Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules

er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
Voorkennis
×
5
y = 5 x + 25
y = 9(4 x − 4)
b
x
5x
×
9
y = 36 x − 36
y = −(5 x − 7)
c
4x
36x
+5
+25
–4
–36
d
y = 8 + 3(6 − 4 x)
×
3
e
y = 8 + 18 − 12 x
y = 26 − 12 x
y = 6 x − x(2 x − 5)
×
–x
f
y = 6 x − 2 x2 + 5x
y = −2 x 2 + 11 x
y = 7(2 + 4 x) − 6 x
×
7
6 –4x
18 –12x
ev
y = 5( x + 5)
2x
–2x2
–5
+5x
Ui
tg
V-1a
×
–1
y = −5 x + 7
y = 14 + 28 x − 6 x
y = 14 + 22 x
V-2a
y = ( x + 4)( x + 3)
y = (8 x + 3)(− x + 4)
×
x
+4
b
y = x 2 + 7 x + 12
y = ( x + 5)( x − 4)
×
x
+5
c
y = x 2 + x − 20
y = ( x − 8)( x − 9)
×
x
–8
d
y = x 2 − 17 x + 72
y = (5 + x)(6 x − 7)
x
x2
+5x
–4
–4x
–20
–9
–9x
+72
×
8x
+3
2 +4x
14 +28x
–x
+4
–8x2 +32x
–3x +12
f
y = −8 x 2 + 29 x + 12
y = (4 − 4 x)( x − 5)
×
4
–4x
g
y = −4 x 2 + 24 x − 20
y = (2 x + 6)(4 − 4 x)
×
2x
+6
h
y = −8 x 2 − 16 x + 24
y = ( x − 6)(2 x + 2)
×
x
–6
y = 2 x 2 − 10 x − 12
x
–5
4x –20
–4x2 +20x
4 –4x
8x –8x2
+24 –24x
No
or
x
x2
–8x
+3
+3x
+12
e
off
x
x2
+4x
–7
+7
dh
5x
–5x
V-3a
f = 4d(d + 3) c
j = −2q(q − 5) of j = 2q(−q + 5)
h = a(5a + 1) d
w = 7b(3b + 11)
×
5
+x
6x
30x
+6x2
b
–7
–35
–7x
y = 6 x 2 + 23 x − 35
©
⁄
14
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 14
2x
2x2
–12x
+2
+2x
–12
© Noordhoff Uitgevers bv
08-05-09 11:34
V-4a
Het product is –26 en de som is –11.
product
–26
getallen
–1 en 26
som
+25
–26
–2 en 13
–26
–26
b
product
–20
getallen
–1 en 20
+11
–20
–2 en 10
–13 en 2
–11
–20
–4 en 5
–26 en 1
–25
–20
–5 en 4
–20
–10 en 2
–20
–20 en 1
m = (t − 13)(t + 2)
Het product is –22 en de som is –9.
e
product
–22
getallen
–1 en 22
som
+21
–22
–2 en 11
+9
–22
–11 en 2
–9
–22
–22 en 1
–21
som
+19
+8
+1
–1
–8
–19
ev
Het product is –20 en de som is –1.
b = ( x − 5)( x + 4)
Het product is +20 en de som is +12.
product
+20
+20
getallen
som
1 en 20
+21
2 en 10
+12
4 en 5
+9
Ui
tg
d
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
+20
v = (d + 2)(d + 10)
c
f = ( h − 11)( h + 2)
Het product is +2 en de som is –3.
Het product is +64 en de som is +16.
product
+2
+2
som
+3
–1 en –2
–3
q = ( p − 1)( p − 2)
c
d
2 en 32
+34
+64
4 en 16
+20
+64
8 en 8
+16
k = (a + 8)(a + 8)
De formule y = x 2 + 4 x − 5 is een kwadratische formule omdat de hoogste exponent
van de variabele twee is.
y = 32 + 4 × 3 − 5 = 9 + 12 − 5 = 16
y = (−2)2 + 4 × −2 − 5 = 4 − 8 − 5 = −9
De uitkomst voor x = −4 is y = (−4)2 + 4 × −4 − 5 = 16 − 16 − 5 = −5 .
− x 2 + 5 = 4 b − x 2 + 5 = −4
2
− x = −1 − x 2 = −9
x 2 = 1 x = 3 of x = −3
x = 1 of x = −1
− x 2 + 5 = 0 d − x 2 + 5 = 8
− x 2 = −5 − x 2 = 3
x 2 = 5 x 2 = −3
x = 5 ≈ 2, 24 of x = − 5 ≈ −2, 24
Dat kan niet, want een kwadraat kan niet negatief zijn.
Je ziet ook dat de grafiek van y = − x 2 + 5 niet hoger dan 5 komt.
©
V-6a
c
+64
dh
b
som
+65
or
getallen
1 en 64
No
V-5a
product
+64
off
getallen
1 en 2
f
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 15
⁄
15
08-05-09 11:12
A − x 2 + 5 = 1 − x 2 = −4 x 2 = 4 x = 2 of x = −2 B − x 2 + 5 = 5 − x 2 = 0 x 2 = 0 x = 0 C − x 2 + 5 = −2
− x 2 = −7
x2 = 7
x = 7 of x = − 7
D − x 2 + 5 = 2
− x 2 = −3
x2 = 3
x = 3 of x = − 3
V-7a
b
c
d
e
A 5 g 2 − 8 = 27
5 g 2 = 35
g2 = 7
g = 7 of g = − 7
C 10 − 4t 2 = −6
4t 2 = 16
t2 = 4
t = 2 of t = −2
E (2 x − 4)( x + 5) = 0
2 x − 4 = 0 of x + 5 = 0
2 x = 4 of x = −5
x = 2 of x = −5
B 7b2 − 21b = 0
D a 2 + 8 a + 16 = 0
F k 2 − k − 30 = 0
B 7b(b − 3) = 0
D (a + 4)(a + 4) = 0
F (k − 6)(k + 5) = 0
B 7b = 0 of b − 3 = 0
b = 0 of b = 3
D a + 4 = 0 of a + 4 = 0
a = −4
F k − 6 = 0 of k + 5 = 0
k = 6 of k = −5
V-8a
b
c
4 a 2 + 8 a = 0 d
4 a(a + 2) = 0 4 a = 0 of a + 2 = 0 a = 0 of a = −2
5 h2 + 5 = −5 e
5 h2 = −10 h2 = −2 kan niet
(2 s − 4)(6 − s) = 0 f
2 s − 4 = 0 of 6 − s = 0 2 s = 4 of s = 6 s = 2 of s = 6 ©
No
or
dh
off
Ui
tg
ev
e
⁄
16
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 16
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
3n2 = 27
n2 = 9
n = 3 of n = −3
b2 − 9b + 14 = 0
(b − 7)(b − 2) = 0
b − 7 = 0 of b − 2 = 0
b = 7 of b = 2
4 x(5 − 2 x) = 0
4 x = 0 of 5 − 2 x = 0
x = 0 of 2 x = 5
x = 0 of x = 2 12
© Noordhoff Uitgevers bv
08-05-09 11:12
2-1 Parabolen
1a
b
Invullen van t = 2 geeft h = −5 × 2 2 + 50 × 2 = −20 + 100 = 80 .
