houden met Nederland. Hij was
2000
106
toen hij op
21
oktober
overleed. Zie ook [ 2] en [3]. In dit korte hoofdstuk vertelt
Struik wat in de wiskundelessen concreet aan bod kwam toen hij op
school zat. De situatie
leerlingen:
''Er
\\as duidelijk niet die van onze huidige
\\as geen radio
we hadden thuis niet eens een
telefoon, er waren weinig fietsen en we hadden geloof ik, ook geen
schoolclub
dus bleef je maar thuis om je schoolwerk te doen." In
1912
ging Struik naar de
universiteit in Leiden waar hij ondenneer in contact kwam met Tatiana Ehrenfest-Afanassjewa.
Deze vooruitstrevende '' iskundedidactica kwam op voor ''"ruimteleer' in de eerste jaren van het
secundair onderwijs: een informele maar rijke ruimtelijke start van de meetkunde in plaats van
meteen de deductieve opbouw van Euclides te volgen zoals dat toen gebruikelijk was.
Het vierde hoofdstuk van Martin Kind!, is getiteld 'De erfenis van al-Khwarizmi' en gaat
over de veranderingen die de schoolalgebra de laatste eeuw heeft ondergaan. Het begin van dit
Nederlandse verhaal loopt gelijk met het Vlaamse. Vóór
1968
had je een duidelijke scheiding
tussen meetkunde en algebra en bestond de algebra hoofdzakelijk uit rekentechnieken die
ingeoefend moesten
\\O
" rden (veeltennen, vergelijkingen
stelsels, wortelvannen
logaritmen,
de bibwijzer
rijen en reeksen). In 1958 kregen leerkrachten als wenk bij het leerplan om liever een groot
aantal eenvoudige vraagstukken aan de leerlingen op te geven dan een beperkt aantal
ingewikkelde of gekunstelde. De auteur geeft voorbeelden van typische opgaven uit die jaren.
Ook Nederland heeft daarna met de zogenaamde mammoelwel van 1968 een periode van
Moderne Wiskunde gekend maar in tegenstelling met België en Frankrijk is die periode
eel
korter geweest. In 1971 \ erd het IOWO geboren en ging het wiskundeonderwijs onder invloed
van o.m. Hans Freudenthal al snel een veel
realistischer· koers
aren. De kern van het
algebraonderwijs in de Nederlandse 'onderbouw (onze eer te en t\ eede graad) ligt sindsdien
niet meer in de rekentechnieken
noch in de structuren en de eigenschappen van de
bewerkingen, maar in uit het leven gegrepen verbanden die voorgesteld \ orden door tabellen
grafieken en formules. De laatste jaren wordt de grafische rekenmachine hierbij stelselmatig
ingeschakeld en intussen is de s mbolische rekenmachine in aantocht. Kindt eindigt met enkele
prangende
vragen.
Waar
moet
het
algebraonderwijs
naartoe?
0 er
\ elke
kennis
en
vaardigheden moeten de leerlingen beschikken om met vrucht symbolische reken machines te
kunnen gebruiken? Zonder deze vragen volledig te beantwoorden geeft hij wel aan in welke
richtingen de antwoorden volgens hem moeten worden gezocht: het geometriseren van de
algebra (waarbij de geschiedenis van de wiskunde een rol kan spelen), het doorgronden en
testen van formules (randgevallen dimensie symmetrie...) het construeren en generaliseren
(patronen voortzetten en formules maken) het vettalen van problemen in een algebraïsche vorm
en het bewijzen met algebra.
Hoofdstuk 14
'Ze werden onrustig' is van de hand van Jan
gebruik van geschiedenis
1
verwijst naar een uitspraak
1
cm Moemen en gaat over het
cm de wiskunde in het Nederlandse wiskundeonderwijs. De titel
an Dirk Struik (zie hoger) in een interview in 1998. Op de
raag of
hij zelf als wiskundeleraar in de jaren '20 de geschiedenis van de wiskunde in zijn klassen aan
bod bracht ant\ oordde hij: "Nee want die jongens werden onrustig als ik buiten het boekje
ging. Ze wilden voor het examen voorbereid worden en dit hadden ze niet nodig voor het
examen.' Verder beschrijft Van Maanen op welke manier de geschiedenis terug te vinden is in
de wiskundehandboeken van de voorbije eeu\ :
an wat achtergrondinformatie o er de
oorsprong van de leer tof met portretten van de grondleggers tot en met het laten werken van de
leerlingen aan authentieke historische opga en. Na de tweede wereldoorlog deden Bunt en
Vredenduin een experiment met de geschiedenis van de Griekse en de voor-Griekse wiskunde.
