Gödel 100 jaar

Congresbespreking
Gödel 100 jaar
Verslag van het symposium ‘Gödel Centenary Celebration’, Universiteit Utrecht, 26
mei 2006.
Joop Leo
In 1951 kreeg Kurt Gödel de zogenaamde Einstein medaille voor een prestatie in de
logica die gekwalificeerd werd als een mijlpaal die ver in ruimte en tijd zichtbaar zou
blijven. Dit jaar worden op verschillende plaatsen in de wereld bijeenkomsten
georganiseerd ter ere van het feit dat Gödel 100 jaar geleden geboren is. In de
Jaarbeurs van Utrecht werd op 26 mei voor een publiek van 125 deelnemers een
helder beeld gegeven van Gödel en zijn voornaamste ontdekkingen.
Bij de opening van het symposium wees Albert Visser (Universiteit Utrecht) erop dat
Gödel anders dan Aristoteles en Frege geen systeembouwer was, maar dat hij
beschikte over een opmerkelijke combinatie van conceptuele helderheid en probleemoplossend vermogen. Van de 23 wiskundige problemen die David Hilbert in 1900
voorlegde als uitdagingen voor de twintigste eeuw zou je kunnen zeggen dat Gödel er
1,75 heeft opgelost: het eerste probleem over de continuümhypothese voor de helft,
het tweede probleem over de bewijsbaarheid van de consistentie van de rekenkunde
volledig en het tiende probleem over de oplosbaarheid van diophantische vergelijkingen voor een kwart. Gödel heeft met zijn volledigheidsstelling, zijn onvolledigheidsstellingen en zijn bewijs van de relatieve consistentie van het keuzeaxioma en de
continuümhypothese een enorme impact op de logica gehad. Maar ook voor de fysica
was zijn betekenis groot doordat hij liet zien dat de veldvergelijkingen van Einstein
gesloten wereldlijnen toelaten. Deze prestaties worden verderop toegelicht.
In de eerste twee voordrachten lag het accent op Gödel als persoon en als filosoof.
Mark van Atten (CNRS, Paris) plaatste Gödel naast en tegenover L.E.J. Brouwer.
Voor beiden was een filosofisch fundament voor de wiskunde belangrijk. Ook waren
beiden het erover eens dat wiskunde en zijn objecten niet van linguïstische aard zijn
en dat wiskunde telkens opnieuw een beroep moet doen op wiskundige intuïtie.
Echter voor de intuïtionist Brouwer bestaan wiskundige objecten en waarheden
uitsluitend in onze geest en worden ze door ons geconstrueerd, terwijl voor de
platonist Gödel deze zaken los van onze geest bestaan en door ons worden ontdekt.
Opmerkelijk is dat Gödel voor zijn onvolledigheidsstellingen geïnspireerd zou zijn
door een voordracht die Brouwer in 1928 in Wenen gaf. Van de drie beroemdste
wiskundige resultaten van Gödel zijn overigens alleen de onvolledigheidsstellingen
voor een intuïtionist acceptabel. Brouwer heeft Gödel in 1953 nog bezocht in
Princeton, maar dit was geen groot succes: Gödel leek Brouwer totaal niet te mogen,
zoals onder andere uit een brief van Gödel aan zijn moeder blijkt.
Juliette Kennedy (Universiteit Helsinki) begon met een biografische schets
van Gödel. Gödel is geboren in 1906 in Brünn, het huidige Brno in Tsjechië. Op 25jarige leeftijd publiceerde hij zijn onvolledigheidsstellingen. In 1940 emigreerde
Gödel met zijn vrouw naar de Verenigde Staten, waar hij een zeer hechte vriendschap
met Einstein kreeg. Einstein zei ooit dat de enige reden voor hem om nog naar het
1
instituut in Princeton te gaan, was om samen met Gödel naar huis te lopen. Gödel
heeft intensief Leibniz bestudeerd en wilde net als Leibniz filosofie op een exacte
manier ontwikkelen. Een beroemde filosofische stelling van Gödel stelt dat de
menselijke geest alle machines overtreft of anders dat er getaltheoretische vragen zijn
die onbeslisbaar zijn voor de menselijke geest. Als één van Gödels laatste woorden
zou een ontologisch godsbewijs beschouwd kunnen worden. In 1978 stierf Gödel, nog
slechts 35 kg wegend, volgens zijn overlijdensakte aan ondervoeding en uitputting
veroorzaakt door een persoonlijkheidsstoornis.
In het tweede deel van haar lezing ging Juliette Kennedy in op Gödels
volledigheidsstelling, die zegt dat iedere geldige logische expressie bewijsbaar is. Zij
probeerde aannemelijk te maken dat een analyse van eindige bewijsbaarheid in de
volledigheidsstelling onvermijdelijk leidde tot de ontdekking van de onvolledigheidsstellingen.