Na twee seconden is de vuurpijl 80 meter hoog.
t
h
0
0
1
45
2
3
4
5
6
7
80 105 120 125 120 105
8
80
9
45
130
h
120
110
100
90
60
50
t =5
40
30
h = –5t 2 + 50t
20
10
0
2a
d
3
2
5
4
6
7
8
9
t
10
Links en rechts van t = 5 vind je in de tabel dezelfde waarden van h.
De grootste hoogte die de pijl bereikt is 125 meter.
x
y
–4
16
–3
7
–2
0
–1
–5
0
–8
16
y
y = x 2 – 2x – 8
14
12
10
8
2
–8
3
–5
4
0
y = –x 2 + 2x + 8
or
6
1
–9
dh
off
c
1
0
Ui
tg
80
70
10
0
ev
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
4
2
–4
–3 –2
–1 O
–2
1
2
3
4
5
x
No
–5
–4
–6
–8
–10
b
c
d
De coördinaten van het laagste punt van de grafiek zijn (1, –9).
Zie de tekening hierboven.
Nee, deze grafiek heeft geen laagste punt, maar een hoogste punt.
©
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 17
⁄
17
08-05-09 11:12
4a
c
d
b
c
d
e
5a
×
x
b
c
d
6a
5
25
–5x
⁄
18
–x
–5x
+x2
y = x 2 − 10 x + 25
De grafiek is een dalparabool, want in de formule y = x 2 − 10 x + 25 staat een positief
getal voor de x2.
y = (− x + 4)( x − 5)
×
–x
+4
x
–5
–x2 +5x
+4x –20
©
x +4
x2 +4x
+4x +16
y = x 2 + 8 x + 16
De grafiek is een dalparabool, want in de formule y = x 2 + 8 x + 16 staat een positief
getal voor de x2.
y = (5 − x)(5 − x)
×
5
–x
–2x
–2x2
y = 5x − 2 x2
In de formule y = 5 x − 2 x 2 is de hoogste exponent van de variabele twee, dus de
formule hoort bij een kwadratisch verband.
De grafiek is een bergparabool, want in de formule y = 5 x − 2 x 2 staat een negatief
getal voor de x2.
y = ( x + 4)( x + 4)
×
x
+4
5
5x
or
y = x(5 − 2 x)
No
Parabool 1 is een bergparabool en parabool 2 is een dalparabool.
De symmetrieas van parabool 1 is de lijn x = −3 .
De symmetrieas van parabool 2 is de lijn x = 2 .
De coördinaten van de top van parabool 1 zijn (–3, 4).
De coördinaten van de top van parabool 2 zijn (2, –2).
De snijpunten van parabool 1 met de x-as zijn (–5, 0) en (–1, 0).
De snijpunten van parabool 2 met de x-as zijn (0, 0) en (4, 0).
Bij parabool 1 hoort de formule y = − x 2 − 6 x − 5 , want de grafiek is een bergparabool
en in de formule y = − x 2 − 6 x − 5 staat een negatief getal voor de x2.
Bij parabool 2 hoort de formule y = 0, 5 x 2 − 2 x , want de grafiek is een dalparabool
en in de formule y = 0, 5 x 2 − 2 x staat een positief getal voor de x2.
ev
b
Ui
tg
Het getal voor de x2 is positief, dus de grafiek is een dalparabool.
Het getal voor de x2 is negatief, dus de grafiek is een bergparabool.
Het getal voor de x2 is negatief, dus de grafiek is een bergparabool.
Het getal voor de x2 is positief, dus de grafiek is een dalparabool.
off
3a
dh
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
y = − x 2 + 9 x − 20
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 18
© Noordhoff Uitgevers bv
08-05-09 11:34
c
d
×
–3
e
7a
–x2 +9x
3x2 –27x
y = 3 x 2 − 27 x + 60
De grafiek bij y = −3(− x 2 + 9 x − 20) is een dalparabool, want in de formule
y = 3 x 2 − 27 x + 60 staat een positief getal voor de x2.
Ja, het antwoord bij opdracht d klopt met het antwoord bij opdracht c.
y = 2( x + 2)(1 − x)
×
x
+2
y = 2(− x 2 − x + 2)
×
2
b
–20
+60
ev
De grafiek is een bergparabool, want in de formule y = − x 2 + 9 x − 20 staat een
negatief getal voor de x2.
Bij deze formule hoort een dalparabool.
y = −3(− x 2 + 9 x − 20)
1
x
+2
–x
–x2
–2x
–x2
–2x2
–x
–2x
+2
+4
y = −2 x 2 − 2 x + 4
De grafiek is een bergparabool, want in de formule y = −2 x 2 − 2 x + 4 staat een
negatief getal voor de x2.
y = 5( x − 4)( x − 3)
×
x
–4
y = 5( x 2 − 7 x + 12)
×
5
c
dh
x
–5
x2 –5x
+7x –35
y = −2( x 2 + 2 x − 35)
×
–2
x2
–2x2
+2x
–4x
–35
+70
y = −2 x 2 − 4 x + 70
De grafiek is een bergparabool, want in de formule y = −2 x 2 − 4 x + 70 staat een
negatief getal voor de x2.