In de jaren '80 \ as er het experiment van Jan van Maanen in een brugklas' (het eerste jaar
an
het secundair). De leerlingen moesten zich verplaatsen in de positie van een middeleeuwse
Italiaanse rechter die moest beslissen aan welke eigenaar stukken aangeslibd land toebehoorden.
Dit leidde dan tot bissectrices en lood I ijnen als 'conflictlijnen' (zie figuur hieronder en [ 4 ]).
rivier
rivier
aan-
Gaius
slibbtng
Lucius
Gaius
Lucius
-------
47
Uitwiskeling 17/3 (mei 2001)
In
de
jaren
'90
wordt
de
geschiedenis
meer
en
meer
zichtbaar
aanwezig
in
wiskundeonderwijs en in de lerarenopleidingen. In het profiel 'cultuur en maatschappij
het
(één
van de studierichtingen in de laatste jaren van het secundair onderwijs) komt de geschiedenis als
relevante leerstof naar voren en in de profielen 'natuur en techniek' en natuur en gezondheid· is
het een dankbare bron van praktische opdrachten .
In hoofdstuk 15 vertelt Ed de Moor de geschiedenis van de Wiskunde Werkgroep, een club van
didactische pioniers die van 1936 tot 1974 een cruciale invloed heeft gehad op het Nederlandse
wiskundeonderwijs. Over de beginjaren van de Werkgroep is relatief weinig terug te vinden
omdat de groep heel informeel is gestart. Tot de eerste leden behoorden Tatiana Ehrenfest­
Afanassjewa (die hierboven reeds vernoemd werd i.v.m. de ruimteleer' en die zowat de spil
was van de didactische vernieuwing in het interbellum)
Eduard Dijksterhuis en Piet van
Albada. Na de oorlog werd de club uitgebreid met o.a. Hans Freudenthal. Van Piet van Albada
is recent een houten kist van omstreeks 1945 teruggevonden vol met kaartjes waar prachtige
meetkundeopgaven voor 12-jarigen op staan. In tegenstelling met wat in die tijd gangbaar was
(zeg maar: axioma's defin ities steilingen en bewijzen) gaat het om activiteiten met concreet
materiaal
modellen en foto's in verband met symmetrie, perspectief, schaduw, aanzichten
kortste afstanden, enz. De opgaven zijn van een hoog niveau voor die leeftijdsgroep en ogen erg
actueel.
We
laten
hieronder
twee
voorbeelden
zien.
(De
oorspronkelijke
kaartjes
zijn
handgeschreven.)
Geodetische lijnen
Twee slakken zitten op een 12 cm ho ge plint,
30 cm en 44 cm van de hoek.
Schaduw
0
Waar komen ze elkaar tegen, als ze lan gs de
kortste weg naar elkaar toe kruipen?
Verder beschrijft de auteur de spanningen die er waren tussen de Werkgroep en meer ge estigde
verenigingen. Op het einde van het hoofdstuk komt ook heel even de periode van de Moderne
Wiskunde ter sprake die de auteur opvallend scherp veroordeelt: 'Het was een doem die over
het kostbare werk van de voorbije vijfentwintig jaar scheen neer te dalen. In de jaren zeventig
kwam men in Nederland echter weer bij zinnen.
48
de bibwijzer
De titel 'lengte wordt breedte van hoofdstuk 27 slaat tegelijkertijd op de meetkundige inhoud
(denk maar aan Euclides' definitie van een lijn als breedteloze lengte') als op de eeuwige
didactische discussie over het meetkundeonderwijs: telt vooral de lange lijn in het leerplan die
de leerlingen leidt naar de wiskunde als wetenschap (de lengte) of moet het leerplan vooral
breedte hebben en een meetkunde aanbieden die aansluit bij de dagelijkse aanschouwing en
praktisch bruikbaar is in verschillende contexten en wetenschappen? Aad Goddijn vertelt
levendig over de lessen analytische meetkunde die hij kreeg bij een pater die imaginaire
snijpunten en samenstellingen van rotaties niet schuwde. Het verdwijnen van de beschrijvende
meetkunde in 1958 komt vervolgens uitgebreid aan bod, alsook de Moderne Wiskunde (hij
spreekt van New Math') met de transformatiemeetkunde en de vectoren. Rond 1980 de tijd
van de 'Hewetboekjes is de ruimtemeetkunde terug van weggeweest in de 'wiskunde 8 (in de
studierichtingen die voorbereiden op natuurwetenschappelijke vervolgstudies). In het huidige
materiaal voor W 12-16' (kijkmeetkunde, plaatsbepalen rekenen in de meetkunde ... ) wordt
vooral de breedte benadrukt en bi ij ft de systematiek beperkt. In de 'bovenbouw krijgt de lengte
echter nieuwe aandacht in het profiel natuur en techniek' met het leren bewijzen in de vlakke
meetkunde (zie ook [5]). Dit gebeurt binnen rijke contexten en met behulp van Cabri om b.v. de
eigenschappen te ontdekken en te verkennen alvorens ze te bewijzen.