Het tweede blok van het symposium ging over de onvolledigheidsstellingen, de
wellicht belangrijkste bijdrage aan de logica sinds Aristoteles. Dick de Jongh
(Universiteit van Amsterdam) behandelde wat deze stellingen zeggen en Albert Visser
wat ze niet zeggen. De eerste onvolledigheidsstelling zegt ruwweg dat in systemen
waarin alleen ware rekenkundige uitspraken bewijsbaar zijn er altijd ware rekenkundige uitspraken zijn die in het systeem geen bewijs hebben. De tweede onvolledigheidsstelling zegt ruwweg dat krachtige systemen hun eigen consistentie niet kunnen
bewijzen. Volgens de eerste onvolledigheidsstelling vallen waarheid en formele
bewijsbaarheid dus niet samen. De tweede onvolledigheidsstelling betekende een
doodsklap voor Hilberts programma om met beperkte, finitistische methodes te
bewijzen dat krachtige systemen geen tegenspraken bevatten. Dick de Jongh besprak
separaat het kernidee van Gödels bewijs: via een codering van formules en bewijzen
een rekenkundige uitspraak maken die op een indirecte manier over zichzelf lijkt te
zeggen dat ze niet bewijsbaar is.
Gödels onvolledigheidsstellingen vormen een bron voor boeiende filosofische
speculaties. Albert Visser drukte een paar ervan de kop in. Allereerst stelde hij dat
Gödel weliswaar aangetoond had dat in geen enkel formeel systeem van de eerste
orde logica al het mogelijke wiskundige denken gerepresenteerd kan worden. Als je
echter kijkt naar een welomschreven periode van de wiskunde, dan zijn er een aantal
principes en redeneervormen die de wiskunde van die periode bepalen. Het is een
open vraag of het wél altijd mogelijk is de principes en redeneervormen van zo'
n
periode in een formeel systeem van de eerste orde logica te vatten. Een heel ander
idee betreffende consequenties van Gödels onvolledigheidsstellingen is afkomstig van
J.R. Lucas. De onvolledigheidsstellingen zouden aantonen dat mensen superieur zijn
aan computers, want: (1) Elke machine is een instantie van een formeel systeem. (2)
Dus, als een computer consistent is, is er een ware rekenkundige zin die de machine
niet kan produceren. (3) Echter, wij kunnen de waarheid van de zin inzien. (4) Dus
machines zijn geen adequaat model voor de menselijke geest. Volgens Albert Visser
geldt voor elke poging om dit argument van Lucas te expliciteren dat het een hiaat
bevat of dat het een petitio principii is. Een variant van Lucas’ argument is dat
mensen als zelfcorrigerende wezens hun eigen consistentie kunnen bewijzen, maar dat
machines dat niet kunnen. Maar ook dit is onzin, want je kunt vrij eenvoudig zelfcorrigerende machines maken.
Benedikt Löwe (Universiteit van Amsterdam) besprak de derde grote prestatie van
Gödel, namelijk zijn bijdrage aan de verzamelingenleer. Zijn verhaal begon eenvou-
2
dig over tellen en over het vergelijken van de grootte van verzamelingen, maar na een
half uurtje werd het publiek ingewijd in de bewijsgang van de relatieve consistentie
van de continuümhypothese. De hoofdlijn van het bewijs paste op één slide. Of het
door iedereen ook helemaal begrepen werd is de vraag, maar het leverde wel een
applausje op. Kort gezegd beweert de continuümhypothese dat elke oneindige
deelverzameling van de reële getallen óf even groot is als de verzameling van de
natuurlijke getallen óf even groot is als de totale verzameling van de reële getallen.
Gödel heeft in 1937 aangetoond dat er een model is voor de standaardaxioma’s van de
verzamelingenleer waarin de continuümhypothese geldt. Een hele prestatie, temeer
daar Gödel het gereedschap voor het bewijs ook zelf heeft ontwikkeld. Dat de
continuümhypothese niet uit de standaardaxioma’s van de verzamelingenleer volgt, is
in 1963 door Paul Cohen bewezen. Het is nog altijd een open probleem of de continuumhypothese waar is.
De laatste voordracht ging over Gödels bijdrage aan de fysica. Dennis Dieks (Universiteit Utrecht) besteedde eerst aandacht aan Einsteins theorieën. In de speciale
relativiteitstheorie is er nog sprake van een vaste afstand tussen ruimtetijdpunten,
maar in de algemene relativiteitstheorie niet meer. Daar worden de geometrische
relaties beschreven door de dynamische veldvergelijkingen van Einstein. Gödel
bewees dat Einsteins vergelijkingen de mogelijkheid bieden voor het bestaan van
universa met gesloten wereldlijnen. In zo’n universum is er geen lineaire tijdsordening. Dit zou in principe mogelijkheden kunnen bieden om terug in de tijd te reizen
met snelheden kleiner dan het licht. Volgens Gödel was de aard van de tijd de
filosofische vraag. Gödel gebruikte zijn universa met gesloten wereldlijnen in een
argument tegen het objectief voortschrijden van de tijd in onze wereld, dat wil zeggen
tegen het bestaan van tijd in de gewone zin. Gödels argument is echter controversieel.
Alles wijst erop dat ons universum wél een lineaire tijdsordening toelaat. Deze
eigenschap van tijd in ons universum is dan contingent, zoals Gödel aantoont – maar
waarom zou die contingente eigenschap niet corresponderen met een werkelijk
voortgaan van de tijd in ons heelal?
Alles bij elkaar was het een zeer geslaagde dag waarop veel positieve reacties
kwamen. De voordrachten waren afgestemd op een publiek zonder specifieke
voorkennis, maar ze waren ook voor anderen interessant. Gödels resultaten zijn zo
diep dat een goede inleiding eigenlijk altijd een verrijking is.1
1
Voor meer informatie verwijs ik graag naar http://ozsl.uu.nl/goedel/documents.html
waar documenten staan van de sprekers m.b.t. hun presentaties.
3