©
+12
+60
y = 5 x 2 − 35 x + 60
De grafiek is een dalparabool, want in de formule y = 5 x 2 − 35 x + 60 staat een positief
getal voor de x2.
y = −2( x + 7)( x − 5)
×
x
+7
x2 –7x
5x2 –35x
No
x
–3
x2 –3x
–4x +12
or
Ui
tg
b
off
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 19
⁄
19
08-05-09 11:34
8a
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
y = 2( x − 4)( x − 4)
×
x
–4
y = 2( x 2 − 8 x + 16)
×
2
y = 2 x 2 − 16 x + 32
De grafiek bij de formule is een dalparabool, want in y = 2 x 2 − 16 x + 32 staat een
positief getal voor de x2.
y = −3( x − 5)( x − 5)
+16
+32
×
x
–5
y = −3( x 2 − 10 x + 25)
×
–3
c
y = −3 x 2 + 30 x − 75
De grafiek bij de formule is een bergparabool, want in y = −3 x 2 + 30 x − 75 staat een
negatief getal voor de x2.
y = 3 x 2 + x(5 − 4 x)
×
x
d
+25
–75
5
5x
–4x
–4x2
off
x2 –10x
–3x2 +30x
–5
–5x
+25
y = 3x 2 − 4 x 2 + 5 x
y = −x2 + 5x
De grafiek bij de formule is een bergparabool, want in y = − x 2 + 5 x staat een
negatief getal voor de x2. Nee, Sacha heeft dus geen gelijk.
y = − x 2 + x( x + 7)
dh
x
x2
–5x
ev
b
x2 –8x
2x2 –16x
Ui
tg
x
–4
x2 –4x
–4x +16
×
x
y = −x2 + x2 + 7x
y = 7x
De grafiek bij de formule is een rechte lijn.
+7
+7x
or
x
x2
9a
Bij punt A en bij punt B geldt h = 0 . Eén van de oplossingen is 0 en hoort bij punt A.
De andere oplossing is de afstand van punt A tot punt B.
a(1 − 0, 01a) = 0
a = 0 of 1 − 0, 01a = 0
a = 0 of a = 100
De afstand van punt A tot punt B is 100 meter.
De boog is in het midden, dus bij 50 meter, het hoogst.
De maximale hoogte van de boog is 50 − 0, 01 × 50 2 = 50 − 25 = 25 meter.
©
b
c
d
No
2-2 Symmetrie en top
⁄
20
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 20
© Noordhoff Uitgevers bv
08-05-09 11:34
e
f
0
0
10
9
30
21
50
25
70
21
90 100
9
0
30
h
a
h
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
20
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
ev
10
90
100
c
11a
d
b
c
d
e
12a
–1
15
0
9
1
5
2
3
3
3
4
5
5
9
6
15
Voor de symmetrieas van de parabool geldt x = 2, 5 .
Het laagste punt van de parabool ligt bij x = 2, 5 . In de tabel kun je zien dat de
bijbehorende waarde van y zeker groter dan 1 is en dat laagste punt ligt boven de
x-as. Nee, de parabool heeft geen snijpunten met de x-as.
x
y
–3
–2
143 120
–1
99
0
80
1
63
2
48
De y-waarden in de tabel dalen steeds, maar ze dalen wel steeds minder. Isa zal de
tabel nog verder naar rechts moeten uitbreiden, want de top is nog niet af te lezen.
( x − 10)( x − 8) = 0
x − 10 = 0 of x − 8 = 0
x = 10 of x = 8
Amanda kan nu de coördinaten van de top met de symmetrieas berekenen.
De top ligt midden tussen x = 10 en x = 8 in, dus de top ligt bij x = 9 .
Invullen van x = 9 geeft y = 9 2 − 18 × 9 + 80 = 81 − 162 + 80 = −1.
De coördinaten van de top zijn (9, –1).
( x − 10)( x + 6) = 0
x − 10 = 0 of x + 6 = 0
x = 10 of x = −6
De coördinaten van de snijpunten met de x-as zijn (10, 0) en (–6, 0).
De x-waarde van de symmetrieas zit midden tussen 10 en –6 in en is x = 2 .
Invullen van x = 2 geeft y = (2 − 10)(2 + 6) = −8 × 8 = −64 .
De coördinaten van de top zijn (2, –64).
x2 + 5x = 0
x( x + 5) = 0
x = 0 of x + 5 = 0
x = 0 of x = −5
De x-waarde van de symmetrieas is x = −2, 5 .
Invullen van x = −2, 5 geeft y = (−2, 5)2 + 5 × −2, 5 = 6, 25 − 12, 5 = −6, 25 .
De coördinaten van de top van de grafiek zijn (–2,5; –6,25).
©
b
c
d
x
y
off
b
dh
Voor x = 0 en voor x = 5 geldt y = 9 .
or
10a
No
Ui
tg
a
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 21
⁄
21
08-05-09 11:12
14a
+5
+4
2 en 2
+4
+4
–1 en –4
–5
+4
–2 en –2
–4
ev
Geen van de mogelijke gehele getallen heeft als som –2.
Ze kan de bordjesmethode ook niet gebruiken omdat de variabele x op twee
plaatsen in de vergelijking voorkomt.
Invullen van x = 0 geeft y = 0 2 − 2 × 0 + 4 = 0 − 0 + 4 = 4 , dus de parabool snijdt de
y-as in het punt (0, 4).
x2 − 2 x = 0
x( x − 2) = 0
x = 0 of x − 2 = 0
x = 0 of x = 2
Bij de symmetrieas hoort x = 1 .
Invullen van x = 1 geeft y = 12 − 2 × 1 + 4 = 1 − 2 + 4 = 3 .
De coördinaten van de top zijn (1, 3).
Oplossen van x 2 + 4 x − 5 = 0 geeft
( x − 1)( x + 5) = 0
x − 1 = 0 of x + 5 = 0
x = 1 of x = −5
De x-waarde van de symmetrieas is x = −2 .
Invullen van x = −2 geeft y = (−2)2 + 4 × −2 − 5 = 4 − 8 − 5 = −9 .
De coördinaten van de top van de grafiek zijn (–2, –9).
De formule kan niet ontbonden worden.
Invullen van x = 0 geeft y = 0 2 − 7 × 0 + 3 = 0 − 0 + 3 = 3 .
Oplossen van x 2 − 7 x + 3 = 3 geeft
x2 − 7x = 0
x( x − 7) = 0
x = 0 of x = 7
De x-waarde van de symmetrieas is x = 3, 5 .
Invullen van x = 3, 5 geeft y = 3, 52 − 7 × 3, 5 + 3 = 12, 25 − 24, 5 + 3 = −9, 25 .
De coördinaten van de top van de grafiek zijn (3,5; –9,25).
De formule kan niet ontbonden worden.
Invullen van x = 0 geeft y = 0, 5 × 0 2 + 8 × 0 − 2 = 0 + 0 − 2 = −2 .
Oplossen van 0, 5 x 2 + 8 x − 2 = −2 geeft
0, 5 x 2 + 8 x = 0
0, 5 x( x + 16) = 0
0, 5 x = 0 of x + 16 = 0
x = 0 of x = −16
De x-waarde van de symmetrieas is x = −8 .
Invullen van x = −8 geeft y = 0, 5 × (−8)2 + 8 × −8 − 2 = 32 − 64 − 2 = −34 .