Hiermee heb ik minder dan één zesde van de hoofdstukken van dit boek vermeld. Ook de
andere hoofdstukken zijn zeer de moeite waard. Dit boek is een uitstekende en aangename
manier om wat thuis te geraken in het Nederlandse wiskundeonderwijs van de voorbije 20stc
eeuw. Wie dit boek leest zal merken dat er niet alleen verschillen maar ook veel gelijkenissen
zijn met de situatie in Vlaanderen. De vragen en de keuzes waar we nu voor staan in verband
t
met het wiskundeonderwijs in de 21s c eeuw kunnen we best in dialoog met onze buurlanden
aanpakken lerend van elkaars fouten en successen.
Bibliografie
[I] D. J. Struik, Geschii!denis \ an de wiskunde Socialistiese Uitgeverij Amsterdam (Amsterdam), 1977
(Nederlandse versie van A com.:ise his/OJ) of malhematics dat reeds in 1948 verscheen).
[2] M. Kool, Een Ie\ en \ an werken en plezierige gedachten. In memoriam Dirk Struik {I 06) Nieuwe
Wiskrant 20/2 (2000) 13-15.
[3] G. Alberts Dirk Struik, 189-1-2000. Waarom Struiks geschiedenis \ an de wiskunde in het Nederlands
niet beknopt was Euclides 76/6 (200I) 218-222.
[4] J. van Maanen 0\ er hel verdelen van aangeslibd land. Een brugklasprojecl, Euclides 60/4 ( 1985)
161-168.
[5] W. Reuter A. Goddijn M. Kindt J oor/ge::elle meetkunde. Nieuwe
11
iskunde tweede fase. Profiel
Natuur en Techniek. Deel 1: afstanden. grenzen en gebieden. Deel 2: denken in cirkels en lijnen.
Deel
uw
3:
COJ?flictlijnen en spiegels,
Freudenthalinstituut (Utrecht)
1996-1997. Bespreking in
14/3 36-44
Michel
49
li i il lil lil l il l l l l !l il l l!lil l l l!l l l!lil l l l lil l l l l llll�ll�lll l l l l l l l l l l l l !l!l l lil l l l lil!li!i!l!il!lil ilil i l li
In Nederland
De Vakantiecursus 200 I van het CWI (Centrum voor Wiskunde en Informatica) gaat door in Eindhoven
op 24 en 25 augustus en, met hetzelfde programma in Amsterdam op 31 augustus en I september. Het
thema is experimentele H'iskunde. Ga zeker eens kijken naar het programma op
http://www.cwi.nl/conferences/VC200 I I
en kies de HTML-versie dan kun je op de ondenverpen klikken om er meer over te vernemen.
Van 13 tot 17 augustus gaat in Lunteren het zomerkamp van Vierkant voor Wiskunde door, voor
leer Iin gen secundair onderwijs. Meer informatie op
http://www.vierkantvoorwiskunde.n1/activiteiten/zomerkampen/kampen_200 I /index.html
Het internationale PME-congres (Psychology for Mathemetics Education) gaat dit jaar in Utrecht door.
Geïnteresseerden verwijzen we naar
http://www.ft.uu.nl/pme25
In Wallonië
Het jaarlijkse congres van de SBPMef (Société beige des Professeurs de Mathématiques d expression
française) heeft plaats in Charleroi van 21 tot 23 augustus met als thema siluations-prob/èmes. Voor
meer informatie:
http :1lceco.umh.ac.be/noe1/sbpm/cong. htm
Toelatingsexamen burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect
De Faculteiten Toegepaste Wetenschappen van de Universiteit Gent, KULeuven en Vrije Universiteit
Brussel hebben in onderling overleg besloten de beide toelatingsexamens op een nieuwe leest te schoeien.
