Machten met natuurlijke exponenten - Wis-site

Machten met natuurlijke
exponent
© J. Vervaeke
Machten met natuurlijke exponenten
Een macht (met een natuurlijke exponent) is een product
van een aantal gelijke factoren.
2
2 . 2 . 2 .2
=
5 5 5 5
5
4 factoren
4
Machten met natuurlijke exponenten
Bijzondere gevallen:
24= 2.2.2.2= 16
23= 2.2.2 = 8
22= 2.2 = 4
21=
2
20=
1
:2
:2
:2
:2
De eerste macht van een rationaal getal is dit getal zelf.
De nulde macht van een rationaal getal is 1.
Machten met natuurlijke exponenten
Een macht is een product van een aantal gelijke
factoren
Uitzonderingen:
De eerste macht van een geheel getal is het getal
zelf.
De nulde macht van een geheel getal is altijd 1.
In symbolen:
a  Q : n  N \ {0,1} :
factor)
an = a.a.a. ... a (n-de
a1 = a
a0 = 1
Machten met natuurlijke exponenten
Benamingen
grondtal
a
n
exponent
Machten met natuurlijke exponenten
Tekenregel:
(-3)4= (-3)(-3)(-3)(-3) = +81
(-3)3= (-3)(-3)(-3) = -27
(-3)2= (-3)(-3) = +9
(-3)1= -3
(-3)0= +1
Alle machten van een positief grondtal zijn positief.
Even machten van een negatief grondtal zijn positief.
Oneven machten van een negatief grondtal zijn negatief.
Machten met natuurlijke exponenten
Alle machten van een positief grondtal zijn positief.
Even machten van een negatief grondtal zijn positief.
Oneven machten van een negatief grondtal zijn negatief.
(+4)2 = (+4)·(+4) = +16
(-3)4 = (-3)·(-3)·(-3)·(-3) = +81
(-2)3 = (-2)·(-2)·(-2) = -8
Opmerking:
-34 =
-3·3·3·3 = -81
Machten met natuurlijke exponent
Eigenschap 1:
product van machten met eenzelfde grondtal
Voorbeeld
2
6
a
a·
8
a·a·a·a·a·a
·a·a
a
=
=
6
2
8
Regel
Bij een product van machten met eenzelfde grondtal:
1. behoudt men het grondtal;
2. telt men de exponenten op.
Machten met natuurlijke exponent
Eigenschap 1:
product van machten met eenzelfde grondtal
Voorbeeld
2
6
a
a·
8
a·a·a·a·a·a
·a·a
a
=
=
6
2
8
Regel met symbolen
n+p
a Q,  n, p  N : an · apa=
Machten met natuurlijke exponent
Eigenschap 2:
quotiënt van machten met eenzelfde grondtal
Voorbeeld
4
6
a
a·a·a·a·a·a a4
6
2
a :a = 2 =
=
a·a
a
Regel
Bij een deling van machten met eenzelfde grondtal:
1. behoudt men het grondtal;
2. trekt men de exponenten af.
Machten met natuurlijke exponent
Eigenschap 2:
quotiënt van machten met eenzelfde grondtal
Voorbeeld
4
6
a
a·a·a·a·a·a a4
6
2
a :a = 2 =
=
a·a
a
Regel met symbolen
n-p
a Q,  n, p  N : an : apa=
Machten met natuurlijke exponent
Eigenschap 3:
macht van een macht
Voorbeeld
2
6
(a )
12
a·a·a·a·a·a
·a·a·a·a·a·a
a
=
=
6
6
2·6 = 12
Regel
Om een macht tot een macht te verheffen:
1. behoudt men het grondtal;
2. vermenigvuldigt men de exponenten.
Machten met natuurlijke exponent
Eigenschap 3:
macht van een macht
Voorbeeld
2
6
(a )
12
a·a·a·a·a·a
·a·a·a·a·a·a
a
=
=
6
6
2·6 = 12
Regel met symbolen
a Q,  n, p  N :
(an)p
n·p
a
=
Machten met natuurlijke exponent
Eigenschap 4:
macht van een product
Voorbeeld
3
(a·b·c) = a·b·c·a·b·c·a·b·c
= a·a·a·b·b·b·c·c·c
3a·b
3 3··c3b3 · c3
a
=
Regel
Om een product tot een macht te verheffen,
verheft men elke factor van die macht.
Machten met natuurlijke exponent
Eigenschap 4:
macht van een product
Voorbeeld
3
(a·b·c) = a·b·c·a·b·c·a·b·c
= a·a·a·b·b·b·c·c·c
3·b3·c3
a
=
Regel met symbolen
n·bn·cn
n
a
a,b,c Q,  n  N : (a·b·c) =
Machten met natuurlijke exponent
Eigenschap 5:
quotiënt van een product
Voorbeeld
3
a
 =
b
a a a
   
b b b
aaa
=
=
b b b
a3
b3
Regel
Om een quotiënt tot een macht te verheffen,
verheft men teller en noemer tot die macht.
Machten met natuurlijke exponent
Eigenschap 5:
quotiënt van een product
Voorbeeld
aaa
 a   a  a  a 
 =      =
=
b
b
b
b

b

b






b
3
3
a
3
b
Regel met symbolen
n
n
a
a
 N : = n
a Q, b Q0,  n 
b
b
Machten met natuurlijke exponent
Samenvatting
1) a p  a q  a p  q
ap
2) q  a p  q
a
p
p
p


3) a  b  a  b
 a
4)  
 b
5) a

p
p q
ap
 p
b
a
p q
Voorbeeld
a7·
a4
11
a
=
3
a
=
(2·p)3 = 8p3
20
5
4
a
(-a ) =
a12:a9
 2
 2
b 
4
=
16
b8
Oefeningen
• www.wis-site.tk
• H8: machten met natuurlijke exponenten