De coördinaten van de top van de grafiek zijn (–8, –34).
©
b
c
som
1 en 4
Ui
tg
c
d
e
f
getallen
+4
off
b
product
dh
Het product van de twee gezochte getallen moet +4 zijn.
or
13a
No
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
⁄
22
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 22
© Noordhoff Uitgevers bv
08-05-09 11:12
b
c
d
e
Invullen van x = 0 geeft y = 0 2 − 6 × 0 + 5 = 0 − 0 + 5 = 5 .
Het snijpunt van de parabool met de y-as is (0, 5).
De formule van lijn l is y = 5 .
x2 − 6 x + 5 = 0
( x − 1)( x − 5) = 0
x − 1 = 0 of x − 5 = 0
x = 1 of x = 5
De coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as zijn (1, 0) en (5, 0).
De x-waarde van de symmetrieas is x = 3 .
Invullen van x = 3 geeft y = 32 − 6 × 3 + 5 = 9 − 18 + 5 = −4 .
De coördinaten van de top van de parabool zijn (3, –4).
x2 − 6 x + 5 = 5
x2 − 6 x = 0
x( x − 6) = 0
x = 0 of x − 6 = 0
x = 0 of x = 6
De coördinaten van de snijpunten van lijn l met de parabool zijn (0, 5) en (6, 5).
De x-waarde van de symmetrieas is dan weer x = 3 .
-
ev
15a
Ui
tg
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
2-3 Parabolen tekenen
16a
x
y
–0,6 –0,4 –0,2
0,36 0,16 0,04
b
0,4
0
0,2
0,4
0,6
0 0,04 0,16 0,36
off
y
y = x2
0,3
0,2
dh
0,1
–0,6 –0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1 O
–0,1
c
0,1
x
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
y
x
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
or
–0,6 –0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1 O
–0,1
–0,2
–0,3
–0,4
No
–0,5
–0,6
–0,7
y = –2x 2
©
–0,8
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 23
⁄
23
08-05-09 11:12
b
c
d
e
In zijn grafiek kun je niet goed aflezen waar de symmetrieas en de top van de
parabool liggen.
De grafiek van g is een bergparabool.
Invullen van x = 0 geeft y = −0 2 − 19 × 0 − 18 = −0 − 0 − 18 = −18 .
Oplossen van − x 2 − 19 x − 18 = −18 geeft
− x 2 − 19 x = 0
− x( x + 19) = 0
− x = 0 of x + 19 = 0
x = 0 of x = −19
De x-waarde van de symmetrieas is x = −9, 5 . Invullen van x = −9, 5 geeft
y = −(−9, 5)2 − 19 × −9, 5 − 18 = −90, 25 + 180, 5 − 18 = 72, 25 .
De coördinaten van de top van de grafiek zijn (–9,5; 72,25).
De coördinaten van het eerste snijpunt met de x-as zijn (–1, 0), want invullen van
x = −1 geeft y = −(−1)2 − 19 × −1 − 18 = −1 + 19 − 18 = 0 .
Vanaf x = −1 naar x = −9, 5 moet je 8,5 naar links. Voor het andere snijpunt van de
grafiek met de x-as moet je vanaf x = −9, 5 weer 8,5 naar links.
De coördinaten van het andere snijpunt van de grafiek met de x-as zijn (–18, 0).
ev
17a
x
y
–13 –12 –11 –10
60 66 70 72
–9
72
f
–8
70
80
–7
66
y
70
Ui
tg
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
–6
60
60
off
50
y = –x 2 –19x –18
40
30
20
10
18a
x
y
–6
7
–5
0
–4
–5
–4
–2 O
–10
2
x
–3
–8
–2
–9
–1
–8
0
–5
1
0
2
7
or
–6
dh
–18 –16 –14 –12 –10 –8
8
y = x 2 +4x–5
y
6
4
No
2
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1 O
–2
1
2
3
x
–4
–6
–8
©
–10
⁄
24
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 24
© Noordhoff Uitgevers bv
08-05-09 11:12
b
x
0
1
2
3
4
5
6
7
y
3
–3
–7
–9
–9
–7
–3
3
4
y
2
–2
–1 O
–2
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y = x 2 –7x +3
–4
–6
–8
–10
c
x
y
–12
–11
–26 –29,5
–10
–9
–32 –33,5
–8
–7
–34 –33,5
5
–18 –16 –14 –12 –10 –8
–6
–4
y = 0,5x 2 +2x–2
y
–2 O
–5
2
–10
–15
–20
–25
x
–6
–5
–32 –29,5
–4
–26
Ui
tg
ev
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
–30
off
–35
–40
20a
dh
Invullen van x = 0 geeft y = 2 × 0 2 − 12 × 0 + 10 = 0 − 0 + 10 = 10 .
De coördinaten van het snijpunt van de parabool met de y-as zijn (0, 10).
2 x 2 − 12 x + 10 = 10
2 x 2 − 12 x = 0
2 x( x − 6) = 0
2 x = 0 of x − 6 = 0
x = 0 of x = 6
De x-waarde van de symmetrieas is x = 3 .
Invullen van x = 3 geeft y = 2 × 32 − 12 × 3 + 10 = 18 − 36 + 10 = −8 .
De coördinaten van de top van de parabool zijn (3, –8).
©
b
De grafiek bij de formule is een bergparabool.
x + 6 = 0 of x − 8 = 0
x = −6 of x = 8
Invullen van x = 0 geeft y = −2(0 + 6)(0 − 8) = −2 × 6 × −8 = 96 .
De coördinaten van het snijpunt van de parabool met de y-as zijn (0, 96).
De x-waarde van de symmetrieas is x = 1 .
Invullen van x = 1 geeft y = −2(1 + 6)(1 − 8) = −2 × 7 × −7 = 98 .
De coördinaten van de top zijn (1, 98).
Een goede indeling is bijvoorbeeld de x-as van –10 tot 10 met een stapgrootte van 2
en de y-as van 0 tot 100 met een stapgrootte van 10.
or
19a
No
b
c
d
e
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 25
⁄
25
08-05-09 11:13
c
12
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
y
10
8
6
4
2
–1 O
–2
–2
1
3
2
4
5
6
7
8
x
ev
–4
–6
–8
y = 2x 2 – 12x + 10
–10
21a
2( x − 1)( x − 5) = 0
x − 1 = 0 of x − 5 = 0
x = 1 of x = 5
De coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as zijn (1, 0) en (5, 0).
x
y
0
75
h
90
1
80
2
75
3
60
4
35
h = –5t 2 +10t +75
80
off
70
60
50
40
30
10
⁄
26
3
4
5
6
7
8
t
Op het moment dat Martijn gooit is de bal −5 × 0 2 + 10 × 0 + 75 = 0 + 0 + 75 = 75 meter
boven de grond.