In tegenstelling tot vorige jaren zal het toelatingsexamen nog maar twee dagen duren. De bedoeling van
het toelatingsexamen is na te gaan of de student over voldoende wiskundige kennis en vorming beschikt
om met een behoorIijke kans op succes de studies te volgen. Het toelatingsexamen burger Iijk ingenieur­
architect beoogt bovendien studenten met het geschikte profiel en motivatie voor de studierichting
burgerlijk ingenieur-architect aan te trekken.
Het programma van de toelatingsexamens omvat drie modules: module A (algebra en ruimtemeetkunde),
module B (analyse) en module C (grafische proeven en verhandeling). Het toelatingsexamen burgerlijk
ingenieur omvat de modules A en B· het toelatingsexamen burgerlijk ingenieur-architect de moeitdesB en
50
actualiteitr
C. Het wiskundeprogramma (modules A en B) is beperkt en omvat enkele specifieke onderwerpen die in
de derde graad van de afdeling met 6 uur wiskunde per week in het algemeen secundair onderwijs aan
bod komen· ook het peil van de ondervragingen is hierop afgestemd.
In Gent en Leuven zijn de vragen identiek en worden ze ook op dezelfde manier verbeterd en beoordeeld.
De vragen van module C zijn zelfs voor de drie universiteiten hetzelfde.
Elk examen moet worden voorbereid, zo ook een toelatingsexamen. Er zijn modelvragen beschikbaar
zowel op het net (zie hiervoor de webadressen onderaan deze aankondiging), als in brochurevorm.
Bij de modules A en B mogen rekentoestellen gebruikt \VOrden. Alle types zijn toegelaten
(wetenschappelijk grafisch of yrnbolisch). De bedoeling hiervan is dat elke student de rekenmachine die
hij/zij gewoon is te gebruiken in het secundair onderwijs ook op het toelatingsexamen kan gebruiken.
Alle studenten krijgen ook een formularium ter beschikking. Dit vind je ook op een van de sites.
Meer in formatie (ook praktische: data plaats hoe inschrijven, ... ) vind je op een van de volgende
websites:
•
KULeuven: http://www.kuleuven.ac.be/vvordingenieur/
•
Universiteit Gent: http://www.ftw.rug.ac.be/studeren/
•
VU Brussel: http://www.vub.ac.be/studeren/toestu.htm I
Nascholingscursussen en symposium T3-VIaanderen
Grafische en symbolische rekenmachines doen stilaan hun intrede in het Vlaamse wiskunde-onderwijs
1
vanaf de tweede graad. T -Vlaanderen verzorgt allerlei nascholingscursussen om leerkrachten te helpen
bij het gebruik van zo n grafische of symbolische rekenmachine in de klas. Er zijn nascholingscursussen
rond diverse onderwerpen: kennismaking met de grafische rekenmachine, gebruik van een grafische
rekenmachine in de tweede graad statistiek m.b.v. een grafische rekenmachine, gebruik van een grafische
rekenmachine in combinatie met een gegevensverzamelaar in het labo fysica en chemie, kennismaking
met een symbolische rekenmachine ...
1
Het jaarlijks T -symposium met als titel 'The use of (hand-held) technologyin mathemolies en scienc:e
education', gaat dit jaar door in Leuven op vrijdag en zaterdag 24 en 25 augustus 200 I. Voor een volledig
overzicht verwijzen we naar de website van T3- Vlaanderen namelijk
http://w'vvw.wis.kuleuven.ac.be/wis/ A LO/T3 .htm,
of naar het volgende e-mailadres: [email protected].
N�scholingscursussen CBL (Universiteit Antwerpen)
Voor leerkrachten wiskunde worden in het derde trimester de volgende cursussen ingericht:
•
Cabri voor gevorderden: didactische toepassingen
•
Praktisch gebruik van het Internet in de wiskunde
•
Verklarende statistiek met Excel
51
Uitwiskeling
17/3
(mei 2001)
•
Beschrijvende statistiek met een grafisch rekentoestel
•
Verklarende statistiek met een grafisch rekentoestel
Voor
meer
inlichtingen
Universiteitsplein I
en
inschrijvingen
verwijzen
we
naar
het
volgende
over het cursusaanbod is ook online beschikbaar op http://cbl-www.uia.ac.be.
52
adres:
UIA-CBL,
2610 Wilrijk tel. 03/820.29.60, fax 03/820.29.57. Meer gedetailleerde informatie