Meetkunde Wouter en Raymond

Meetkunde Wouter en Raymond
Hoogtelijnen, hoogtepunt en voetpuntsdriehoek
Trainingsweekend november 2008
Een opmerking vooraf: het gebruik van coördinaten, vectoren, complexe getallen en dergelijke bij deze opgaven is verboden!
Tip: als er hoogtelijnen in het spel zijn, zijn er ook veel rechte hoeken. Denk daarom
altijd ook aan cirkels en koordenvierhoeken.
Voetpuntsdriehoek
De voetpuntsdriehoek van een driehoek ABC is gedefinieerd als de driehoek met als hoekpunten de voetpunten van de hoogtelijnen van 4ABC. Als we zeggen dat 4DEF de voetpuntsdriehoek van 4ABC is, dan ligt D op BC, E op CA en F op AB.
Opgave 1 Zij ABC een driehoek met voetpuntsdriehoek DEF . Bewijs dat de hoogtelijnen
van 4ABC de bissectrices van 4DEF zijn.
Opgave 2 Zij ABC een scherphoekige driehoek met voetpuntsdriehoek DEF . Zij X een
punt op het inwendige van BC, Y een punt op het inwendige van CA en Z een punt op
het inwendige van AB.
Bewijs dat de omtrek van 4XY Z minstens zo groot is als de omtrek van 4DEF .
Opgave 3 Zij ABC een scherphoekige driehoek met voetpuntsdriehoek DEF . De lijn BE
snijdt de cirkel met middellijn AC in P en Q. De lijn CF snijdt de cirkel met middellijn
AB in M en N .
Bewijs dat M , N , P en Q op een cirkel liggen.
Opgave 4 Zij ABC een driehoek met voetpuntsdriehoek DEF en hoogtepunt H. Laat X,
Y en Z de middens zijn van respectievelijk de lijnstukken AH, BH en CH. Laat M , N
en P de middens zijn van respectievelijk de lijnstukken BC, CA en AB.
Bewijs dat D, E, F , X, Y , Z, M , N en P allemaal op één cirkel liggen (de negenpuntscirkel).
1
Hoogtepunt
Opgave 5 Zij ABC een driehoek met hoogtepunt H. Laat X, Y en Z de beelden zijn
van H onder spiegeling in respectievelijk BC, CA en AB. Bewijs dat X, Y en Z op de
omgeschreven cirkel van 4ABC liggen.
Opgave 6 Zij ABC een driehoek met hoogtepunt H. Zij l een lijn door H. Bewijs dat de
spiegelingen van l in de lijnen AB, BC en CA door één punt gaan dat op de omgeschreven
cirkel van 4ABC ligt.
Opgave 7 Zij ABC een driehoek met hoogtepunt H en voetpuntsdriehoek DEF . Laat X
en Y twee willekeurig punten zijn die niet op de driehoek liggen. Zij Γ1 de cirkel door X,
B en E en zij Γ2 de cirkel door Y , C en F .
Bewijs dat H gelijke macht heeft ten opzichte van beide cirkels.
Opgave 8 Zij ABC een driehoek. Een cirkel door B en C snijdt het inwendige van AC
nog in B 0 en het inwendige van AB nog in C 0 . Zij H het hoogtepunt van 4ABC en H 0
het hoogtepunt van 4AB 0 C 0 .
Bewijs dat BB 0 , CC 0 en HH 0 door één punt gaan.
Opgave 9 Zij ABC een driehoek met hoogtepunt H. Zij M het midden van zijde AB
en zij K het midden van lijnstuk CH. Bewijs dat de bissectrices van ∠CAH en ∠CBH
elkaar snijden op de lijn KM .
2