−5t 2 + 10t + 75 = 75
−5t 2 + 10t = 0
−5t (t − 2) = 0
−5t = 0 of t − 2 = 0
t = 0 of t = 2
Na 2 seconden is de bal weer op dezelfde hoogte als waar Martijn staat.
De t-waarde van de symmetrieas is t = 1 .
Invullen van t = 1 geeft h = −5 × 12 + 10 × 1 + 75 = −5 + 10 + 75 = 80 .
De grootste hoogte die de bal bereik is 80 meter.
−5t 2 + 10t + 75 = 0
−5(t 2 − 2t − 15) = 0
−5(t + 3)(t − 5) = 0
t + 3 = 0 of t − 5 = 0
t = −3 of t = 5
Na 5 seconden komt de bal op de grond terecht.
©
c
d
e
2
or
b
1
No
0
dh
20
0
5
0
Ui
tg
d
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 26
© Noordhoff Uitgevers bv
08-05-09 11:13
22a
b
c
d
e
Parabool 4 heeft één snijpunt met de lijn y = −2 .
Bij parabool 1 hoort een kwadratische formule die alleen maar positieve uitkomsten
heeft.
Parabool 2 en parabool 3 hebben snijpunten met de x-as.
Parabool 3 hoort bij de formule y = − x 2 + 2 .
Bij formule A hoort grafiek 2, bij formule B hoort grafiek 4, bij formule C hoort geen
van de getekende grafieken en bij formule D hoort grafiek 1.
ev
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
2-4 De vorm van de parabool
x = 12, 5 of x = − 12, 5
De breedte van de weg in de tunnel is 2 12, 5 ≈ 7, 07 meter.
−0, 25 x 2 + 5 = 0
−0, 25 x 2 = −5
x 2 = 20
x = 20 of x = − 20
De breedte van de weg in de nieuwe tunnel is 2 20 ≈ 8, 94 meter.
De weg in de nieuwe tunnel wordt 2 20 − 2 12, 5 ≈ 1, 87 meter breder.
c
off
b
24a
12
10
y = 2x 2
y = x2
or
8
y
dh
23a
Ui
tg
d
Aan de formule zie je direct dat het hoogste punt van de boog bij x = 0 hoort.
Het hoogste punt van de tunnelboog is 5 meter.
Invullen van x = 2 geeft h = −0, 4 × 2 2 + 5 = −1, 6 + 5 = 3, 4 .
Op 2 meter van de middenstreep is de tunnelboog 3,4 meter hoog en de vrachtwagen
3,5 meter. Nee, de vrachtwagen kan niet onder de tunnel door.
Invullen van x = 2 en h = 4 geeft 4 = a × 2 2 + 5 oftewel 4 = 4 a + 5 , dus 4 a = −1 en
a = −0, 25 .
−0, 4 x 2 + 5 = 0
−0, 4 x 2 = −5
x 2 = 12, 5
6
4
2
–4
–3
–2
–1 O
–2
1
2
No
–5
1
y = 2x 2
3
4
y=–
5
x
1 2
4x
–4
–6
–8
b
c
Bij de smalste parabool hoort de formule y = 2 x 2 .
De grafiek wordt smaller als het getal voor de x2 groter wordt en de grafiek wordt
breder als het getal voor de x2 kleiner wordt.
Zie de tekening hierboven.
Bij de smalste parabool hoort nu de formule y = − x 2 .
©
d
e
y = – x2
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 27
⁄
27
08-05-09 11:13
26a
b
f
27a
b
c
28a
c
d
e
d
b
c
d
29a
b
c
d
e
De grafiek is een dalparabool die smaller is dan de parabool bij de formule y = 2 x 2 .
De grafiek is een dalparabool die breder is dan de parabool bij de formule y = 2 x 2 .
De grafiek is een bergparabool die breder is dan de parabool bij de formule y = 2 x 2 .
De grafiek is een bergparabool die smaller is dan de parabool bij de formule y = 2 x 2 .
De grafiek is een bergparabool die even breed is als de parabool bij de formule
y = 2 x2 .
De grafiek is een dalparabool die breder is dan de parabool bij de formule y = 2 x 2 .
De coördinaten van de top van parabool A zijn (0, 0), de coördinaten van de top van
parabool B zijn (0, 1) en de coördinaten van de top van parabool C zijn (0, –4).
Door de grafiek bij formule A vier naar beneden te verschuiven ontstaat de grafiek
bij formule C.
Formule B hoort bij een dalparabool waarvan het laagste punt (0, 1) is.
De coördinaten van de top van deze parabool zijn (0, –12).
De uitkomst van x2 is nul of positief. De uitkomst van x 2 − 3 is dus –3 of groter.
Voor x = 0 krijg je de kleinste uitkomst namelijk y = −3 .
De y-waarde is in dit geval een kleinste waarde.
De grafiek bij de formule y = −5 x 2 + 7 is een bergparabool.
Beide grafieken zijn bergparabolen waarvan de top bij x = 0 ligt.
Invullen van x = 0 geeft y = −5 × 0 2 + 7 = 0 + 7 = 7 en y = −0 2 + 7 = 0 + 7 = 7 .
Bij
Bij
Bij
Bij
Bij
Bij
y = 3 x 2 + 8 hoort parabool 1.
y = x 2 + 8 hoort parabool 3.
y = − x 2 + 8 hoort parabool 5.
y = 3 x 2 hoort parabool 2.
y = −3 x 2 + 8 hoort parabool 6.
y = − 12 x 2 + 8 hoort parabool 4.
©
No
f
ev
Ui
tg
off
b
c
d
De coördinaten van de top van de parabool bij de formule y = x 2 + 3 zijn (0, 3).
De coördinaten van de top van de parabool bij de formule y = − x 2 + 3 zijn (0, 3).
De grafiek bij de formule y = x 2 + 3 is een dalparabool.
De grafiek bij de formule y = − x 2 + 3 is een bergparabool.
De formules B, C en E horen bij een dalparabool. De formules A, B en C horen bij
een parabool die dezelfde top heeft als de parabolen uit opdracht a. De formules A,
C en E horen bij parabolen die smaller zijn dan de parabolen uit opdracht a.
Formule C hoort bij een dalparabool die dezelfde top heeft als de parabolen uit
opdracht a, maar die wel smaller is.
dh
25a
or
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
⁄
28
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 28
© Noordhoff Uitgevers bv
08-05-09 11:13
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
2-5 Gemengde opdrachten
b
c
d
e
De kogel is −0, 04 × 18 2 + 0, 64 × 18 + 1, 5 = −12, 96 + 11, 52 + 1, 5 = 0, 06 meter hoog voor
a = 18 .
De kogel is −0, 04 × 18, 52 + 0, 64 × 18, 5 + 1, 5 = −13, 69 + 11, 48 + 1, 5 = −0, 35 meter hoog
voor a = 18, 5 .
Na 18 meter bevindt de kogel zich nog 0,06 meter oftewel 6 cm boven de grond.
Na 18,5 meter zou de kogel zich –0,35 meter boven de grond oftewel 35 cm onder de
grond bevinden.
Dit betekent dat de kogel tussen de 18 meter en de 18,5 meter ver komt.
Invullen van a = 0 geeft h = −0, 04 × 0 2 + 0, 64 × 0 + 1, 5 = 0 + 0 + 1, 5 = 1, 5 .
−0, 04 a 2 + 0, 64 a + 1, 5 = 1, 5
−0, 04 a 2 + 0, 64 a = 0
−0, 04 a(a − 16) = 0
−0, 04 a = 0 of a − 16 = 0
a = 0 of a = 16
Bij een afstand van 16 meter tot de kogelstoter is de hoogte weer 1,5 meter.
Voor a = 8 is de hoogte maximaal. De maximale hoogte van de kogel is
−0, 04 × 8 2 + 0, 64 × 8 + 1, 5 = −2, 56 + 5, 12 + 1, 5 = 4, 06 meter.
ev
30a
Ui
tg
x = 2 of x = − 2
De coördinaten van de snijpunten met de x-as van de parabool bij de formule
c
y = 4 − 2 x 2 zijn ( 2 , 0) en (− 2 , 0) .
De symmetrieas van de parabool bij de formule y = x 2 − 4 x ligt bij x = 2 .
Invullen van x = 2 geeft y = 2 2 − 4 × 2 = 4 − 8 = −4 .
De coördinaten van de top zijn (2, –4).
De symmetrieas van de parabool bij de formule y = 4 − 2 x 2 ligt bij x = 0 .
Invullen van x = 0 geeft y = 4 − 2 × 0 2 = 4 − 0 = 4 .
De coördinaten van de top zijn (0, 4).
dh
or
©
b
No
31a
off
De grafiek bij de formule y = x 2 − 4 x is een dalparabool en de grafiek bij de formule
y = 4 − 2 x 2 is een bergparabool.
x2 − 4 x = 0
x( x − 4) = 0
x = 0 of x − 4 = 0
x = 0 of x = 4
De coördinaten van de snijpunten met de x-as van de parabool bij de formule
y = x 2 − 4 x zijn (0, 0) en (4, 0).
4 − 2 x2 = 0
2 x2 = 4
x2 = 2
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 29
⁄
29
08-05-09 11:13
d
12
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
y
10
8
y = x 2– 4x
6
4
2
–2
–1 O
–2
1
2
3
4
5
6
7
x
ev
–3
–4
–6
–8
y = 4 – 2x 2
De coördinaten van de top de parabool bij de formule y = x 2 − 4 x zijn (2, –4).
Invullen van x = 2 en y = −4 in de formule y = 4 − 2 x 2 geeft −4 = 4 − 2 × 2 2 oftewel
−4 = 4 − 8 en dat klopt.
Invullen van a = 0 geeft h = −0, 02 × 0 2 + 16 = 16 . Je vindt een hoogte van 16 meter.
In het midden van het kanaal ligt de boog 16 meter boven het water.
−0, 02 a 2 + 16 = 8
−0, 02 a 2 = −8
a 2 = 400
a = 20 of a = −20
Het kanaal is 50 meter breed. De boot kan maximaal een afstand van 20 meter links
van het midden van het kanaal en maximaal een afstand van 20 meter rechts van het
midden van het kanaal aanhouden.
De boot moet een afstand van minstens (50 − 2 × 20) : 2 = 5 meter tot de kade
aanhouden om veilig onder de brug door te kunnen varen.
33a
b
c
d
34a
b
c
Invullen van x = 0 geeft h = 0, 01 × 0 2 − 0, 2 × 0 + 1, 2 = 0 + 0 + 1, 2 = 1, 2 .
De hoogte OA van de rand van het waterbekken is 1,2 meter.
0, 01 x 2 − 0, 2 x + 1, 2 = 1, 2
0, 01 x 2 − 0, 2 x = 0
0, 01 x( x − 20) = 0
0, 01 x = 0 of x − 20 = 0
x = 0 of x = 20
De middellijn AB van het waterbekken is 20 meter.
De straal van het waterbekken is 10 meter.
Het wateroppervlak als het water tot de rand staat is π × 10 2 ≈ 314 m2.
Invullen van x = 10 geeft h = 0, 01 × 10 2 − 0, 2 × 10 + 1, 2 = 1 − 2 + 1, 2 = 0, 2 .
In het midden is het waterbekken 1, 2 − 0, 2 = 1 meter diep.
Hij maakt dan −5 × 4, 52 + 50 × 4, 5 − 45 = −101, 25 + 225 − 45 = 78, 75 euro winst.
Bij een prijs van e 7,- maakt hij −5 × 72 + 50 × 7 − 45 = −245 + 350 − 45 = 60 euro winst.
Hij maakt dan 78, 75 − 60 = 18, 75 euro minder winst.
Bij een prijs van e 4,- maakt hij −5 × 4 2 + 50 × 4 − 45 = −80 + 200 − 45 = 75 euro winst.
Bij een prijs van e 6,- maakt hij ook −5 × 6 2 + 50 × 6 − 45 = −180 + 300 − 45 = 75 euro
winst.
©
off
dh
or
b
c
No
32a
Ui
tg
e
⁄
30
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 30
© Noordhoff Uitgevers bv
08-05-09 11:13
100
d
W in euro’s
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
80
60
40
20
0
–20
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
p in euro’s
12
–40
–60
ev
W = –5p 2 + 50p – 45
–80
–100
Bij een prijs van e 5,- krijgt hij de grootst mogelijke winst.
Die winst is dan −5 × 52 + 50 × 5 − 45 = −125 + 250 − 45 = 80 euro.
−5 p2 + 50 p − 45 = 60
−5 p2 + 50 p − 105 = 0
p2 − 10 p + 21 = 0
( p − 3)( p − 7) = 0
p − 3 = 0 of p − 7 = 0
p = 3 of p = 7
Hij moet dan een prijs voor een riem rekenen die tussen e 3,- en e 7,- in ligt.
35
Het is een bergparabool, dus alleen de formules C, D en F komen in aanmerking.
Verder snijdt de parabool de x-as bij x = 0 en bij x = 10 .
Formule D valt af, want daarbij zijn de snijpunten met de x-as x = 0 en x = −10 .
Formule C en formule F passen bij de parabool.
c
d
off
x = 12, 5 of x = − 12, 5
De breedte van de weg in de tunnel is 2 12, 5 ≈ 7, 07 meter.
−0, 25 x 2 + 5 = 0
−0, 25 x 2 = −5
x 2 = 20
x = 20 of x = − 20
De breedte van de weg in de nieuwe tunnel is 2 20 ≈ 8, 94 meter.
©
dh
Aan de formule zie je direct dat het hoogste punt van de boog bij x = 0 hoort.
Het hoogste punt van de tunnelboog is 5 meter.
Invullen van x = 2 geeft h = −0, 4 × 2 2 + 5 = −1, 6 + 5 = 3, 4 .
Op 2 meter van de middenstreep is de tunnelboog 3,4 meter hoog en de vrachtwagen
3,5 meter. Nee, de vrachtwagen kan niet onder de tunnel door.
Invullen van x = 2 en h = 4 geeft 4 = a × 2 2 + 5 oftewel 4 = 4 a + 5 , dus 4 a = −1 en
a = −0, 25 .
−0, 4 x 2 + 5 = 0
−0, 4 x 2 = −5
x 2 = 12, 5
or
I-1a
b
ICT De vorm van de parabool
No
fi
Ui
tg
e
f
De weg in de nieuwe tunnel wordt 2 20 − 2 12, 5 ≈ 1, 87 meter breder.
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 31
⁄
31
08-05-09 11:13
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
De grafiek is een dalparabool.
Bij de smalste grafiek hoort de formule y = 3 x 2 .
Bij de breedste grafiek hoort de formule y = 0, 5 x 2 .
Als er een positief getal voor de x2 staat is er sprake van een dalparabool.
Als er een negatief getal voor de x2 staat is er sprake van een bergparabool.
I-3a
b
c
Dat is de waarde a = 4 .
Als a > 0 , dan is de grafiek van y = ax 2 + 2 een dalparabool.
Als a < 0 , dan is de grafiek van y = ax 2 + 2 een bergparabool.
De grafiek bij a = 0 is een horizontale rechte lijn met als formule y = 0 × x 2 + 2
oftewel y = 2 .
Alle parabolen die horen bij de formule y = ax 2 + 2 gaan door het punt (0, 2).
d
I-4a
f
b
c
d
e
Ui
tg
ev
I-2a
b
c
d
e
f
De grafiek is een dalparabool die smaller is dan de parabool bij de formule y = 2 x 2 .
De grafiek is een dalparabool die breder is dan de parabool bij de formule y = 2 x 2 .
De grafiek is een bergparabool die breder is dan de parabool bij de formule y = 2 x 2 .
De grafiek is een bergparabool die smaller is dan de parabool bij de formule y = 2 x 2 .
De grafiek is een bergparabool die even breed is als de parabool bij de formule
y = 2 x2 .
De grafiek is een dalparabool die breder is dan de parabool bij de formule y = 2 x 2 .
De onderste parabool hoort bij c = −3 .
De op een na bovenste parabool hoort bij c = 1 .
Voor c = 0 ligt de top in de oorsprong.
Bij de formule y = x 2 + 2 hoort een dalparabool waarvan het laagste punt (0, 2) is.
I-6a
b
c
d
De uitkomst van x2 is nul of positief. De uitkomst van x 2 − 3 is dus –3 of groter.
Voor x = 0 krijg je de kleinste uitkomst namelijk y = −3 .
De y-waarde is in dit geval een kleinste waarde.
De grafiek bij de formule y = −5 x 2 + 7 is een bergparabool.
Beide grafieken zijn bergparabolen waarvan de top bij x = 0 ligt.
Invullen van x = 0 geeft y = −5 × 0 2 + 7 = 0 + 7 = 7 en y = −0 2 + 7 = 0 + 7 = 7 .
I-7a
c
Voor de grafiek die je ziet geldt c = 1 .
De coördinaten van de toppen van de vijf grafieken zijn van onder naar boven
(0, –1), (0, 0), (0, 1), (0, 2) en (0, 3).
De top van de grafiek ligt voor c = 0 op de x-as.
Voor c = 6, 5 ligt de top van de grafiek op de lijn y = 6, 5 .
dh
or
©
d
No
b
off
I-5a
b
c
⁄
32
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 32
© Noordhoff Uitgevers bv
08-05-09 11:13
De parabool gaat door het punt (0, –5) dus de formules E, F, G en H blijven over.
Verder is het een dalparabool waardoor alleen de formules E en G over blijven.
De coördinaten van nog een punt invullen geeft dat formule E bij de parabool hoort.
Bij parabool 2 hoort formule B, bij parabool 3 hoort formule D, bij parabool 4 hoort
formule F, bij parabool 5 hoort formule A, bij parabool 6 hoort formule H, bij parabool 7
hoort formule G en bij parabool 8 hoort formule C.
Test jezelf
ev
I-8a
b
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
T-1a
b
c
De grafiek is een dalparabool.
De grafiek is een bergparabool.
De grafiek is een dalparabool.
T-2a
b
c
d
e
x 2 − 11 x + 18 = 0
( x − 2)( x − 9) = 0
x − 2 = 0 of x − 9 = 0
x = 2 of x = 9
De coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de x-as zijn (2, 0) en (9, 0).
Bij de symmetrieas hoort x = 5, 5 .
Invullen van x = 0 geeft y = 0 2 − 11 × 0 + 18 = 0 − 0 + 18 = 18 .
De grafiek snijdt de y-as in het punt (0, 18).
x 2 − 11 x + 18 = 18
x 2 − 11 x = 0
x( x − 11) = 0
x = 0 of x − 11 = 0
x = 0 of x = 11
De symmetrieas x = 5, 5 ligt in het midden.
Invullen van x = 5, 5 geeft y = 5, 52 − 11 × 5, 5 + 18 = 30, 25 − 60, 5 + 18 = −12, 25.
De coördinaten van de top van de grafiek zijn (5,5; –12,25).
d
e
dh
off
Ui
tg
f
De grafiek is een dalparabool.
De grafiek is een bergparabool.
De grafiek is een bergparabool.
©
No
or
T-3a Invullen van x = 0 in de formule y = x 2 + x − 6 geeft y = 0 2 + 0 − 6 = −6 .
De grafiek bij de formule y = x 2 + x − 6 snijdt de y-as in het punt (0, –6).
Invullen van x = 0 in de formule y = −2 x 2 + 4 x + 16 geeft y = −2 × 0 2 + 4 × 0 + 16 = 16 .
De grafiek bij de formule y = −2 x 2 + 4 x + 16 snijdt de y-as in het punt (0, 16).
b
x 2 + x − 6 = 0 −2 x 2 + 4 x + 16 = 0
( x + 3)( x − 2) = 0 x2 − 2 x − 8 = 0
x + 3 = 0 of x − 2 = 0 ( x + 2)( x − 4) = 0
x = −3 of x = 2 x + 2 = 0 of x − 4 = 0
x = −2 of x = 4
c De symmetrieas van de grafiek bij de formule y = x 2 + x − 6 ligt bij x = −0, 5 .
Invullen van x = −0, 5 geeft y = (−0, 5)2 − 0, 5 − 6 = 0, 25 − 0, 5 − 6 = −6, 25 .
De coördinaten van de top van de grafiek bij de formule y = x 2 + x − 6 zijn (–0,5; –6,25).
De symmetrieas van de grafiek bij de formule y = −2 x 2 + 4 x + 16 ligt bij x = 1 .
Invullen van x = 1 geeft y = −2 × 12 + 4 × 1 + 16 = −2 + 4 + 16 = 18 .
De coördinaten van de top van de grafiek bij de formule y = −2 x 2 + 4 x + 16 zijn (1, 18).
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 33
⁄
33
08-05-09 11:13
d
20
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
y
18
y = –2x2+4x+16
16
14
12
10
8
ev
6
4
2
–5
–4
–3
–2
–1 O
–2
1
2
3
4
5
x
–6
y = x2 + x – 6
–8
Ui
tg
–4
y = −0, 5 x 2 hoort parabool 3.
y = −2 x 2 + 2 hoort parabool 4.
y = x 2 − 2 hoort parabool 1.
y = −2 x 2 − 2 hoort parabool 5.
y = x 2 + 2 hoort parabool 2.
Bij de formule
Bij de formule
Bij de formule
Bij de formule
Bij de formule
T-5a
b
c
Invullen van a = 0 geeft h = −(0 − 3)2 + 64 = −9 + 64 = 55 .
De rots is 55 meter hoog.
−(a − 3)2 + 64 = 55
−(a − 3)2 = −9
(a − 3)2 = 9
a − 3 = 3 of a − 3 = −3
a = 6 of a = 0
De symmetrieas ligt bij a = 3 .
Invullen van a = 3 geeft h = −(3 − 3)2 + 64 = 0 + 64 = 64 .
De steen komt 64 meter hoog.
−(a − 3)2 + 64 = 0
−(a − 3)2 = −64
(a − 3)2 = 64
a − 3 = 8 of a − 3 = −8
a = 11 of a = −5 (voldoet niet)
De steen komt op 11 meter vanaf de voet van de rots op de grond.
dh
or
No
x2 − 9 = 0
x2 = 9
x = 3 of x = −3
De symmetrieas ligt bij x = 0 .
Invullen van x = 0 geeft y = 0 2 − 9 = 0 − 9 = −9 . De coördinaten van de top van de
grafiek bij de formule y = x 2 − 9 zijn (0, –9).
©
T-6a
off
T-4a
b
c
d
e
⁄
34
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 34
© Noordhoff Uitgevers bv
08-05-09 11:13
T-7a
ev
Ui
tg
De formule hoort bij een dalparabool, dus blijven de bruggen 2 en 3 over.
Als je a = 0 invult, dan is h = 401 × 0 2 + 7 12 = 0 + 7 12 = 7 12 . Het midden van de boog ligt
7 12 meter boven het wegdek. Bij deze formule hoort brug 3.
1
a 2 + 7 12 = 17 12
40
1
a 2 = 10
40
2
a = 400
a = 20 of a = −20
De brug is 2 × 20 = 40 meter lang.
De formule hoort bij een bergparabool, dus blijven de bruggen 1, 4 en 5 over.
Als je a = 0 invult, dan is h = − 501 × 0 2 − 25 = 0 − 25 = −25 . Het midden van de boog
ligt 25 meter onder het wegdek. Bij deze formule hoort brug 5.
©
b
c
d
off
f
x = 15 of x = − 15
De symmetrieas ligt bij x = 0 .
Invullen van x = 0 geeft y = 15 − 0 2 = 15 − 0 = 15 .
De coördinaten van de top van de grafiek bij de formule y = 15 − x 2 zijn (0, 15).
4 x2 − 8 x = 0
4 x( x − 2) = 0
4 x = 0 of x − 2 = 0
x = 0 of x = 2
De symmetrieas ligt bij x = 1 .
Invullen van x = 1 geeft y = 4 × 12 − 8 × 1 = 4 − 8 = −4 .
De coördinaten van de top van de grafiek bij de formule y = 4 x 2 − 8 x zijn (1, –4).
x 2 − 2 x − 15 = 0
( x − 5)( x + 3) = 0
x − 5 = 0 of x + 3 = 0
x = 5 of x = −3
De symmetrieas ligt bij x = 1 .
Invullen van x = 1 geeft y = 12 − 2 × 1 − 15 = 1 − 2 − 15 = −16 . De coördinaten van de
top van de grafiek bij de formule y = x 2 − 2 x − 15 zijn (1, –16).
x 2 + 10 x = 0
x( x + 10) = 0
x = 0 of x + 10 = 0
x = 0 of x = −10
De symmetrieas ligt bij x = −5 .
Invullen van x = −5 geeft y = (−5)2 + 10 × −5 = 25 − 50 = −25 .
De coördinaten van de top van de grafiek bij de formule y = x 2 + 10 x zijn (–5, –25).
dh
d
e
or
c
( x − 3)(3 x + 9) = 0
x − 3 = 0 of 3 x + 9 = 0
x = 3 of 3 x = −9
x = 3 of x = −3
De symmetrieas ligt bij x = 0 .
Invullen van x = 0 geeft y = (0 − 3)(3 × 0 + 9) = −3 × 9 = −27 . De coördinaten van de
top van de grafiek bij de formule y = ( x − 3)(3 x + 9) zijn (0, –27).
15 − x 2 = 0
x 2 = 15
No
b
er
sb
v
Hoofdstuk 2 - Kwadratische formules
© Noordhoff Uitgevers bv
0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 35
⁄
35
08-05-09 11:14